An inexact Petrov-Galerkin approximation for gas transport in pipeline networks
TU Darmstadt（达姆施塔特工业大学）
本文研究了使用不精确的Petrov-Galerkin方法对管道网络中的气体传输进行离散化，给出了单管道在线性摩擦定律假设下的完整收敛性分析，并讨论了扩展到管道网络的可能性。还通过数值方法研究了非线性气体传输模型的推广和通过混合化实现的高效实现。
2018-11-13 cs.NA math.NA
Petrov-Galerkin Dynamical Low Rank Approximation:SUPG stabilisation of advection-dominated problems
本文提出广义 Petrov-Galerkin 动态低秩近似框架，将 SUPG 稳定化技术无缝融入随机偏微分方程的低秩求解，并通过数值实验验证其稳定化性质在 DLR 框架中得以保持。
2024-07-01 cs.NA math.NA
Optimal Petrov-Galerkin spectral approximation method for the fractional diffusion, advection, reaction equation on a bounded interval
本文研究有界区间上分数阶扩散、平流、反应方程的数值逼近。最近得到了该方程解的显式形式。利用解的边界表现的显式形式和雅可比多项式，提出并分析了一个Petrov-Galerkin逼近格式。数值实验支持了理论结果，并证明了近似方法的精度和最优收敛性。
2020-02-06 cs.NA math.NA
Galerkin-Petrov approach for the Boltzmann equation
本文提出一种新的伽辽金-佩罗夫方法，用于求解经典空间均匀玻尔兹曼方程，通过关联拉格朗日多项式和球面谐波近似分布函数，并用三维多项式进行变分测试，通过数值实验验证了算法有效性。
2017-10-16 cs.NA math.NA
On Multiscale Methods in Petrov-Galerkin formulation
Uppsala University（乌普萨拉大学）；University of Wyoming（怀俄明大学）；École polytechnique fédérale de Lausanne（洛桑联邦理工学院）
本文研究了Petrov-Galerkin格式中多尺度方法的优势，通过局部正交分解将高维解空间分解为低维多尺度空间和高维余空间，证明了Petrov-Galerkin方法在保持原始多尺度方法收敛阶的同时，能显著降低计算复杂度。
2014-12-30 cs.NA math.NA
Conservation of Hamiltonian using Continuous Galerkin Petrov time discretization scheme
Mohammad Ali Jinnah University（穆罕默德·阿里真纳大学）；GIK Institute of Engineering Sciences and Technology（GIK工程科学与技术学院）
本文采用四阶连续伽辽金-彼得罗夫时间离散化方案，通过数值分析验证其在哈密顿系统中的效率和哈密顿量守恒性，并与辛方法进行比较。
2015-08-15 cs.NA math.NA
On spectral Petrov-Galerkin method for solving fractional initial value problems in weighted Sobolev space
本文研究了分数阶初值问题的谱Petrov-Galerkin方法。研究了分数阶导数弱奇异核在原点处的奇异性，并在加权索伯列夫空间中构造了该解的正则性.给出了谱Petrov-Galerkin方法的最优误差估计，并证明了对于光滑源项，该方法在加权$L^2$范数下的收敛阶为$3α+1$，其中$α$是分数阶导数的阶.考虑了一种具有拟线性复杂度的迭代算法来求解所产生的线性系。数值实验验证了理论分析结果，表明了算法的有效性，并对某些时间分数阶扩散方程进行了适当的时间半离散处理，结果表明该算法具有较好的收敛性.
