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Hardy 空间中超曲调和映射的 Khavinson 问题

Khavinson problem for hyperbolic harmonic mappings in Hardy space

Jiaolong Chen, David Kalaj, Petar Melentijević

备注：
30 pages
发表信息：
Potential Analysis (2022)
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AI总结：

本文在 Hardy 空间中超曲调和映射的背景下部分解决了广义 Khavinson 猜想，通过推导 Poisson 积分的梯度估计，确定了单位球和半空间在不同共轭指数区间下达到最优估计常数的方向。

摘要：

本文在 Hardy 空间中超曲调和映射的背景下，部分解决了广义 Khavinson 猜想。假设 $u=\mathcal{P}_Ω[ϕ]$ 且 $ϕ\in L^{p}(\partialΩ, \mathbb{R})$，其中 $p\in[1,\infty]$，$\mathcal{P}_Ω[ϕ]$ 表示 $ϕ$ 关于 $Ω$ 中超曲拉普拉斯算子 $Δ_{h}$ 的 Poisson 积分，$Ω$ 表示单位球 $\mathbb{B}^{n}$ 或半空间 $\mathbb{H}^{n}$。对任意 $x\in Ω$ 和 $l\in \mathbb{S}^{n-1}$，设 $\mathbf{C}_{Ω,q}(x)$ 和 $\mathbf{C}_{Ω,q}(x;l)$ 分别为梯度估计 $$|\nabla u(x)|\leq \mathbf{C}_{Ω,q}(x)\\|ϕ\\|_{ L^{p}(\partialΩ, \mathbb{R})}$$ 及方向 $l$ 上的梯度估计 $$|\langle\nabla u(x),l\rangle|\leq \mathbf{C}_{Ω,q}(x;l)\\|ϕ\\|_{ L^{p}(\partialΩ, \mathbb{R})}$$ 的最优常数。此处 $q$ 是 $p$ 的共轭指数。若 $q=\infty$ 或 $q\in[\frac{2K_{0}-1}{n-1}+1,\frac{2K_{0}}{n-1}+1]\cap [1,\infty)$ 且 $K_{0}\in\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}$，则对任意 $x\in\mathbb{B}^{n}\backslash\{0\}$ 有 $\mathbf{C}_{\mathbb{B}^{n},q}(x)=\mathbf{C}_{\mathbb{B}^{n},q}(x;\pm\frac{x}{|x|})$，且对任意 $x\in \mathbb{H}^{n}$ 有 $\mathbf{C}_{\mathbb{H}^{n},q}(x)=\mathbf{C}_{\mathbb{H}^{n},q}(x;\pm e_{n})$，其中 $e_{n}=(0,\ldots,0,1)\in\mathbb{S}^{n-1}$。然而，若 $q\in(1,\frac{n}{n-1})$，则对任意 $x\in\mathbb{B}^{n}\backslash\{0\}$ 有 $\mathbf{C}_{\mathbb{B}^{n},q}(x)=\mathbf{C}_{\mathbb{B}^{n},q}(x;t_{x})$，且对任意 $x\in \mathbb{H}^{n}$ 有 $\mathbf{C}_{\mathbb{H}^{n},q}(x)=\mathbf{C}_{\mathbb{H}^{n},q}(x;t_{e_{n}})$。此处 $t_{w}$ 表示 $\mathbb{R}^{n}$ 中满足 $\langle t_{w},w\rangle=0$（$w\in \mathbb{R}^{n}\setminus\{0\}$）的任意单位向量。

英文摘要：

\begin{abstract} In this paper, we partly solve the generalized Khavinson conjecture in the setting of hyperbolic harmonic mappings in Hardy space. Assume that $u=\mathcal{P}_Ω[ϕ]$ and $ϕ\in L^{p}(\partialΩ, \mathbb{R})$, where $p\in[1,\infty]$, $\mathcal{P}_Ω[ϕ]$ denotes the Poisson integral of $ϕ$ with respect to the hyperbolic Laplacian operator $Δ_{h}$ in $Ω$, and $Ω$ denotes the unit ball $\mathbb{B}^{n}$ or the half-space $\mathbb{H}^{n}$. For any $x\in Ω$ and $l\in \mathbb{S}^{n-1}$, let $\mathbf{C}_{Ω,q}(x)$ and $\mathbf{C}_{Ω,q}(x;l)$ denote the optimal numbers for the gradient estimate $$ |\nabla u(x)|\leq \mathbf{C}_{Ω,q}(x)\|ϕ\|_{ L^{p}(\partialΩ, \mathbb{R})} $$ and gradient estimate in the direction $l$ $$|\langle\nabla u(x),l\rangle|\leq \mathbf{C}_{Ω,q}(x;l)\|ϕ\|_{ L^{p}(\partialΩ, \mathbb{R})}, $$ respectively. Here $q$ is the conjugate of $p$. If $q=\infty$ or $q\in[\frac{2K_{0}-1}{n-1}+1,\frac{2K_{0}}{n-1}+1]\cap [1,\infty)$ with $K_{0}\in\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}$, then $\mathbf{C}_{\mathbb{B}^{n},q}(x)=\mathbf{C}_{\mathbb{B}^{n},q}(x;\pm\frac{x}{|x|})$ for any $x\in\mathbb{B}^{n}\backslash\{0\}$, and $\mathbf{C}_{\mathbb{H}^{n},q}(x)=\mathbf{C}_{\mathbb{H}^{n},q}(x;\pm e_{n})$ for any $x\in \mathbb{H}^{n}$, where $e_{n}=(0,\ldots,0,1)\in\mathbb{S}^{n-1}$. However, if $q\in(1,\frac{n}{n-1})$, then $\mathbf{C}_{\mathbb{B}^{n},q}(x)=\mathbf{C}_{\mathbb{B}^{n},q}(x;t_{x})$ for any $x\in\mathbb{B}^{n}\backslash\{0\}$, and $\mathbf{C}_{\mathbb{H}^{n},q}(x)=\mathbf{C}_{\mathbb{H}^{n},q}(x;t_{e_{n}})$ for any $x\in \mathbb{H}^{n}$. Here $t_{w}$ denotes any unit vector in $\mathbb{R}^{n}$ such that $\langle t_{w},w\rangle=0$ for $w\in \mathbb{R}^{n}\setminus\{0\}$. \end{abstract}

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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