A uniqueness theorem for nonvariational solutions of the Helmholtz equation
针对亥姆霍兹方程外部非变分框架下的$α$-赫尔德连续解，定义分布外向单位法向导数，证明肖德尔边界正则性结果及外部狄利克雷和阻抗边值问题解的唯一性定理。
2025-04-14 math.AP
A Helmholtz-Weyl decomposition for Hölder spaces. A nonvariational approach
本文利用负指数 Schauder 空间，在不假设导数存在的条件下证明向量微积分基本定理，并发展 von Wahl 思想，给出 Hölder 连续函数空间的 Helmholtz-Weyl 分解及投影算子显式公式。
2026-10-05 math.AP
Stability for the Helmholtz equation in deterministic and random periodic structures
本文证明了Helmholtz方程在确定性和随机周期结构中的稳定性结果。在排除共振的假设下，利用能量空间中的变分方法和傅里叶分析，建立了确定性周期结构中Helmholtz方程的稳定性估计.对于随机情况，通过引入变量变换，将随机区域中散射问题的变分形式化为具有随机介质的确定区域中的散射问题的变分形式。Pettis可测性定理和Bochner定理将确定性情形的稳定性结果与散射面的正则性和随机正则性相结合，进一步得到了随机周期结构散射问题的稳定性结果。这两个稳定性估计是明确的波数。
2022-10-19 math.AP
A Rellich-type theorem for the Helmholtz equation in a junction of stratified media
该论文证明在分层介质连接的无界非均匀区域中，二维亥姆霍兹方程无非零平方可积解，无需边界条件，并推论出分支夹角大于π/2时无俘获模式。
2025-04-24 math.AP math.SP
Oscillating solutions for nonlinear Helmholtz Equations
给出了一类非线性自治Helmholtz方程径向对称振动解的存在性结果，并建立了其在无穷远点的精确渐近性态.得到了非自治径向方程的一些推广和非径向解的存在性结果，证明了非线性Klein-Gordon方程或薛定谔方程在大频率下驻波解的存在性.
2017-02-13 math.AP
Exact and approximate solutions to the Helmholtz, Schrödinger and wave equation in $\mathbf{R}^3$ with radial data
我们推导出非齐次Helmholtz方程$Δu + k^2 u = χ_{B_{x_0,r}} $、薛定谔方程$i\hbar \partial_t u + \frac{\hbar^2}{2m}Δu = 0$和线性波动方程Cauchy问题${\partial_t^2 u - c^2 Δu = 0 }$和$χ_{B_{x_0,r}}$的简单计算的封闭形式解。此外，我们使用这些解决方案，构建明确的近似解时，数据是径向函数的$B_{x_0,r}$，并给出各种误差估计这些近似。
2021-08-18 math.AP
A holographic uniqueness theorem for the two-dimensional Helmholtz equation
该研究针对二维外区域的Helmholtz方程，证明外区域的辐射解可由不平行于平面波传播方向的直线区间上总解的强度唯一确定，解决了二维全息学的经典数学问题，也丰富了二维辐射解的Karp展开理论。
2024-08-09 math-ph math.AP math.MP
A nonlocal fractional Helmholtz equation
本文研究了矩形区域上分数阶近似的二阶椭圆型方程的某些边值问题，其中对合摄动为零。利用谱方法证明了所考虑问题解的存在唯一性定理。
2016-08-06 math.AP
On uniqueness in the inverse obstacle problem via the positive supersolutions of the Helmholtz equation
本文研究了平面波单次入射和波数确定的障碍物声波散射反问题。Colton-Sleeman定理陈述了对于固定波数的单个入射平面波，从散射波的远场图案中具有光滑边界的声音软障碍物的唯一恢复。波数有一个边界，由包含障碍物的开放球中负拉普拉斯算子的第一狄利克雷本征值给出。在本文中，另一个证明的Colton-Sleeman定理，也适用的情况下，我们有一个已知的{ \it无界}集，包含障碍。与原来的证明不同，这里给出的证明不是基于负拉普拉斯算子的第一Dirichlet特征值的单调性。相反，它依赖于一个{ \it正超解}的亥姆霍兹方程在一个已知的域，包含障碍。文中还给出了Colton-Sleeman定理未涉及的新推论。
2019-12-11 math.AP
On the scattered field generated by a ball inhomogeneity of constant index in dimension three
我们考虑标量亥姆霍兹方程的解，其中势（或指数）取两个正值，一个在半径为$\eps$的球内，另一个在球外。在这篇短文中，我们报告最近在[1]中在二维情况下得到的结果可以很容易地推广到三维。特别是，我们提供了尖锐的估计，由这个球的不均匀性所造成的散射场的大小，任何频率和任何对比度。我们还提供了宽带估计，即对于任何对比度以及在使用$\eps$趋于零的集合之外的任何频率，散射场的统一界限。
2012-03-16 math.AP math.CA
Double-Layer Potentials for a Generalized Bi-Axially Symmetric Helmholtz Equation II
双层位势在求解椭圆型方程的边值问题中起着重要的作用。广义双轴对称Helmholtz方程的所有基本解都是已知的，只有第一个基本解才建立了位势理论。在本文中，我们的目标是建立对应于下一个基本解的双层位势理论。利用Appell的一个二元超几何函数的性质，证明了关于双层位势稠密性的极限定理，并导出了积分方程.
