Uniformization of Riemann surfaces revisited
Cipriana Anghel, Rares Stan
本文给出了非紧单连通黎曼曲面的一致化定理的一个初等且完备的证明。
We give an elementary and self-contained proof of the uniformization theorem for non-compact simply-connected Riemann surfaces.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Uniformization of domains in the Riemann sphere via the Kobayashi metric
本文通过Kobayashi度量证明了Riemann球面中区域的单值化定理，不依赖椭圆模函数，而使用球面中区域完全Kobayashi双曲性的刻画。
Uniformization of simply connected finite type log-Riemann surfaces
我们考虑单连通对数黎曼曲面与有限个分歧点。我们证明了这些曲面是双全纯到C的，其一致化由形式为F（z）= \int Q（z）e^{P（z）} dz的整函数给出，其中P，Q是次数分别等于无穷阶和有穷级分歧点数目的多项式。相反，任何这样的整函数定义了一个单连通的对数黎曼曲面，它有许多分歧点。
Uniformizations of stable $(γ,n)$-gonal Riemann surfaces
一个$(γ,n)$对是一个对$(S,f)$，其中$S$是一个闭黎曼曲面，而$f:S \to R$是到一个亏格为$γ$的闭黎曼曲面$R$上的一个度$n$全纯映射.如果$(S,f)$的签名是双曲线型的，则存在对$(Γ,G)$，称为$(S,f)$的一致化，其中$G$是作用于单位圆盘${\mathbb D}$的Fuchsian群，该单位圆盘包含$Γ$作为索引$n$子群，使得$f$通过包含$Γ<G$而导出。的统一化是唯一确定的$(S,f)$，直到共轭的全纯自同构的${\mathbb D}$，它允许提供自然复杂的orbifold结构的赫维茨空间参数化（扭曲）同构类的对拓扑等价于$(S,f)$。为了产生这些Hurwitz空间的某些紧化，需要考虑所谓的稳定的$(γ,n)$ -P-S对，它们是$(γ,n)$ -P-S对的自然几何变形。由于以上所述，寻找稳定的$(γ,n)$ -对偶对在某类Kleinian群中的一致化似乎是有趣的。在本文中，我们审查这样的一致化通过使用节点Fuchsian群，这是（几何）限制Fuchsian群的拟共形变形，并提供稳定的黎曼orbifolds的一致化。这些单值化允许获得具有复杂orbifold结构的Hurwitz空间的紧化，这些是$G$的增广Teichmüller空间通过其模群的适当有限指数子群的继承。
The circle packing and Riemann uniformization embedding of the mated-CRT map converges to Liouville quantum gravity
本文证明 mated-CRT 映射在圆填充和黎曼均匀化嵌入下收敛于刘维尔量子引力，并推广了 He-Schramm 的收敛结果，为后续生成树加权平面映射的收敛奠定基础。
Circle packing and Riemann uniformization of random planar maps in an ergodic scale-free environment
研究证明，在满足特定条件时，随机平面图在大规模上接近其圆打包和黎曼统一化嵌入，扩展了随机游走不变性原理的应用。
The circle packing and Riemann uniformization embedding of the tree-weighted planar maps converges to Liouville quantum gravity
本文证明树加权平面地图在圆堆积和黎曼均匀化嵌入下收敛于$\sqrt{2}$-LQG，并附带证明自然路径收敛于SLE$_8$。
Uniformization of higher genus finite type log-Riemann surfaces
本文考虑具有有限个分歧点的log-Riemann曲面$\mathcal{S}$，其基本群为非线性生成的. log Riemann曲面具有局部全纯微分同态$π: \mathcal{S} \to \C$。证明了$\mathcal{S}$是一个具有多个穿孔$S$的紧致Riemann曲面的双全纯映射，并且1-型$dπ$在双全纯映射$ϕ: S \to \mathcal{S}$下的拉回是一个在指数型穿孔处具有孤立奇点的1-型$ω= ϕ^* dπ$，即在每个穿孔$p$附近，$ω= e^h \cdot ω_0$其中$h$是一个在$p$附近的亚纯函数，$ω_0$是一个在$p$附近的1-型亚纯函数.
