Low-rank cross approximation of function-valued tensors for reduced-order modeling of parametric PDEs
本文提出了一种基于函数值张量低秩交叉近似的降维方法，用于参数PDE的建模，通过编码器-解码器结构实现高效降维与非线性建模。
2025-11-27 cs.NA math.NA
A fully adaptive multilevel stochastic collocation strategy for solving elliptic PDEs with random data
我们提出并分析了一个完全自适应的策略，解决椭圆型偏微分方程的随机数据在这项工作中。一个层次序列的自适应网格细化的空间近似相结合的自适应各向异性稀疏的Scorpak网格在随机空间中的方式，以尽量减少计算成本。我们的策略的新颖之处在于，空间近似的层次结构是样本相关的，因此每个配置点的计算工作量可以单独优化。我们概述了一个严格的分析的自适应多级算法的收敛性和计算复杂性，我们提供了最佳的选择，在每个级别的误差容限。两个数值例子证明了差错控制的可靠性和显着降低的复杂性时，出现相比，单级算法和多级算法，采用自适应性只在空间离散化或配置过程。
2019-12-04 cs.NA math.NA
Optimal control of elliptic PDEs at points
University of Warwick（华威大学）
本文研究了包含状态在有限点上评估的目标泛函的椭圆最优控制问题，采用鼓励状态在这些点取特定值的保真项，通过两种不同线性有限元方法进行离散化，并证明了控制的先验L²误差估计。
2014-11-18 cs.NA math.NA
Probabilistic Numerical Methods for Partial Differential Equations and Bayesian Inverse Problems
本文发展了一种求解偏微分方程的概率数值方法，并研究了该方法在偏微分方程约束反问题中的应用。这种方法使具有挑战性的反问题的解决方案，同时会计，在统计原则的方式，由于PDE的数值解的离散化误差的影响。特别是，该方法赋予数值PDE求解器的故障鲁棒性，在存在大量离散化误差的情况下，统计推断被驱动为更保守。更进一步，选择偏微分方程求解器的问题被视为贝叶斯实验设计中的一个问题，其目的是最大限度地减少求解器误差对统计推断的影响;这里还考虑了非线性偏微分方程的挑战。该方法适用于参数推断问题，其中离散化误差不可忽略，必须考虑到，以达到统计上有效的结论。
2017-07-11 cs.NA math.NA math.ST
Generalized Moving Least-Squares Methods for Solving Vector-valued PDEs on Unknown Manifolds
本文通过内蕴和外蕴两种方式扩展广义移动最小二乘方法，求解未知光滑流形上的向量值偏微分方程，并利用坐标变换降低计算复杂度，数值实验验证了方法的精度。
2025-10-23 cs.NA math.NA
A kernel-based discretisation method for first order partial differential equations of evolution type
University of Bayreuth（拜罗伊特大学）
本文提出了一种基于核的离散化方法，用于求解任意空间维数的一阶演化型偏微分方程，该方法采用欧拉ian方法而非拉格朗日方法，通过构造平滑核函数实现任意收敛阶，并通过一维Burgers方程数值实验验证了方法的稳定性与收敛性。
2016-01-22 cs.NA math-ph math.MP
Strong convergence of parabolic rate $1$ of discretisations of stochastic Allen-Cahn-type equations
研究随机 Allen-Cahn 型方程的全离散显式有限差分逼近，通过将 SPDE 视为奇异，在负 Besov 范数下实现几乎必然的抛物率 1 强收敛，突破文献中 1/2 的最优率。
2023-01-27 cs.NA math.NA math.PR
Holistic projection of initial conditions onto a finite difference approximation
本文利用中心流形理论为偏微分方程的有限差分离散提供正确的初始条件，通过遵循物理过程的保守投影，提高有限差分模型的预测准确性。
2001-01-25 cs.NA math.NA
Sampling recovery in Bochner spaces and applications to parametric PDEs
Mathematisch-Geographische Fakultät, KU Eichstätt-Ingolstadt（凯泽大学艾希施泰特-因戈尔施塔特数学地理学院）；Information Technology Institute, Vietnam National University, Hanoi（越南国家大学河内信息技术研究所）
本文研究了Bochner空间中函数的线性采样恢复收敛速率，应用于参数PDEs的不确定性量化问题，改进了已知结果的收敛速率。