2021-09-04 cs.NA math.NA
Banach space projections and Petrov-Galerkin estimates
Washington University in St. Louis（圣路易斯华盛顿大学）
本文改进Babuska对Banach空间上Petrov-Galerkin方法的先验误差估计，引入Banach-Mazur常数以描述范数空间几何，并应用改进估计到Petrov-Galerkin投影算子，扩展了Xu和Zikatanov于2003年针对Hilbert空间的研究。
2015-11-03 cs.NA math.NA
Solving Heat Conduction Problems by the Direct Meshless Local Petrov-Galerkin (DMLPG) method
University of Isfahan（伊斯法罕大学）；Universität Göttingen（哥廷根大学）
提出直接无网格局部Petrov-Galerkin (DMLPG) 方法，通过直接恢复节点上的测试泛函避免移动最小二乘形函数，从而降低数值积分成本，用于瞬态热传导问题的数值求解。
2013-04-06 cs.NA math.NA
Multiscale discontinuous Petrov--Galerkin method for the multiscale elliptic problems
Nanjing University（南京大学）；Nanjing Forestry University（南京林业大学）
本文提出一种新的多尺度断续Petrov-Galerkin方法（MsDPGM），用于解决多尺度椭圆问题，通过结合多尺度Petrov-Galerkin方法和间断Galerkin方法，有效消除共振误差并降低计算复杂度。
2017-02-08 cs.NA math.NA
A new banded Petrov--Galerkin spectral method
针对变系数常微分方程，本文提出可生成严格带状线性系统并以线性复杂度求解的新型 Petrov–Galerkin 谱方法，且统一了现有带状 Galerkin 谱方法。
2025-02-17 cs.NA math.NA
A Uniform Convergent Petrov-Galerkin method for a Class of Turning Point Problems
基于Petrov-Galerkin有限元法（PGFEM），提出了一种求解一维转向点问题的数值方法。首先给出了具有单边界转向点的转向点问题的先验估计。然后用PGFEM求解，其中检验函数是分段逼近对偶问题的解。当我们选择对偶问题的精确解作为检验函数时，我们证明了我们的方法在$L^\infty$范数和能量范数下都具有一阶收敛速度.数值结果表明，我们的格式对不同类型的奇异点问题都是有效的，并且收敛性与理论结果一致。
2022-08-08 cs.NA math.NA
A $C^1$ Petrov-Galerkin method and Gauss collocation method for 1D general elliptic problems and superconvergence
本文提出并研究了一维椭圆型方程任意多项式次数的$C^1$ Petrov-Galerkin和Gauss配置方法$k$（$\ge 3$）.证明了解及其导数逼近在所有网格点上以速率$2k-2$收敛;并且解近似在每个元素中的$k+1$次的特殊Jacobi多项式的所有内根处是超收敛的，一阶导数近似在所有内$k-2$ Lobatto点处是超收敛的，并且二阶导数近似在$k-1$ Gauss点处是超收敛的，顺序分别为$k+2$、$k+1$和$k$。作为副产品，我们证明了彼得罗夫-伽辽金解决方案和高斯配置解决方案是超收敛到一个特定的Jacobi投影的精确解在$H^2$，$H^1$，$L^2$规范。所有的理论研究结果都得到了数值实验的证实。
2020-02-06 cs.NA math.NA
Randomized Neural Networks with Petrov-Galerkin Methods for Solving Linear Elasticity Problems
本文提出随机神经网络与Petrov-Galerkin方法（RNN-PG方法）求解线弹性问题，通过随机固定隐藏层参数并用最小二乘法确定输出层参数，同时发展混合形式以保证应力张量对称并避免锁定效应，数值实验表明其精度和效率优于有限元法、混合间断Galerkin方法和物理信息神经网络。
2023-08-06 cs.NA math.NA
Analysis and Petrov-Galerkin numerical approximation for variable coefficient two-sided fractional diffusion, advection, reaction equations
本文研究了有界区间上的变系数双边分数阶扩散、平流、反应方程。众所周知，分数阶扩散算子由于系数的可变性而可能失去连续性，这使得数学和数值分析都具有挑战性。为了解决这个问题，我们设计了合适的测试函数和测试函数，在合适的函数空间中证明了变系数分数扩散、平流、反应算子的inf-sup条件.基于这一性质，我们证明了该模型解的适定性和正则性，并分析了该模型的Petrov-Galerkin逼近格式。数值实验证实了理论研究结果，并比较不同模型的行为。
