Logarithms and Volumes of Polytopes
描述的几何对偶振幅面体没有参考一个特定的三角是一个开放的问题。本文介绍一种确定树能级NMHV对偶振幅面体体积的新方法。我们表明，某些轮廓积分的cromms作为自然的积木计算这个体积以及一般多面体的体积在任何维度。这些积木编码的几何形状的基础多面体在一个三角独立的方式，并使不同的振幅表示之间的身份证明。
2016-12-21 hep-th
Positive Amplitudes In The Amplituhedron
平面N = 4 SYM中散射振幅的全回路被积函数由振幅面边界上具有对数奇点的“振幅形式”确定。在本说明中，我们提供了强有力的证据，一个新的惊人的性质的超级振幅，我们推测是真实的所有循环订单：振幅形式是积极的，当评估内的振幅面体。由于与振幅面体几何相关的超级振幅的自然“玻色子化”，该陈述被合理地制定。然而，这种积极性并没有表现在任何当前的散射振幅的方法，特别是没有在有关的壳上图和正格拉斯曼的振幅面体的细胞。令人惊讶的积极性的形式表明存在一个“双振幅面体”的制定，这一特点将是显而易见的。我们还建议，积极性是与一个扩展图片的振幅面体几何形状，与振幅面体坐在一个共同的维度一个表面分离的振幅的“合法”和“非法”的局部奇点。我们说明了这在几个简单的例子，获得新的表达式的振幅不与任何三角剖分，但以下在一个更不变的方式从一个全球性的观点的正几何。
2014-12-29 hep-th
The orthogonal momentum amplituhedron and ABJM amplitudes
本文介绍了ABJM理论中三能级散射振幅的动量空间振幅面。我们证明了散射振幅可以被识别为正正交格拉斯曼和矩曲线的乘积所给出的空间上的标准形。这个空间的余维1边界仅仅是奇数粒子的平面曼德尔维变量，而偶数粒子的对应物被“隐藏”为更高的余维边界。值得注意的是，这个空间同样可以通过一系列“符号翻转”的要求，预计外部数据，相同的“一半”四维$\mathcal{N}=4$超级杨米尔斯理论（sYM）。因此，在精确意义上，ABJM的几何形状位于$\mathcal{N}=4$ sYM的边界上。我们通过八个点验证了这种关系，表明振幅的BCFW三角剖分瓦片的振幅面体。在ABJM理论的$\mathcal{N}=4$形式体系中，使用格拉斯曼振幅公式自然导出标准形式。
2022-01-28 hep-th
Parity duality for the amplituhedron
（树）振幅面体$\mathcal A_{n,k,m}(Z)$是Arkani-Hamed和Trnka在2013年为了研究$N=4$超对称Yang-Mills理论中的散射振幅而引入的格拉斯曼的某个子集。证明了第一作者的一个猜想，当$m$是偶数时，仿射置换的集合对于任何$Z\in \operatorname{Gr}_{>0}(k+m,n)$都产生$\mathcal A_{n,k,m}(Z)$的三角剖分当且仅当它们的逆的集合对于任何$Z\in\operatorname{Gr}_{>0}(n-k,n)$都产生$\mathcal A_{n,n-m-k,m}(Z)$的三角剖分。我们证明了这种对偶使用扭转地图的马什和斯科特。我们还表明，该映射保持了与相应的正向胞相关的正则微分形式，从而获得了幅面体微分形式的宇称对偶。
2018-05-02 hep-th math.AG math.CO
An Etude on Recursion Relations and Triangulations
在双伴随\cite{Arkani-Hamed:2017thz}理论的基础上，通过对运动学变量进行单参数变形，导出了树能级散射振幅的递推关系。递归依赖于振幅的属性，可以在基本的运动学协面体中表现出来，并为后者提供三角剖分。进一步，我们解决了这个递推关系，并给出了振幅的全重性结果：通过将伴随面体的顶点重新表示，它被明确地表示为任意三角剖分的单形的“体积”之和，这是${\cal N}=4$ SYM的振幅面体的BCFW表示/三角剖分的类比.