2026-09-08 cs.NA math.NA
An intrinsic finite element framework for scalar- and vector-valued partial differential equations on general manifolds
Monash University（莫纳什大学）；Australian National University（澳大利亚国立大学）；Bureau of Meteorology（气象局）
提出内蕴有限元框架，在参数空间离散流形上的标量与向量PDE，通过拓扑粘合构造de Rham复形，数值验证最优收敛、无几何误差且高效。
2026-09-10 cs.NA math.NA
Geometrically Higher Order Unfitted Space-Time Methods for PDEs on Moving Domains
针对移动域偏微分方程，提出时空均具高阶精度的几何非拟合时空有限元方法，采用参数映射实现几何高阶精度，结合多种时间离散格式与幽灵罚稳定化，数值实验验证了其高阶精度。
2022-10-21 cs.NA math.NA
Virtual element method for elliptic bulk-surface PDEs in three space dimensions
本文提出了一种新型体-面虚拟元方法（BSVEM），用于三维空间中椭圆型体-面偏微分方程的数值逼近，基于多面体离散，证明了最优二阶收敛性，并通过单位球数值示例验证了方法的有效性。
2022-01-12 cs.NA math.NA
Energy minimisation using overlapping tensor-product free-knot B-splines
针对含局部特征PDE求解中传统方法的局限性，提出基于重叠张量积自由节点B样条的非线性逼近方案，通过节点位置作为非线性参数优化离散化，在温和条件下确保收敛性，且效率更高、自由度更少。
2025-08-26 cs.NA math.NA
Several ways to achieve robustness when solving wave propagation problems
众所周知，波的传播问题很难解决。时谐问题在中高频区域尤其具有挑战性。主要原因是解的振荡性质，这意味着离散化后的自由度随着波数的增加而急剧增加，从而导致需要解决的大型复值问题。当问题定义在高度异构的介质中时，会出现额外的困难，这在实际的物理应用中经常发生。对于时间离散的麦克斯韦型问题，主要的挑战仍然是显着的内核卷曲一致的空间，一个问题，影响鲁棒预处理器的设计。这已经解决了理论上的均匀介质，但尚未在存在的异质性。在这篇评论中，我们提供了一个大画面的主要困难时遇到的解决波传播问题，从他们的离散化的第一步，通过他们的并行解决方案，使用两个级别的方法，通过显示他们的局限性，在一些现实的例子。我们还提出了一个新的预条件子空间分解的想法的启发，但基于谱粗空间，卷曲符合离散化的麦克斯韦方程在非均匀介质。
2021-08-04 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Adaptive quadratures for nonlinear approximation of low-dimensional PDEs using smooth neural networks
提出一种用于低维PDE神经网络积分的自适应求积方法，通过CPWL逼近光滑激活函数构建自适应网格，降低积分误差并加速网络收敛。
2024-01-02 cs.NA math.NA
Maximal inequalities for stochastic convolutions and pathwise uniform convergence of time discretisation schemes
证明了取值于2-光滑Banach空间的离散过程的一个新的Burkholder-Rosenthal型不等式。作为第一个应用，我们证明了：如果$(S(t,s))_{0\leq s\leq T}$是$2$光滑Banach空间$X$上的$C_0$ -压缩演化族，$(W_t)_{t\in [0,T]}$是概率空间$(Ω,P)$上的圆柱布朗运动，则对于每个$0<p<\infty$，存在一个常数$C_{p,X}$，使得对于所有渐进可测过程$g: [0,T]\times Ω\to X$，过程$(\int_0^t S(t,s)g_sdW_s)_{t\in [0,T]}$具有连续的修改，并且$$E\sup_{t\in [0,T]}\Big\| \int_0^t S(t,s)g_sdW_s \Big\|^p\leq C_{p,X}^p \mathbb{E} \Bigl(\int_0^T \| g_t\|^2_{γ(H,X)}dt\Bigr)^{p/2}.$$.对于$2\leq p<\infty$，可以采用$C_{p,X} = 10 D \sqrt{p},$，其中$D$是$2$定义中的常数-$X$的平滑度。我们的结果改进和统一了几个现有的最大估计，甚至是新的情况下$X$是一个希尔伯特空间。如果用更一般的$X$值鞅$dM_t$代替驱动鞅$g_tdW_t$，得到了类似的结果。此外，我们的方法允许随机演化系统，…
