Multisymplecticity of hybridizable discontinuous Galerkin methods
Massey University（梅西大学）；Washington University in St. Louis（圣路易斯华盛顿大学）
本文研究了混合不连续伽辽金方法在求解 canonical Hamiltonian 系统时满足多辛守恒律的必要和充分条件，证明了多种常见有限元方法的混合版本满足这些条件，从而为结构保持离散化提供了方法支持。
2019-02-11 cs.NA math.NA
Multisymplecticity in finite element exterior calculus
本文将 FEEC 方法应用于涉及微分形式的典型哈密顿偏微分方程系统，刻画了满足多辛守恒律的混合 FEEC 方法，并发现 HDG 等非协调方法比协调方法在更强意义下具备多辛性质，推广了已有研究。
2025-05-30 cs.NA math.NA
Discretisations of rough stochastic PDEs
University of Warwick（华威大学）；University of Toronto（多伦多大学）
本文提出了一种通用框架，用于对具有正则结构理论解的抛物型随机偏微分方程进行空间离散化，并展示了二进制网格上的动态Φ^4_3模型在重整化后收敛于其连续形式。
2017-07-24 cs.NA math.AP math.NA
Variational Structures in Cochain Projection Based Variational Discretizations of Lagrangian PDEs
相容的离散化，如有限元外演算，提供了一个离散化框架，尊重de Rham复形的上同调结构，可以用来系统地构建稳定的混合有限元法。多辛变分积分器是拉格朗日和哈密顿域论的一类几何数值积分器，它们产生保持连续系统的多辛结构和动量守恒性质的方法。在本文中，我们研究这两种方法的合成，通过构造离散化的变分原理拉格朗日域论利用结构保持有限元投影。在我们的研究中，相容的上链投影离散化在离散层次上的变分结构的保持中起着关键的作用，允许离散变分结构本质上是有限维子空间的连续变分结构的限制。在离散水平上保持变分结构将允许我们构造离散Cartan形式，其编码离散理论的变分结构，随后，我们利用离散Cartan形式自然地陈述Noether定理和多辛性的离散类似物，其推广了Marsden等人在离散拉格朗日变分框架中引入的那些。我们将研究协变时空离散化和正则空间半离散化，并随后在时空张量积有限元空间的情况下将两者联系起来。
2022-08-27 cs.NA math-ph math.MP
Constraint-satisfying Krylov solvers for structure-preserving discretisations
本文提出一种修改的FGMRES迭代法，在求解保结构离散化产生的大规模线性系统时强制执行约束，以保持守恒律和耗散系统的结构性质。
2023-06-20 cs.NA math.NA
Functional equivariance and conservation laws in numerical integration
本文提出函数等变性概念，使数值积分器能保持非不变可观测量满足的动力学，并据此证明保持二次不变量的积分器可保持二次可观测量的局部守恒律，且辛积分器是多辛的。
2022-07-31 cs.NA math.NA
Matrix-free multigrid block-preconditioners for higher order Discontinuous Galerkin discretisations
对流-扩散型椭圆偏微分方程的有效且适当预处理的迭代求解器在科学和工程的各个领域中都有应用。为了实现最佳性能，求解器必须表现出高运算强度，并需要利用现代众核CPU中可用的每种形式的并行性。求解器的计算上最昂贵的组件是线性算子和预处理器的重复应用。对于基于高阶不连续Galerkin方法的离散化，和因式分解导致运算符应用的计算复杂性的显著降低，同时，无矩阵实现可以以理论峰值浮点性能的显著分数运行。高阶方法的多重网格方法通常依赖于块平滑器来减少一个网格单元内的高频误差分量。传统上，这需要在每个网格单元中进行组装和昂贵的稠密矩阵求解，这抵消了快速无矩阵算子应用中实现的任何改进。为了克服这个问题，我们提出了一个新的矩阵的块平滑实现。迭代地求块矩阵的逆避免了矩阵的存储和因式分解，并且使得能够利用CPU的全部功率。我们实现了一个混合多重网格算法与矩阵自由块平滑在高阶DG空间结合低阶粗网格校正使用代数多重网格，只有低阶组件明确组装。这种方法的有效性证明通过解决一组代表性的椭圆偏微分方程的复杂性不断增加，包括对流为主的问题和固定SPE 10基准。
2019-06-02 cs.NA math.NA
Detection of high codimensional bifurcations in variational PDEs
我们推导了非线性泛函的A-级数奇点的分支检验方程，并基于这些方程，提出了一种检测参数依赖偏微分方程（如参数依赖半线性泊松方程）高余维分支的数值方法.作为一个例子，我们考虑一个Bratu型问题，并显示如何高余维分岔，如燕尾分岔可以找到数值。特别地，我们的原创性贡献是（1）无限维分裂引理的使用，（2）所有A-级数分支的统一和简化处理，（3）在巴拿赫空间中的表示，即我们的结果既适用于偏微分方程，也适用于其（4）参数依赖半线性泊松方程的进一步简化（连续和离散），和（5）连续问题的统一处理及其离散化。