2019-05-27 hep-th
The Amplituhedron from Momentum Twistor Diagrams
本文提出了一种新的全环散射振幅/威尔逊圈的平面N=4 SYM的图解公式，称为“动量扭量图”。这些是通过粘合定义在动量扭量空间中的三价黑白顶点而获得的壳上图，在简化图的情况下，已知这些顶点与原始扭量空间中的图有关。新的图表是明显的杨安不变，他们自然代表因式分解和前向极限的贡献，在所有循环BCFW递归关系的动量扭量空间，在一种完全不同的方式，从那些在动量空间。我们将展示如何构建和评估动量扭量图，以及如何使用它们来获得树级振幅和循环级被积;特别是对于后者，我们确定了一个孤立的泡沫结构，每个循环变量，所产生的向前限制，或纠缠去除粒子。从一个给定的图表，可以直接读出的C，D矩阵通过一个广义的“边界测量”，这反过来又确定了一个细胞的振幅相关的振幅面体，和我们的图形表示的振幅可以提供三角形的振幅面体一般非常复杂的几何形状。为了证明该形式的计算能力，我们给出了一般双环被积函数的显式结果以及双环MHV振幅的完整振幅面的单元。
2014-08-11 hep-th
Evidence for a Nonplanar Amplituhedron
平面N = 4 super-Yang-Mills系统的散射振幅表现出一些显著的解析结构，包括对偶共形对称性和被积函数的对数奇异性.振幅面体是包含这些结构的被积函数的几何构造。这种几何构造进一步意味着通过将振幅约束为在伪残差上消失来完全指定振幅。通过写在dlog的基础上的振幅，我们提供了非平凡的证据，这些分析性质和“零条件”结转到非平面部门。这表明振幅面体的概念可以推广到N = 4超杨-米尔斯理论的非平面扇区。
2015-12-29 hep-th
The m=2 amplituhedron and the hypersimplex: signs, clusters, triangulations, Eulerian numbers
MIT（麻省理工学院）
研究超单纯形与振幅体通过T - 对偶的联系，利用定向拟阵等思想，证明相关猜想，如正roid多胞体与T - 对偶格拉斯托普斯三角剖分关系等，还证明了关于振幅体的符号翻转等猜想并引入新簇结构。
2026-07-27 hep-th math-ph math.AG
Amplituhedron meets Jeffrey-Kirwan Residue
树振幅面体$\mathcal{A}_{n,k}^{(m)}$是将多面体的概念推广到格拉斯曼的数学对象。提出$m=4$作为一个几何结构编码树级散射振幅在平面$\mathcal{N}=4$超级杨米尔斯理论，他们是数学上有趣的任何$m$。在本文中，我们加强了散射振幅和几何之间的关系，通过连接的振幅面的Jeffrey-Kirwan剩余，一个强大的概念，辛几何和代数几何。我们专注于一类特殊的振幅面体在任何层面上，即循环多面体，和他们的偶数维共轭。我们展示了如何杰弗里-基尔万残留处方允许提取正确的振幅体体积函数在所有这些情况下。值得注意的是，这也自然地暴露了幅面体的丰富的组合和几何结构，例如它们的规则三角剖分。
2018-05-03 hep-th math-ph math.MP
Tree-level scattering amplitudes from the amplituhedron
量子场论中的一个中心问题是散射振幅的计算。然而，传统的方法是不切实际的计算高阶唯象相关的可观测量。基于几十年来在发展非标准计算技术方面取得的惊人进展，最近已经证实，平面N=4超杨米尔斯的振幅由（对偶）振幅面体的体积给出。在树的层次上对这一问题进行了介绍之后，我们讨论了一类特殊的微分方程，它们服从相应的体积形式。特别是，我们展示了他们如何完全固定的振幅面体体积下到最大螺旋违反散射振幅。
2016-12-19 hep-th
Positivity Sectors and the Amplituhedron
我们开始一个详细的调查组装简单的振幅面像积木，以获得物理感兴趣的空间。特别是，我们描述的几何过程中，通过构建块，我们称之为积极部门，胶水在一起，形成所需的几何形状。正扇区被视为自然分割描述单圈振幅的L次幂的空间。通过这种方式，我们可以很好地理解构建块的几何复杂性如何在更大空间的形成中被淘汰。相反，我们开发的工具使我们能够形成更复杂的空间，这个过程对于从三角剖分构建振幅面体至关重要，这仍然是一个重要的悬而未决的问题。我们提出了完整的边界结构的所有积极部门有关的三圈振幅面体。我们还构建了一个实用的算法，实现了所需的几何组装的积极部门，并提供支持Mathematica文件，包含在三个循环的所有积极部门的完整边界结构。
