类型问题、第一特征值与Hardy不等式
Type problem, the first eigenvalue and Hardy inequalities
AI总结：
本文通过第一特征值的渐近下界刻画完备黎曼流形的类型问题，建立体积增长估计与精确Hardy型不等式，并给出双曲性条件。
摘要：
本文研究类型问题与完备黎曼流形M上“球”B_r:={ρ<r}的第一（Dirichlet）特征值λ_1(B_r)当r→+∞时的渐近行为之间的关系，其中ρ是M上几乎处处满足|∇ρ|≤1的Lipschitz连续穷竭函数。我们得到若干精确结果。首先，若对所有r>r_0有r^2 λ_1(B_r)≥γ>0，则我们得到体积增长的精确估计：|B_r|≥c r^{μ(γ)}。此外，当γ>j_0^2≈5.784时，其中j_0表示Bessel函数J_0的第一个正零点，则M是双曲的，并且我们有一个Hardy型不等式。在r_0=0的情形下，一个精确的Hardy型不等式成立。若假设Δρ^2≥2μ(γ)>0，则这些谱条件得到满足。特别地，当inf_M Δρ^2>4时，M是双曲的，并且我们得到一个精确的Hardy型不等式。本文还研究了有限体积情形的相关结果。
英文摘要：
In this paper, we study the relationship between the type problem and the asymptotic behaviour of the first (Dirichlet) eigenvalues $λ_1(B_r)$ of ``balls'' $B_r:=\{ρ<r\}$ on a complete Riemannian manifold $M$ as $r\rightarrow +\infty$, where $ρ$ is a Lipschitz continuous exhaustion function with $|\nablaρ|\leq1$ a.e. on $M$. We obtain several sharp results. First, if for all $r>r_0$ \[ r^2 λ_1(B_r)\ge γ>0, \] we obtain a sharp estimate of the volume growth: $|B_r|\ge cr^{μ(γ)}.$ Moreover when $γ>j_0^2\approx 5.784$, where $j_0$ denotes the first positive zero of the Bessel function $J_0$, then $M$ is hyperbolic and we have a Hardy type inequality. In the case where $r_0=0$, a sharp Hardy type inequality holds. These spectral conditions are satisfied if one assumes that $Δρ^2\geq2μ(γ)>0$. In particular, when $\inf_MΔρ^2>4$, $M$ is hyperbolic and we get a sharp Hardy type inequality. Related results for finite volume case are also studied.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
