Activated Random Walks on $\mathbb{Z}^d$
一些随机系统特别有趣，因为它们在没有参数微调的情况下表现出临界行为，这种现象称为自组织临界性。在驱动耗散定态的背景下，一个主要的模型是激活随机游动。保守动力学固有的长程效应和缺乏简单的代数结构导致标准工具和技术失效。这使得这个模型的数学研究非常具有挑战性。然而，在过去的十年里，随着工具和方法框架的发展，已经取得了一些令人兴奋的进展，最终变得更加结构化。在这些课堂讲稿中，我们介绍了现有的结果，并再现了迄今为止发展的技术。
2020-09-28 math-ph math.MP math.PR
Critical density of activated random walks on transitive graphs
研究了一般点传递图上的激活随机游动模型。在这个模型中的一个中心问题是持续活动的临界密度$μ_c$是否严格在0和1之间。已知$μ_c>0$在$\mathbb{Z}^d$上，$d\geq 1$，$μ_c<1$在$\mathbb{Z}$上，用于足够小的睡眠率。我们证明了在所有的点可迁瞬态图中，$μ_c\to 0$都是$λ\to 0$，这意味着对于足够小的睡眠率，$μ_c<1$。我们还证明了简单随机游动具有正速度的任意点传递图中的任意睡眠率下的$μ_c<1$。此外，我们证明了$μ_c>0$在任何点传递顺从图，和$μ_c\in(0,1)$对任何睡眠率的正则树。
2017-12-13 math-ph math.MP math.PR
Nonfixation for Activated Random Walks
我们考虑的激活随机游动（ARW）模型中，粒子遵循一般图上的一般马尔可夫过程的路径。我们证明ARW占主导地位的一个更简单的过程，多信源内部聚集（MSIA），并使用此来制定一个确定性的充分条件的初始职业不固定的ARW和类似的变种。特别地，在有界度图上，初始占据密度大于1几乎必然意味着不固定，在欧几里得格的情况下，独立性要求被削弱为遍历。我们发现，对于欧氏格的维数低于5，初始密度正好为1也意味着不固定。最后，我们证明了无限睡眠率ARW的临界密度是积极的所有维度。
2010-12-25 math-ph math.MP math.PR
Absorbing-state phase transition in biased activated random walk
我们考虑$\mathbb{Z}^d$上的激活随机游走模型，该模型经历了从吸收状态到持续活动状态的转变。在任何维度上，我们证明了当粒子密度小于1时，只要跳跃分布是有偏的，并且睡眠率足够小，系统就处于活动状态。这回答了Rolla and Sidoravicius（2012）和Dickman，Rolla and Sidoravicius（2010）在有偏跳跃分布情况下的一个问题。此外，我们证明了临界密度依赖于跳跃分布。
2017-01-12 math-ph math.MP math.PR
Activated Random Walks on $\mathbb{Z}$ with Critical Particle Density
本文证明了在 $\mathbb{Z}$ 上仅有一个初始活跃粒子的 ARW 模型仍保持相同临界密度，放宽了所有粒子初始活跃的假设，进一步支持了其自组织临界性的普适性。
2024-11-12 math-ph math.MP math.PR
Activated Random Walks
讲义。2015年3月在马赛IMéRA-Marseille举办的“激活随机游动、DLA和相关主题”研讨会上的迷你课程。
2015-07-15 math.PR
How far do Activated Random Walkers spread from a single source?