Projective structures and exact variational formula of monodromy group of the linear differential equations on compact Riemann surface
本文研究了亏格为$g \geq 2,$的紧致Riemann曲面上的线性多形函数的单值群，并结合Kleinian群对这些曲面的标准单值化，得到了紧致Riemann曲面上的线性多形函数给出该曲面的标准单值化的一个充要条件.本文研究了单值映射$p : {\bf T}_{g}Q \rightarrow \mathcal{M},$，其中${\bf T}_{g}Q$是亏格为$g,$的紧致Riemann曲面的Teichmueller空间上的全纯二次阿贝尔微分的向量丛，$\mathcal{M}$是亏格为$g.$的单值群空间。本文证明了在任何空间上，它由与亏格的标准一致化紧致Riemann曲面相连接的签名$σ= (h, s; i_{1},..., i_{m}),$的Koebe群的拟共形变形构成$g = |σ|,$该映射$p$具有路径提升属性。得到了二阶线性微分方程单值群的精确变分公式和紧致Riemann曲面上Schwartz方程解的第一变分公式。
Families of Riemann Surfaces, Uniformization and Arithmeticity
Bers和Griffiths关于复代数簇的一致化的结果的一个结果是，具有有限双曲型基和纤维的黎曼曲面族的泛覆盖是一个可收缩的二维域，它可以被实现为单位圆盘的全纯运动的图。在本文中，我们确定哪些全纯运动产生这些一致化域，并描述其中对应的算术家庭（即家庭定义的数域）。然后，我们应用这些结果来表征算术复杂的表面的一般类型的biholomorphism类的2维域，出现作为通用覆盖的Zagliki开子集。对于Kodaira纤维化的重要类，这个标准意味着算术性可以从万有覆盖中读出。所有这一切都与复一维中的相应情况形成了鲜明的对比，在复一维中，万有覆盖总是单位圆盘。
Quillen connection and the uniformization of Riemann surfaces
${\mathcal L} \rightarrow {\mathcal M}_g$上的Quillen联络，其中${\mathcal L}^*$是光滑复射影曲线曲线${\mathcal M}_g$的模堆叠上的Hodge线丛，$g \geq 5$，由其曲率是${\mathcal M}_g$上的Weil-Petersson形式的条件唯一确定. ${\mathcal L}$上的全纯联络丛与${\mathcal M}_g$上由投射结构的模栈给出的丛具有唯一的全纯同构。这个同构将由${\mathcal L}$上的Quillen联络给出的第一丛的$C^\infty$部分取到由单值化定理给出的第二丛的$C^\infty$部分。因此，这两个部分中的任何一个都唯一地确定另一个。
Towards a proof of the Classical Schottky Uniformization Conjecture
本文证明每个 Belyi 曲线可被经典 Schottky 群单值化，从而推出经典 Schottky 单值化曲面在模空间中开且稠密，为猜想提供关键证据。
Nonuniformizable skew cylinders. A counterexample to the simultaneous uniformization problem
在1960年底，Yu.S.Ilyashenko提出了一个问题：对于Stein流形上任何具有奇点的一维全纯叶理，与横切圆盘相交的叶是否可以被均匀化，使得均匀化函数全纯依赖于横切参数？在本文中，我们构造了一个二维反例。这与Yu.S.Ilyashenko（引理1）以前的结果一起暗示了由删除奇点的有理函数的水平曲线在仿射（射影）代数曲面上的叶状给出的一个反例的存在性。这也意味着Bers的拓扑平凡的全纯叶理的紧致黎曼曲面的同时一致化定理并没有推广到一般的纤维化紧致黎曼曲面的奇异性。
Uniformization Of Metric Surfaces Using Isothermal Coordinates
我们建立了度量曲面--具有局部有限Hausdorff 2-测度的拓扑曲面的度量空间的一致化结果。利用拟共形的几何定义，我们证明了一个度量曲面，可以覆盖的拟共形图像的欧几里得整环是拟共形等价的黎曼曲面。为了证明这一点，我们构造了合适的等温坐标。
Simple proofs of uniformization theorems
