The unicity of real Picard-Vessiot fields
证明了实微分域上微分模的实Picard-Vessiot域的唯一性。
2013-02-05 math.AC math.AG math.CT
Real and p-adic Picard-Vessiot fields
本文考虑实微分域和p-adic微分域上的微分模，使得它们的常数域是实封闭的（分别是p-adic封闭的）.利用德利涅的工作Tannakian范畴和塞尔的结果伽罗瓦上同调，一个纯粹的代数证明的存在性和唯一性的真正（分别为p进）Picard-Vessiot领域得到。
2013-08-31 math.AG
Picard-Vessiot Extensions of Real Differential Fields
对于定义在具有实闭常数域k的形式实微分域K上的线性微分方程，Crespo，Hajto和van der Put证明了存在唯一的形式实Picard-Vessiot扩张直到K-微分自同构。然而，这样的方程可以具有不是形式实域的Picard-Vessiot扩展。这个方程的Picard-Vessiot扩张的微分伽罗瓦群具有定义在k上的线性代数群的结构，并且是微分域K（i）上的方程的微分伽罗瓦群H的k-形式，其中i表示k的代数闭包中-1的平方根。这些事实使我们考虑两个问题：确定Picard-Vessiot扩张的K-微分同构类的个数和描述H的k-形式集合中微分伽罗瓦群的变化。我们解决这两个问题的情况下，当H是一个特殊的线性，一个特殊的正交，或辛线性代数群，并得出结论，没有一般的行为。
2019-12-24 math.AG
Generalized Picard-Vessiot extensions and differential Galois cohomology
在较早的文件证明，如果一个微分领域$(K,δ)$是代数封闭和封闭的皮卡德Vessiot扩展，然后每一个微分代数主齐性空间在K上的线性微分代数群G在K有一个K-有理点（事实上当且仅当）。本文探讨了这是否可以推广到（a）多个导子，（b）一个自同构，如果可以，如何推广。在“广义Picard-Vessiot扩张”（多导子情形）的自然概念下，给出了一个反例.我们也有一个反例的情况下，一个自同构。我们还制定和证明了一些积极的声明的情况下，几个导子。
2017-09-11 math.AG
Picard-Vessiot groups of Lauricella's hypergeometric systems $E_C$ and Calabi-Yau varieties arising integral representations
本文研究了Lauricella超几何函数$F_C$的单值群$\mathbf{Mon}$的Zaplski闭包.如果单位连通区$\mathbf{Mon}^0$作用不可约，则$\overline{\mathbf{Mon}} \cap \mathbf{SL}_{2^n}(\mathbb{C})$必须是经典群$\mathbf{SL}_{2^n}(\mathbb{C}), \mathbf{SO}_{2^n}(\mathbb{C})$和$\mathbf{Sp}_{2^n}(\mathbb{C})$之一。我们还研究了由$F_C$的整表示所产生的Calabi-Yau簇。
2018-07-28 math.AG
Quasialgebraicity of Picard--Vessiot fields
证明了在单值群的谱假设下，黎曼球面上的Fuchsian线性方程组的解的孤立零点个数有明确的整体界.
2002-06-03 math.AG math.CV math.DS
Skolem-Mahler-Lech type theorems and Picard-Vessiot theory
我们证明了三个含有理函数系数的线性差分方程问题本质上是等价的。第一个问题是将经典的Skolem-Mahler-Lech定理推广到有理函数系数。第二个问题是对于给定的线性差分方程，序列环内是否存在Picard-Vessiot扩张。第三个问题是动力学Mordell-Lang猜想的一个特例。这使我们能够在一个特殊但相当普遍的特殊情况下推导出前两个问题的解。
2012-03-07 math.AC math.AG math.DS
Embedded Picard-Vessiot extensions
本文证明了：若T是一个大的、有界的、特征为零的域的理论，几乎量词消去，T_D是T +“D是导子”的模伴，则对T_D的任一模U，U的常域为T的模的微分子域K，以及K上的线性微分方程DY = AY，K上的对数微分方程在K的常数上的连通代数群上也是如此，K的强正规扩张也是如此。
2017-08-31 math.AG math.LO
Picard-Vessiot extensions, linear differential algebraic groups and their torsors
本文证明了线性微分代数群挠子空间在 Picard-Vessiot 闭包中的 Kolchin-稠密性，揭示了 Picard-Vessiot 扩张与挠子的关系，并提出了域有界性概念的微分域类似物。
2023-07-27 math.AG
Supersymmetric Picard-Vessiot Theory, I: Basic Theory
