Convergence analysis of a Petrov-Galerkin method for fractional wave problems with nonsmooth data
本文分析了带非光滑数据的时间分数阶波动问题Petrov-Galerkin方法的收敛性，建立弱解适定性与正则性并导出最优收敛分析，通过数值实验验证了理论结果。
2019-04-01 cs.NA math.NA
A non-conditional divergence criteria of Petrov-Galerkin method for bounded linear operator equation
Petrov-Galerkin方法是求解微分和积分方程$ Ax=b $的数值解方法。在求解$ b \in \mathcal{R}(A) $时，一般要考虑收敛性和误差分析，使方程可解.然而，总是忽略$ b \notin \mathcal{R}(A) $的情况。本文研究了Petrov-Galerkin方法在$ b \notin \mathcal{R}(A) $ .人们很自然地猜测，当$ b \in \mathcal{R}(A) $时，由任意基的Petrov-Galerkin方法构造的相应的近似解将发散到无穷大。证明了具有稠密值域$ \mathcal{R}(A) $的有界线性算子方程的这一猜想，并给出了具有不一定稠密值域$ \mathcal{R}(A) $的有界线性算子方程的一个更一般的发散结果.几个应用程序显示了它的力量。
2020-05-26 cs.NA math.NA
An inexact Petrov-Galerkin approximation for gas transport in pipeline networks
TU Darmstadt（达姆施塔特工业大学）
本文研究了使用不精确的Petrov-Galerkin方法对管道网络中的气体传输进行离散化，给出了单管道在线性摩擦定律假设下的完整收敛性分析，并讨论了扩展到管道网络的可能性。还通过数值方法研究了非线性气体传输模型的推广和通过混合化实现的高效实现。
2018-11-13 cs.NA math.NA
Petrov-Galerkin Dynamical Low Rank Approximation:SUPG stabilisation of advection-dominated problems
本文提出广义 Petrov-Galerkin 动态低秩近似框架，将 SUPG 稳定化技术无缝融入随机偏微分方程的低秩求解，并通过数值实验验证其稳定化性质在 DLR 框架中得以保持。
2024-07-01 cs.NA math.NA
Optimal Petrov-Galerkin spectral approximation method for the fractional diffusion, advection, reaction equation on a bounded interval
本文研究有界区间上分数阶扩散、平流、反应方程的数值逼近。最近得到了该方程解的显式形式。利用解的边界表现的显式形式和雅可比多项式，提出并分析了一个Petrov-Galerkin逼近格式。数值实验支持了理论结果，并证明了近似方法的精度和最优收敛性。
2020-02-06 cs.NA math.NA
Galerkin-Petrov approach for the Boltzmann equation
本文提出一种新的伽辽金-佩罗夫方法，用于求解经典空间均匀玻尔兹曼方程，通过关联拉格朗日多项式和球面谐波近似分布函数，并用三维多项式进行变分测试，通过数值实验验证了算法有效性。
2017-10-16 cs.NA math.NA
On Multiscale Methods in Petrov-Galerkin formulation
Uppsala University（乌普萨拉大学）；University of Wyoming（怀俄明大学）；École polytechnique fédérale de Lausanne（洛桑联邦理工学院）
本文研究了Petrov-Galerkin格式中多尺度方法的优势，通过局部正交分解将高维解空间分解为低维多尺度空间和高维余空间，证明了Petrov-Galerkin方法在保持原始多尺度方法收敛阶的同时，能显著降低计算复杂度。
2014-12-30 cs.NA math.NA
An optimal Petrov-Galerkin framework for operator networks
University of Maryland（马里兰大学）；Lehigh University（理海大学）；Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）；University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）；University of Southern California（南加州大学）；Umeå University（于默奥大学）