Morrey证明的可测Riemann映射定理以及Ahlfors，Lavrentiev和Vekua在某些特殊情况下证明的可测Riemann映射定理表明，$\rd$上的任何可测几乎复结构（$S^2$）有界扩张是可积的：存在$\rd$的拟共形同胚（$S^2$）到$\cc$上（$\bc$）将给定的殆复结构转化为标准结构。我们给出了这个定理的一个初等证明，证明过程如下。首先证明了它的双周期形式：两个环面上的每个$\ci$殆复结构都可以通过一个同构变换到相应复环面上的标准复结构.证明是基于带参数的$\td$上Beltrami方程的同伦方法。(As一个副产品，我们提出了庞加莱-柯比定理的一个简单证明，即每个单连通黎曼曲面共形等价于$\bar{\cc}$，或$\cc$，或单位圆盘。）然后，一般情况下处理的$\ci$双周期逼近和简单的正规性参数（包括Grötzsch不等式）的经典计划。
Uniformization of embedded surfaces
设X是嵌入三维球面的亏格为2的闭曲面。然后X继承了一个度量和一个方向，这给出了一个殆复结构，它自动集成到一个真正的复结构，使X成为黎曼曲面。由此得出X共形同构于黎曼球面的分支覆盖，或者通过富克斯群的作用共形同构于单位圆盘的商。这些陈述背后的定理是重要的，众所周知的，并且有一个世纪的历史。尽管如此，我们认为，文献中没有任何例子可以明确的结构的一个重要部分。这本专著是一个部分成功的尝试，提供这样一个例子，从一个特定的表面X，有有趣的几何形状。所需的理论是令人惊讶的丰富，并支持大量的Maple代码，这是用于半形式化验证的许多证明，以及数值计算。
Caratheodory convergence of log-Riemann surfaces and Euler's formula
我们定义了对数黎曼曲面的概念和对数黎曼曲面的Caratheodory收敛。证明了单连通对数黎曼曲面的一致化在Caratheodory拓扑中收敛的一个收敛定理。作为推论，我们得到了欧拉公式（1 + z/n）^n -> e^z的一个纯几何证明。
The sixth Painleve transcendent and uniformization of algebraic curves
我们展示了Painleve列表的第六个方程和显式一致化代数曲线的无限族之间的显着联系。Fuchsian方程、群变换的同余、相应黎曼曲面上的函数和微分的微分学、阿贝尔积分、解析联系（Chazy方程的推广）以及这些曲线的均匀化的其他属性都可以得到。作为该理论的副产品，我们建立了Picard-Hitchin曲线、超椭圆曲线、穿孔环面、Heun方程和著名的微分方程之间的关系，而Aesthetic用该微分方程证明了Riemann zeta（3）的不合理性。
A Simple Ricci Flow Proof of the Uniformization Theorem
本文利用 Ricci 流给出了 Riemann 面单值化定理的一个简单证明，其核心方法是对二维球面上 Ricci 流的 Hamilton 等周估计进行改进。
Uniformisation des surfaces de Riemann
本文仅用全纯函数基本性质、不依赖仿紧性，通过布朗球面拓扑刻画的全纯版本、带边曲面双重构造的推广及若尔当分离算术，证明了黎曼曲面单值化定理。
Polyhedral approximation of metric surfaces and applications to uniformization
本文证明带边长度曲面是多面体曲面的Gromov-Hausdorff极限，并利用极限论证与经典单值化定理，建立了局部有限Hausdorff 2-测度长度曲面的“单边”拟共形单值化定理，同时给出Bonk-Kleiner定理的新证明。
Discrete uniformization of polyhedral surfaces
本文针对多面体曲面的离散共形问题，证明了两类多面体曲面可离散共形于带非空闭离散子集的完备常曲率黎曼曲面，并给出离散黎曼映射定理，相关证明依托于近期离散几何相关成果。
Uniformization of Gromov hyperbolic domains by circle domains
本文证明了黎曼球面上的域为Gromov双曲当且仅当共形等价于均匀圆域，解决了Bonk-Heinonen-Koskela猜想并验证了Koebe猜想，且均匀化映射在Möbius变换下唯一。
Polyhedral approximation and uniformization for non-length surfaces
证明了任何具有局部有限Hausdorff 2-测度的度量曲面（即与带边界带边流形同胚的度量空间）是具有控制几何的多面体曲面的Gromov-Hausdorff极限.我们使用这个结果，与经典的一致化定理，证明任何度量表面同胚的2-球面有限Hausdorff 2-措施承认一个弱拟共形参数化的黎曼球，回答一个问题的Rajala-Wenger。这些结果已经建立了作者的假设下，度量表面进行长度度量。作为推论，我们获得了新的证明的一致化定理的Bonk-Kleiner的准球面和Rajala的倒易表面。另一个推论是一个简化的定义倒易表面，这回答了一个问题的Rajala关于最小的假设下，一个度量表面是quasiconformally相当于一个欧几里得整环。