2022-03-22 cs.NA math.NA
Petrov-Galerkin Method for Fully Distributed-Order Fractional Partial Differential Equations
Michigan State University（密歇根州立大学）
本文提出一种快速稳定的Petrov-Galerkin谱方法，利用Jacobi多项分数多项式和Legendre多项式作为时间与空间基函数，解决分布式阶分数偏微分方程问题，并通过数值模拟验证方法的性能与收敛性。
2018-05-21 cs.NA math.NA
Eliminating Gibbs Phenomena: A Non-linear Petrov-Galerkin Method for the Convection-Diffusion-Reaction Equation
本文考虑对流扩散反应方程的数值逼近。为该问题设计数值方法的主要挑战之一是，在对流占主导地位的情况下发生的边界层可能会导致数值逼近中的非物理振荡，通常称为吉布斯现象。本文的思想是把逼近问题看作是Lq-型索伯列夫空间中对偶范数的剩余极小化问题，其中1 < q < $\infty$。然后，我们应用一个非标准的，非线性PetrovGalerkin离散化，这是适用于自反巴拿赫空间，使空间本身及其对偶是严格凸。类似于间断Petrov-Galerkin方法，该方法基于对偶范数中的残差最小化。用一个合适的离散对偶范数代替这个难处理的对偶范数，得到一个非线性不精确混合方法。这推广的彼得罗夫-伽辽金框架开发的背景下，不连续彼得罗夫-伽辽金方法更一般的巴拿赫空间。对于对流-扩散-反应方程，这产生了从L2-设置到Lq-设置的类似方法的推广。考虑更一般的巴拿赫空间设置的一个关键优点是，在某些情况下，当q趋于1时，数值逼近中的振荡消失，我们将使用一些简单的数值例子来证明。
2019-08-02 cs.NA math.NA
Matrix oriented reduction of space-time Petrov-Galerkin variational problems
变分制剂的时间依赖的偏微分方程在空间和时间产量$(d+1)$维问题进行数值求解。这增加了未知数的数量以及存储量。另一方面，这种方法使自适应的空间和时间，以及模型减少w.r.t.这两种变量。在本文中，我们表明，矩阵导向技术可以显着减少计算时间解决出现的线性系优于时间步进计划和其他求解器。
2019-12-20 cs.NA math.NA
Discretization of Linear Problems in Banach Spaces: Residual Minimization, Nonlinear Petrov-Galerkin, and Monotone Mixed Methods
Pontificia Univ. Católica de Valparaíso（天主教教宗大学瓦尔帕莱索分校）；University of Nottingham（诺丁汉大学）
本文提出了一种Banach空间中抽象线性算子方程的全面离散化理论，通过残差最小化和离散对偶范数的非精确版本，发展出非线性Petrov-Galerkin方法和等价的具有单调非线性的抽象混合方法，并证明了在Fortin条件下的离散稳定性及误差分析。
2018-07-29 cs.NA math.NA
A Space-Time Discontinuous Petrov-Galerkin Finite Element Formulation for a Modified Schrödinger Equation for Laser Pulse Propagation in Waveguides
本文针对光波导中脉冲传输提出修正非线性薛定谔方程，该方程依波导参数分叉为椭圆与双曲方程组，采用时空间断Petrov-Galerkin有限元法离散并验证了模型稳定性。
2024-12-04 cs.NA math.NA
On a Stable Method for Option Pricing: Discontinuous Petrov-Galerkin Method for Option Pricing and Sensitivity Analysis
Demkowicz和Gopalakrishnan在他们的第一篇论文中介绍的间断PetrovGalerkin（DPG）方法已被广泛用于计算力学问题。本文在Black-Scholes基本模型下，提出了期权定价和灵敏度分析的DPG方法。在本研究中，原始和超弱的DPG方法的公式推导出香草期权，美式期权，亚式期权，障碍期权。进行了广泛的标准数值实验，以检查所提出的方法的收敛性，稳定性和效率分别为每一个选项。此外，开发了一个基于DPG方法的期权定价C++高性能（HPC）程序，可供公众定制，用于期权定价问题或其他相关问题。
2023-02-17 cs.NA math.NA
Nonlinear discontinuous Petrov-Galerkin methods
Humboldt-Universität zu Berlin（柏林洪堡大学）；Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover（汉诺威莱布尼茨大学）