2018-07-08 math.AP
Blaschke's rolling ball theorem and the Trudinger-Wang monotone bending
我们重温经典的滚球定理的Blaschke凸曲面的正曲率，并表明，它是链接到另一个包含原则的最佳质量运输理论由于Trudinger和王。我们还讨论了一个应用反射面天线的设计问题。
2015-12-27 math.AP
Third Double-layer Potential for generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation
双层位势在求解椭圆型方程边值问题中起着重要的作用，在研究某一类方程时，需要用到该方程的基本解的性质.广义双轴对称Helmholtz方程的所有基本解都是已知的，只有第一个基本解才建立了位势理论。本文旨在建立与第三基本解相对应的双层位势理论。利用Appell的一个二元超几何函数的性质，证明了关于双层位势稠密的极限定理，并导出了积分方程.
2018-07-02 math.AP
Double-Layer Potentials for a Generalized Bi-Axially Symmetric Helmholtz Equation
双层位势在求解椭圆型方程边值问题中起着重要的作用。在本文中，我们的目的是引入和研究的双层位势的广义双轴对称Helmholtz方程。利用Appell的一个二元超几何函数的性质，证明了关于双层位势稠密的极限定理，并导出了积分方程.
2012-01-30 math-ph math.AP math.MP
Helmholtz Theorem and Uniqueness
本文指出三维空间中向量函数由散度、旋度及无穷远趋于零的条件不足以保证唯一性，并证明需以快于半径负3/2次方的速率趋于零，该条件也决定库仑规范中场的分解唯一性。
2023-11-16 math-ph math.AP math.MP
The Helmholtz equation in random media: well-posedness and a priori bounds
证明了Helmholtz方程$\nabla\cdot(A\nabla u) + k^2 n u = -f$的解的适定性结果和先验界，该方程在$\mathbb{R}^d$中或在星形Lipschitz障碍物的外部，对于一类随机$A$和$n,$随机数据$f$，以及对于所有$k>0$ . $A$和$n$的特殊类以及障碍物上的条件确保了该问题几乎必然是非陷阱的。这些是第一个适定性的结果和先验界的随机Helmholtz方程为任意大的$k$和$A$和$n$变化独立的$k$。这些结果是通过结合最近的界限Helmholtz方程的确定性$A$和$n$和一般参数（即不是特定的Helmholtz方程）本文提出的证明先验界和适定性变分公式的线性椭圆随机偏微分方程。我们强调，这些一般性的结果不依赖于无论是拉克斯-米尔格拉姆定理或Fredholm理论，因为既不适用于随机变分制剂的亥姆霍兹方程。
2020-05-15 math.AP
Dual variational methods and nonvanishing for the nonlinear Helmholtz equation
我们建立了一个对偶变分框架来检测非线性Helmholtz方程$$ -Δu-k^2 u =Q(x)|u|^{p-2}u,\qquad u \in W^{2,p}(\mathbb{R}^N) $$的实驻波解，其中包含$N\geq 3$，$\frac{2(N+1)}{(N-1)}< p<\frac{2N}{N-2}$和非负的$Q \in L^\infty(\mathbb{R}^N)$ .我们证明了周期$Q$以及$Q(x)\to 0$作为$|x|\to\infty$的情况下非平凡解的存在性。在周期性的情况下，该方法的一个关键成分是一个新的非零定理相关的积分方程。我们研究的解决方案是出射波和入射波的叠加，其特征在于由非线性远场关系。
2015-10-28 math.AP
"Potato kugel" for nuclear forces and a small one for acoustic waves
本文将Aharonov，Schiffer和Zalcman的“马铃薯Kugel”定理推广到分别描述核力和声波的修正Helmholtz方程和Helmholtz方程的情形，该定理涉及调和函数的逆性质.
