Geometrical discretisations for unfitted finite elements on explicit boundary representations
偏微分方程的非拟合（也称为嵌入或浸入）有限元近似是非常有吸引力的，因为它们比标准的贴体公式具有更低的几何要求。这些方案不需要贴体非结构化网格生成。反过来，数值积分变得更加复杂，因为必须计算单元部分（仅内部部分）的积分。在实践中，这些方法仅限于水平集（隐式）几何表示，这大大限制了它们的应用。工业和科学问题中的复杂几何通常由（显式）边界表示确定。在这项工作中，我们提出了一个自动计算框架的离散化的偏微分方程的定向边界网格定义的域。连接功能和几何表示的几何内核生成两级积分网格和边界网格的细化，使所有未拟合有限元中的项的直接数值积分。所提出的框架已成功地应用于所有分析适合的面向边界网格（近5,000）在Thingi 10 K数据库，并结合不适合的有限元公式离散相应域上的偏微分方程。
2022-03-22 cs.CE cs.NA math.NA
Multi-symplectic discretisation of wave map equations
University of Innsbruck（因斯布鲁克大学）；Bergen University College（卑尔根大学学院）
本文提出一种新的多辛形式用于约束哈密顿偏微分方程，并研究了相关的局部守恒定律。通过欧拉盒方案示例了基于该形式的多辛离散化方法，应用于波映射方程时，该数值方案显式、保持约束，并可视为约束机械系统谢克算法的推广。数值实验显示数值解具有优异的守恒性质。
2015-12-02 cs.NA math.NA
Conservative and dissipative discretisations of multi-conservative ODEs and GENERIC systems
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）；Mathematical Institute, Faculty of Mathematics and Physics, Charles University（查理大学数学物理学院数学研究所）
本文提出了一种任意阶时间离散化方法，用于保守常微分方程，同时提出了一种能量保持和熵耗散的方案，适用于GENERIC格式的方程，通过引入辅助变量来保持守恒和耗散定律。
2026-08-17 cs.NA math.NA
The gradient discretisation method for linear advection problems
我们适应梯度离散方法（GDM），最初设计的椭圆和抛物型偏微分方程，线性标量双曲型方程的情况下。这使得同时设计和收敛性分析的各种数值计划，相应的方法被称为GDM，如有限元（符合或不符合，标准或质量集中），有限体积的矩形或单纯网格，以及其他最近的方法开发的一般多面体网格。该方案是中心型的，增加了线性或非线性数值扩散。我们补充的收敛性分析与数值试验的基础上的质量集中P1协调和非协调有限元和混合有限体积法。
2019-10-25 cs.NA math.NA
On Lattice Boltzmann Methods based on vector-kinetic models for hyperbolic partial differential equations
本文研究基于向量动理学模型的格子Boltzmann方法求解双曲型偏微分方程，比较了显式与半隐式离散的LBE性质，扩展至带源项守恒律并提出D2Q9模型，通过标准基准问题验证了理论结果。
2024-01-08 cs.NA math.NA
High-order evolving surface finite element method for parabolic problems on evolving surfaces
本文研究了在演化曲面上抛物型偏微分方程的高阶空间离散和全离散方法，证明了高阶演化表面有限元方法的收敛性，并分析了隐式龙格-库塔方法的收敛性。
2016-06-23 cs.NA math.NA
Model hierarchies and higher-order discretisation of time-dependent thin-film free boundary problems with dynamic contact angle
我们提出了一个数学和数值框架薄膜流体流动的平面表面，包括动态接触角。特别是，我们提供了算法的细节和高阶空间和时间离散化的底层自由边界问题使用的有限元法的实施。相应的偏微分方程基于该问题的热力学一致的能量变分公式，使用体部、表面和移动接触线处的自由能和粘性耗散。建立了强接触线耗散和弱接触线耗散极限的模型层次，并进行了实现和研究。我们分析了数值算法的性能，并研究了动态接触角对两个基准问题演变的影响：重力驱动的滑动液滴和脊的不稳定性。
2022-04-10 cs.NA math.NA
Probabilistic Numerical Methods for Partial Differential Equations and Bayesian Inverse Problems