2019-11-14 cs.NA math.NA
Optimal control of elliptic PDEs at points
University of Warwick（华威大学）
本文研究了包含状态在有限点上评估的目标泛函的椭圆最优控制问题，采用鼓励状态在这些点取特定值的保真项，通过两种不同线性有限元方法进行离散化，并证明了控制的先验L²误差估计。
2014-11-18 cs.NA math.NA
Asynchronous Discrete Event Schemes for PDEs
Heriot-Watt University（赫瑞-瓦特大学）
本文提出了一种非同步离散事件方案，用于求解对流-扩散-反应方程，该方案基于质量量子通过笛卡尔有限体积网格面的原则。方案自适应、局部时间和空间，并在多孔介质流动等真实物理系统中进行了实验，结果与指数积分方案对比，显示误差收敛性。
2016-10-17 cs.NA math.NA
Probabilistic Numerical Methods for Partial Differential Equations and Bayesian Inverse Problems
本文发展了一种求解偏微分方程的概率数值方法，并研究了该方法在偏微分方程约束反问题中的应用。这种方法使具有挑战性的反问题的解决方案，同时会计，在统计原则的方式，由于PDE的数值解的离散化误差的影响。特别是，该方法赋予数值PDE求解器的故障鲁棒性，在存在大量离散化误差的情况下，统计推断被驱动为更保守。更进一步，选择偏微分方程求解器的问题被视为贝叶斯实验设计中的一个问题，其目的是最大限度地减少求解器误差对统计推断的影响;这里还考虑了非线性偏微分方程的挑战。该方法适用于参数推断问题，其中离散化误差不可忽略，必须考虑到，以达到统计上有效的结论。
2017-07-11 cs.NA math.NA math.ST
A kernel-based discretisation method for first order partial differential equations of evolution type
University of Bayreuth（拜罗伊特大学）
本文提出了一种基于核的离散化方法，用于求解任意空间维数的一阶演化型偏微分方程，该方法采用欧拉ian方法而非拉格朗日方法，通过构造平滑核函数实现任意收敛阶，并通过一维Burgers方程数值实验验证了方法的稳定性与收敛性。
2016-01-22 cs.NA math-ph math.MP
Strong convergence of parabolic rate $1$ of discretisations of stochastic Allen-Cahn-type equations
研究随机 Allen-Cahn 型方程的全离散显式有限差分逼近，通过将 SPDE 视为奇异，在负 Besov 范数下实现几乎必然的抛物率 1 强收敛，突破文献中 1/2 的最优率。
2023-01-27 cs.NA math.NA math.PR
Holistic projection of initial conditions onto a finite difference approximation
本文利用中心流形理论为偏微分方程的有限差分离散提供正确的初始条件，通过遵循物理过程的保守投影，提高有限差分模型的预测准确性。
2001-01-25 cs.NA math.NA
A finite element method for fully nonlinear elliptic problems
University of Sussex（萨塞克斯大学）；University of Kent（肯特大学）
提出一种基于线性PDE强形式离散化的连续有限元方法，通过恢复Hessian矩阵求解完全非线性二阶PDE，并用Monge-Ampère方程和Pucci方程验证收敛性。
2012-08-07 cs.NA math.NA
Geometrically Higher Order Unfitted Space-Time Methods for PDEs on Moving Domains
针对移动域偏微分方程，提出时空均具高阶精度的几何非拟合时空有限元方法，采用参数映射实现几何高阶精度，结合多种时间离散格式与幽灵罚稳定化，数值实验验证了其高阶精度。
2022-10-21 cs.NA math.NA
Deep multi-step mixed algorithm for high dimensional non-linear PDEs and associated BSDEs
本研究提出一种基于深度学习的多步算法，通过迭代时间离散化、深度神经网络逼近与序贯随机梯度下降求解中高维非线性BSDE及对应PDE，提升精度且降低复杂度，并给出低正则条件下的误差分析。
2023-08-28 cs.NA math.NA q-fin.CP
Finite element exterior calculus for time-dependent Hamiltonian partial differential equations
Washington University in St. Louis（华盛顿大学圣路易斯分校）；University of Vienna（维也纳大学）
本文提出基于有限元外算术和辛积分器的数值方法，用于时间依赖的哈密顿偏微分方程，满足局部多辛守恒律并提升哈密顿结构信息。
2025-12-31 cs.NA math.NA