与许多粒子系统不同，激活随机游动即使在一维空间中也具有非平凡行为。我们证明了内和外边界的传播n激活随机游走从一个单一的来源在Z。内界涉及到一个比较与固定分布的激活随机游走在一个有限的时间间隔，而外界涉及到一个比较与稳定的无限伯努利配置的激活随机游走在Z。
2021-06-18 math.PR
The density conjecture for activated random walk
本研究首次证明了自组织临界性领域著名的密度猜想，在一维激活随机游走模型中验证了驱动-耗散下有限系统密度收敛到无穷系统临界密度的结论，还证明该模型另外两个自然版本临界值相同，巩固了其作为自组织临界性通用模型的地位。
2024-07-10 math-ph math.MP math.PR
Stationary activated random walk: regularity, heavy tails, and remixing
CUNY College of Staten Island（纽约市立大学斯塔顿岛学院）；CUNY Baruch College（纽约市立大学巴鲁克学院）；CUNY Graduate Center（纽约市立大学研究生院）；Bard College（巴德学院）
研究平稳激活随机游走，证明子区间密度接近临界值，雪崩面积重尾，过程在o(n)步后遗忘初始态，并猜想相关量由同一临界指数控制。
2026-09-29 math.PR
Mean-field limit for activated random walk on the integer lattice
研究整数格上激活随机游走的临界密度，证明其随维度趋于无穷大时逼近睡眠概率并给出一阶修正。
2025-09-12 math.PR
Non-equilibrium Phase Transitions: Activated Random Walks at Criticality
本文给出了活化随机游动模型临界行为的严格结果。我们猜想，在一般的图类，包括$\mathbb{Z}^d$，并在一般的初始条件下，系统在临界点不会达到吸收状态。我们证明了这一点的情况下，睡眠率$λ$是无限的。此外，对于一维非对称系统，我们确定了临界时通过原点的流动的标度极限。$λ< + \infty$的情况下仍然在很大程度上开放，除了一维的完全不对称的情况下，它是已知的，没有固定在临界状态。
2018-06-11 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Cutoff for activated random walk
本文证明了在长度为n的区间上，驱动-耗散激活随机游走在临界密度的n倍处发生混合时间截断，并基于任意图的新结果揭示混合条件。
2025-01-29 cond-mat.stat-mech math.PR
Activated random walk on the comb
本文将层渗流工具推广到梳状图上的激活随机游走，证明临界密度界，并通过模拟发现主干和齿具有不同且均小于区间情形的临界密度。
2025-09-22 math.PR
Non-fixation for Biased Activated Random Walks
本文证明了Z^d上具有偏跳分布的激活随机游动模型，如果睡眠率足够小，则对任何正密度都不固定;如果睡眠率足够接近1，则对任何有限睡眠率都不固定。该证明使用了一个新的非固定标准。我们提供了一个路径建设的过程中，独立的利益，用于证明这一非固定标准。
2018-06-19 math.PR
Asymptotic behavior of the critical density of activated random walk
Baruch College, City University of New York（纽约市立大学巴鲁克学院）；Graduate Center, City University of New York（纽约市立大学研究生院）
研究了激活随机游走模型中临界密度随睡眠率变化的渐进行为，得出了不同λ范围下的下界和瞬态游走的一阶近似。
2025-11-30 math.PR
Generalized Hammersley Process and Phase Transition for Activated Random Walk Models
* 活化的随机游动模型 * 这是一个格子上的保守粒子系统，具有马尔可夫连续时间演化。主动粒子在没有相互作用的情况下进行随机游动，它们也可以将状态变为被动，然后停下来跳跃。当这两种类型的粒子占据相同的位置时，它们都变得活跃。该模型表现出相变的意义上说，低的初始密度的系统局部固定和高密度，它保持活跃。虽然在物理学文献中得到了广泛的研究，但对这种相变给出数学证明的问题多年来一直是一个悬而未决的问题。在这项工作中，我们确定了一些变量，足以表征固定，并在同一时间是随机单调的模型的参数。我们采用一个明确的图形表示，以获得单调性。用这种方法证明了一维有限程随机游动存在唯一的相变。与西多拉维奇乌斯合作。* 折线过程 * 我们介绍了折线过程，并推导出它的一些性质。它的离散版本，首先提出了一个自然的推广，然后提出和研究的连续。折线与Young图和Hammersley过程有关，并且对于计算最后一次通过的渗流值和找到最大定向路径是有用的。对于一类通过时间分布，有一族边界条件使过程平稳且可逆。一个应用是具有指数分布和几何分布的最后一段渗流的显式大数定律的简单证明。Sidoravicius，D. Surgailis和M. E.瓦雷斯