2021-07-12 cs.NA math.FA math.NA
Near-optimal learning of Banach-valued, high-dimensional functions via deep neural networks
本文针对参数化偏微分方程解这类Banach值高维函数，提出基于深度神经网络的逼近方法，通过维度无关架构和正则化最小二乘训练，实现近最优代数收敛速率并克服维数灾难，为非侵入式高维逼近提供理论支撑。
2024-07-17 cs.NA math.NA
A Least-Squares-Based Neural Network (LS-Net) for Solving Linear Parametric PDEs
针对线性参数化偏微分方程求解问题，提出LS-Net方法，结合深度神经网络生成解空间基函数与最小二乘求解器确定最优解，提供理论逼近保证，经一维和二维问题验证可有效逼近参数化解。
2025-02-12 cs.NA math.NA
Deep Neural Networks Are Effective At Learning High-Dimensional Hilbert-Valued Functions From Limited Data
Simon Fraser University（西蒙弗雷泽大学）；Concordia University（康考迪亚大学）
从采样点精确逼近标量函数是计算科学的一个重要课题。最近，使用深度神经网络（DNN）的机器学习已经成为科学计算的一个有前途的工具，在数据或问题域的维度很大的问题上取得了令人印象深刻的结果。这项工作拓宽了这一视角，专注于近似函数是希尔伯特值，即采取值在一个可分离的，但通常是无限维，希尔伯特空间。这出现在科学和工程问题，特别是那些涉及参数偏微分方程（PDE）的解决方案。这些问题具有挑战性：1）逐点采样的获取成本很高，2）函数域是高维的，以及3）范围位于希尔伯特空间中。我们的贡献是双重的。首先，我们提出了一个新的结果DNN训练具有所谓的隐藏各向异性的全纯函数。这个结果引入了DNN训练过程和完整的理论分析，并对错误和样本复杂性进行了明确的保证。误差界是明确的近似过程中发生的三个关键错误：最佳近似，测量和物理离散化错误。我们的研究结果表明，存在一种通过DNN学习希尔伯特值函数的过程（尽管是非标准的），它的性能与当前同类最佳方案一样好，但并不比它们更好。它为DNN在此类问题上的表现提供了一个基准下限。其次，我们研究是否可以通过不同类型的架构和培训在实践中实现更好的性能。我们提供了初步的数值结果，说明DNN的参数偏微分方程的实际性能。我们考虑不同的参数，修改DNN架构以实现更好和有竞争力的结果，并将其与当前同类最佳方案进行比较。
2021-03-05 cs.LG cs.NA math.NA
Petrov-Galerkin Dynamical Low Rank Approximation:SUPG stabilisation of advection-dominated problems
本文提出广义 Petrov-Galerkin 动态低秩近似框架，将 SUPG 稳定化技术无缝融入随机偏微分方程的低秩求解，并通过数值实验验证其稳定化性质在 DLR 框架中得以保持。
2024-07-01 cs.NA math.NA
Approximations of dispersive PDEs in the presence of low-regularity randomness
Sorbonne University（索邦大学）；Université de Lorraine（洛林大学）
本文提出了一种基于Wick定理和费曼图的新数值方案，用于在低正则性随机性下对色散PDE的期望值进行近似，以研究波湍流的长期行为。
2023-07-24 cs.NA math.AP math.NA
Optimal Control of Fractional Elliptic PDEs with State Constraints and Characterization of the dual of Fractional Order Sobolev Spaces
George Mason University（乔治梅森大学）；University of Puerto Rico, Rio Piedras Campus（波多黎各大学里奥彼德拉斯校区）
本文研究了由分数阶椭圆PDEs支配的最优控制问题中的状态约束，开发了多种数学工具，如分数阶Sobolev空间的对偶空间刻画和分数PDEs的测度值数据的适定性，推导了最优控制问题的适定性并得到一阶最优性条件，强调了经典情况（s=1）已被E.Casas研究，但现有结果难以直接应用于分数阶情况。
2019-05-31 cs.NA math.AP math.NA
Approximating rough stochastic PDEs
The University of Warwick（华威大学）；Institute for Applied MathematicsUniversity of Bonn（波恩大学应用数学研究所）
研究一类由乘性时空白噪声驱动的Burgers型向量值方程的近似，证明空间近似收敛并给出收敛率，且极限依赖于近似选择，类似于随机常微分方程中的Itô-Stratonovich修正。
2013-02-25 cs.NA math.AP math.NA