本文提出一种基于最优 Petrov-Galerkin 弱形式的算子网络框架 PG-VarMiON，通过隐式学习最优加权函数求解偏微分方程，在训练数据有限时展现出更强的鲁棒性和泛化能力。
2025-03-06 cs.LG cs.NA math.NA
Conservation of Hamiltonian using Continuous Galerkin Petrov time discretization scheme
Mohammad Ali Jinnah University（穆罕默德·阿里真纳大学）；GIK Institute of Engineering Sciences and Technology（GIK工程科学与技术学院）
本文采用四阶连续伽辽金-彼得罗夫时间离散化方案，通过数值分析验证其在哈密顿系统中的效率和哈密顿量守恒性，并与辛方法进行比较。
2015-08-15 cs.NA math.NA
On spectral Petrov-Galerkin method for solving fractional initial value problems in weighted Sobolev space
本文研究了分数阶初值问题的谱Petrov-Galerkin方法。研究了分数阶导数弱奇异核在原点处的奇异性，并在加权索伯列夫空间中构造了该解的正则性.给出了谱Petrov-Galerkin方法的最优误差估计，并证明了对于光滑源项，该方法在加权$L^2$范数下的收敛阶为$3α+1$，其中$α$是分数阶导数的阶.考虑了一种具有拟线性复杂度的迭代算法来求解所产生的线性系。数值实验验证了理论分析结果，表明了算法的有效性，并对某些时间分数阶扩散方程进行了适当的时间半离散处理，结果表明该算法具有较好的收敛性.
2021-09-04 cs.NA math.NA
Banach space projections and Petrov-Galerkin estimates
Washington University in St. Louis（圣路易斯华盛顿大学）
本文改进Babuska对Banach空间上Petrov-Galerkin方法的先验误差估计，引入Banach-Mazur常数以描述范数空间几何，并应用改进估计到Petrov-Galerkin投影算子，扩展了Xu和Zikatanov于2003年针对Hilbert空间的研究。
2015-11-03 cs.NA math.NA
Solving Heat Conduction Problems by the Direct Meshless Local Petrov-Galerkin (DMLPG) method
University of Isfahan（伊斯法罕大学）；Universität Göttingen（哥廷根大学）
提出直接无网格局部Petrov-Galerkin (DMLPG) 方法，通过直接恢复节点上的测试泛函避免移动最小二乘形函数，从而降低数值积分成本，用于瞬态热传导问题的数值求解。
2013-04-06 cs.NA math.NA
Multiscale discontinuous Petrov--Galerkin method for the multiscale elliptic problems
Nanjing University（南京大学）；Nanjing Forestry University（南京林业大学）
本文提出一种新的多尺度断续Petrov-Galerkin方法（MsDPGM），用于解决多尺度椭圆问题，通过结合多尺度Petrov-Galerkin方法和间断Galerkin方法，有效消除共振误差并降低计算复杂度。
2017-02-08 cs.NA math.NA
A new banded Petrov--Galerkin spectral method
针对变系数常微分方程，本文提出可生成严格带状线性系统并以线性复杂度求解的新型 Petrov–Galerkin 谱方法，且统一了现有带状 Galerkin 谱方法。
2025-02-17 cs.NA math.NA
A Uniform Convergent Petrov-Galerkin method for a Class of Turning Point Problems
基于Petrov-Galerkin有限元法（PGFEM），提出了一种求解一维转向点问题的数值方法。首先给出了具有单边界转向点的转向点问题的先验估计。然后用PGFEM求解，其中检验函数是分段逼近对偶问题的解。当我们选择对偶问题的精确解作为检验函数时，我们证明了我们的方法在$L^\infty$范数和能量范数下都具有一阶收敛速度.数值结果表明，我们的格式对不同类型的奇异点问题都是有效的，并且收敛性与理论结果一致。
2022-08-08 cs.NA math.NA
A $C^1$ Petrov-Galerkin method and Gauss collocation method for 1D general elliptic problems and superconvergence
