Positive Braid Links with Infinitely Many Fillings
Honghao Gao, Linhui Shen, Daping Weng
该研究证明了非同痕于标准有限型链环的正辫Legendrian链环存在无穷多精确拉格朗日填充，推进了相关拓扑领域研究。
我们证明，任何不同痕于标准有限型链环的正辫勒让德链环都容许无穷多精确拉格朗日填充。
We prove that any positive braid Legendrian link not isotopic to a standard finite type link admits infinitely many exact Lagrangian fillings.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A non-degenerate exchange move always produces infinitely many non-conjugate braids
我们表明，如果一个链接$L$有一个封闭的$n$ -辫子代表承认非退化的交换移动，交换移动，不明显保持共轭类，$L$有无限多个非共轭封闭$n$ -辫子代表。
Completing Artin's braid group on infinitely many strands
推广了拓扑基本群，给出了一个拓扑完备的辫群，它包含了Artin的辫群在无穷多股上的收敛性：一个辫序列b（n）收敛到平凡辫当且仅当对于每个M>0，最终b（n）的前M股是平凡的.
Augmentations, Fillings, and Clusters
该研究用弗洛尔理论证明正辫子勒让德链环的增广簇是簇K2簇，其大量正合拉格朗日填充对应簇种子，还解决了非ADE型正辫子勒让德链环的无限填充问题。
Fillings of genus-1 open books and 4-braids
我们证明了存在支集亏格为1的切触3-流形，它允许无穷多个Stein填充，但不允许任意大的Stein填充。这些Stein填充产生于具有不同同调群的亏格-1容许Lefschetz纤维化，所有填充支持边界接触3-流形的固定最小亏格开书。与此相反，我们观察到，只有200多种可能性的同调群的Stein填充给定的接触3-流形的支持亏格为零。我们还表明，有4股辫子承认无限多个不同的Hurwitz类的拟正因子分解，特别是产生一个无限家庭的打结复杂的解析annuli在4球绑定相同的横向链接到横向合痕。这些实现了最小的可能的例子中的边界组件的数量属-1映射类和数量的股辫可以有无限多的积极/quasipocitative因式分解。
A new family of infinitely braided Thompson's groups
我们提出了一个推广的Dehornoy-Brin辫子汤普森群$BV_2$，使用递归辫子。对于所有$n\geq 2,r\geq 1$和$H \leq \mathcal{B}_n$，我们的新群用$BV_{n,r}(H)$表示，其中$\mathcal{B}_n$是$n$链上的辫群。利用链图给出了辫子Thompson群的一种新的处理方法。我们表明，如果$H$是顺时针生成的，则$BV_{n,r}(H)$是顺时针生成的。
Higher-dimensional contact manifolds with infinitely many Stein fillings
对任意整数$n\geq 2$，我们构造了一个Stein可填充的接触$(4n-1)$ -流形的无限族，其中每个流形允许无穷多个两两同伦不等价Stein填充.
Planar contact 3-manifolds with infinitely many Stein fillings
研究由平面开书支撑的闭接触三维流形，通过证明其有无穷多个两两非同胚的斯坦因填充，回答了K3问题4.105，并得出存在特定接触三维流形的相关推论。
The Classification of Dehn fillings on the outer torus of a 1-bridge braid exterior which produce solid tori
令$K= K(w,b,t)$为实心环面$V$中的1桥辫，且令$γ$为$K$的外部$M_K$的环面$T = \partial V$上的$(p,q)$曲线。它将显示，Dehn填充$T$沿$γ$产生一个坚实的环面，当且仅当$p$和$q$满足由结$K$的参数$(w,b,t)$确定的四个条件之一。这解决了Menasco和Zhang提出的Dehn填料的分类问题。
Exchange moves and braid representations of links
我们证明，在相当一般的条件下，迭代交换移动给无穷多个非共轭辫子。因此，每一个纽结都有无穷多个n-辫表示的共轭类当且仅当它有一个允许交换移动的共轭类。
Infinitely many small exotic Stein fillings
证明了存在无穷多个b_2=2的单连通紧致Stein 4-流形，使得它们都是同胚但互不同胚的，并且它们在边界上是同一切触3-流形的Stein填充.我们还描述了他们的身体图片。
On $1$-bridge braids, satellite knots, the manifold $v2503$ and non-left-orderable surgeries and fillings
我们定义了非平凡纽结的性质（D）。我们证明了在具有性质（D）且斜率为$\frac{p}{q}\ge 2g(K)-1$的纽结$K$上通过Dehn手术得到的流形的基本群不是左可序的.充分利用不动点方法，证明了：（1）作为正$1$桥辫闭包的非平凡纽结具有性质（D）;（2）具有正$1$桥辫模式的L-空间卫星纽结具有性质（D）;（3）在$v2503$上用Dehn填充得到的流形的基本群不是左可序的.此外，我们还证明了L-空间$T_{p,kp\pm 1}^{l,m}$形式的扭曲环面纽结是正$1$ -桥辫的闭包.