2016-01-11 hep-th math-ph math.AG
4-particle Amplituhedronics for 3-5 Loops
本文沿着1712.09990和1712.09994的方向，从正几何的角度，继续挖掘4粒子振幅面体的更多有趣的方面，以便更好地理解平面N=4 SYM对所有圈阶的4粒子被积函数。在3-loop顺序，我们引入了一个更精细的解剖的振幅面体，以了解其基本结构，并最大限度地简化其直接计算，通过充分利用其对称性以及有效的蒙德里安方式重组所有贡献件。虽然有了很大的改进，但这种方法在4环上立即遇到了技术瓶颈。尽管如此，我们还是设法通过模仿传统的（广义的）么正割来减轻这个困难，这就是所谓的正割。给定一个对偶共形不变（DCI）环积分的基，利用其dlog形式通过正性条件求出每个DCI拓扑的系数。明确的例子包括所有2+5非梯级规则拓扑分别在4和5循环。这些结果与前人的研究结果非常吻合，证实了振幅面到5圈的有效性，并提出了一种确定每个不同DCI圈积分系数的新方法。
2019-05-09 hep-th
The ABJM Momentum Amplituhedron -- ABJM Scattering Amplitudes From Configurations of Points in Minkowski Space
本文定义 ABJM 圈动量振幅多面体，将对偶动量空间中的几何转化为弯曲多面体内的类空点构型，提出典范微分形式给出振幅被积函数的猜想，并给出单圈新公式及两圈奇异性解释。
2023-07-07 hep-th
An All-Loop Amplituhedron in Two Dimensions
Institute for Particle and Nuclear Physics, Charles University（粒子与核物理研究所，查理大学）
本文研究了二维闵氏空间中循环幅角的推广，通过光锥几何框架计算其规范形式，并发现其对应于无质量香蕉图。通过积分得到全环阶的红外发散结构，最终得到非微扰闭合形式解。
2026-03-31 hep-th
Unwinding the Amplituhedron in Binary
我们提出了新的，从根本上组合和拓扑特征的振幅面体。在通过振幅面体投影外部数据时，所得到的点的配置具有指定的（和最大的）广义“缠绕数”。同样，振幅面体可以完全用二进制描述：几何体向下到一维的规范投影具有投影数据的指定（和最大）数量的“符号翻转”。散射振幅的局域性和么正性很容易作为这个二进制码的基本结果导出。最小缠绕定义了振幅面体的自然“对偶”。这幅图给了我们一个振幅面体在矢量空间（物理学中的动量扭量空间）中点位形空间中的化身，一个正则振幅面体形式的新解释，以及一个作为物理运动学数据空间上的微分形式的平面N = 4 SYM中散射超振幅的直接玻色子理解。
2017-04-17 hep-th math.CO
All-loop Mondrian Diagrammatics and 4-particle Amplituhedron
基于1712.09990在3-loop处处理4粒子振幅面体，我们发现了一个非常简单的模式，但比人们自然预期的要重要得多：全loop蒙德里安几何学。通过进一步简化和改写振幅面体设置的正性的关键关系，值得注意的是，我们发现了一个完整的关系统一的所有图的蒙德里安类型的4粒子的平面N=4 SYM的被积函数的所有循环的订单，其中每一个可以映射到一个简单的产品以下几个简单的规则设计的关系。我们研究的显式例子涵盖了从3-loop到7-loop的顺序，并在此基础上，我们将蒙德里安图的基本模式分为四种类型：阶梯，十字，砖墙和螺旋模式。有趣的是，对于某些特殊的有序子空间组合（在以前的工作中定义的一个概念），我们发现了失败的例外的完整性关系，这被称为“异常”，但它们实质上给出了提示的全循环递归证明这个关系。这些调查是密切相关的组合学知识的可分离排列和施罗德数，并进一步从图解的角度来看。对于物理相关性，我们需要进一步考虑两个基本图形模式的对偶共形不变性，以校正涉及一个或两个这样的模式的局部被积函数的分子，而分母编码其极点结构和符号因子，已经由完备性关系的规则固定。通过这种额外的处理来确保积分是对偶共形不变的，每个蒙德里安图可以在所有允许它的有序子空间上求和后精确地转换为相应的物理循环被积函数。
2018-06-20 hep-th