本文提出非线性不连续Petrov-Galerkin方法，用于解决非线性问题，通过混合形式、缩减形式和加权非线性最小二乘法等方法，给出先验和后验误差估计。
2017-10-02 cs.NA math.NA
Bernstein dual-Petrov-Galerkin method: application to 2D time fractional diffusion equation
Kharazmi University（卡拉兹米大学）；The University of Texas Rio Grande Valley（德克萨斯大学里奥格兰德河谷分校）
本文提出伯恩斯坦双皮尔逊-伽辽金方法用于求解二维时间分数扩散方程，通过双伯恩斯坦多项式构建谱离散化，推导出精确稀疏导数运算矩阵，实现高效空间离散化，通过数值实验验证方法的稳定性和精度。
2017-05-08 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Stability of an upwind Petrov Galerkin discretization of convection diffusion equations
University of Oslo（奥斯陆大学）
本文研究了小粘性条件下对流扩散方程的数值方法，提出一种指数拟合的 conforming Petrov-Galerkin 方法，并证明了在特定条件下该方法的稳定性和连续性。
2016-02-22 cs.NA math.NA
Finite volumes and mixed Petrov-Galerkin finite elements : the unidimensional problem
University Paris Sud（巴黎第十一大学）；Conservatoire National des Arts et Métiers（国立工艺博物馆）
本文提出利用混合Petrov-Galerkin有限元方法改进一维Laplace算子的有限体积法，通过兼容插值条件证明其稳定性，并在两种正则性假设下证明方法在Hilbert空间中的收敛性与最优精度。
2014-01-04 cs.NA math.NA
A streamline upwind/Petrov-Galerkin method for the magnetic advection-diffusion problem
School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）；King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）
本文提出了一种用于磁流体输运-扩散问题的SUPG方法，通过引入提升算子和离散磁流体输运算子，建立了稳定化项并推导了最优误差估计。
2025-12-01 cs.NA math.NA
Stable and efficient Petrov-Galerkin methods for a kinetic Fokker-Planck equation
我们提出了一个稳定的Petrov-Galerkin离散的动力学福克-普朗克方程构造在这样一种方式，可以直接从变分公式推导出一致的inf-sup稳定性。受抛物型方程适定性结果的启发，利用稳定的试函数和检验函数对，得到了Fokker-Planck双线性型的对偶inf-sup常数的一个下界.这种对的测试函数通过将动力学输运算子和逆速度Laplace-Beltrami算子应用于给定的检验函数来构造。对于Petrov-Galerkin投影，我们选择一个任意的离散测试空间，然后使用相同的应用程序的运输和逆Laplace-Beltrami算子定义的离散试验空间。其结果是，空间复制的连续水平的稳定对，我们得到一个良好的定数值方法与离散的inf-sup常数相同的inf-sup常数的连续问题独立的网格步长。我们展示了如何通过低维椭圆问题有效地计算特定的基函数，并通过数值实验证实了该方法的实用性和性能。
2021-04-12 cs.NA math.NA
Raviart Thomas Petrov-Galerkin Finite Elements
University Paris-Sud（巴黎第十一大学）；Conservatoire National des Arts et Métiers（法国国立工艺院）；Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applications, CNRS, Université de Pau（波尔多大学数学及其应用实验室，法国国家科学研究中心）；Université de Pau（波尔多大学）
本文提出了一种Petrov-Galerkin类型的有限元方法，用于局部计算元素界面的梯度，展示了其与有限体积法和质量凝结方法的等价性，并通过稳定性条件和混合有限元方法证明了收敛性。
2017-12-20 cs.NA math.NA
On convergence of upwinding Petrov-Galerkin methods for convection-diffusion