Braid Loops with infinite monodromy on the Legendrian contact DGA
我们提出的第一个例子中的元素的基本群的Legendrian链接的空间中的标准接触3-球的Legendrian接触DGA的作用是无限的顺序。这使我们能够构建第一个家庭的勒让德链接，可以证明承认无限多拉格朗日填充的弗洛尔理论技术。这些家族包括第一个已知的具有无限多个填充物的Legendrian链接，这些填充物不是正辫子的彩虹闭合，以及迄今为止已知的具有无限多个填充物的最小Legendrian链接。我们讨论了如何使用我们的例子来构建其他链接无限多填充，特别是给第一Floer理论证明，Legendrian（n，m）环面链接有无限多拉格朗日填充，如果n是大于3和m大于6，或（n，m）=（4，4），（4，5）。此外，对于任何给定的高等亏格，我们构造了一个Weinstein 4-流形同伦的2-球面，其包裹的degenaya范畴可以区分无穷多个确切的闭拉格朗日曲面的该亏格。我们的研究结果背后的一个关键技术成分是一个新的组合公式的可分解的协边映射Legendrian接触DGAs与整数（组环）系数。
Infinitely many Lagrangian fillings
证明了标准切触3-球中除（2，m），（3，3），（3，4）和（3，5）外的所有极大tb勒让德环面链（n，m）在标准辛4-球中允许无穷多拉格朗日填充.这是证明通过构建无限阶拉格朗日协调诱导的模群PSL（2，Z）和映射类群M（0，4）的忠实行动到坐标环的代数簇相关联的勒让德环节。我们的结果意味着存在具有指数增长子群的拉格朗日协调幺半群，并且产生Stein曲面同伦于具有无穷多个不同的高亏格的精确拉格朗日曲面的2-球面.我们还表明，存在无限多的卫星和双曲结与勒让德代表承认无限多的确切拉格朗日填充。
Every cusp singularity link admits infinitely many strong symplectic fillings
本文证明孤立复曲面奇点的链环（若为Sol^3或SL(2;R)流形）具有无穷多个互不同胚且非爆破相关的强辛填充，进而推出所有尖点奇点链环都有无穷多个极小强辛填充。
Partial twists and exotic Stein fillings
我们给出了一个算法，产生无穷多个成对的异国情调的Stein填充相同的接触3-流形，应用积极的允许Lefschetz纤维化的磁盘。作为推论，对于一个大类Stein填充，我们实现了每个填充的拓扑不变量（即基本群、同调群、边界的同调群和交形式）为无穷多个两两奇异Stein填充的拓扑不变量.此外，应用该算法，我们产生各种接触3支亏格流形，其中每一个承认无限多对异国斯坦填充。
Seifert vs slice genera of knots in twist families and a characterization of braid axes
沿着不相交的未结$c$扭转$S^3$中的结$K$产生由整数索引的结的扭转族$\{K_n\}$。通过比较Seifert亏格$g(K_n)$和片亏格$g_4(K_n)$在扭曲下的行为，证明了：如果$g(K_n) - g_4(K_n) < C$对某个常数$C$对无穷多个整数$n > 0$或$g(K_n) / g_4(K_n) \to 1$为$n \to \infty$，则$K$关于$c$的缠绕数为零或缠绕数等于缠绕数.作为一个关键应用，如果$\{K_n\}$或镜像扭曲系列$\{\overline{K_n}\}$包含无限多个紧密纤维结，则必须出现后者。进一步证明了$c$是$K$的编织轴当且仅当$\{K_n\}$和$\{\overline{K_n}\}$都包含无穷多个紧密的纤维结。我们还给出了$\{ K_n \}$包含无穷多个L-空间节点的充要条件，并证明了（模猜想）卫星L-空间节点是辫状卫星.