本文沿用 Takeuchi 的 Hopf 代数框架，将 Picard-Vessiot 理论推广至超对称情形，定义 SUSY 域并以 $D$-SUSY 域替代微分域。
2023-08-27 math.AG
Parameterized Picard-Vessiot extensions and Atiyah extensions
推广Atiyah扩张，引入并研究了微分环上的微分交换张量范畴.所谓微分环，是指具有李环的导子作用的交换环.特别地，这些导子作用于微分范畴。一个微分Tannakian理论的发展。主要应用是伽罗瓦理论的线性微分方程的参数。也就是说，我们表明存在一个参数化的Picard-Vessiot扩展，因此，伽罗瓦对应的许多微分领域，可能是非差分封闭领域的常数，即领域的功能参数。其他应用包括一个大大简化的测试线性微分方程组的参数是isomonodromic，这将出现在一个单独的文件。这种应用是基于本文中开发的微分范畴，而不仅仅是微分代数群及其表示。
2013-03-03 math.AC math.AG math.CA
Burchnall-Chaundy polynomials for matrix ODOs and Picard-Vessiot Theory
本文研究了矩阵常微分算子的BC多项式及其与Picard-Vessiot理论的关系，通过定义矩阵微分结果，证明了其具有常数系数并提供了谱问题的解条件。
2023-05-23 math.AG math.CA
Differential Galois cohomology and parameterized Picard-Vessiot extensions
假设微分域$(K,δ)$在León Sánchez和Tressl的意义下是微分大的，并且作为域是“有界的”，我们证明了对于$K$上的任何线性微分代数群$G$，微分Galois（或约束）上同调集$H^1_δ(K,G)$是有限的。这适用于，除其他事项外，以封闭有序微分场$K$，在辛格的意义上，并封闭$p$ -adic微分场的意义上的Tressl。作为应用，我们证明了在某些域族内参数化Picard-Vessiot扩张的一般存在性结果;如果$(K,δ_x,δ_t)$是具有两个交换导子的域，$δ_x Z = AZ$是$K$上的参数化线性微分方程，$(K^{δ_x},δ_t)$是“微分大”的，$K^{δ_x}$是有界的，并且$(K^{δ_x}, δ_t)$在$(K,δ_t)$中存在闭，则对于该方程存在$K$的PPV扩展$(L,δ_x,δ_t)$，使得$(K^{δ_x},δ_t)$在$(L,δ_t)$中存在闭的。例如，如果形式实微分场$(K,δ_x,δ_t)$的$δ_x$ -常数是一个闭序$δ_t$ -场，则对于$K$上的任何齐次线性$δ_x$ -方程，存在形式实的PPV扩张。类似的观察适用于$p$-adic字段。
2020-09-13 math.AG math.LO
Triviality of differential Galois cohomologies of linear differential algebraic groups
我们证明了线性微分代数群的偏微分域K上的微分伽罗瓦上同调的平凡性等价于K在代数上、Picard-Vessiot和线性微分闭.这也被称为前者是等价的唯一性，直到同构的Picard-Vessiot扩张的线性微分方程的参数。
2017-07-26 math.AG
Finite dual of a cocommutative Hopf algebroid. Application to linear differential matrix equations and Picard-Vessiot theory
微分伽罗瓦论的一个基本工具是给微分域上的每个有限维微分模分配一个代数群，使得它生成的微分模的范畴等价于群的表示范畴，作为一个对称的幺半范畴。它的基础集则被认为是这个微分模的基域的Picard-Vessiot域扩张的微分自同构群。这些结果可以通过Tannaka重建过程，应用于有限维微分模的阿贝尔范畴得到。在本文中，我们探讨了推广这一理论的可能性时，微分场被替换为一个更一般的微分环$A$。在这种情况下，我们可以考虑在$A$上投射的可微生成的微分模。一个主要的障碍是这个范畴不是阿贝尔的，与$A$是一个域的经典情形相反。为了克服这一困难，我们开发了一些基本的结果有关的\emph{finite dual}，在此介绍，一个余交换的Hopf代数体，和一个典型的monoidal函子发送（微分）模块的余模。本文引入了一个正则环同态，定义域在有限对偶中，值在卷积环中，证明了这个函子是范畴的等价。研究了其内射性的模理论充分条件。这一机制适用于微分模及其Picard-Vessiot理论。
2018-04-27 math.AC math.AG math.RA
Jacobian Conjecture via Differential Galois Theory
证明了多项式映射可逆的充要条件是伴随的微分环同态是双射的。为此，我们使用Crespo和Hajto的一个定理，将多项式映射的可逆性与偏微分场的Picard-Vessiot扩张、Kovacic提出的强正规扩张理论和Levelt给出的Picard-Vessiot扩张的张量积的特征联系起来。
2019-05-03 math.AG
The inverse problem of differential Galois theory over the field R(z)