2022-05-17 math.AP
Uniqueness results on phaseless inverse scattering with a reference ball
本文研究了无相位远场Helmholtz方程声逆散射问题的唯一性。一些新的技术被开发出来，以克服平移不变性所引起的单一入射平面波的困难。本文在增加一个参考球作为额外的人工不可穿越障碍物的基础上，可穿透的均匀介质）到反向障碍物（分别介质）散射系统，然后以固定平面波和若干点源的叠加作为入射波，严格证明了障碍物的位置、形状及其边界条件或折射率可由远场模式的模唯一确定。参考球技术结合入射波的叠加带来了几个突出的好处。首先，我们的理论分析框架可以适用于逆障碍物和介质散射问题。其次，对于逆障碍物散射，底层边界条件可以是一般类型的并且是唯一确定的。最后，只需要一个频率。
2018-03-24 math.AP
On bifurcation for semilinear elliptic Dirichlet problems on geodesic balls
研究了测地线球上半线性椭圆型Dirichlet边值问题平凡解分支的分歧，分歧参数为半径。在证明我们的主要定理时，我们还得到了由S.斯梅尔
2013-05-14 math.AP math.DG math.FA
Characterizations of discs via weighted means
证明了欧氏平面$\RR^2$中解析圆的特征定理.修正的Helmholtz方程和调和函数的解的加权平均值性质用于此目的。对数权重的存在减小了平均值恒等式中的系数。加权平均也适用于亥姆霍兹方程的解。
2022-09-21 math.AP
Recursive Analytical Quadrature of Laplace and Helmholtz Layer Potentials in $\mathbb{R}^3$
本文对Laplace和Helmholtz方程的配点边界元法中出现的层势问题，提出了一种多项式形函数的分段平板边界元的解析计算方法。该方法是基于降维通过发散定理和递归计划评估所得的线积分多项式元素（RIPE）。它是用来评估单层，双层，伴随双层，和超奇异的潜力，拉普拉斯和亥姆霍兹内核。它自然地支持几乎奇异，奇异和超奇异积分下一个单一的框架没有单独的修改。开发的框架具有准确性和效率。
2023-02-04 cs.NA math-ph math.AP
Inverse obstacle scattering problem for elastic waves with phased or phaseless far-field data
本文讨论了一个弹性散射反问题，即由平面波单次入射时的相位或无相位远场数据确定刚性障碍物的位置和形状。通过引入Helmholtz分解，将模型问题转化为Helmholtz方程组的耦合边值问题。建立了弹性波方程的压缩或剪切远场模式与耦合亥姆霍兹方程的相应远场模式之间的关系。为了求解该耦合系统，提出了边界积分方程的Nyström型离散方法。证明了无相位压扭远场图象的平移不变性。提出了一个非线性积分方程组，并给出了两种迭代重构方法。特别地，对于无相位数据，为了打破平移不变性，在散射系统中引入了参考球技术。数值实验证明了该方法的有效性和鲁棒性。
2018-11-30 math.AP
Metaharmonic functions: mean flux theorem, its converse and related properties
证明了Helmholtz方程及其修正形式解的平均通量定理。此外，他们的逆被认为是与其他一些属性概括那些保证调和。
2020-04-06 math-ph math.AP math.MP
Far field broadband approximate cloaking for the Helmholtz equation with a Drude-Lorentz refractive index
本文利用变换光学和Drude-Lorentz折射率模型构造Helmholtz方程的近似隐身方案，证明其无法实现完美隐身，但散射场在ε→0时于任意有界频带上一致趋于零，从而实现宽带近似隐身。
2023-04-19 math.AP
On isolated singular solutions of semilinear Helmholtz equation
本文研究半线性Helmholtz方程$$ -Δu-u=Q|u|^{p-1}u \quad{\rm in}\ \ \mathbb{R}^N\setminus\{0\},\ \qquad\lim_{|x|\to0}u(x)=+\infty, $$的孤立奇异解，其中$N\geq 2$，$p>1$和位势$Q: \mathbb{R}^N\to (0,+\infty)$是在无穷远处满足额外衰减条件的Hölder连续函数.给出了Serrin次临界情形下孤立奇点的分类，并利用Schauder不动点定理导出了积分方程$$v_k=Φ\ast\big(Q|kw_σ+v_k|^{p-1}(kw_σ+v_k)\big)\quad{\rm in}\ \, \mathbb{R}^N,$$的孤立奇异解的形式$u_k=kΦ+v_k$，其中$Φ$是实值基本解$-Δ-1$，$w_σ$也是实值解$(-Δ-1)w_σ=δ_0$，且对某些$σ\leq \frac{N-1}{2}$，其无穷远渐近行为受$|x|^{-σ}$控制.