本文提出并研究了一维椭圆型方程任意多项式次数的$C^1$ Petrov-Galerkin和Gauss配置方法$k$（$\ge 3$）.证明了解及其导数逼近在所有网格点上以速率$2k-2$收敛;并且解近似在每个元素中的$k+1$次的特殊Jacobi多项式的所有内根处是超收敛的，一阶导数近似在所有内$k-2$ Lobatto点处是超收敛的，并且二阶导数近似在$k-1$ Gauss点处是超收敛的，顺序分别为$k+2$、$k+1$和$k$。作为副产品，我们证明了彼得罗夫-伽辽金解决方案和高斯配置解决方案是超收敛到一个特定的Jacobi投影的精确解在$H^2$，$H^1$，$L^2$规范。所有的理论研究结果都得到了数值实验的证实。
2020-02-06 cs.NA math.NA
Randomized Neural Networks with Petrov-Galerkin Methods for Solving Linear Elasticity Problems
本文提出随机神经网络与Petrov-Galerkin方法（RNN-PG方法）求解线弹性问题，通过随机固定隐藏层参数并用最小二乘法确定输出层参数，同时发展混合形式以保证应力张量对称并避免锁定效应，数值实验表明其精度和效率优于有限元法、混合间断Galerkin方法和物理信息神经网络。
2023-08-06 cs.NA math.NA
On spectral Petrov-Galerkin method for solving optimal control problem governed by a two-sided fractional diffusion equation
本文研究了一类双边空间分数阶扩散-对流-反应方程的最优控制问题的谱Petrov-Galerkin方法。在加权索伯列夫空间中，考虑到分数次算子的弱奇异核在边界附近产生的奇异性的影响，建立了该问题的正则性.给出了谱Petrov-Galerkin方法的误差估计，并确定了状态变量和控制变量的收敛阶。此外，一个快速的投影梯度算法与一个准线性的复杂性，以解决所产生的离散系统。数值实验验证了理论结果的正确性和算法的有效性。
2021-06-19 cs.NA math.NA math.OC
Analysis and Petrov-Galerkin numerical approximation for variable coefficient two-sided fractional diffusion, advection, reaction equations
本文研究了有界区间上的变系数双边分数阶扩散、平流、反应方程。众所周知，分数阶扩散算子由于系数的可变性而可能失去连续性，这使得数学和数值分析都具有挑战性。为了解决这个问题，我们设计了合适的测试函数和测试函数，在合适的函数空间中证明了变系数分数扩散、平流、反应算子的inf-sup条件.基于这一性质，我们证明了该模型解的适定性和正则性，并分析了该模型的Petrov-Galerkin逼近格式。数值实验证实了理论研究结果，并比较不同模型的行为。
2022-03-22 cs.NA math.NA
Petrov-Galerkin Method for Fully Distributed-Order Fractional Partial Differential Equations
Michigan State University（密歇根州立大学）
本文提出一种快速稳定的Petrov-Galerkin谱方法，利用Jacobi多项分数多项式和Legendre多项式作为时间与空间基函数，解决分布式阶分数偏微分方程问题，并通过数值模拟验证方法的性能与收敛性。
2018-05-21 cs.NA math.NA
Eliminating Gibbs Phenomena: A Non-linear Petrov-Galerkin Method for the Convection-Diffusion-Reaction Equation
本文考虑对流扩散反应方程的数值逼近。为该问题设计数值方法的主要挑战之一是，在对流占主导地位的情况下发生的边界层可能会导致数值逼近中的非物理振荡，通常称为吉布斯现象。本文的思想是把逼近问题看作是Lq-型索伯列夫空间中对偶范数的剩余极小化问题，其中1 < q < $\infty$。然后，我们应用一个非标准的，非线性PetrovGalerkin离散化，这是适用于自反巴拿赫空间，使空间本身及其对偶是严格凸。类似于间断Petrov-Galerkin方法，该方法基于对偶范数中的残差最小化。用一个合适的离散对偶范数代替这个难处理的对偶范数，得到一个非线性不精确混合方法。这推广的彼得罗夫-伽辽金框架开发的背景下，不连续彼得罗夫-伽辽金方法更一般的巴拿赫空间。对于对流-扩散-反应方程，这产生了从L2-设置到Lq-设置的类似方法的推广。考虑更一般的巴拿赫空间设置的一个关键优点是，在某些情况下，当q趋于1时，数值逼近中的振荡消失，我们将使用一些简单的数值例子来证明。
2019-08-02 cs.NA math.NA
Matrix oriented reduction of space-time Petrov-Galerkin variational problems