Non-braid positive hyperbolic $L$-space knots
本文研究非辫正超流体L-空间结，构造了无限多个此类结，证明其非辫正性，与Baker和Kegel的例子不同。
Singularity links with exotic Stein fillings
在最近的论文Akhmedov，Etnyre，马克和史密斯，它表明，存在无穷多个接触塞弗特纤维3流形，其中每个承认无穷多个奇异的（同胚，但成对非同胚）简单连接Stein填充。在这里，我们将这一结果推广到一个更大的一组接触塞弗特纤维3流形与许多奇异纤维，并观察到这些3流形的奇异链接。此外，我们证明了Stein填充诱导的切触结构是这些奇异杆上的正则切触结构。因此，我们通过提供孤立的复杂表面奇点的例子来验证安德拉斯·内梅蒂的预测，这些奇点与它们的规范切触结构的联系允许无限多的奇异的简单连接的斯坦填充。此外，对于无穷多个接触奇异杆和每个正整数n，我们还构造了一个具有固定基本群$\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}_n$的奇异Stein填充的无限族.
The Bennequin number of n-trivial closed n-braids is negative
Bennequin的一个著名结果表明，对于任何代表解开的辫子，Bennequin数都是负数。我们将这个结果推广到所有的n-平凡闭n-辫子。这是一类在取镜像下闭的无穷多个纽结。我们的证明依赖于Homfly多项式的非标准参数化。
Obstructing Lagrangian concordance for closures of 3-braids
我们表明，任何结，这是顺利关闭的3-辫子不能拉格朗日和谐的最大Thurston-Bennequin Legendrian unknot，除了unknot本身。我们的障碍来自于绘制$S^3$中纽结的循环分支双覆盖的特殊辛填充的Weinstein体图。我们利用图中链环的Legendrian接触同调微分分次代数来计算这些填充的辛同调，从而导出一个矛盾。作为推论，我们找到了一个无穷族的切触流形，它们是有理同调球面，但不嵌入$\mathbb{R}^4$作为切触型超曲面。
Khovanov-Rozansky homology and the braid index of a knot
我们证明了一个结的存在，其辫子指数Morton-Franks-Williams不等式未能检测到，但相关的不等式（KR-MFW不等式），它使用了新的信息Khovanov-Rozansky同源，检测。我们还证明，通过例子，存在无穷多个结的KR-MFW不等式未能检测到的辫子指数。
The dealternating number and the alternation number of a closed 3-braid
给出了闭3-辫子的去交错数的一个上界。作为应用，我们确定了一些闭正3-辫的去交错数、交错数和Turaev亏格。我们还证明了存在无穷多个具有任意去交错数（或任意交错数）和任意辫指数的正纽结。
A note on Stein fillings of contact manifolds
本文构造了一类切触3-流形的无穷族的无穷多个不同的单连通Stein填充。
Braid ordering and the geometry of closed braid
研究了辫序与其闭包几何的关系。我们证明了，如果闭辫的补空间中的本质闭曲面$F$相对于辫的Dehornoy底具有较小的亏格，则$F$在Birman-Menasco的辫叶理论意义下是圆叶的.作为结果的一个应用，我们证明了当辫子的Dehornoy底大于3时，辫子的Nielsen-Thurston分类与其闭包补的几何是一一对应的.利用这一结果，我们从映射类群的伪Anosov元显式地构造了无穷多个双曲纽结。
The mapping class group of a disk with infinitely many holes
给出了一个左可序完全度量化拓扑群，它在无穷多条链上包含Artin辫群.这个群是闭单位圆盘的映射类群（相对边界），其内部点集序列收敛到该边界。这解决了Dehornoy工作中提出的一个问题。
Virtually Haken fillings and semi-bundles
设M是一个纤维三流形，其纤维是具有一个边界分支的正亏格曲面。假设M不是半丛。我们表明，无穷多个填充M沿dM几乎哈肯。由此可见，在三个球面中，任何非平凡的纽结的无穷多个德恩手术实际上都是哈肯手术。
Quasipositive braids and connected sums