Quasisymmetric parameterizations of two-dimensional metric planes
经典的单值化定理指出，任何单连通的黎曼曲面共形地等价于圆盘、平面或球面，每一个都具有标准的共形结构。我们给出了一个类似的均匀化Ahlfors 2-正则，线性局部连通度量平面，而不是共形等价，我们关心的是准对称等价。
Handlebodies of Infinite Genus and Schottky Groups
本文通过定义展开对无限亏格把手体、无限生成肖特基群及单值化问题的研究，证明相关曲面和把手体的拓扑单值化、特定黎曼曲面的拟共形单值化及唯一性，并给出反例。
Conformal mappings of stretched polyominoes onto half-plane
本文给出了求上半平面上的共形映射和某些类型多边形的共形模的一个算法。多边形通过沿实轴多角形拉伸而获得，即，多边形是单位正方形与来自整数格的顶点的连接并集。我们考虑两种类型的多角异构体，即所谓的$P$ -五角异构体和$L$ -四角异构体。证明是基于Riemann-Schwarz反射原理和紧致单连通Riemann曲面的有理函数一致化。
Conformality of quasiconformal mappings at a point, revisited
给出了Teichmüller-Wittich-Belinskii和Gutlyanskiii-Martio关于拟共形映射在给定点的共形性定理的一个新的简单证明.已知的证明给出了径向和角度变化的单独估计，但我们的证明使用黎曼球面上四个点的交比变化的Grötzsch型不等式将它们统一起来。我们还给出了$C^{1+α}$ -共形的一个充分条件
A Hodge theoretic projective structure on Riemann surfaces
给定任何紧致Riemann曲面$C$，在$C\times C$上存在一个规范亚纯2-形式$\widehatη$，其对角线上的二阶极点为$Δ\, \subset\, C\times C$，在\cite{cfg}中构造。这个亚纯2-形式$\widehatη$在$C$上产生一个标准的投射结构.另一方面，单值化定理在任何紧致黎曼曲面$C$上提供了另一个典型的射影结构。我们证明，这两个射影结构不同的一般。这是通过比较$(0,1)$（投影结构模空间的相应部分在曲线模空间上的微分分量）来完成的。$(0,1)$ --对应于由单值化定理给出的投影结构的部分的微分的分量由Zoeland和Takhtadzhyan在\cite{ZT}中计算为曲线的模空间上的Weil-Petersson Kähler形式$ω_{wp}$。我们证明了$(0,1)$ -分量的微分部分的投射结构的模空间对应于$\widehatη$是拉回的非零常数标量倍的西格尔形式，模空间上的主要极化阿贝尔簇，由Torelli映射。
On hermitian-holomorphic classes related to uniformization, the dilogarithm, and the Liouville Action
紧致Riemann曲面上的常负曲率点是Liouville作用泛函的临界点，在最近的构造中，Liouville作用泛函被严格定义为Cech-de Rham复形中关于曲面的适当覆盖的一类.我们证明了这类是度量化全纯切丛在厄米特-全纯Deligne上同调中的平方。我们实现了这一点，通过引入一个不同版本的厄米特全纯Deligne复杂的，但准同构的Brylinski在他的建设Quillen线丛。重新证明了与上同调结构行列式的关系。此外，如果我们将覆盖专门化为克莱因单值化所提供的覆盖（从而允许可能不连通的表面），则同一类可以重新解释为由布洛赫-维格纳双对数表示的调节器类的超越。
Uniformizable singular projective structures on Riemann surface orbifolds
本文致力于刻画定义在Riemann曲面orbifold上的复射影结构，并给出定义在曲面（orbifold）的单值覆盖上的内射展开映射。这些结构的相关性源于几个问题，涉及向量场与统一的解决方案，以及从“同时均匀化”的叶片叶理黎曼表面的问题。在本文中，我们首先描述的局部结构所提到的射影结构显示，特别是，它们是局部有界的。在黎曼曲面orbifolds的有限型的情况下，前面的结果将允许我们提供一个详细的全球图片，这些投影结构，利用他们的连接类的“有界覆盖投影结构”。
Log-Riemann Surfaces