本文发展了一种求解偏微分方程的概率数值方法，并研究了该方法在偏微分方程约束反问题中的应用。这种方法使具有挑战性的反问题的解决方案，同时会计，在统计原则的方式，由于PDE的数值解的离散化误差的影响。特别是，该方法赋予数值PDE求解器的故障鲁棒性，在存在大量离散化误差的情况下，统计推断被驱动为更保守。更进一步，选择偏微分方程求解器的问题被视为贝叶斯实验设计中的一个问题，其目的是最大限度地减少求解器误差对统计推断的影响;这里还考虑了非线性偏微分方程的挑战。该方法适用于参数推断问题，其中离散化误差不可忽略，必须考虑到，以达到统计上有效的结论。
2017-07-11 cs.NA math.NA math.ST
High-order accurate finite difference discretisations on fully unstructured dual quadrilateral meshes
提出了一种新的四边形非结构网格上的高精度数值微分方法。为了区分给定的函数，定义了具有更大平滑特性的辅助函数，当微分时，该辅助函数提供原始函数的导数。该方法将传统的有限差分法推广到任意拓扑结构的网格上，适用于任意维数的任意阶导数和精度。我们证明了使用双四边形网格和细分曲面的基础上的细化方法的数值方案的准确性。该计划适用于解决一系列的偏微分方程，包括线性和非线性，二阶和四阶方程，和时间依赖的一阶方程。
2022-04-07 cs.NA math.NA
Improved Multilevel Monte Carlo Methods for Finite Volume Discretisations of Darcy Flow in Randomly Layered Media
University of Nottingham（诺丁汉大学）；University of Warwick（华威大学）
本文研究了多级蒙特卡罗方法在随机多孔介质中稳态达西流的应用，通过有限体积离散化方法和新的收敛性结果，提出了一种基于代数多网格方法和Coarse Grid Variates变方差技术的最优实现。
2015-06-15 cs.NA math.NA
Constraint-satisfying Krylov solvers for structure-preserving discretisations
本文提出一种修改的FGMRES迭代法，在求解保结构离散化产生的大规模线性系统时强制执行约束，以保持守恒律和耗散系统的结构性质。
2023-06-20 cs.NA math.NA
Sparse spectral methods for partial differential equations on spherical caps
近年来，求解偏微分方程的稀疏谱方法已被应用于区间、圆盘、圆盘片和三角形上的正交多项式族。在这项工作中，我们扩展的方法，非经典的多元正交多项式的球冠层次。偏微分算子的离散化项可以用（非经典的）一元正交多项式的公式有效地计算。我们证明的结果偏微分方程涉及球面拉普拉斯算子和双调和算子，显示谱收敛。
2020-12-21 cs.NA math.NA
Stochastic finite differences and multilevel Monte Carlo for a class of SPDEs in finance
Oxford-Man Institute of Quantitative Finance and Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学牛津人量化金融研究所与数学研究所）
针对描述大粒子系统的随机偏微分方程，提出Milstein有限差分格式，证明其在无界域上时间一阶、空间二阶收敛且对边界数据稳定，并通过多层路径模拟显著降低计算复杂度，应用于篮子信用衍生品。
2012-04-06 cs.NA math.NA q-fin.CP
Parallelisation of partial differential equations via representation theory
本文通过表示论构造对称适应基，将偏微分方程离散化解耦为独立并行系统，并以薛定谔方程为例展示其在高维和低对称性情形下的显著效率提升。
2025-10-15 cs.NA math.NA math.RT
Regularisation for the approximation of functions by mollified discretisation methods
本文研究磨光离散化方法逼近函数的正则化问题，解析了方法阶数 $s_a$ 与平滑阶数 $s_r$ 的相互作用，发现当 $s_a>s_r$ 且噪声小时不进行统计正则化更优，增益可达 $n^{(s_a-s_r)/(2s_r+d)}$，并通过一维有限元实验验证。
2024-07-18 cs.NA math.NA math.ST
Localization errors in solving stochastic partial differential equations in the whole space