研究证明两个链环的连通和为拟正的充要条件是各连通和项均为拟正，核心方法为填充圆盘技术，解决了拟正链环连通和的判定问题。
Contact open books with exotic pages
本文考虑一个固定的切触3-流形，它允许无穷多个紧Stein填充，这些填充都是同胚的，但两两非同胚的。这些填充物中的每一个都产生了一个封闭的接触5流形，该流形被描述为接触开书，其页面是手头的填充物，其单值性是恒等辛同胚。我们证明了所得到的无穷多个切触5-流形都是双纯的，但两两非切触同构。此外，我们明确地确定这些接触5-流形。
The density of Lawrence-Krammer and non-conjugate braid representations of links
我们使用一些李群理论和Budney的么正化的劳伦斯-克拉默表示，证明了一般参数的明确形式的图像的表示（也对某些类型的子群）是稠密的酉群。这意味着，除了可能的全捻辫子的封闭，所有的链接有无穷多个共轭类的辫子表示任何非最小数量（至少4）股。
Filling braided links with trisected surfaces
本文引入紧致四维流形中整洁嵌入曲面的桥式三分解概念，证明其存在性并发展了影子图与三平面图等图示方法，详细探讨了边界辫结构、粘合操作及带状曲面复杂度刻画。
On Newton polytopes of Lagrangian augmentations
本笔记利用牛顿多面体研究 Legendrian 子流形的 Lagrangian 填充，证明其可区分无穷多填充，并在有限特征下计算发现存在具无穷多不可定向精确填充的 Legendrian 链环。
Knots whose braided satellite have the same HOMFLY polynomial up to given $z$-degrees
该研究针对给定纽结与正整数w，构造无穷多互不相同的双曲纽结，使它们与原纽结的对应辫状卫星HOMFLY多项式在指定z次内一致，推进了纽结多项式相关的拓扑学研究。
Showing distinctness of surface links by taking 2-dimensional braids
对于一个定向的表面链接$S$，我们可以在$S$上取一个称为2维辫的卫星结构，它是一个覆盖$S$的表面链接。我们证明，二维辫子表面链接是有用的，显示表面链接的独特性。我们研究了具有秩为2的自由阿尔贝群的曲面链环的非平凡例子，得出了它们的链环类型是无穷多的结论。
Planar Contact Structures with Calabi-Yau Fillings and Topological Quantum Computation
本文研究平面开书的Calabi-Yau填充判据及其在Ising表示中的量子操作，证明CY因子分解长度最小化拓扑量，并揭示接触拓扑与量子纠缠的关联。
Lagrangian fillings for Legendrian links of affine type
我们证明，至少有许多确切的嵌入拉格朗日填充作为种子的勒让德链接的仿射型$\tilde{\mathsf{D}} \tilde{\mathsf{E}}$。我们还提供了与$\tilde{\mathsf{B}}_n$、$\tilde{\mathsf{F}}_4$、$\tilde{\mathsf{G}}_2$和$\mathsf{E}_6^{(2)}$类型的种子一样多的具有某些对称性的拉格朗日填充。这些家族是第一个已知的勒让德链接，具有无限多的填充物，耗尽了相应簇结构中的所有种子。此外，我们表明，Legendrian实现的Coxeter突变类型$\tilde{\mathsf{D}}$对应的Legendrian循环所考虑的Casals和Ng。
A note on contact manifolds with infinite fillings
本文利用脊状开书构造任意大于1奇数维中具有无限多个不同Weinstein填充的接触流形，填补了4n+1维情形的空白，且无需分析辛映射类群分解。
Topologically Distinct Lagrangian and Symplectic Fillings
我们在标准接触$\mathbb{R}^3$中构造了无限多个Legendrian链接，其中任意多个拓扑不同的Lagrange填充。该结构是用来找到链接在$S^3$的约束拓扑不同件的代数曲线在$B^4 \subset \mathbb{C}^2$，适用于寻找接触3流形拓扑不同的辛填充，并推广到更高的维度。
Satellite Links with Multiple Full Twists and Single-Twist Companions