2008-12-14 math-ph math.MP math.PR
Active phase for activated random walks on $\mathbb{Z}^d$, $ d \geq 3$, with density less than one and arbitrary sleeping rate
已经证明，对于任何睡眠率值，激活随机游动模型的临界密度严格小于1。我们证明了这一猜想$\mathbb{Z}^d$时，$d \geq 3$，更一般地说，在图中的随机游动是瞬态的。此外，我们建立了一个相变的发生不顺从的图形，扩展以前的结果，需要图形是顺从的或定期树。
2021-05-27 math.PR
Local Density of Activated Random Walk on $\mathbb{Z}$
University of Washington（华盛顿大学）；Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
研究了一维激活随机游走在$\mathbb{Z}$上的局部密度特性，证明了在宏观窗口内站点包含睡眠粒子的概率近似于临界密度。
2026-01-12 math.PR
Activated Random Walk on a cycle
考虑了循环$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$上的活化随机游动（ARW），它是一个质量守恒的粒子系统.一种方法从初始活性粒子的质量密度$μ>0$开始，每个初始活性粒子以速率1执行简单对称随机游动，并以速率$λ>0.$休眠。休眠粒子在与其他活性粒子接触时变得活性。最近有几个结果关于固定/非固定的ARW动力学的无限系统依赖于参数$μ$和$λ$。在有限图$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$上，除非有多于$n$的粒子，否则过程几乎必然在有限时间内固定（达到吸收状态）。我们发现，当密度与睡眠率相比足够低时，固定过程所需的步骤数在$n$中是线性的（直到多对数项），当睡眠率与密度相比足够小时，固定过程所需的步骤数在$n$中是指数的，反映了Rolla，Sidoravicius（2012）建立的相应无限系统中的固定/非固定相变。
2018-04-06 cond-mat.stat-mech math-ph math.CO
Absorbing-state phase transition and activated random walks with unbounded capacities
在这篇文章中，我们研究了一个阿贝尔过程的吸收状态相变的存在性，它推广了活化随机游走（ARW）。给定一个顶点传递的$G=(V,E)$，我们将每个站点$x \in V$关联到一个容量$w_x \ge 0$，它描述了$x$可以容纳多少非活性粒子，其中$\{w_x\}_{x \in V}$是i.i.d随机变量的集合。当$G$是一个顺从图时，我们证明了如果是$\mathbb E[w_x]<\infty$，则模型经历一个吸收态相变，如果是$\mathbb E[w_x]=\infty$，则模型对所有$λ>0$固定不变.此外，在前一种情况下，我们提供的临界密度，在经典的激活随机游走匹配的界限。
2022-06-15 math.PR
On the slow phase for fixed-energy Activated Random Walks
Universidade Federal de Minas Gerais（米纳斯吉拉斯联邦大学）；Universidade de São Paulo（圣保罗大学）；Universidade Federal do Rio de Janeiro（里约热内卢联邦大学）
研究一维环上高密度下的激活随机游走模型，开发出一种拓扑过程，证明在任意大的睡眠率下，活动能持续很长时间。
2026-04-08 math.PR
The hockey-stick conjecture for activated random walk
University of Washington（华盛顿大学）；College of Staten Island, City University of New York（纽约市立学院）；Baruch College, City University of New York（巴鲁克学院）
研究证实了Levine和Silvestri的猜想，证明了区间上驱动耗散激活随机游走模型能直接达到并维持临界密度，首次严谨验证了沙堆模型符合Bak等人的自组织临界性愿景。
2026-03-24 cond-mat.stat-mech math.PR
Long time behavior in locally activated random walks