The University of Edinburgh（爱丁堡大学）
本文研究了在全空间中求解随机偏微分方程的局部化方法，将问题转化为有限维问题，并证明误差呈指数级减小，提出了一种可完全实现的数值方案。
2017-04-23 cs.NA math.NA math.PR
Time complexity analysis of quantum algorithms via linear representations for nonlinear ordinary and partial differential equations
本研究构建基于线性表示的非线性ODEs与HJE量子算法，对比不同离散化下的两类量子方法时间复杂度，提出求解HJE的Schrödinger框架并与Liouville框架对比。
2023-06-12 cs.NA math.NA quant-ph
Numerical valuation of American basket options via partial differential complementarity problems
我们研究了Reisinger & Wittum（2007）引入的基于主成分分析的方法和Hanbali & Linders（2019）考虑的通过多维偏微分互补性问题（PDCPs）近似美式篮子期权价值的共单调方法。这两种近似方法只需要有限数量的低维PDCP的解决方案。大量的数值实验表明，他们定义的近似谎言彼此接近。接下来，一个有效的离散化的相关PDCP，导致一个有利的收敛行为。
2021-06-02 cs.CE cs.NA math.NA
Matrix-free multigrid block-preconditioners for higher order Discontinuous Galerkin discretisations
对流-扩散型椭圆偏微分方程的有效且适当预处理的迭代求解器在科学和工程的各个领域中都有应用。为了实现最佳性能，求解器必须表现出高运算强度，并需要利用现代众核CPU中可用的每种形式的并行性。求解器的计算上最昂贵的组件是线性算子和预处理器的重复应用。对于基于高阶不连续Galerkin方法的离散化，和因式分解导致运算符应用的计算复杂性的显著降低，同时，无矩阵实现可以以理论峰值浮点性能的显著分数运行。高阶方法的多重网格方法通常依赖于块平滑器来减少一个网格单元内的高频误差分量。传统上，这需要在每个网格单元中进行组装和昂贵的稠密矩阵求解，这抵消了快速无矩阵算子应用中实现的任何改进。为了克服这个问题，我们提出了一个新的矩阵的块平滑实现。迭代地求块矩阵的逆避免了矩阵的存储和因式分解，并且使得能够利用CPU的全部功率。我们实现了一个混合多重网格算法与矩阵自由块平滑在高阶DG空间结合低阶粗网格校正使用代数多重网格，只有低阶组件明确组装。这种方法的有效性证明通过解决一组代表性的椭圆偏微分方程的复杂性不断增加，包括对流为主的问题和固定SPE 10基准。
2019-06-02 cs.NA math.NA
Holistic projection of initial conditions onto a finite difference approximation
本文利用中心流形理论为偏微分方程的有限差分离散提供正确的初始条件，通过遵循物理过程的保守投影，提高有限差分模型的预测准确性。
2001-01-25 cs.NA math.NA
An intrinsic finite element framework for scalar- and vector-valued partial differential equations on general manifolds
Monash University（莫纳什大学）；Australian National University（澳大利亚国立大学）；Bureau of Meteorology（气象局）
提出内蕴有限元框架，在参数空间离散流形上的标量与向量PDE，通过拓扑粘合构造de Rham复形，数值验证最优收敛、无几何误差且高效。
2026-09-10 cs.NA math.NA
Kernel-based Methods for Stochastic Partial Differential Equations
Syracuse University（雪城大学）
本文通过结合无网格逼近和克里金插值技术，将核方法从确定性数据扩展到随机数据，用于求解高维随机偏微分方程，并通过数值实验验证了不同核函数下近似概率分布的适定性。
2015-02-19 cs.NA math.NA
Quasi-optimal complexity $hp$-FEM for the Poisson Equation on a rectangle
本文利用hp-FEM离散的特殊稀疏结构，结合反向Cholesky分解和ADI方法，在矩形上以拟最优复杂度求解泊松方程及非线性时间演化偏微分方程，并展示了其作为变系数PDE预条件子的有效性。
2025-11-10 cs.NA math.NA