研究卫星链环的正辫表示中全扭转数与其伴随链环的关系，构造了无限多卫星链环，其正辫表示具有任意多个全扭转，而伴随链环的正辫表示最多只有一个全扭转。
Exotic Stein fillings with arbitrary fundamental group
对于任何可表示的群$G$，我们证明了存在一个孤立的复曲面奇异环，它允许无穷多个奇异Stein填充，使得每个填充的基本群同构于$G$ .我们还提供了一个无穷族的封闭奇异光滑四维流形的基本群$G$，使家庭的每个成员允许一个非全纯Lefschetz纤维化的两个球。
Satellite knots that cannot be represented by positive braids with full twists
该研究证明了部分伴随与模式均为正辫子闭包的卫星纽结无法用带全扭转的正辫子表示，进而找到无穷多类伴随和模式均为Lorenz纽结但本身非Lorenz纽结的卫星纽结，解答了相关经典问题。
The algebraic crossing number and the braid index of knots and links
证明了在极小辫表示中，链环的代数交叉数是唯一确定的。这个猜想对许多类的纽结和链环都是成立的。Morton-Franks-Williams不等式给出了辫子指数的一个下界。纽结型不等式的尖锐性暗示了纽结型猜想的正确性。我们证明，有无穷多的例子，结和链接的不等式是不尖锐的，但猜想仍然是真实的。我们还证明了，如果猜想对K和L成立，那么它对K的（p，q）-电缆和K与L的连通和也成立。
Generating Infinitely Many Hyperbolic Knots with Plats
本文借助 plat 位置、辫群动力学与二重分支覆盖的 Heegaard 距离，利用 pseudo-Anosov 辫构造无穷多互不相同的素双曲 n-桥纽结，并给出亏格与体积的线性下界。
Rigidity of representations in SO(4,1) for Dehn fillings on 2-bridge knots
我们证明，对于双曲两桥结，无穷多个Dehn填充是刚性的$SO_0(4,1)$。这里刚性意味着$SO_0(4,1)$中的任何离散和忠实的表示与$SO_0(3,1)$中的完整表示共轭。我们还显示了几乎所有Dehn填充物的局部刚性。
Conjugate Fillings and Legendrian Weaves
首先，我们表明，共轭拉格朗日填充，与plabic图，和拉格朗日填充Reeb捏序列得到的拉格朗日投影勒让德编织的哈密顿同位素。在一般情况下，我们建立了一系列新的Reidemeister移动混合拉格朗日曲面。这些允许显式的组合同位素之间的不同类型的拉格朗日填充，我们用它们来表明，勒让德编织确实推广这些以前已知的组合方法来构建拉格朗日填充。这种推广是严格的，因为编织通常能够产生无穷多个不同的拉格朗日填充的哈密顿合痕类，而共轭曲面和Reeb pinching序列产生无穷多个填充。其次，我们比较了层量子化与每一个这样的类型的拉格朗日填充，并表明集群结构在相应的模的伪完美的对象相吻合。特别是，这表明，集群变量在Bott-Samelson细胞，作为广义未成年人，是几何微观局部holonomies相关的层量子化。类似的结果提出了框架的局部系统的模空间中的Fock-Goncharov集群变量。在文章及其附录的过程中，我们还建立了几个技术结果，需要严格比较不同的拉格朗日填充和它们的微局部层不变量。
Infinitely many two-variable generalisations of the Alexander-Conway polynomial
我们证明了Alexander-Conway多项式Delta可以通过每个二元Links-Gould不变量LG^{m，1}的特定的一元约化得到，其中m是正整数.因此，存在无穷多个Delta的双变量推广。这个结果并不明显，因为在约化中，用于定义LG^{m，1}的辫群生成元的表示不满足二阶特征恒等式，除非m=1。为了证明LG^{m，1}的单变量约化满足Delta的定义绞关系，我们评估量子迹的核。
Great circle links in the three-sphere
我们调查的大圆链接在三个领域，类的链接，每个组件是一个伟大的圆。使用其互补的几何形状，我们分类这样的链接到五个组件。对于任何两桥纽结补，都有一个有限覆盖是$S^3$中一个大圆链的补。我们表明，对于许多二桥结，这个覆盖包含一个封闭的不可压缩曲面。因此，许多二桥纽结的填充物提升为大圆连接的填充物，其中该表面的不可压缩性被保持。利用这一点，我们表明，无限多个填充的无限类的两桥结补几乎哈肯。