Nonperturbative Negative Geometries: Amplitudes at Strong Coupling and the Amplituhedron
振幅面决定散射振幅在平面${\cal N}=4$超级杨米尔斯由一个单一的“正几何”的空间中的运动学和循环变量。我们研究了一个密切相关的定义的振幅面体的最简单的情况下，四粒子散射，作为一个总和超过互补的“负几何”，这提供了一个自然的几何理解的指数的红外（IR）发散，以及红外有限可观测${\cal F}(g,z)$的新几何定义-双重解释为零多边形威尔逊圈的期望值与一个单一的拉格朗日插入-这是直接由这些负的几何形状。这提供了一个长期寻求的正（负）几何的规范形式之间的直接联系，和一个完全IR有限的后环积分观察到的依赖于一个单一的运动学变量$z$，从中尖点异常尺寸$Γ_{\rm cusp}(g)$也可以直接获得。我们研究了一个特别简单的类的负几何在所有的循环顺序，与一个“树”结构的负性条件，其中的贡献${\cal F}(g,z)$和$Γ_{\rm cusp}$可以很容易地确定一个有趣的非线性微分方程紧接着从组合的负几何。这使我们可以计算这些“树”对${\cal F}(g,z)$和$Γ_{\rm cusp}$的贡献，以得到所有“t Hooft”耦合值。$Γ_{\rm cusp}$的结果显著地共享使用可积性获得的已知精确结果的所有主要定性特征。
2021-12-13 hep-th
Exterior Cyclic Polytopes and Convexity of Amplituhedra
本文引入可扩张凸性与外循环多面体，证明 k=m=2 的 amplituhedron 在 Grassmann 流形中可扩张凸，并构造经 twist 映射改变数据的对偶 amplituhedron。
2025-07-23 hep-th math-ph math.CO
The positive tropical Grassmannian, the hypersimplex, and the m=2 amplituhedron
从格拉斯曼到超单形的矩映射的研究，以及环面轨道和拟阵多面体之间的关系，可以追溯到1987年Gelfand-Goresky-MacPherson-Serganova的基础工作。另一方面，振幅面体是一个非常新的对象，由Arkani-Hamed-Trnka在与$\mathcal{N}=4$超级杨-米尔斯理论中的散射振幅有关的情况下定义。本文发现了从正格拉斯曼$Gr^{\geq0}_{k+1,n}$到超单形的矩映射$μ:Gr^{\geq0}_{k+1,n}\toΔ_{k+1,n}$与从$Gr^{\geq0}_{k,n}$到$m=2$幅面体的幅面映射$\tilde{Z}:Gr^{\geq0}_{k,n}\to\mathcal{A}_{n,k,2}(Z)$之间的对偶性.我们认为这两个对象的正像解剖，非正式地说，是$Δ_{k+1,n}$（分别为$\mathcal{A}_{n,k,2}(Z)$）的细分成一个不相交的工会的正格拉斯曼细胞的图像。乍一看，$Δ_{k+1,n}$和$\mathcal{A}_{n,k,2}(Z)$似乎非常不同-前者是$(n-1)$维多面体，而后者是$Gr_{k,k+2}$的$2k$维非多面体子集。然而，我们猜想，正拟剖分的$Δ_{k+1,n}$是双射与正拟剖分的$\mathcal{A}_{n,k,2}(Z)$通过一个地图，我们称之为T-对偶。我们证明了这个猜想的（无限）类B…
2021-11-11 hep-th math.AG math.CO
Positive Geometries for Scattering Amplitudes in N=4 SYM and ABJM
本文利用正几何框架研究了N=4 SYM和ABJM理论中的散射振幅，详细论述了多种几何的边界分层与奇点结构，并建立了基于光锥交集的新框架以描述圈级几何，导出了单圈被积函数的通用公式。
2024-09-23 hep-th math.AG math.CO
The Two-loop MHV Momentum Amplituhedron from Fibrations of Fibrations
本文提出将双圈纤维几何视为单圈运动学数据和第一圈动量位置的纤维化，刻画单圈腔室并给出典范形式，从而得到双圈 MHV 积分的新公式。
2024-07-17 hep-th math.CO
Positive Geometries for One-Loop Chiral Octagons