变分制剂的时间依赖的偏微分方程在空间和时间产量$(d+1)$维问题进行数值求解。这增加了未知数的数量以及存储量。另一方面，这种方法使自适应的空间和时间，以及模型减少w.r.t.这两种变量。在本文中，我们表明，矩阵导向技术可以显着减少计算时间解决出现的线性系优于时间步进计划和其他求解器。
2019-12-20 cs.NA math.NA
Discretization of Linear Problems in Banach Spaces: Residual Minimization, Nonlinear Petrov-Galerkin, and Monotone Mixed Methods
Pontificia Univ. Católica de Valparaíso（天主教教宗大学瓦尔帕莱索分校）；University of Nottingham（诺丁汉大学）
本文提出了一种Banach空间中抽象线性算子方程的全面离散化理论，通过残差最小化和离散对偶范数的非精确版本，发展出非线性Petrov-Galerkin方法和等价的具有单调非线性的抽象混合方法，并证明了在Fortin条件下的离散稳定性及误差分析。
2018-07-29 cs.NA math.NA
A Space-Time Discontinuous Petrov-Galerkin Finite Element Formulation for a Modified Schrödinger Equation for Laser Pulse Propagation in Waveguides
本文针对光波导中脉冲传输提出修正非线性薛定谔方程，该方程依波导参数分叉为椭圆与双曲方程组，采用时空间断Petrov-Galerkin有限元法离散并验证了模型稳定性。
2024-12-04 cs.NA math.NA
On a Stable Method for Option Pricing: Discontinuous Petrov-Galerkin Method for Option Pricing and Sensitivity Analysis
Demkowicz和Gopalakrishnan在他们的第一篇论文中介绍的间断PetrovGalerkin（DPG）方法已被广泛用于计算力学问题。本文在Black-Scholes基本模型下，提出了期权定价和灵敏度分析的DPG方法。在本研究中，原始和超弱的DPG方法的公式推导出香草期权，美式期权，亚式期权，障碍期权。进行了广泛的标准数值实验，以检查所提出的方法的收敛性，稳定性和效率分别为每一个选项。此外，开发了一个基于DPG方法的期权定价C++高性能（HPC）程序，可供公众定制，用于期权定价问题或其他相关问题。
2023-02-17 cs.NA math.NA
Bernstein modal basis: application to the spectral Petrov-Galerkin method for fractional partial differential equations
Department of Mathematics, Faculty of Mathematical Sciences and Computer, Kharazmi University（卡扎维米大学数学与计算机科学学院）
本文提出基于双 Bernstein 多项式的模态基，用于求解具有 Caputo 导数的分数偏微分方程，展示了该方法在处理常系数问题时能产生稀疏带状线性系统，并通过数值实验验证了其效率和谱精度。
2016-06-26 cs.NA math.NA
Nonlinear discontinuous Petrov-Galerkin methods
Humboldt-Universität zu Berlin（柏林洪堡大学）；Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover（汉诺威莱布尼茨大学）
本文提出非线性不连续Petrov-Galerkin方法，用于解决非线性问题，通过混合形式、缩减形式和加权非线性最小二乘法等方法，给出先验和后验误差估计。
2017-10-02 cs.NA math.NA
Stability of an upwind Petrov Galerkin discretization of convection diffusion equations
University of Oslo（奥斯陆大学）
本文研究了小粘性条件下对流扩散方程的数值方法，提出一种指数拟合的 conforming Petrov-Galerkin 方法，并证明了在特定条件下该方法的稳定性和连续性。
2016-02-22 cs.NA math.NA
Beyond PINNs: A Unified Gauss--Newton and Petrov--Galerkin Framework for Neural and Hybrid PDE Solvers
本文提出一个统一框架，将物理信息神经网络与有限元方法通过函数型Gauss--Newton问题的离散化联系起来，并利用Petrov--Galerkin离散化，在椭圆问题上验证了弱残差公式与混合有限元--神经逼近的有效性。
2026-09-18 cs.LG cs.NA math.NA