Quasi-optimal complexity $hp$-FEM for the Poisson Equation on a rectangle
本文利用hp-FEM离散的特殊稀疏结构，结合反向Cholesky分解和ADI方法，在矩形上以拟最优复杂度求解泊松方程及非线性时间演化偏微分方程，并展示了其作为变系数PDE预条件子的有效性。
2025-11-10 cs.NA math.NA
Virtual element method for elliptic bulk-surface PDEs in three space dimensions
本文提出了一种新型体-面虚拟元方法（BSVEM），用于三维空间中椭圆型体-面偏微分方程的数值逼近，基于多面体离散，证明了最优二阶收敛性，并通过单位球数值示例验证了方法的有效性。
2022-01-12 cs.NA math.NA
Adaptive quadratures for nonlinear approximation of low-dimensional PDEs using smooth neural networks
提出一种用于低维PDE神经网络积分的自适应求积方法，通过CPWL逼近光滑激活函数构建自适应网格，降低积分误差并加速网络收敛。
2024-01-02 cs.NA math.NA
Compatible finite element interpolated neural networks
本文提出兼容 FEINN，利用满足 de Rham 复形的插值空间离散 $H(\ extbf{curl})$/$H(\ extbf{div})$ PDE，并验证其在曲面问题、自适应网格及反演中的高精度与鲁棒性。
2025-03-14 cs.NA math.NA
Bayesian Numerical Methods for Nonlinear Partial Differential Equations
微分方程的数值解可以用公式表示为一个推理问题，可以应用形式统计方法。然而，非线性偏微分方程（PDE）从推理的角度提出了实质性的挑战，最显着的是缺乏明确的条件公式。本文将线性偏微分方程的早期工作扩展到一类由非线性偏微分方程指定的一般初值问题，这些问题的动机是对偏微分方程的右端、初始条件或边界条件的评估具有很高的计算成本。该方法基于非线性微分算子的离散化，可以看作是近似似然下的精确贝叶斯推理。概念验证的实验结果表明，有意义的概率不确定性量化的PDE的未知的解决方案可以执行，同时控制的次数的右手边，初始和边界条件进行评估。一个合适的先验模型的PDE的解决方案确定使用新的理论分析的样本路径性质的Matérn过程，这可能是独立的兴趣。
2021-05-03 cs.NA math.NA stat.CO
Fully discrete backward error analysis for the midpoint rule applied to the nonlinear Schroedinger equation
本文首次对中点法则应用于非线性薛定谔方程进行了与维数无关的后向误差分析，证明无论空间离散化水平如何均存在修正能量，并据此建立了数值流的长时间稳定性。
2025-05-06 cs.NA math.AP math.NA
Approximations of dispersive PDEs in the presence of low-regularity randomness
Sorbonne University（索邦大学）；Université de Lorraine（洛林大学）
本文提出了一种基于Wick定理和费曼图的新数值方案，用于在低正则性随机性下对色散PDE的期望值进行近似，以研究波湍流的长期行为。
2023-07-24 cs.NA math.AP math.NA
A novel high dimensional fitted scheme for stochastic optimal control problems
随机优化原理导致求解一个偏微分方程，即Hamilton-Jacobi-Bellman方程。一般来说，这个方程不能解析求解，因此数值算法是提供精确近似的唯一工具。提出一种新的拟合有限体积法求解高维退化HJB方程的随机最优控制问题（$ n\geq 3$）.这里的挑战是由于我们的HJB方程的性质，这是一个退化的二阶偏微分方程加上一个最优化问题。对于这类问题，标准格式如有限差分法失去了其单调性，因此不能保证收敛到黏性解。我们离散的HJB方程使用拟合有限体积法，众所周知，以解决退化的偏微分方程，而时间离散使用隐式欧拉方案。我们证明了空间离散化和时间离散化的矩阵都是M-矩阵。金融数值结果表明，所提出的数值方法相比，标准的有限差分法的准确性。
2021-09-11 cs.NA math.NA
Automatic symbolic computation for discontinuous Galerkin finite element methods
University of Nottingham（诺丁汉大学）；University of Cambridge（剑桥大学）
本文提出了一种基于类结构的抽象方法，用于自动计算断续 Galerkin 有限元方法的公式，提高了复杂 PDE 系统的实现效率和可调试性。
2018-04-06 cs.MS cs.NA math.NA
Variational Integrators for Nonvariational Partial Differential Equations
Max-Planck-Institut für Plasmaphysik（马普等离子体物理研究所）；Technische Universität München, Zentrum Mathematik（慕尼黑工业大学数学中心）