A unified theory for continuous in time evolving finite element space approximations to partial differential equations in evolving domains
我们发展了一个统一的理论，在时间上连续有限元离散的偏微分方程提出的不断发展的领域，包括考虑方程提出的不断发展的表面和散装域以及耦合的表面散装系统。我们使用一个抽象的变分设置与不定常的函数空间和抽象的不定常有限元空间。在双线性型和抽象有限元空间逼近性质的一般假设下，给出了最优先验界。抽象理论适用于发展有限元在平坦和弯曲的空间。定义和发展了基于演化三角剖分的演化体元和曲面等参有限元空间。这些空间被用来定义近似的抛物型方程在一般域的抽象理论所示的应用。数值实验证实收敛速度。
2020-07-20 cs.NA math.NA
Singularities in phase separation models: a spectral element approach for the nonlocal Cahn-Hilliard equation
Università di Parma（帕尔马大学）；Politecnico di Milano（米兰理工大学）；The University of Edinburgh（爱丁堡大学）；Heriot-Watt University（赫瑞瓦特大学）；King’s College London（伦敦国王学院）
本文提出一种高效且误差可控的数值框架，用于求解具有常数迁移率、对数势能、牛顿相互作用核和无流边界条件的非局部Cahn-Hilliard系统，采用伪谱多形状方法准确近似奇异卷积算子的作用。
2026-04-21 cs.NA math.AP math.NA
Weak convergence rates for temporal numerical approximations of stochastic wave equations with multiplicative noise
本研究针对带乘性噪声的随机波动方程，通过误差拆分与温和Itô公式证明其时间离散的弱收敛速率为强收敛速率的两倍，并通过Python数值模拟验证了结果，填补了相关领域研究空白。
2024-05-23 cs.NA math.NA math.PR
A robust and adaptive GenEO-type domain decomposition preconditioner for $\mathbf{H}(\mathbf{curl})$ problems in three-dimensional general topologies
针对三维一般拓扑中 Maxwell 型 $\mathbf{H}(\mathbf{curl})$ 问题，设计基于谱粗空间的自适应区域分解预条件子，以提升收敛稳健性并处理非平凡拓扑和高纵横比域。
2025-05-16 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A convergent algorithm for forced mean curvature flow driven by diffusion on the surface
本文将二维封闭表面在中曲率流和表面反应扩散过程共同作用下的演化问题建立为一个系统，它不仅将速度定律与表面偏微分方程耦合，而且还与表面法向量和中曲率等几何量的发展方程耦合。两种算法被认为是所获得的系统。这两种方法结合了表面有限元作为空间离散和线性隐式向后差分公式的时间积分。基于我们最近对中曲率流的研究结果，其中一个算法在多项式次数至少为2的有限元和2 ~ 5阶向后差分公式的情况下，直接证明了其完全离散的收敛性。数值例子支持和补充的理论收敛结果（证明该方法的收敛性能，无误差估计），并证明了该方法在模拟三维肿瘤生长模型的有效性。
2020-08-14 cs.NA math.NA
Multigrid Reduction in Time for non-linear hyperbolic equations
时间并行算法通过分解偏微分方程（PDE）的时域来寻求更大的并发性，从而提供加速其解的计算的可能性。虽然时间上的并行化在涉及抛物型方程的应用中已经有了显着的加速，但它在双曲框架中的有效性仍然存在争议：在这种情况下，不稳定性的增长和缓慢的收敛都是强烈的问题，这往往会抵消时间并行化的大部分优点。在这里，我们专注于多网格减少时间（MGRIT）算法，详细研究其性能时，适用于非线性守恒律与各种离散化计划。特别注意的是高精度加权本质不振荡（WENO）重建，再加上强稳定性保持（SSP）的积分，这往往是选择这样的偏微分方程的离散化。一种技术，以提高性能的MGRIT时，适用于低阶，更耗散计划也概述。本研究的目的是在确定的主要原因退化的算法的收敛速度，并发现的Courant-Friedrichs-Lewy（CFL）限制是主要的决定因素。
2021-04-19 cs.NA math.NA
Kernels of discrete convolutions and subdivision operators
University of Passau（帕绍大学）