Finite volumes and mixed Petrov-Galerkin finite elements : the unidimensional problem
University Paris Sud（巴黎第十一大学）；Conservatoire National des Arts et Métiers（国立工艺博物馆）
本文提出利用混合Petrov-Galerkin有限元方法改进一维Laplace算子的有限体积法，通过兼容插值条件证明其稳定性，并在两种正则性假设下证明方法在Hilbert空间中的收敛性与最优精度。
2014-01-04 cs.NA math.NA
A streamline upwind/Petrov-Galerkin method for the magnetic advection-diffusion problem
School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）；King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）
本文提出了一种用于磁流体输运-扩散问题的SUPG方法，通过引入提升算子和离散磁流体输运算子，建立了稳定化项并推导了最优误差估计。
2025-12-01 cs.NA math.NA
Stable and efficient Petrov-Galerkin methods for a kinetic Fokker-Planck equation
我们提出了一个稳定的Petrov-Galerkin离散的动力学福克-普朗克方程构造在这样一种方式，可以直接从变分公式推导出一致的inf-sup稳定性。受抛物型方程适定性结果的启发，利用稳定的试函数和检验函数对，得到了Fokker-Planck双线性型的对偶inf-sup常数的一个下界.这种对的测试函数通过将动力学输运算子和逆速度Laplace-Beltrami算子应用于给定的检验函数来构造。对于Petrov-Galerkin投影，我们选择一个任意的离散测试空间，然后使用相同的应用程序的运输和逆Laplace-Beltrami算子定义的离散试验空间。其结果是，空间复制的连续水平的稳定对，我们得到一个良好的定数值方法与离散的inf-sup常数相同的inf-sup常数的连续问题独立的网格步长。我们展示了如何通过低维椭圆问题有效地计算特定的基函数，并通过数值实验证实了该方法的实用性和性能。
2021-04-12 cs.NA math.NA
Raviart Thomas Petrov-Galerkin Finite Elements
University Paris-Sud（巴黎第十一大学）；Conservatoire National des Arts et Métiers（法国国立工艺院）；Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applications, CNRS, Université de Pau（波尔多大学数学及其应用实验室，法国国家科学研究中心）；Université de Pau（波尔多大学）
本文提出了一种Petrov-Galerkin类型的有限元方法，用于局部计算元素界面的梯度，展示了其与有限体积法和质量凝结方法的等价性，并通过稳定性条件和混合有限元方法证明了收敛性。
2017-12-20 cs.NA math.NA
On convergence of upwinding Petrov-Galerkin methods for convection-diffusion
针对对流扩散问题，研究迎风Petrov-Galerkin离散格式，推导一维情形离散矩阵逆公式，提出带缩放参数的二次泡迎风方法并证明其最优收敛性，推广到二维问题，为多维对流占优模型提供新离散思路。
2025-09-04 cs.NA math.NA
A fast Petrov-Galerkin spectral method for the multi-dimensional Boltzmann equation using mapped Chebyshev functions
由于玻尔兹曼方程的高维、非线性和非局域碰撞算子，其数值逼近是一个具有挑战性的问题。在确定性方法中，傅里叶-伽辽金谱方法因其相对高的精度和被快速傅里叶变换加速的可能性而脱颖而出。然而，该方法需要非物理的域截断，因为冲突算子在$\mathbb{R}^d$中定义。本文介绍了无界区域上Boltzmann方程的Petrov-Galerkin谱方法。基函数（测试函数和测试函数）是精心选择的映射切比雪夫函数，以获得所需的收敛性和守恒性。此外，由于切比雪夫函数和傅里叶余弦级数的密切关系，我们能够构造一个快速算法的帮助下，非均匀快速傅里叶变换（NUFFT）。我们证明了优越的精度相比，傅立叶谱方法，通过一系列的二维和三维的例子所提出的方法。
2021-05-18 cs.NA math.NA
Nonsymmetric Generalized Jacobi Petrov-Galerkin Algorithms for Third- and Fifth-Order two Point Boundary Value Problems