考虑一维布朗运动，其扩散系数在过原点时是变化的。我们研究了长时间的行为，我们建立不同的制度，根据扩散系数的变化：出现一个非高斯多tipeaked概率分布和动态过渡到一个吸收静态。我们计算了生成元，并研究了包含其伴随的偏微分方程。我们讨论了后者方程解的整体存在性和爆破性。
2016-11-24 math.PR
A new proof of superadditivity and of the density conjecture for Activated Random Walks on the line
本文为线上激活随机游走提供了密度猜想等的新证明，通过直接建立超可加性，不依赖渗流过程，虽界较粗但可能拓展到高维。
2025-08-06 math.PR
The odometer in subcritical activated random walk
College of Staten Island (CUNY)（石溪学院（CUNY））；The Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
本文研究了 $\mathbb{Z}$ 上独立同分布伯努利初始配置下的激活随机游走粒子系统，证明了在次临界密度下，统计各位点动作次数的里程计函数具有拉伸指数尾部，且各位点期望里程计有限。
2026-10-15 cond-mat.stat-mech math.PR
The number of particles in activated random walk on the complete graph
University of Bath（巴斯大学）；Sapienza Università di Roma（罗马第一大学）
研究了完全图上激活随机游走模型的粒子数稳定性，确定了临界密度和波动常数，利用超鞅理论分析了平稳分布的支持。
2026-04-07 math.PR
Absorbing-state transition for Stochastic Sandpiles and Activated Random Walks
本文研究了90年代初在物理学文献中提出的两种d维超立方晶格上的守恒晶格气模型：活化随机游动（ARW）和随机沙堆模型（SSM）的动力学行为。理论论证和数值分析预测，当初始密度超过临界阈值时，ARW和SSM经历吸收相和活性相之间的相变。然而，只有一维系统的吸收相存在的严格证明是已知的。在目前的工作中，我们建立了在任何维的存在这样的相变。此外，我们得到了几个定量的界限如何快速的活动停止在一个给定的网站或有限的系统。多尺度分析可以扩展到其他情况下提供一个有效的工具来研究非平衡相变。
2014-12-22 math.PR
Separation cutoff for Activated Random Walks
我们考虑任意有限网络上的激活随机游动，其中粒子被随机插入并在边界处被吸收。尽管动力学的不可逆性和缺乏知识的平稳分布，我们明确地确定的过程的弛豫时间，并证明分离截止是等价的产品条件。我们还提供了尖锐的估计的中心和宽度的截止窗口。最后，我们通过在各种网络上建立明确的分离截止来说明这些结果，这些网络包括：（i）任何固定的无限非顺从图的大有限子图，在边界处具有吸收，以及（ii）在单个顶点处具有吸收的大有限顶点传递图。后一个结果解决了Levine和Liang的一个猜想。我们的证明依赖于最近发现的Levine和Liang的强平稳时间的精细分析，并涉及IDLA过程。
2022-09-07 math.PR
Law of large numbers for activated random walk on villages
Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯科技大學）；HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利科學院阿爾弗雷德·雷尼數學研究所）
本文研究了在任意图几何中结合均场行为的激活随机游走模型，证明了在子临界条件下，随着村庄数量n趋于无穷，粒子稳定配置和计数器趋于由非线性方程唯一确定的极限。
2026-05-07 math.PR
The Critical Density for Activated Random Walks is always less than 1
本文证明了激活随机游走在任意维度和任意休眠率下，其相变临界密度均小于1，并给出了小λ和大λ情形下临界密度的上界。
2024-07-12 math.PR
Explosivity in 1-d Activated Random Walk
CEREMADE, CNRS, Université Paris-Dauphine, Université PSL（巴黎第九大学数学与决策研究中心）；University of Washington（华盛顿大学）；College of Staten Island (CUNY)（纽约市立学院）；CUNY Graduate Center（纽约市立大学研究生中心）；The Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Universidade de São Paulo（圣保罗大学）
研究证明一维激活随机游走在超临界状态下会表现出爆炸性，扩展了之前关于独立同分布初始分布的结果，证明了罗拉的猜想，并展示了相变的普遍性。