本文提出通过形式拉格朗日量构建变分积分器，扩展其应用范围至所有动力系统，以流体动力学中的对流扩散方程为例进行验证。
2015-11-19 cs.NA math-ph math.MP
Hypocoercivity-preserving space-time Galerkin methods for kinetic Fokker-Planck equations
Inria（法国国家信息与自动化研究所）；CERMICS, ENPC, Institut Polytechnique de Paris, CNRS（巴黎高等师范学院计算数学与计算机科学中心，巴黎理工学院，法国国家科学研究中心）；The Maxwell Institute for Mathematical Sciences and Department of Mathematics, Heriot-Watt University（赫瑞-瓦特大学麦克斯韦数学科学研究所及数学系）；Department of Mathematics, School of Applied Mathematical and Physical Sciences, National Technical University of Athens（雅典国立技术大学应用数学与物理科学学院数学系）；Institute of Applied and Computational Mathematics, FORTH（希腊基础与研究基金会应用与计算数学研究所）
针对退化扩散的动能Fokker-Planck方程，设计并分析了一族保余强制性的全离散Galerkin方法，通过增强二次型框架和指数加权范数实现谱间隙，并证明指数收敛到平衡态。
2026-10-30 cs.NA math.NA
Finite element analysis of density estimation using preintegration for elliptic PDE with random input
本文分析随机输入椭圆型PDE密度估计中预积分方法的有限元误差，证明其满足理论假设，并给出与期望值计算同阶的收敛速度。
2025-10-26 cs.NA math.NA
Analysis of the SBP-SAT Stabilization for Finite Element Methods Part I: Linear Problems
在双曲域中，当考虑有限元法时，主要应用间断Galerkin方法。顾名思义，DG框架允许在单元界面处的不连续性，这对于许多研究人员来说在双曲平衡定律的情况下似乎是有利的性质。相反，连续Galerkin方法从一个简单的离散的弱形式的偏微分方程似乎是不适合双曲型问题。为了解决这个问题，通常会添加稳定化项，并且可以在文献中找到各种公式。仍然存在连续Galerkin方法不适合双曲问题的看法，其原因是近似的连续性。然而，这种看法是不正确的，一般来说，只要边界条件是合适的，稳定化项可以被删除。在本文中，我们处理这个问题，并提出了一种不同的方法。我们使用的边界条件，以稳定的计划后，经常使用的有限差分社区的程序。这里，主要思想是施加边界条件弱，并构造特定的边界算子，使它们保证稳定性。这种方法已经在DG框架中使用，但在这里，我们将其应用于连续Galerkin计划。即使使用非结构网格，也不需要内耗散。此外，我们指出，我们不需要精确的积分，它是足够的，如果求积规则和规范的微分算子是相同的，这样的求和部分（SBP）的性质是履行意味着一个离散高斯Th。是有效的。这与双曲社区认为纯Galerkin方案存在稳定性问题的看法相矛盾。在数值模拟中，我们验证了我们的理论分析。
2021-04-19 cs.NA math.NA
Geometrically Graded h-p Quadrature Applied to the Complex Boundary Integral Equation Method for the Dirichlet Problem with Corner Singularities
本文提出使用几何分级h-p复合求积规则求解带角点奇异性的Dirichlet问题，通过复边界积分方程方法（CBIEM）实现高效高阶数值解，并给出MATLAB实现与实验结果。
2000-02-23 cs.NA math.NA
High level implementation of geometric multigrid solvers for finite element problems: applications in atmospheric modelling
Imperial College（帝国理工学院）；University of Bath（巴斯大学）
本文提出通过框架简化多网格预处理程序的开发，展示其在强各向异性PDE求解中的效率，对比单层方法和BoomerAMG算法，展示并行性能和内存带宽利用。
2016-09-14 cs.MS cs.NA math.NA
Stochastic PDE representation of random fields for large-scale Gaussian process regression and statistical finite element analysis
本文提出基于随机偏微分方程（SPDE）的随机场表示框架，用于大规模统计有限元分析和高斯过程回归，通过稀疏精度矩阵实现高效计算，并在泊松和薄壳示例中验证其多功能性和收敛性。
2023-09-05 cs.NA math.NA physics.comp-ph