Cairo University（开罗大学）；King Abdulaziz University（阿卜杜勒阿齐兹国王大学）
本文提出了一种非对称广义雅可比多项式用于求解三阶和五阶两点边值问题，通过双Petrov-Galerkin方法，利用满足底层边界条件的试函数和满足对偶边界条件的测试函数，构建特殊结构的线性系统，实现高效求解，并通过数值结果验证算法效率。
2013-07-20 cs.NA math.NA
Robust recovery-type a posteriori error estimators for streamline upwind/Petrov Galerkin discretizations for singularly perturbed problems
Chongqing Jiaotong University（重庆交通大学）；Texas A&M International University（德州农工国际大学）；Beijing Computational Science Research Center（北京计算科学研究中心）；Wayne State University（韦恩州立大学）
本文研究了新的双范数下适应性流线向上/皮尔逊-加尔金方法，通过局部平均或加权全局L²投影恢复通量，并引入恢复稳定化过程，开发出对奇异摄动参数ε完全鲁棒的后验误差估计器。
2016-09-14 cs.NA math.NA
Energy-consistent Petrov-Galerkin time discretization of port-Hamiltonian systems
针对非线性端口哈密顿系统，提出一种能量一致的高阶时间离散cPG方法，保持哈密顿函数守恒或耗散，并通过ODE和PDE算例验证其一致性与收敛性。
2024-07-22 cs.NA math.NA
A Petrov-Galerkin multilayer discretization to second order elliptic boundary value problems
Universidad de Sevilla（塞维利亚大学）；Université de Paris VI（巴黎第六大学）
本文提出一种基于方程转置的多层离散化方法，用于解决具有扩散效应的浅层流体问题，通过多层结构实现高精度数值解，并通过数值测试验证了理论结果的正确性。
2018-07-16 cs.NA math.NA
Discontinuous Petrov-Galerkin boundary elements
Facultad de Matemáticas, Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教宗座大学数学学院）
本文基于超弱形式框架，研究了开闭多面体表面的超奇异积分方程，发展了分数阶Sobolev空间中的超弱设定，并证明了其正则性和等价性，建立了最优测试函数的间断Petrov-Galerkin方法，证明了相关Sobolev范数下的近似最优收敛性，数值实验验证了预期收敛率。
2014-08-22 cs.NA math.NA
Raviart-Thomas finite elements of Petrov-Galerkin type
Laboratoire de Mathématiques, Université Paris-Sud（巴黎南大学数学实验室）；Conservatoire National des Arts et Métiers（国立工艺学院）；Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applications, UMR CNRS 5142 Université de Pau et des Pays de l’Adour（波城及阿杜尔地区大学数学及其应用实验室）
本文提出了一种Petrov-Galerkin类型的变种，用于解决泊松问题，以确保在元素界面处进行局部梯度计算，通过定义与形状函数对偶的测试函数，证明了混合Petrov-Galerkin方案与Herbin的四点有限体积方案及Baranger等人发展的质量 lumping 方法等价，并证明了该方法的收敛性。
2019-06-07 cs.NA math.NA
Multiscale Petrov-Galerkin Method for High-Frequency Heterogeneous Helmholtz Equations
The University of Nottingham（诺丁汉大学）；Universität Bonn（波恩大学）
本文提出一种多尺度Petrov-Galerkin有限元方法，用于高频非均匀系数的时谐声散射问题，证明该方法在非均匀介质中也具有无污染特性，且在特定光滑非均匀材料系数下满足多项式波数增长假设。
2015-11-30 cs.NA math.NA
Explicit and Implicit Kinetic Streamlined-Upwind Petrov Galerkin Method for Hyperbolic Partial Differential Equations