2026-09-29 cond-mat.stat-mech math.PR
Scaling limit and density conjecture for activated random walk on the complete graph
Baruch College, City University of New York（纽约市立大学巴鲁克学院）；Graduate Center, City University of New York（纽约市立大学研究生院）
本文研究了在具有陷阱的完全图上具有睡眠概率p的驱动耗散激活随机游走，证明了当q_n处于特定标度范围时，稳态分布中剩余的睡眠粒子数S_n具有Gumbel标度极限，并展示了其超均匀性及稳态配置律的负相关性。
2026-05-19 math.PR
Macroscopic flow out of a segment for Activated Random Walks in dimension 1
本文证明一维超临界激活随机游走中，线段稳定化时正比例粒子以正概率流出，该条件为活跃相的充要条件（临界点除外）。
2025-01-10 math.PR
Activated random walk exhibits self-organized criticality
University of Washington（华盛顿大学）；CUNY College of Staten Island（纽约市立学院史泰登岛分校）；CUNY Baruch College（纽约市立学院巴鲁克学院）；CUNY Graduate Center（纽约市立学院研究生院）
本文证明了一维激活随机游走模型能快速达到稳态，产生幂律坍塌并具有与固定能量模型相同的临界密度，首次证实了自组织临界性的理论预测。
2026-04-30 cond-mat.stat-mech math.PR
Active Phase for Activated Random Walks on the Lattice in all Dimensions
本文证明任意维度晶格上 Activated Random Walk 模型在睡眠率足够小时临界密度严格小于 1，并通过将稳定时间与负漂移一维随机游走的逃逸时间比较，证明有限体积慢相蕴含无限晶格上的活跃相。
2022-10-28 math.PR
Activated Random Walkers: Facts, Conjectures and Challenges
研究了整数格点$\mathbb Z^d$上具有跳跃（随机行走）动力学的粒子系统。粒子可以以两种状态存在，活跃或不活跃（睡眠）;只有前者可以跳跃。动力学保持了粒子的数量;在给定的位置上，粒子的数量没有限制。孤立的活性粒子以$λ> 0$的速率休眠，然后保持休眠状态，直到在同一位点被另一个粒子加入。所有粒子都不活跃的状态是吸收。活动是否长时间持续取决于粒子密度$ζ$和睡眠速率$λ$之间的关系。我们讨论的一般情况下，然后，对于一维完全不对称的情况下，研究之间的相变的活性相（足够大的颗粒密度和/或小$λ$）和吸收一个。我们还提出了参数的渐近平均跳跃速度在活动阶段，在吸收阶段的固定率，和生存的无限系统在临界状态。利用平均场论和蒙特卡罗模拟，我们确定了相界的位置.相变似乎是连续的对称和非对称的版本的过程中，但临界行为是非常不同的。前一种情况的特征是临界指数为简单的整数或有理数（例如$β= 1$），相图符合平均场论的预测。我们提出的证据表明，对称的版本属于保守的随机沙堆，也被称为保守的定向渗流的普遍性类。模拟还揭示了一个有趣的瞬态现象的阻尼振荡的活动密度。
2017-02-21 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Exact sampling and fast mixing of Activated Random Walk
本文研究 d 维格点上 Activated Random Walk 的有限体积 Markov 链，借助精确采样、internal DLA 耦合和填充时间上界，证明其混合时间不超过球体积的 1+o(1) 倍，并猜想在 ζ 倍体积处发生 cutoff。
2024-10-27 cond-mat.stat-mech math.PR
Random walks systems with finite lifetime on $ \bbZ $
我们考虑一个非齐次随机游动系统在$\bbZ$中，其中每个活动粒子执行最近邻随机游动，并激活所有不活动的粒子，它遇到的$L$跳跃的总量。我们给出了该过程生存充要条件，这意味着无限数量的随机游动被激活。
2015-09-22 math.PR
Sensitivity of the frog model to initial conditions
青蛙模型是图上的一个相互作用的粒子系统。活动粒子执行独立的简单随机游动，而睡眠粒子保持惰性，直到被活动粒子访问。一定数量的睡眠粒子被放置在每个独立于特定分布的采样点上，然后一个粒子被激活开始这个过程。我们证明了模型的重现性或瞬时性不仅对期望值敏感，而且对整个分布敏感。这与分支随机游动和激活随机游动等密切相关的模型形成对比。
2019-06-10 math.PR
Universality and Sharpness in Absorbing-State Phase Transitions
