有限生成阿贝尔群上青蛙模型的渐近形状定理
The asymptotic shape theorem for the frog model on finitely generated abelian groups
AI总结：
该研究针对多项式增长率不低于3的群的凯莱图上的青蛙模型，证明粒子激活时间至少线性增长，且有限生成阿贝尔群情形下激活位点集存在极限形状，推进了相互作用粒子系统的渐近性质研究。
摘要：
我们研究多项式增长率$D \geq 3$的群的凯莱图（Cayley graphs）上的青蛙模型（frog model）。青蛙模型是一种离散时间的相互作用粒子系统。我们考虑该过程初始时在图的每个顶点都有一个粒子，且过程开始时仅其中一个粒子处于激活状态。每个被激活的粒子在离散时间内进行简单随机游走，激活所访问顶点处的未激活粒子。我们证明了粒子的激活时间至少呈线性增长，并且表明在带有任意有限生成集的阿贝尔情形下，被激活位点的集合存在一个极限形状。
英文摘要：
We study the frog model on Cayley graphs of groups with polynomial growth rate $D \geq 3$. The frog model is an interacting particle system in discrete time. We consider that the process begins with a particle at each vertex of the graph and only one of these particles is active when the process begins. Each activated particle performs a simple random walk in discrete time activating the inactive particles in the visited vertices. We prove that the activation time of particles grows at least linearly and we show that in the abelian case with any finite generator set the set of activated sites has a limiting shape.
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