Indian Institute of Science（印度科学研究所）
本文提出了一种显式和隐式动能流体迎风皮尔加林方法，用于求解双曲方程，如Burgers方程和可压缩欧拉方程，在多维情况下优于原始SUPG稳定方法，并通过数值实验验证了该方法的数值精度。
2015-05-07 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Unified analysis on Petrov-Galerkin method into Symm's integral of the first kind
在有界单连通平面解析域$ Ω$上，通过边界曲线$ \partial Ω$的$ 2π$周期参数表示，Symm的第一类积分方程形成$ K Ψ= g $，其中$ K $被看作是从$ L^2(0,2π) $到其自身的算子映射.经典的结果表明，在$ L^2 $环境下，最小二乘、对偶最小二乘、Bubnov-Galerkin方法在$ g \in H^r(0,2π), \ r \geq 1 $时是完全收敛的，并进行了误差分析。本文将边界$ \partial Ω$从解析情形弱化为$ C^3 $类，保持了解析情形的收敛性和误差分析。证明了当$ g \in H^r(0,2π), \ 0 \leq r < 1 $、最小二乘、对偶最小二乘、Bubnov-Galerkin方法在一阶一致发散到无穷远。通过算例验证了一阶速率的发散效应和最优性。
2020-04-18 cs.NA math.NA
An adaptive discontinuous Petrov-Galerkin method for the Grad-Shafranov equation
本文针对非线性Grad-Shafranov方程，提出并发展了一种任意阶自适应间断Petrov-Galerkin（DPG）方法.基于最小残量方法，给出了该方程的DPG格式的一个超弱形式。与传统的有限元法相比，DPG格式具有提供更精确的梯度的优点，这对于Grad-Shafranov方程的数值解是期望的。采用自适应网格加密方法对数值格式进行了扩充，并提出了基于最小残差法中残差范数的动态加密准则。所得到的系统的非线性求解器进行了探索和皮卡德迭代与安德森加速被发现是有效的解决系统。最后，所提出的算法是并行实现的多边形有限元使用区域分解的方法，我们的实现是通用的，支持任意阶的精度和一般的网格。数值结果表明，所提出的算法的效率和精度。
2020-07-11 cs.NA math.NA
Weak TransNet: A Petrov-Galerkin based neural network method for solving elliptic PDEs
虽然深度学习在求解偏微分方程（PDE）方面取得了显著的成功，但它仍然面临着重大挑战，特别是当PDE解具有低正则性或奇异性时。为了解决这些问题，我们提出了基于Petrov-Galerkin公式的弱TransNet（WTN）方法，用于在本工作中求解椭圆偏微分方程，尽管其框架可以扩展到其他类型的方程。具体地，由TransNet定义的神经特征空间（Zhang et al.，2023）作为试验空间，而测试空间由径向基函数组成。由于解被表示为测试函数的线性组合，因此可以通过经由最小二乘法最小化弱PDE残差来确定系数。因此，这种方法可以帮助减轻神经网络训练中经常出现的非凸性和病态性的挑战。此外，WTN方法被扩展到处理的解决方案具有多尺度功能或具有急剧变化的问题。几个数值实验证明所提出的方法的鲁棒性和效率。
2025-06-05 cs.NA math.NA
A $C^1$-conforming Petrov-Galerkin method for convection-diffusion equations and superconvergence ananlysis over rectangular meshes
本文设计并分析了求解对流-扩散方程的一种新的$C^1$ -协调Petrov-Galerkin方法。所提出的方法的轨迹空间是符合$C^1$的${\mathbb Q}_k$（即，次数至多为$k$的多项式的张量积）有限元空间，而测试空间被视为$L^2$（不连续）分段${\mathbb Q}_{k-2}$多项式空间。证明了数值解的存在唯一性，并建立了在所有$L^2, H^1, H^2$ -范数下的最优误差估计.此外，还研究了新方法的超收敛性质，并通过严格的理论分析，在网格节点（函数值和导数的阶为$2k-2$）、Jacobi多项式的根、Lobatto线和Gauss线上识别出了超收敛点/线.为了降低对全局正则性的要求，得到了$L^2, H^1, H^2$ -范数下的内部先验误差估计.数值实验证实了理论研究结果。
2021-03-13 cs.NA math.NA
Automatically Stable Discontinuous Petrov-Galerkin Methods for Stationary Transport Problems: Quasi-Optimal Test Space Norm