本文研究了具有任意睡眠率和跳跃分布的任意维激活随机游动模型，其初态是遍历的。我们表明，稳定性只依赖于粒子的平均密度，而不管它们最初是如何位于晶格上。
2019-02-03 math-ph math.MP math.PR
Sandpile avalanches in two dimensions are finite
本文针对二维阿贝尔沙堆模型，证明其雪崩几乎必然有限，雪崩到达距离R的概率至多为log R的负幂次，通过多尺度电动力学论证完成均匀生成树估计。
2026-10-15 math.PR
Absorbing-State Phase Transition for Driven-Dissipative Stochastic Dynamics on $Z$
我们研究了$Z$中保守相互作用粒子系统的长时间行为：反应扩散系统的激活随机游动模型和随机沙堆。我们证明了这两个系统进行吸收状态相变。
2019-05-10 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Local and global survival for nonhomogeneous random walk systems on Z
我们研究了Z上的一个相互作用的随机游动系统，其中在时间0处有一个在0处的活性粒子和一个在每个站点$n \ge 1$上的非活性粒子。粒子在被另一个活动粒子击中时变为活动粒子。一旦被激活，从n开始的粒子执行不对称的、平移不变的、最近邻的随机游动，其左跳概率为$l_n$。我们给出了全局生存，局部生存和无限激活的情况下，所有粒子都是不朽的，在粒子的几何分布的寿命（参数取决于粒子的起始位置）的情况下的条件。更准确地说，一旦被激活，位于n的粒子以$p_n \in [0, 1]$的概率在每一步中存活。特别是，在不朽的情况下，我们证明了一个0-1法律的概率，当地的生存时，所有粒子漂移的权利。此外，当所有粒子都向左漂移时，我们给出了局部生存或局部灭绝的充分条件。在必死的情况下，我们提供了全局生存，局部生存和局部灭绝的充分条件（这也适用于混合漂移的不朽的情况）。明确的例子分析：我们完全描述的情况下，$1/2-l_n \sim \pm 1/n^α$，$p_n = 1$和$1_n-1/2 \sim \pm 1/n^α$，$1-p_n \sim 1/n^β$（其中$α,β> 0$）的相图。
2012-12-19 math.PR
Uniqueness of the infinite cluster for monotone percolation models without insertion tolerance
University of Bath（巴斯大学）；King’s College London（伦敦国王学院）
本文研究了一类依赖性位点渗流模型，证明在特定条件下超临界相中存在唯一的无限簇，应用于阿贝尔沙堆等模型。
2026-03-31 math-ph math.MP math.PR
Non-Markovian random walks with memory lapses
提出了一种结合独立周期和依赖周期的Bernoulli试验$\{X_i, i\ge 1\}$的构造方法，称之为随机依赖Bernoulli序列（BSRD）。依赖的结构，在过去的$S_i = X_1 + \ldots + X_i$，{定义}一类非马尔可夫随机游动最近在文献中的兴趣。在本文中，依赖被激活的辅助收集的伯努利试验$\{Y_i, i\ge 1\}$，称为{ \it记忆开关序列}。我们引入了{ \it记忆失效性质}的概念，它是由BSRD中连续独立步骤的间隔来表征的。主要结果包括一类线性倒向随机微分方程的经典极限定理。特别地，我们得到了一类BSRD的中心极限定理，推广了文献中的一些结果。沿着纸，几个潜在的应用程序的例子。
2018-06-11 math.PR
Non-fixation for conservative stochastic dynamics on the line
我们认为激活随机游动（ARW），一个模型，推广了随机沙堆，一个典型的例子自组织临界。非正式地说，ARW是质量守恒的$\mathbb{Z}$上的粒子系统。一种是以初始活性粒子的质量密度$μ>0$开始，每个活性粒子以速率1执行对称随机游动，并以速率$λ>0$休眠。休眠粒子在与其他活性粒子接触时变得活跃。我们调查的固定/非固定的过程中的问题，并显示足够小的$λ$，固定的临界质量密度是严格小于一。此外，当$λ$趋于零时，临界密度趋于零。这解决了一个长期悬而未决的问题。
2017-12-04 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Recurrence of the frog model on the 3,2-alternating tree
考虑一个在3，2-交替树上的随机游动的增长系统，其中节点的世代在有两个和三个孩子之间交替。任何时候，一个粒子落在一个以前没有访问过的节点上，一个新的粒子在该节点上被激活，并开始自己的随机游动。所描述的模型属于被统称为青蛙模型的一类问题。建立在最近的递归证明（这意味着无限多的青蛙击中根的概率为1）的正规二叉树，本文建立递归的3，2-交替的情况下。