研究离散卷积算子的核及偏差分算子的齐次解，证明其必为指数多项式，并探讨多项式空间与多变量多项式公共零点乘性的关系。
2014-03-30 cs.NA math.NA
Physics-Informed Kernel Function Neural Networks for Solving Partial Differential Equations
提出将由PDE控制方程推导的物理信息核函数作为RBFNN激活函数的PIKFNN，仅用边界/初始数据训练，并通过多类基准问题验证其可行性与准确性。
2023-06-07 cs.NA math.NA
Adaptive meshfree approximation for linear elliptic partial differential equations with PDE-greedy kernel methods
本文研究椭圆型偏微分方程边值问题的无网格近似，提出了一组推广的PDE-greedy选择准则，分析了近似误差界与收敛速率，并证明目标数据相关算法收敛更快且能缓解维度灾难。
2025-01-23 cs.NA math.NA
Approximation of Stochastic Partial Differential Equations by a Kernel-based Collocation Method
Illinois Institute of Technology（伊利诺伊理工学院）
本文提出基于核配点法（无网格逼近方法）的理论框架，用于估计高维随机偏微分方程的解，并通过隐式时间步进将随机抛物型方程转化为椭圆型方程，数值实验验证了方法的可行性。
2012-09-07 cs.NA math.NA math.PR
A Kernel Based Unconditionally Stable Scheme for Nonlinear Parabolic Partial Differential Equations
本文提出了一类求解变系数非线性抛物型方程的高阶数值格式。该方法基于我们以前对对流-扩散方程的工作[10]，该工作依赖于解的特殊基于核的公式和连续卷积。然而，当我们将以前的方法扩展到我们的方程时，会出现缺点，例如参数的选择效率低下和高维问题的稳定性无法证明。为了克服这些困难，一个新的基于核的配方设计来接近空间导数。该格式保持了原格式的良好性质，包括高阶精度和对一维问题的无条件稳定性，因此与其他显式格式相比，允许更大的时间步长演化。此外，在不增加计算量的情况下，该方法可以扩大公式中特殊参数的可用区间，从而减少误差，提高效率。此外，理论研究表明，它是无条件稳定的多维问题以及。对一维和二维标量和系统的数值试验表明，所设计的格式具有高阶精度和无条件稳定性。
2020-01-13 cs.NA math.NA
FFT-based homogenization on periodic anisotropic translation invariant spaces
University of Kaiserslautern（凯泽斯劳滕大学）
本文推导了在各向异性平移不变空间中均质化准静态弹性方程的离散形式，采用变分公式和所谓的Lippmann-Schwinger方程，并统一和扩展了截断傅里叶级数方法、常数有限元近似和各向异性晶格推导。所得Lippmann-Schwinger方程在各向异性平移不变空间中的形式首次将傅里叶方法和有限元方法统一到一个数学框架中。进一步定义并刻画了所得到的周期化Green算子。该算子在Dirichlet核对应于对角矩阵的情况下，与来自截断傅里叶级数方法和各向异性晶格推导的Galerkin投影算子相同，并且对于其他Dirichlet核也相同。此外，证明了周期化Green算子的有界性。该算子仅当平移空间由Dirichlet核生成时才构成投影。de la Vallée Poussin均值和Box样条的数值示例展示了该框架的灵活性。
2017-01-17 cs.NA math.NA
A kernel compression method for distributed-order fractional partial differential equations
本文提出一种核压缩方法求解分布阶分数阶偏微分方程，通过指数和逼近将非局部历史项转化为局部时间辅助变量系统，结合隐式Runge--Kutta方法实现高效求解，并在2D和3D大规模问题上验证了其灵活性与鲁棒性。
2025-08-19 cs.NA math.NA
An Entropy Stable Nodal Discontinuous Galerkin Method for the Two Dimensional Shallow Water Equations on Unstructured Curvilinear Meshes with Discontinuous Bathymetry
Universität zu Köln（科隆大学）；The Florida State University（佛罗里达州立大学）
本文提出一种高阶准确的节点不连续伽辽金方法，用于求解具有不连续底拓扑的二维浅水方程，方法在非结构曲面网格上保持局部质量和动量，并通过添加特定界面耗散实现熵稳定，同时证明了数值解的平衡性。