King Abdullah University of Science and Technology (KAUST)（阿卜杜拉国王科技大学）
研究不连续Petrov-Galerkin (DPG) 有限元框架在平稳对流扩散问题中的应用，利用拟最优测试空间范数提高对消失扩散的鲁棒性，并通过数值比较证明其在二维基准问题上的精度优势。
2012-01-09 cs.NA math.NA
PG-KINN: A Physics-Informed Petrov-Galerkin Kolmogorov-Arnold Network for Solving Forward and Inverse PDEs
Shahid Beheshti University（沙希德·贝赫什提大学）；Institute for Research in Fundamental Sciences (IPM)（基础科学研究所（IPM））；Cyberspace Research Institute, Shahid Beheshti University（沙希德·贝赫什提大学网络空间研究所）；University of Hertfordshire（赫特福德大学）
研究提出PG-KINN，一种基于Petrov-Galerkin公式的物理信息KAN，用于求解正向和反向偏微分方程。其试验空间是KAN，测试空间是分段多项式空间，通过分部积分等降低微分阶数，在多基准测试中优于传统方法，为计算力学提供准确途径。
2026-07-23 cs.LG cs.NA math.NA
Quasi-optimality of Petrov-Galerkin discretizations of parabolic problems with random coefficients
Chalmers University of Technology and University of Gothenburg（查尔姆斯理工大学和哥德堡大学）；University of Cologne（科隆大学）
研究随机系数抛物型问题的Petrov-Galerkin离散化方法，证明解的矩存在性及近似最优误差估计。
2016-04-22 cs.NA math.AP math.NA
A Post-processing Technique for Streamline Upwind/Petrov-Galerkin for Advection Dominated Partial Differential Equations
University of Wyoming（怀俄明大学）
本文提出一种后处理技术，通过有限元解构造局部守恒通量，解决流体主导偏微分方程的非守恒通量问题，通过数值例子验证了该方法的收敛性与有效性。
2014-10-08 cs.NA math.NA
Space-Time Petrov-Galerkin FEM for Fractional Diffusion Problems
Central South University（中南大学）；Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；University College London（伦敦大学学院）；Bulgarian Academy of Sciences（保加利亚科学院）；Columbia University（哥伦比亚大学）
本文提出并分析了一种用于时间分数扩散方程的时空Petrov-Galerkin有限元方法，涉及Riemann-Liouville分数导数，建立弱形式并证明了问题的适定性，同时给出了数值实验验证方法的收敛性。
2017-07-25 cs.NA math.NA
On perfectly matched layers for discontinuous Petrov-Galerkin methods
The Institute for Computational Engineering and Sciences (ICES), The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校计算工程与科学研究所）；MSC Software Corporation（MSC软件公司）
本文探讨了几种具有完美匹配层（PML）的不连续皮尔文-伽辽金（DPG）方法及其准最优图测试范数，通过两种不同的复坐标拉伸策略，验证了新的DPG方法在解决无界域中二维和三维时间谐波声学、弹性及电磁波传播问题中的有效性。
2018-04-09 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Galerkin v. least-squares Petrov--Galerkin projection in nonlinear model reduction
Sandia National Laboratories（桑迪亚国家实验室）；George Mason University（乔治梅森大学）
本文比较了Galerkin与LSPG投影在非线性模型降阶中的理论与计算性能，揭示了LSPG在时间连续表示的条件及时间步长匹配的重要性，展示了LSPG在湍流压缩流问题中的高效性。
2016-08-16 cs.NA math.NA