本文描述了具有非代数闭域常数场的微分场的Picard-Vessiot理论。作为构造和分类Picard-Vessiot扩张的技术，我们发展了伽罗瓦下降理论。利用这一理论证明了$\mathbb{R}$上的每个线性代数群$G$都是$\mathbb{R}(z)$上的微分伽罗瓦群。证明的主要内容是$\mathbb{C}(z)$上正则奇异微分方程的Riemann-Hilbert对应。
2008-02-20 math.AG math.CA
Differential Galois Theory of Algebraic Lie-Vessiot Systems
本文发展了代数齐性空间中代数Lie-Vessiot系统的微分伽罗瓦论。Lie-Vessiot系统是一种非自治向量场，它是一个代数李群作用的基本向量场的系数依赖于时间的线性组合。这些系统是微分方程的基石，允许叠加的解决方案。代数齐性空间中的Lie-Vessiot系统包括线性微分方程的情况。因此，Lie-Vessiot系统的微分伽罗瓦论是经典Picard-Vessiot理论的推广。特别是，代数Lie-Vessiot系统是可解的Kolchin的强正规扩张。因此，强正规扩张在几何上被解释为伽罗瓦群上主齐性空间上的函数域。最后我们考虑了自守微分方程的可积性和可解性问题。我们的主要工具是一种经典的归约方法，在某些地方被称为Lie归约。我们开发了这种方法的代数版本，我们称之为Lie-Kolchin还原。应用的障碍与伽罗瓦上同调有关。
2009-01-28 math.AG math.CA
Galois theory of differential schemes
提出适用于微分概形态射的Galois理论，推广了线性Picard-Vessiot理论与Kolchin强正规理论。
2025-10-14 math.AC math.AG math.CT
Picard schemes of noncommutative bielliptic surfaces
研究了双椭圆曲面的Brauer群中的非平凡元，证明了它们在曲面的泛点上可以实现为具有简单结构的Azumaya代数.我们继续研究与这样的Azumaya代数相关的非交换Picard方案的一些性质。
2023-02-16 math.AG
Picard groups, weight structures, and (noncommutative) mixed motives
我们开发了一个通用的理论，使计算的皮卡德群的对称monoidal三角范畴，配备了重量结构，在皮卡德群的相关心脏。作为应用，我们计算了几类动机性质的Picard群--混合Artin动机、混合Artin-Tate动机、动机谱、非交换混合Artin动机、中心单代数的非交换混合动机、可分代数的非交换混合动机--以及对称环谱的导出范畴的Picard群.
2016-01-04 math.AG math.AT math.CT
An algorithm for computing differential equations for invariant curves
在本文中，我们描述了一个算法的Picard-Vessiot理论的基础上，构造，给定任何曲线不变下的有限线性代数群在复数，一个普通的线性微分方程的Schwarz映射参数化它。
2017-09-03 math.AG
Computing the differential Galois group of a one-parameter family of second order linear differential equations
我们开发的算法来计算对应于一个单参数的家庭的二阶齐次常线性微分方程与有理函数系数的微分伽罗瓦群。更精确地说，我们考虑形式为\frac{\partial^2Y}{\partial x^2} + r_1 \frac{\partial Y}{\partial x} + r_2 Y =0的方程，其中$r_1,r_2\in C(x,t)$和$C$是特征为零的代数闭域。我们的工作在参数化Picard-Vessiot理论的设置，其中附加了一个线性微分代数群这样的方程，也就是说，一组可逆矩阵的条目满足系统的多项式微分方程，相对于参数空间中的推导。我们将计算$\frac{\partial}{\partial t}$ -微分-多项式方程，该方程将相应的参数化Picard-Vessiot群定义为$\mathrm{GL}_2$的微分代数子群。
2012-08-10 math.AC math.AG math.CA
On the definition of the Galois group of linear differential equations
让我们考虑一个微分域K上的线性微分方程。对于由方程的基本系统生成的微分域扩张L/K，我们证明了根据Umemura的广义伽罗瓦论的伽罗瓦群与Picard-Vessiot伽罗瓦群重合.这一结论推广了Umemura和Casale的比较定理。
2012-12-17 math.AC math.AG
Schwarz maps of Algebraic Linear Ordinary Differential Equations
一个线性常微分方程称为代数方程，如果它的所有解在它的定义域上都是代数的。本文用标准方程组的形式解决了代数线性常微分方程的封闭解问题。进而，利用Picard-Vessiot理论，通过研究与之相关联的Schwarz映射，得到了计算所有有理系数代数线性常微分方程的方法.