受振幅面体拓扑符号翻转定义的启发，我们引入了与平面$\mathcal{N}=4$超杨-米尔斯理论中单圈散射振幅相关的相似但不同的正几何.最简单的几何形状是那些最大数量的符号翻转，原来是与手征八角形先前研究的背景下，红外（IR）有限，纯和双保形不变的局部积分。我们的结果桥现代振幅程序的两个不同的主题：正几何和费曼积分。
2020-07-23 hep-th
Determinants in self-dual N=4 SYM and twistor space
本文研究自对偶 N=4 SYM 中超对称行列式算符关联函数，提出扭量空间表示并借助矩阵对偶化为矩阵积分，验证十维对称性猜想并给出次数四的新公式。
2023-04-24 hep-th
Triangulations and Canonical Forms of Amplituhedra: a fiber-based approach beyond polytopes
任何完全正的$(k+m)\times n$矩阵都导出一个从正的格拉斯曼${\rm Gr}_+(k,n)$到格拉斯曼${\rm Gr}(k,k+m)$的映射$π_+$，其像是幅面体$\mathcal{A}_{n,k,m}$，并被赋予称为标准形${\bfΩ}(\mathcal{A}_{n,k,m})$的最高次形式。这个结构是由Arkani-Hamed和Trnka引入的，他们在那里证明了${\bfΩ}(\mathcal{A}_{n,k,4})$编码了$\mathcal{N}=4$超级杨-米尔斯理论中的散射振幅。此外，${\bfΩ}(\mathcal{A}_{n,k,m})$的计算减少到寻找三角剖分的$\mathcal{A}_{n,k,m}$。然而，尽管多面体的三角剖分完全被它们的次级多面体捕获，但对多面体之外的物体的三角剖分的研究仍然不发达。我们开始的$\mathcal{A}_{n,k,m}$细分的几何研究，并提供了一个具体的双有理参数化纤维的$π: {\rm Gr}(k,n)\dashrightarrow {\rm Gr}(k,k+m)$。然后，我们使用它来明确地描述一个合理的顶级形式$ω_{n,k,m}$（简单的极点）的纤维和计算${\bfΩ}(\mathcal{A}_{n,k,m})$作为某些残留的总和$ω_{n,k,m}$。作为我们的方法的主要应用，我们开发了一个结构良好的二级振…
2021-09-29 hep-th math.AG math.CO
Amplituhedra and origami, II: loop level
Cornell University（康奈尔大学）；University of California, Los Angeles（加州大学洛杉矶分校）
基于折纸-振幅多面体对应，证明了BCFW细胞在所有圈阶上完全三角剖分m=4振幅多面体，并发展了正Grassmannian的两种L-穿孔扩展并通过T-对偶关联。
2026-10-30 hep-th math-ph math.AG
Spectral Analysis of Causal Dynamical Triangulations via Finite Element Method
本文提出基于有限元方法的新表示，提取Laplace-Beltrami算符谱，发现对偶图表示的谱和谱维度通常与连续空间结果不一致，并分析了该差异对构建可观测量的影响。
2023-07-10 gr-qc hep-lat hep-th
Positive Singularities and Volumes in Scattering Amplitudes
Max Planck Institute for Physics（马克斯·普朗克物理研究所）
本论文围绕正几何，从对偶体积表示、圈级振幅奇点结构、朗道奇点与簇代数的猜想关系三方面展开研究，确立正几何为散射振幅的分析与几何组织提供统一语言。
2026-08-18 hep-th math.AG
Analytic Dual Resonance and the String Bootstrap
Westlake University（西湖大学）
本文提出解析对偶共振（ADR）条件，通过极点求和与配对关系唯一确定标量弦振幅，并验证高维捏合关系，揭示弦相互作用唯一性的解析基础。
2026-10-02 hep-th
Prescriptive Unitarity from Positive Geometries
本文在对偶动量的四维分裂符号空间中定义了动量Amplituhedron，利用该几何的规范微分形式推导出N=4超Yang-Mills的单圈振幅积分核新公式，并证明其与prescriptive unitarity结果一致，使该幺正性方法自然涌现。