2016-06-22 cs.NA math.NA
An Operator Learning Approach via Function-valued Reproducing Kernel Hilbert Space for Differential Equations
最近的许多工作已经解决了一个家庭的偏微分方程的输入和解决方案之间的空间计算的逆算子的解决方案。为此，我们将函数值再生核希尔伯特空间在我们的运营商学习模型。我们使用神经网络来参数化Hilbert-Schmidt积分算子，并提出了一个架构。实验结果表明，该结构在数据量较小的情况下，对线性和非线性偏微分方程均具有较好的求解精度.通过学习函数空间之间的映射，该方法可以在从低分辨率数据学习后找到高分辨率输入的解决方案。
2022-04-02 cs.NA math.NA
Neural Operator: Graph Kernel Network for Partial Differential Equations
神经网络的经典发展主要是有限维欧氏空间和一组类之间的映射，或者两个有限维欧氏空间之间的映射。这项工作的目的是推广神经网络，使它们能够学习无限维空间（运算符）之间的映射。我们工作的关键创新在于，在精心设计的网络架构中，可以使用一组网络参数来描述无限维空间之间以及这些空间的不同有限维近似之间的映射。通过构造非线性激活函数和一类积分算子，给出了无限维映射的逼近。核积分的计算是通过图网络上的消息传递。这种方法有实质性的实际后果，我们将说明在输入数据的偏微分方程（PDE）和他们的解决方案之间的映射的上下文中。在这种情况下，这种学习网络可以在PDE的不同近似方法（例如有限差分或有限元法）之间以及在对应于分辨率和离散化的不同底层水平的近似之间进行概括。实验证实，所提出的图核网络确实具有所需的属性，并显示出竞争力的性能相比，最先进的求解器。
2020-03-07 cs.LG cs.NA math.NA
Polynomial spline collocation method for solving weakly regular Volterra integral equations of the first kind
提出了求解具有特殊分段连续核的第一类Volterra积分方程的多项式样条配置法。高斯型的求积公式被用来近似积分期间的离散化建议的投影方法。得到了近似解的精度估计。随机算法也可以基于计算和估计随机Arrondis de Calculs（CESTAC）方法和数值应用的精度和精度控制（CADNA）库来使用。应用这种方法，可以找到投影方法的最佳参数。数值算例验证了新的配置法的有效性。
2021-11-23 cs.MS cs.NA math.DS
Bayesian Numerical Methods for Nonlinear Partial Differential Equations
微分方程的数值解可以用公式表示为一个推理问题，可以应用形式统计方法。然而，非线性偏微分方程（PDE）从推理的角度提出了实质性的挑战，最显着的是缺乏明确的条件公式。本文将线性偏微分方程的早期工作扩展到一类由非线性偏微分方程指定的一般初值问题，这些问题的动机是对偏微分方程的右端、初始条件或边界条件的评估具有很高的计算成本。该方法基于非线性微分算子的离散化，可以看作是近似似然下的精确贝叶斯推理。概念验证的实验结果表明，有意义的概率不确定性量化的PDE的未知的解决方案可以执行，同时控制的次数的右手边，初始和边界条件进行评估。一个合适的先验模型的PDE的解决方案确定使用新的理论分析的样本路径性质的Matérn过程，这可能是独立的兴趣。
2021-05-03 cs.NA math.NA stat.CO
A Kernel-Density-Estimator Minimizing Movement Scheme for Diffusion Equations
本文为一般二阶和四阶扩散方程提出一种基于核密度估计的最小移动变分格式，并建立了其数学理论。
2023-10-18 cs.NA math.AP math.NA
Lattice Rules Meet Kernel Cubature
LUT University（拉彭兰塔理工大学）；Free University of Berlin（柏林自由大学）；Aalto University（阿尔托大学）
研究用基于再生核的优化权重替代格规则中的等权重，理论证明一维收敛速度翻倍，并通过高维数值实验和随机系数椭圆PDE不确定性量化问题验证效果。
2026-07-01 cs.NA math.NA math.ST
Learning Partial Differential Equations in Reproducing Kernel Hilbert Spaces
提出一种基于泛函线性回归的数据驱动方法，在再生核 Hilbert 空间中学习线性偏微分方程的 Green 函数，通过表示定理降维并扩展预测误差理论，在多种方程上验证了其抗噪性与泛化能力。
2023-04-10 cs.NA math.NA math.ST