2016-09-21 math.AG
Noncommutative geometry of elliptic surfaces
本文用非交换环面和周期连分数的单参数族重新表述射影直线上的椭圆曲面，利用该对应关系研究了此类曲面的Picard数、秩和极小模型，并计算了纤维具有复乘的椭圆曲面的Picard数。
2024-04-26 math.AG math.NT math.OA
Solvability of Equations by Quadratures and Newton's Theorem
Picard-Vessiot定理（1910）给出了$n$阶线性微分方程可按其伽罗瓦群求积的充要条件.它是基于微分伽罗瓦论，而涉及。刘维在1839年发现了一个基本准则，这种可解性为$n=2$。J.F.Ritt简化了Liouville定理（1948）。1973年M. Rosenlicht证明了任意$n$的类似准则。Rosenlicht的工作依赖于赋值论，而且不是初级的。在这些笔记中，我们表明，小学刘维-里特方法的基础上开发的解决方案，在Puienix系列作为一个参数的函数，工程顺利地为任意$n$，并证明了相同的准则。
2018-09-21 math.AG
Iterative differential Galois theory: a model theoretic approach
本文将Kolchin微分伽罗瓦论自然扩张到正特征迭代微分场，将Matzat和van der Put最近发展的Picard-Vessiot迭代理论推广到非线性情形。我们使用迭代微分场的模型论提供的方法和框架。给出了迭代微分域的强正规扩张的定义，证明了这些扩张具有良好的伽罗瓦论，并证明了一个G-本原元定理.另外，利用代数群弧空间的基本理论，定义了迭代对数方程，并证明了我们的强正规扩张是这些方程的Galois扩张.
2009-07-27 math.AG math.LO
Differential Galois Theory and Hopf Algebras for Lie Pseudogroups
本文利用微分代数、微分几何和代数几何重新审视微分伽罗瓦理论，澄清素微分理想与极大理想的混淆，并通过霍普夫代数研究代数李伪群的结构，将代数群的伽罗瓦对应推广到代数伪群。
2023-07-13 math.AG math.DG math.GR
Differential galois theory and mechanics
经典的伽罗瓦论处理某些有限的代数扩张，并建立了一个双射序反转对应之间的中间域和一组置换称为伽罗瓦群的扩张。在19世纪末，许多数学家的梦想是将这些结果推广到代数偏微分（PD）方程组和相应的微分扩张，以便能够在任何经典陈述之前添加微分这个词。Picard-Vessiot理论是E. 1950年至1970年之间的科尔钦现在是众所周知的。本文的目的是用微分代数、微分几何和代数几何相结合的新方法来勾画这类微分扩张和代数伪群的一般理论。正如E. Vessiot在1904年通过使用自守系统，一个概念从来没有承认，主要的一点是注意到伽罗瓦论（旧的和新的）主要是研究主齐性空间（PHS）的代数群或伪群。因此，D. C. Spencer在1970年前后发展的PD方程的形式理论必须与现代代数几何，特别是环和域的张量积结合起来使用。然而，这些新工具的组合是不够的，我们必须创建由A. Bialynicki比鲁拉1960年后在研究代数群和领域的导子。最后，我们将通过对力学的惊人应用，重新审视壳理论、链理论、Frenet-Serret公式和Hamilton-Jacobi方程的积分，证明由此产生的微分伽罗瓦论的有用性。
2017-10-23 math.AG math.DG math.GR
Computing defining ideals of space spectral curves for algebro-geometric third order ODOs
本文为交换常微分算子对及代数几何三阶算子引入Burchnall-Chaundy理想，证明其定义谱曲线，并给出首个非平面谱曲线显式例子及生成元计算方法。
2023-11-16 math.AG math.CA
Schwarz maps for modular curves
University of Connecticut（康涅狄格大学）；Universidad de los Andes（安第斯大学）
解决F. 克莱因提出的经典问题，通过不变射影几何和皮卡 - 维西奥理论，为奇数\(N\geq3\)及偶数\(N\geq4\)构造模曲线典范模型及相关线性常微分方程，实现模变换群几何化，还给出\(X(9)\)相关方程实例。
2026-07-09 math.AG math.CV math.NT