2023-08-04 hep-th
A Note on Polytopes for Scattering Amplitudes
本文继续研究广义动量扭量空间中散射振幅的多面体图，其中振幅与多面体的体积有关。通过一个简单的热身例子来说明CP^2中多边形的初等几何的基本思想，然后我们将1-圈MHV被积函数解释为CP^3 × CP^3中多面体的体积，可以将其看作是通过在乘积的每个CP^3中取威尔逊圈的几何对偶而得到的空间。然后，我们回顾了NMHV树振幅的多胞形图像，并给出了一个更直接、更内在的定义，即威尔逊环多边形的一个典型“正方形”的几何对偶，它存在于动量扭量空间向CP的某种扩张中^[4]。在这两种情况下，一类自然的多面体三角剖分产生了振幅的BCFW/CSW表示;另一类三角剖分产生了一种引人注目的新形式，它既非常简单，又明显是循环的和局部的。
2010-12-29 hep-th
Amplituhedra and origami, I: tree level
Cornell University（康奈尔大学）；University of California, Los Angeles（加州大学洛杉矶分校）
本文建立了 m=4 树动量 amplituhedron 的点与折纸折痕图案之间的精确对应关系，并应用此对应证明了 BCFW 胞腔在动量空间和动量-twistor 空间中三角剖分 m=4 树 amplituhedron，同时证明了每个非退化加权平面二分图 Γ 存在 t-嵌入。
2026-10-30 hep-th math-ph math.AG
R-torsion and linking numbers from simplicial abelian gauge theories
构造了拓扑阿贝尔规范理论的简化形式，它再现了联结环的配分函数和Wilson期望值的连续表示，分别用R-挠率和联结数表示.新的功能，使这成为可能的是引进单纯领域（上链）与对偶三角形的背景流形，以及与三角形本身。这种场的加倍，让人想起晶格费米子加倍，是必需的，因为霍奇星算符的自然单纯模拟映射在三角剖分的上链和对偶三角剖分的上链之间。Hodge-de Rham理论的单纯模拟的开发，以及一个自然的单纯的框架，考虑连接数的框架循环。当回路表示流形的同调的扭转元素时，则对于理论的耦合参数的某些离散值，Q/Z值扭转配对出现在连接数的位置。
1996-12-01 dg-ga hep-lat hep-th
Critical line of the Ising model on 2-dimensional CDT and its dual
本文研究了伊辛模型与二维因果动力学三角模型的退火耦合。在对以前的结果作了简短的回顾之后，我们证明了所谓的临界线的存在性，并得到了它的解析性质和渐近性质。此外，模型和它的对偶之间的关系进行了研究。
2015-12-18 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Quantum Gravity and Matter: Counting Graphs on Causal Dynamical Triangulations
非微扰量子引力模型面临的一个突出挑战是在几何和物质强耦合的情况下对物理现象的一致性表述和定量评估。在开发了适当的技术工具之后，人们感兴趣的是测量和分类几何的量子涨落如何改变物质的行为，与固定背景几何相比。在二维的简化背景下，我们展示了如何发明的方法来分析的临界行为的自旋系统的平面晶格可以适应波动的合奏弯曲时空的因果动力三角（CDT）的方法量子引力。我们开发了一个系统的嵌入式图形计数，以评估在高温和低温膨胀的重力物质模型的热力学函数。对于伊辛模型，我们计算了磁化率在CDT晶格上的级数展开式，并利用比值法、Dlog Padé和微分近似进行了分析.除了提供证据简化模型的分析结构，由于动态性质的几何形状，介绍的技术可以进一步阐明的标准à拉哈里斯和运气的影响随机几何的关键属性的物质系统。
2006-11-14 gr-qc hep-lat hep-th
2d Ising Critical Couplings from Quantum Gravity
利用二维伊辛模型与三维量子引力的全息对偶公式，推导出有限三价图伊辛零点的几何表达式，并在热力学极限下给出等径图的临界耦合，揭示了统计力学与量子几何的新关联。
2024-05-29 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