针对对流扩散问题，研究迎风Petrov-Galerkin离散格式，推导一维情形离散矩阵逆公式，提出带缩放参数的二次泡迎风方法并证明其最优收敛性，推广到二维问题，为多维对流占优模型提供新离散思路。
2025-09-04 cs.NA math.NA
A fast Petrov-Galerkin spectral method for the multi-dimensional Boltzmann equation using mapped Chebyshev functions
由于玻尔兹曼方程的高维、非线性和非局域碰撞算子，其数值逼近是一个具有挑战性的问题。在确定性方法中，傅里叶-伽辽金谱方法因其相对高的精度和被快速傅里叶变换加速的可能性而脱颖而出。然而，该方法需要非物理的域截断，因为冲突算子在$\mathbb{R}^d$中定义。本文介绍了无界区域上Boltzmann方程的Petrov-Galerkin谱方法。基函数（测试函数和测试函数）是精心选择的映射切比雪夫函数，以获得所需的收敛性和守恒性。此外，由于切比雪夫函数和傅里叶余弦级数的密切关系，我们能够构造一个快速算法的帮助下，非均匀快速傅里叶变换（NUFFT）。我们证明了优越的精度相比，傅立叶谱方法，通过一系列的二维和三维的例子所提出的方法。
2021-05-18 cs.NA math.NA
Nonsymmetric Generalized Jacobi Petrov-Galerkin Algorithms for Third- and Fifth-Order two Point Boundary Value Problems
Cairo University（开罗大学）；King Abdulaziz University（阿卜杜勒阿齐兹国王大学）
本文提出了一种非对称广义雅可比多项式用于求解三阶和五阶两点边值问题，通过双Petrov-Galerkin方法，利用满足底层边界条件的试函数和满足对偶边界条件的测试函数，构建特殊结构的线性系统，实现高效求解，并通过数值结果验证算法效率。
2013-07-20 cs.NA math.NA
Robust recovery-type a posteriori error estimators for streamline upwind/Petrov Galerkin discretizations for singularly perturbed problems
Chongqing Jiaotong University（重庆交通大学）；Texas A&M International University（德州农工国际大学）；Beijing Computational Science Research Center（北京计算科学研究中心）；Wayne State University（韦恩州立大学）
本文研究了新的双范数下适应性流线向上/皮尔逊-加尔金方法，通过局部平均或加权全局L²投影恢复通量，并引入恢复稳定化过程，开发出对奇异摄动参数ε完全鲁棒的后验误差估计器。
2016-09-14 cs.NA math.NA
Energy-consistent Petrov-Galerkin time discretization of port-Hamiltonian systems
针对非线性端口哈密顿系统，提出一种能量一致的高阶时间离散cPG方法，保持哈密顿函数守恒或耗散，并通过ODE和PDE算例验证其一致性与收敛性。
2024-07-22 cs.NA math.NA
On spectral Petrov-Galerkin method for solving optimal control problem governed by a two-sided fractional diffusion equation
本文研究了一类双边空间分数阶扩散-对流-反应方程的最优控制问题的谱Petrov-Galerkin方法。在加权索伯列夫空间中，考虑到分数次算子的弱奇异核在边界附近产生的奇异性的影响，建立了该问题的正则性.给出了谱Petrov-Galerkin方法的误差估计，并确定了状态变量和控制变量的收敛阶。此外，一个快速的投影梯度算法与一个准线性的复杂性，以解决所产生的离散系统。数值实验验证了理论结果的正确性和算法的有效性。
2021-06-19 cs.NA math.NA math.OC
A Petrov-Galerkin multilayer discretization to second order elliptic boundary value problems
Universidad de Sevilla（塞维利亚大学）；Université de Paris VI（巴黎第六大学）
本文提出一种基于方程转置的多层离散化方法，用于解决具有扩散效应的浅层流体问题，通过多层结构实现高精度数值解，并通过数值测试验证了理论结果的正确性。
2018-07-16 cs.NA math.NA
Discontinuous Petrov-Galerkin boundary elements
Facultad de Matemáticas, Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教宗座大学数学学院）
本文基于超弱形式框架，研究了开闭多面体表面的超奇异积分方程，发展了分数阶Sobolev空间中的超弱设定，并证明了其正则性和等价性，建立了最优测试函数的间断Petrov-Galerkin方法，证明了相关Sobolev范数下的近似最优收敛性，数值实验验证了预期收敛率。