2017-07-12 math.PR
Essential enhancements in Abelian networks: continuity and uniform strict monotonicity
本文研究激活随机游走模型临界曲线的连续性与递增事件概率的严格单调性，并将渗流中的本质增强技术重构于Abelian网络框架。
2023-07-18 math-ph math.MP math.PR
The nonhomogeneous frog model on $\mathbb{Z}$
我们研究了$\mathbb{Z}$上的一个带随机漂移的相互作用随机游动系统，该系统从原点的单个活动粒子和正整数上的一些非活动粒子的分布开始。不活动的粒子在被其他粒子撞击时会被激活，并且所有从同一点开始的粒子都有相等的漂移。一旦激活，不同粒子的轨迹是独立的。这个系统属于更广泛的一类问题，涉及相互作用的随机游动的有根图，统称为青蛙模型。我们对模型施加的附加条件包括，在正整数点的青蛙（即粒子）数量是一个独立的随机变量序列，该序列按照标准随机顺序增加，并且与这些点的青蛙相关的随机漂移序列正在减少。我们的结果包括尖锐的条件，相对于随机变量序列和序列的漂移，确定该模型是瞬态的（这意味着概率无穷多青蛙返回到原点是$0$）或非瞬态。还将考虑所描述的模型的几个更具体的版本，并且将为每种情况建立一组更清晰、更简化的尖锐条件。
2017-07-24 math.PR
Stochastic Sandpile on a Cycle
在图上的随机沙堆模型中，粒子按如下方式成对交互：如果两个粒子占据同一个顶点，则它们必须各自以一定概率$0<p<1$不移动地进行独立的随机游动。这些相互作用持续到每个站点上不超过一个粒子。我们提供了随机沙堆和激活的随机游动模型之间的正式耦合，并且我们使用耦合来表明，对于循环图$\mathbb{Z}_n,$上的$n$粒子的随机沙堆，对于所有初始粒子配置，系统在$O(n^3)$时间内稳定，条件是$p(n)$趋向于$1$的速度与$n \rightarrow \infty$相当。
2021-12-19 cond-mat.stat-mech math.PR
Competing frogs on $\mathbb{Z}^d$
构造了$\mathbb{Z}^d$上的青蛙模型的两型版本，其中活动型$i$粒子按照惰性随机游动运动，每个时间步中跳跃的概率为$p_i$（$i=1,2$）.每个站点都独立地分配了随机数量的粒子。在时间0，原点的粒子被激活并分配类型1，另一个站点的粒子被激活并分配类型2，而所有其他粒子都处于休眠状态。当一个活动类型的$i$粒子移动到一个新的位置时，那里的任何休眠粒子都会被激活并被分配$i$类型，如果该位置在同一时间步中被两种类型的粒子击中，则由任意的决胜局决定类型。证明了$i$型激活无限多粒子的事件$G_i$对所有$p_1,p_2\in(0,1]$（$i=1,2$）都有正概率.此外，如果是$p_1=p_2$，则类型可以在$\mathbb{P}(G_1\cap G_2)>0$的意义上共存。我们还提出了几个悬而未决的问题。例如，我们推测，当每个站点的初始粒子数有一个沉重的尾巴，类型也可以共存时，$p_1\neq p_2$。
2019-02-05 math.PR
The asymptotic shape theorem for the frog model on finitely generated abelian groups
该研究针对多项式增长率不低于3的群的凯莱图上的青蛙模型，证明粒子激活时间至少线性增长，且有限生成阿贝尔群情形下激活位点集存在极限形状，推进了相互作用粒子系统的渐近性质研究。
2021-03-24 math.PR
The Heavy-tailed Frog Model
University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）
该研究针对重尾转移核下的青蛙模型，明确了不同尾指数区间的激活时间尺度，并揭示了有限寿命模型的覆盖寿命渐近特性，丰富了非经典随机游走驱动的传播过程理论。
2026-08-04 math-ph math.MP math.PR
The coverage ratio of the frog model on complete graphs
青蛙模型是一个相互作用的随机游动系统。最初，在连通图$\mathcal{G}$的每个顶点上有一个粒子。所有粒子在时间0时都处于非活动状态，但位于$\mathcal{G}$根处的粒子处于活动状态。在每个时刻，每个活性粒子可以以概率$1-p$死亡。一旦一个活跃的粒子存活下来，它就跳到它最近的一个顶点上，以均匀的概率选择，在$\mathcal{G}$上执行离散时间简单对称随机游动（SRW）。在它死亡之前，它会激活沿途遇到的所有非活性粒子。从它们被激活的那一刻起，每个这样的粒子开始行走，执行完全相同的动力学，独立于其他一切。本文把$\mathcal{G}$看作是$n-$完全图（$\mathcal{K}_n$，每对顶点由一条边连接的有限图）.我们研究了$n$中覆盖率的极限，即在所有活动粒子死亡之后，直到过程结束时，一些活动粒子访问顶点的比例。
2022-10-10 math.PR