2021-05-26 math.AP
A non-squeezing theorem for convex symplectic images of the Hilbert ball
在球的象是凸的假设下，证明了Gromov的非压缩定理对无限维辛希尔伯特空间上的辛同构成立。证明的基础上的建设对偶方法的一个辛能力的有界凸邻域的起源。我们还讨论了无限维空间上的辛同胚的一些例子，表现出在有限维空间中不可能的行为。
2014-08-18 math.AP math.SG
The radiation condition at infinity for the high-frequency Helmholtz equation with source term: a wave packet approach
我们考虑具有一个给定的源项和一个小的吸收参数$\a>0$的高频Helmholtz方程。高频（或：半经典）参数是$\eps>0$。我们让$\eps$和$\a$同时归零。我们假设零能量对于基本的经典流是非俘获的。我们还假设从原点开始的经典轨迹满足横截性条件，这是一个通用的假设。在这些假设下，我们证明了解$u^\eps$在出射方向上辐射，{ \bf均匀}在$\eps$中.特别是，功能$u^\eps$，方便地重新缩放时，在规模$\eps$接近原点，示出了向{ \bf传出}的亥姆霍兹方程的解决方案，与系数冻结在原点。这提供了限制吸收原理的统一版本（在$\eps$中）。将Helmholtz方程的预解式写成相关的半经典薛定谔传播子的时间积分，我们的分析依赖于以下工具：（i）对于非常大的时间，我们证明并使用Egorov定理的统一版本来估计时间积分;（ii）对于中等时间，我们证明了依赖于波包方法的均匀色散估计，（iii）在小时间下，证明了半经典变系数Schr dinger算子在$\eps$中具有与常系数情形相同的色散性质.
2005-03-16 math-ph math.AP math.MP
Malmheden's theorem revisited
1934年H. Malmheden发现了一个优雅的几何算法解决狄利克雷问题在一个球。虽然他的结果在23年后被达芬独立地重新发现，但似乎仍然没有广为人知。在本文中，我们回到Malmheden定理，给出该结果的另一种证明，该结果允许推广到多调和函数，并且还讨论了他的定理在欧几里得空间中球的调和测度的几何性质中的应用。
2009-08-14 math.AP math.CV
Inverse localization and global approximation for some Schrödinger operators on hyperbolic spaces
考虑$d$维常曲率双曲空间$-κ^2$上的某些薛定谔算子的高能本征函数是否足够灵活，以在由本征值$λ\gg 1$确定的自然长度尺度$O(λ^{-1/2})$上，逼近$\mathbf{R}^d$上的Helmholtz方程$Δh+h=0$的任意解.这个问题的动机是这样一个事实，即通过局部外尔定律的渐近性，近似拉普拉斯本征函数在任何紧致黎曼流形上都具有这种近似性质。本文主要研究双曲空间$\mathbf{H}^d(κ)$上的库仑和谐振子算子。由于这些算子的束缚态空间的维数随着$κ$趋于0而趋于无穷大，人们可以希望通过一些先验不固定的$κ> 0$的本征函数来近似亥姆霍兹方程的解。我们的主要结果表明，在适当的假设下，情况确实如此。我们还证明了Helmholtz方程在紧致集外等距于双曲空间的流形上的一个带衰减的整体逼近定理，并考虑了它在$\mathbf{H}^d(κ)$热方程研究中的应用.虽然整体逼近和逆逼近的结果在理论上是相关的，因为这两个定理都探索了双曲空间上椭圆方程解的柔性性质，但我们将看到，这些定理背后的基本思想是非常不同的。
2022-02-04 math-ph math.AP math.MP