2014-08-22 cs.NA math.NA
Raviart-Thomas finite elements of Petrov-Galerkin type
Laboratoire de Mathématiques, Université Paris-Sud（巴黎南大学数学实验室）；Conservatoire National des Arts et Métiers（国立工艺学院）；Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applications, UMR CNRS 5142 Université de Pau et des Pays de l’Adour（波城及阿杜尔地区大学数学及其应用实验室）
本文提出了一种Petrov-Galerkin类型的变种，用于解决泊松问题，以确保在元素界面处进行局部梯度计算，通过定义与形状函数对偶的测试函数，证明了混合Petrov-Galerkin方案与Herbin的四点有限体积方案及Baranger等人发展的质量 lumping 方法等价，并证明了该方法的收敛性。
2019-06-07 cs.NA math.NA
Multiscale Petrov-Galerkin Method for High-Frequency Heterogeneous Helmholtz Equations
The University of Nottingham（诺丁汉大学）；Universität Bonn（波恩大学）
本文提出一种多尺度Petrov-Galerkin有限元方法，用于高频非均匀系数的时谐声散射问题，证明该方法在非均匀介质中也具有无污染特性，且在特定光滑非均匀材料系数下满足多项式波数增长假设。
2015-11-30 cs.NA math.NA
Petrov-Galerkin Variational Physics-Informed Neural Network Framework for Two-Dimensional Singularly Perturbed Problems
Department of Mathematics, National Institute of Technology Tiruchirappalli（数学系，特里奇里帕利尔国家理工学院）
提出Petrov-Galerkin变分物理信息神经网络（VPINN）方法，采用神经网络构建试验空间和张量积帽函数作为测试函数，高效求解二维奇异摄动问题，在最大范数和L2范数上实现高精度。
2026-06-16 cs.LG cs.NA math.NA
Unified analysis on Petrov-Galerkin method into Symm's integral of the first kind
在有界单连通平面解析域$ Ω$上，通过边界曲线$ \partial Ω$的$ 2π$周期参数表示，Symm的第一类积分方程形成$ K Ψ= g $，其中$ K $被看作是从$ L^2(0,2π) $到其自身的算子映射.经典的结果表明，在$ L^2 $环境下，最小二乘、对偶最小二乘、Bubnov-Galerkin方法在$ g \in H^r(0,2π), \ r \geq 1 $时是完全收敛的，并进行了误差分析。本文将边界$ \partial Ω$从解析情形弱化为$ C^3 $类，保持了解析情形的收敛性和误差分析。证明了当$ g \in H^r(0,2π), \ 0 \leq r < 1 $、最小二乘、对偶最小二乘、Bubnov-Galerkin方法在一阶一致发散到无穷远。通过算例验证了一阶速率的发散效应和最优性。
2020-04-18 cs.NA math.NA
An adaptive discontinuous Petrov-Galerkin method for the Grad-Shafranov equation
本文针对非线性Grad-Shafranov方程，提出并发展了一种任意阶自适应间断Petrov-Galerkin（DPG）方法.基于最小残量方法，给出了该方程的DPG格式的一个超弱形式。与传统的有限元法相比，DPG格式具有提供更精确的梯度的优点，这对于Grad-Shafranov方程的数值解是期望的。采用自适应网格加密方法对数值格式进行了扩充，并提出了基于最小残差法中残差范数的动态加密准则。所得到的系统的非线性求解器进行了探索和皮卡德迭代与安德森加速被发现是有效的解决系统。最后，所提出的算法是并行实现的多边形有限元使用区域分解的方法，我们的实现是通用的，支持任意阶的精度和一般的网格。数值结果表明，所提出的算法的效率和精度。
2020-07-11 cs.NA math.NA
Weak TransNet: A Petrov-Galerkin based neural network method for solving elliptic PDEs