Fillable contact structures from positive surgery
我们考虑的问题时，接触外科手术与积极的外科手术系数，沿结$K$在接触3-流形$Y$，产生一个弱可填充的切触结构。我们表明，这种情况发生时，当且仅当$Y$本身是弱填充，和$K$是同位素的边界内填充$Y$适当嵌入辛盘。此外，如果$Y'$是由沿着$K$的正接触手术产生的接触流形，则$Y'$的任何填充对于$Y$的填充中的这种盘的适当邻域的补是辛同构的。利用这一结果，我们推导出了标准3-球面中纽结允许可填充正运算的几个必要条件，如切片亏格与4-维卡环数的拟正性和相等性，并给出了这类纽结的拟正辫子表达式的刻画.我们表明，结产生的积极辫子的封闭总是承认一个可填充的积极手术，因为这样的结有透镜空间手术，和合适的卫星这样的结。事实上，大多数具有多达10个交叉点的准正结承认可填充的正手术。另一方面，在一般情况下（强）拟正性，正性，或拉格朗日可填充性不一定意味着一个结允许一个可填充的正接触手术。
Comultiplication in link Floer homology and transversely non-simple links
对于n股辫群中的一个字w，我们用T_w表示S^3上旋转对称紧切触结构中相应的横辫。我们给出了一个关于链弗洛尔同调的映射，它将与T_{ws_i}相关的横截不变量发送到与T_w相关的横截不变量，其中s_i是B_n的标准生成元之一.这就产生了一个关于链弗洛尔同调的“共乘”映射。我们用它来产生无限多的新的例子，总理拓扑链接类型，这不是横向简单的。
Toroidal and annular Dehn fillings
设$M$是一个双曲三维流形，它允许两个Dehn填充$M(r_1)$和$M(r_2)$，使得$M(r_1)$包含本质环面，$M(r_2)$包含本质环面.已知$Δ= Δ(r_1, r_2) \leq 5$ .我们将证明，如果$Δ= 5$，则$M$是怀特黑德姐妹链路外部，如果$Δ= 4$，则$M$是怀特黑德链路或与有理数$3/10$相关联的2桥链路的外部。使用$Δ= 3$的例子有无限多。
Contact 5-manifolds admitting open books with exotic pages
我们构造了一个由无穷多个不同的开书支撑的切触5-流形，这些开书具有单位单性和成对奇异Stein页（即，页是固定切触3-流形的成对同胚但非同胚Stein填充），并且我们描述了生成无穷多个这样的例子的过程。与此结果相反，在每个$\#_{n} S^{2}\times S^{3}$和$\#_{n} S^{2}\tilde{\times} S^{3}$ $(n\geq 2)$上，我们构建了无限多个开放的书，这些书具有成对的异国斯坦页（和身份单值），支持相互不同的切触结构。
Link invariants from $L^2$-Burau maps of braids
A. Conway和作者介绍了辫子的$L^2$ -Burau映射，这是Burau表示的推广，其系数比Laurent多项式更一般地存在于群环中。同样的工作确定了辫子闭包群处辫子的$L^2$ -Burau映射产生所讨论的辫子闭包的$L^2$ -Alexander挠率，作为著名的Burau-Alexander公式的变体。本文将前面的结果推广到定义在辫闭包群的所有子上的$L^2$ -Burau映射。我们得到的链接不变量是辫闭包的扭曲$L^2$ -Alexander扭曲，并恢复了更多的拓扑信息，如Dehn填充的双曲体积.证明需要我们首先推广$L^2$ -挠的几个基本公式，它们有自己独立的兴趣。然后，我们讨论我们有多大可能将这个过程推广到更多的群体。特别是，马尔可夫移动的影响的详细研究$L^2$ -Burau地图和两个明确的反例马尔可夫不变性表明，扭曲的$L^2$ -亚历山大扭曲的链接是唯一的链接不变量，我们可以希望建立从$L^2$ -Burau地图与本方法。
An infinite clique of high-filling rays in the plane minus a Cantor set
研究平面减康托尔集的映射类群时，使用的是一个环图，它类似于研究紧致曲面的映射类群时的曲线图。这个回路图的格罗莫夫边界可以用“高填充射线团”来描述：高填充射线是表面的简单测地线，它们足够复杂，可以无限远离图中的任何回路。此外，这些射线被安排在集团：任何两个高填充射线都是不相交的第三个必然是相互不相交的。每一个这样的团是圈图的Gromov边界的一个点。一些具有任何有限数量的高填充射线的团的例子是已知的。在本文中，我们构造了一个无限团的高填充射线。
Infinitely many virtual geometric triangulations