我们引入对数黎曼曲面的概念。这些黎曼曲面是通过等距地将平面剪切和粘贴在一起而得到的，并且配备了一个称为投影映射的C的全纯局部自同构，以及一个通过拉回欧几里德度量而获得的相应平坦度量。我们定义分歧点是在曲面的度量完备化中关于诱导路径度量添加的点;任何这样的点都具有定义良好的阶$1 \leq n \leq +\infty$，使得限制于该点的小穿孔邻域的投影映射是C中穿孔圆盘的$n-to-1$覆盖。本文证明了单连通的log-Riemann曲面具有多个分歧点，且其关于投影映射所给出的曲面上的特殊图的一致化是由$F(z) = \int Q(z)e^{P(z)} dz$形式的整函数给出的，其中$P, Q$是次数分别等于无穷阶和有穷级分歧点个数的多项式.我们还开发了一个代数理论，这样的对数黎曼曲面，定义一个环的表面上的功能与有限值在所有的分歧点，使环分离的所有点，包括无限阶分歧点。
Few remarks on the Poincaré metric on a singular holomorphic foliation
本文研究奇异全纯叶状结构上Verjovsky均匀化映射模量在Carathéodory核意义下随定义域变化时的连续性，受Lins Neto--Martins工作启发。
On smooth moduli space of Riemann surfaces
本文研究闭黎曼曲面的光滑模空间。这种光滑模是闭Riemann曲面的通常模空间$\mathscr{M}_g$的无限覆盖，并与秩为$g.$的Schottky空间相一致。本文的主要定理是：闭Riemann曲面可由豪斯多夫维数小于1的Schottky群一致化。本文是目前文献中唯一研究Riemann曲面单值化及其豪斯多夫维数的论文。我们发展了Riemann曲面同调标记的有理范数和概率测度分解的新技巧来证明我们的结果。作为定理的应用，我们得到了光滑模空间坐标系中黎曼曲面周期矩阵的存在性。
Similarity surfaces, connections, and the measurable Riemann mapping theorem
本文通过构造由多边形粘合的相似曲面序列，研究复平面上Beltrami方程解的逼近，独立证明了解关于Beltrami形式的解析依赖性，并证明紧支集C²数据下Christoffel符号定义的平行移动序列收敛于特定仿射联络对应的平行移动。
A Commentary on Teichm{ü}ller's paper ``Bestimmung der extremalen quasikonformen Abbildungen bei geschlossenen orientierten Riemannschen Fl{ä}chen''
这是对Teichm {ü} ller的论文"Bestimmung der extremalen quasikonformen Abbildungen bei geschlossenen orientierten Riemannschen Fl {ä} chen"（Determination of extremal quasiconformal maps of closed oriented Riemann surfaces）的数学评论。本文是最后（可能是最后一个），Teichm {ü} ller写的理论模量。它包含证明所谓的Teichm {ü} ller存在定理的闭曲面的亏格至少2。为了证明这一点，作者定义了一个映射之间的空间的等价类的标记黎曼曲面（Teichm {ü} ller空间）和一个空间的等价类的某些富克斯群（即所谓的Fuchke空间）。然后，他定义了后者与6g-6维的欧几里得空间之间的映射，并利用Brouwer的论域不变性定理证明了该映射是同胚的。这涉及到特别是一个仔细定义的拓扑结构的Sparkke空间，计算其维数，并比较结果之间的双曲距离和拟共形膨胀。区域不变性定理的使用是在庞加莱和克莱因的精神使用所谓的"连续性原理"在他们试图证明的一致化定理。
Strict Wick-type deformation quantization on Riemann surfaces: Rigidity and Obstructions
本文通过单值化理论研究双曲Riemann曲面上的Wick型形变量子化，揭示了拓扑障碍，并完全确定了Fréchet代数退化、非交换及强同构的条件。
Dimers and M-Curves: Limit Shapes from Riemann Surfaces
本文提出一种基于变分和可积系统技术及M-曲线的纯变分方法，通过二聚体高度函数与对偶磁张力极小化子的对偶性，推导了准周期权重下Aztec diamond和六边形的极限形状，并利用Schottky uniformization技术验证了预测结果。
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