虽然深度学习在求解偏微分方程（PDE）方面取得了显著的成功，但它仍然面临着重大挑战，特别是当PDE解具有低正则性或奇异性时。为了解决这些问题，我们提出了基于Petrov-Galerkin公式的弱TransNet（WTN）方法，用于在本工作中求解椭圆偏微分方程，尽管其框架可以扩展到其他类型的方程。具体地，由TransNet定义的神经特征空间（Zhang et al.，2023）作为试验空间，而测试空间由径向基函数组成。由于解被表示为测试函数的线性组合，因此可以通过经由最小二乘法最小化弱PDE残差来确定系数。因此，这种方法可以帮助减轻神经网络训练中经常出现的非凸性和病态性的挑战。此外，WTN方法被扩展到处理的解决方案具有多尺度功能或具有急剧变化的问题。几个数值实验证明所提出的方法的鲁棒性和效率。
2025-06-05 cs.NA math.NA
A $C^1$-conforming Petrov-Galerkin method for convection-diffusion equations and superconvergence ananlysis over rectangular meshes
本文设计并分析了求解对流-扩散方程的一种新的$C^1$ -协调Petrov-Galerkin方法。所提出的方法的轨迹空间是符合$C^1$的${\mathbb Q}_k$（即，次数至多为$k$的多项式的张量积）有限元空间，而测试空间被视为$L^2$（不连续）分段${\mathbb Q}_{k-2}$多项式空间。证明了数值解的存在唯一性，并建立了在所有$L^2, H^1, H^2$ -范数下的最优误差估计.此外，还研究了新方法的超收敛性质，并通过严格的理论分析，在网格节点（函数值和导数的阶为$2k-2$）、Jacobi多项式的根、Lobatto线和Gauss线上识别出了超收敛点/线.为了降低对全局正则性的要求，得到了$L^2, H^1, H^2$ -范数下的内部先验误差估计.数值实验证实了理论研究结果。
2021-03-13 cs.NA math.NA
Automatically Stable Discontinuous Petrov-Galerkin Methods for Stationary Transport Problems: Quasi-Optimal Test Space Norm
King Abdullah University of Science and Technology (KAUST)（阿卜杜拉国王科技大学）
研究不连续Petrov-Galerkin (DPG) 有限元框架在平稳对流扩散问题中的应用，利用拟最优测试空间范数提高对消失扩散的鲁棒性，并通过数值比较证明其在二维基准问题上的精度优势。
2012-01-09 cs.NA math.NA
GPU-accelerated Bernstein-Bezier discontinuous Galerkin methods for wave problems
Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）
本文研究了伯恩斯坦-贝兹基的不连续伽辽金方法在波问题中的计算性能，通过优化求积方案提升效率与稳定性，实验验证了其在高阶逼近下的优势。
2016-08-21 cs.NA math.NA
A Post-processing Technique for Streamline Upwind/Petrov-Galerkin for Advection Dominated Partial Differential Equations
University of Wyoming（怀俄明大学）
本文提出一种后处理技术，通过有限元解构造局部守恒通量，解决流体主导偏微分方程的非守恒通量问题，通过数值例子验证了该方法的收敛性与有效性。
2014-10-08 cs.NA math.NA
Space-Time Petrov-Galerkin FEM for Fractional Diffusion Problems
Central South University（中南大学）；Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；University College London（伦敦大学学院）；Bulgarian Academy of Sciences（保加利亚科学院）；Columbia University（哥伦比亚大学）
本文提出并分析了一种用于时间分数扩散方程的时空Petrov-Galerkin有限元方法，涉及Riemann-Liouville分数导数，建立弱形式并证明了问题的适定性，同时给出了数值实验验证方法的收敛性。
2017-07-25 cs.NA math.NA
Galerkin v. least-squares Petrov--Galerkin projection in nonlinear model reduction
Sandia National Laboratories（桑迪亚国家实验室）；George Mason University（乔治梅森大学）
本文比较了Galerkin与LSPG投影在非线性模型降阶中的理论与计算性能，揭示了LSPG在时间连续表示的条件及时间步长匹配的重要性，展示了LSPG在湍流压缩流问题中的高效性。
2016-08-16 cs.NA math.NA
$hp$-version $C^1$-continuous Petrov-Galerkin method for nonlinear second-order initial value problems with application to wave equations
