用磨光离散化方法逼近函数的正则化
Regularisation for the approximation of functions by mollified discretisation methods
AI总结：
本文研究磨光离散化方法逼近函数的正则化问题，解析了方法阶数 $s_a$ 与平滑阶数 $s_r$ 的相互作用，发现当 $s_a>s_r$ 且噪声小时不进行统计正则化更优，增益可达 $n^{(s_a-s_r)/(2s_r+d)}$，并通过一维有限元实验验证。
摘要：
一些著名的离散化方法，如有限元，提供了一种从函数在相应网格节点 $x_i$ 上取的 $n$ 个值来逼近 $d$ 变量函数的方法。其精度在 $L^2$ 范数下为 $n^{-s_a/d}$，其中 $s_a$ 是底层方法的阶数。当数据被测量或计算时带有系统性的实验噪声，可能需要进行某种统计正则化，采用阶数为 $s_r$ 的平滑方法（如核的消失矩数）。这一想法是使用某些正则化离散化方法背后的原因，其逼近性质是本文的主题。我们解析了 $s_a$ 和 $s_r$ 在从带有噪声阶 $σ$ 的 $n$ 个测量值重建规则有界域上的光滑函数时的相互作用。我们确定，对于某些依赖于 $n$ 的小噪声 $σ$ 的机制，当 $s_a > s_r$ 时，统计平滑不一定是最佳选择，且“不进行正则化”比“统计正则化”更有益。我们精确量化了这一现象，并表明增益可以达到乘法阶 $n^{(s_a-s_r)/(2s_r+d)}$。我们通过在维度 $d=1$ 下使用 $"mathbb P_1$ 和 $"mathbb P_2$ 有限元进行的数值实验来说明我们的估计。
英文摘要：
Some prominent discretisation methods such as finite elements provide a way to approximate a function of $d$ variables from $n$ values it takes on the nodes $x_i$ of the corresponding mesh. The accuracy is $n^{-s_a/d}$ in $L^2$-norm, where $s_a$ is the order of the underlying method. When the data are measured or computed with systematical experimental noise, some statistical regularisation might be desirable, with a smoothing method of order $s_r$ (like the number of vanishing moments of a kernel). This idea is behind the use of some regularised discretisation methods, whose approximation properties are the subject of this paper. We decipher the interplay of $s_a$ and $s_r$ for reconstructing a smooth function on regular bounded domains from $n$ measurements with noise of order $σ$. We establish that for certain regimes with small noise $σ$ depending on $n$, when $s_a > s_r$, statistical smoothing is not necessarily the best option and {\it not regularising} is more beneficial than {\it statistical regularising}. We precisely quantify this phenomenon and show that the gain can achieve a multiplicative order $n^{(s_a-s_r)/(2s_r+d)}$. We illustrate our estimates by numerical experiments conducted in dimension $d=1$ with $\mathbb P_1$ and $\mathbb P_2$ finite elements.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