证明了每一个尖点双曲三维流形都有一个容许无穷多个几何理想三角剖分的有限覆盖。此外，每个长Dehn填充的一个尖点在这个覆盖承认无限多个几何理想三角剖分。这个覆盖被构造在几个阶段中，使用结果的周边子群和它们的双陪集的可分性，除了一个新的共轭可分性定理，可能是独立的兴趣。几何三角剖分的无穷序列在与一个尖点相关联的几何子流形中得到支持，并且可以被组织成Pachner移动的无限三价树。
The Hexatangle
我们感兴趣的是知道什么类型的流形是通过做德恩手术封闭纯3-辫子在3-球。特别是，我们想确定我们什么时候在这样的链接上通过手术获得3球。我们考虑的链接是小的封闭纯3-辫子;这些是封闭的3-辫子的形式$({σ_1}^{2e_1})({σ_2}^{2f_1})(σ_2σ_1σ_2)^{2e}$，其中$σ_1$，$σ_2$是3-辫群的生成元和$e_1$，$f_1$，$e$是整数。我们研究Dehn手术在这些环节，并确定究竟哪些承认一个整体手术产生的3球。这等同于确定在产生$S^3$的某个六组件链接$L$上的某种类型的手术。链环$L$是强可逆的，它的外部双分支覆盖了一定的弧和球的构型，我们称之为六角形。我们的问题等价于确定由积分缠结填充的球产生平凡结，这就是我们明确解决的问题。这个六角形是五角形的推广，这是戈登和卢克研究。
Adding high powered relations to large groups
一个群称为“大”群，如果某个有限指数子群允许一个满同态到一个非交换的自由群上。本文的主要定理如下。设G是一个n阶生成的大群，且设g_1，...，g_r是G的元素的集合。则G/<<g_1 ^n，.，g_r^n>>也很大，对于无穷多个整数n。此外，当G是自由的时，这对除n之外的所有n都成立。这些结果在Dehn手术中有以下应用。设M是紧可定向3-带边流形的环面流形.假设Dehn在边界上填充一定斜率得到的三维流形具有大的基本群。那么对于无限多个填方边坡，这是正确的。
Goldman bracket and length equivalent filling curves
在具有负欧拉示性数的可定向曲面$F$中，如果对$F$上的任意双曲结构，一类自由同伦闭曲线类的测地线表示的长度等于另一类自由同伦闭曲线类的测地线表示的长度，则称这对自由同伦闭曲线类是长度等价的.设$α$和$β$是$F$上的两条相交的定向闭曲线，$P$和$Q$是它们之间的任意两个交点。如果$[\langleα\rangle,\langleβ\rangle]$中的两项$\langleα*_Pβ\rangle$和$\langleα*_Qβ\rangle$以及它们之间的戈德曼括号是相同的，那么我们在$F.$中构造无限多对长度等价曲线。这些对对应于$α$和$β$的幂之间的戈德曼括号的项。作为一种特殊情况，我们的构造表明，给定$F$的一个自相交测地线$α$和$α$的任何自交点$P$，我们得到这样的对的序列。此外，如果$α$是填充曲线，则这些对也是填充的。
Lagrangian fillings for Legendrian links of finite or affine Dynkin type
该研究针对有限型$\mathsf{ADE}$与仿射型$\tilde{\mathsf{D}} \tilde{\mathsf{E}}$的Legendrian链，证明其精确嵌入拉格朗日填充数量不少于种子数，还给出多类对称填充，并揭示Coxeter突变的图实现与Legendrian环的对应关系。
Property $R_{\infty}$ for groups with infinitely many ends
本文证明了具有无限多个终点的可及群以及特定类型的相对超几何群具有性质 $R_{\infty}$，并指出在有限呈现群中判断该性质是不可行的。
Hyperbolic and satellite Lorenz links obtained by twisting
本文完全分类了通过全扭转得到的 T-链环的父链环何时为双曲的，并针对两个 T-链环族给出了双曲性的有效结果，同时识别了通过半扭转得到的卫星 T-链环族。
Irreducible exotic ${\mathbb {CP}}^2\# 7{\overline {\mathbb {C}} {\mathbb {P}} } ^2$'s with free involutions
构造无穷多个同胚于CP²#7(-CP²)但两两不微分同胚的不可约光滑四流形，每个允许保定向自由对合；其商空间给出无穷多个基本群为Z/2Z、b₂=3的不可约定号四流形，填补地理学空白，方法基于新颖的等变环面手术。
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