本研究提出并分析了用于二阶常微分方程非线性初值问题的$hp$版本$C^1$连续Petrov-Galerkin方法，推导了显式先验误差估计，证明了节点超收敛性，将其应用于非线性波动方程时间离散化，并通过数值算例验证了理论结果。
2023-03-25 cs.NA math.NA
Space-time least-squares Petrov-Galerkin projection for nonlinear model reduction
Sandia National Laboratories（桑迪亚国家实验室）；Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）
本文提出了一种空间-时间最小二乘Petrov-Galerkin（ST-LSPG）投影方法，用于非线性动力系统降阶。与传统的非线性降阶方法不同，该方法同时在空间和时间维度上进行投影。通过计算状态快照数据的张量分解来获得低维空间-时间试验子空间，并在该子空间中通过最小化时间离散化后的残差来计算离散最优近似。该方法通过定义特定的$\ell^2$-范数实现复杂度降低（即超降阶），从而得到空间-时间列点和空间-时间GNAT变体。与基于空间投影的非线性降阶方法相比，该方法具有减少空间和时间维度、去除状态空间中的虚假时间模式以及误差界随时间增长更慢等优势。
2018-11-12 cs.NA math.NA
Windowed space-time least-squares Petrov-Galerkin method for nonlinear model order reduction
提出了一种用于非线性参数化动力系统模型降阶的加窗时空最小二乘Petrov-Galerkin方法。WST-LSPG是时空最小二乘Petrov-Galerkin方法（ST-LSPG）的推广。ST-LSPG的主要缺点是它需要求解具有在整个全局时域上计算的时空基的稠密时空系统，这对于大规模应用可能是不可行的。所提出的WST-LSPG方法不是使用时间全局空时试验子空间并最小化整个时域上的离散时间全阶模型（FOM）残差，而是通过以下方式解决该弱点：（1）将时间模拟划分为时间窗口，（2）为每个窗口设计唯一的低维空时试验子空间，以及（3）最小化动力系统在每个窗口上的时间离散时空残差。这个公式产生了一个问题，耦合限制在每个窗口内，但顺序跨越窗口。为了使高保真试验子空间的特征在于一个相对最小数量的基向量，这项工作提出了构建空间-时间基地使用张量分解的每个窗口。WST-LSPG配备了超约简技术，以进一步降低计算成本。对一维Burgers方程和二维可压缩Navier-斯托克斯方程的数值实验表明，WST-LSPG在精度和计算增益方面优于ST-LSPG。
2020-12-11 cs.NA math.NA
A locally mass-conservative enriched Petrov-Galerkin method without penalty for the Darcy flow in porous media
本文提出一种无惩罚项的局部质量守恒enriched Petrov-Galerkin方法，用bubble函数和分段常数函数分别丰富CG方法的试验与测试空间，通过解耦算法实现压力求解的两步法，在保持较少自由度的同时实现局部质量守恒，并建立了最优收敛性。
2024-02-14 cs.NA math.NA
Petrov-Galerkin flux upwinding for mixed mimetic spectral elements, and its application to geophysical flow problems
逆风质量通量描述和分析的平流运营商离散使用混合模拟谱元素。这涉及Petrov-Galerkin公式，通过该公式，沿速度特性在下游位置评估质量通量检验函数。对于原来的混合模拟谱元平流算子，迎风质量通量平流算子是保守的，但不同于原来的平流算子，这是纯粹的双曲线，迎风平流算子增加了耗散，这是偏向于高波数。迎风平流算子也消除了原来的平流算子的色散关系中存在的谱隙。对于原始平流算子，可以通过类似地向下缠绕示踪剂梯度的测试函数来构造物质形式平流算子。这两种方法都允许通过斜对称公式的不可压缩流场的精确能量守恒的恢复。然而，这些反对称公式再次纯双曲型运营商不抑制振荡。该方案是实现在一个浅水代码的球体上，以诊断和插值的位涡。在没有其他耗散项的情况下，它被证明产生更连贯的结果正压不稳定的标准测试情况。
2020-09-26 cs.NA math.NA
Semi-discrete Active Flux as a Petrov-Galerkin method: the case of one-dimensional and Cartesian grids
Bordeaux Institute of Mathematics, Bordeaux University and CNRS/UMR5251（波尔多数学研究所，波尔多大学和法国国家科学研究中心/UMR5251）
研究双曲守恒律数值方法有源通量，通过特定双正交测试函数从变分公式获半离散有源通量方法，强调其在DG和CG间的中间性质，给出一维和二维笛卡尔网格上不同阶有源通量的显式构造。
2026-07-21 cs.NA math.NA
