A bilayer Double Semion Model with Symmetry-Enriched Topological Order
我们构造了一个新的二维量子自旋系统模型，它结合了内在的拓扑序和称为味对称的全局对称性。它被称为双层双半离子模型（bDS），是一个例子，丰富的拓扑秩序。引入蜂窝状双层晶格，将双半子拓扑序与整体自旋味对称性相结合，得到了其准粒子的分形。bDS模型表现出非平凡的激发辫子自统计特性，其对偶模型构成了一个具有新边态的对称保护拓扑序。这种双重模型产生了双层非平凡的Paramagnet是不变的味道对称和著名的自旋翻转对称。
2016-09-14 cond-mat.str-el quant-ph
Symmetry-enriched topological order in tensor networks: Defects, gauging and anyon condensation
University of Vienna（维也纳大学）；Ghent University（根特大学）
该研究用分级矩阵乘积算子代数表示畴壁，建立与分级酉融合范畴的联系，构造拓扑缺陷的张量网络表示，分析对称规范场化诱导的相变及关系，明确计算相关示例，丰富了对称富集拓扑序的张量网络研究。
2026-09-01 cond-mat.str-el math.QA quant-ph
Fractonic Matter in Symmetry-Enriched U(1) Gauge Theory
在这项工作中，我们探讨了全球对称性和准粒子激发的流动性之间的相互作用。我们表明，分形物质自然出现在三维U（1）规范理论，丰富的整体U（1）和平移对称性，通过机制的任意子自旋轨道耦合。通过对U（1）规范理论的分类，我们系统地理解了这种由量子力学强制的迁移率限制，U（1）规范理论被U（1）和平移对称性所丰富。我们提供了一个统一的建设，这些阶段通过衡量分层的安全保护的拓扑阶段。
2019-09-24 cond-mat.str-el hep-th quant-ph
Model Realization and Numerical Studies of a Three-Dimensional Bosonic Topological Insulator and Symmetry-Enriched Topological Phases
研究了（3+1）维中受电荷守恒和时间反演对称性保护的相互作用玻色子的拓扑相。我们提出了一个明确的晶格模型，实现了这一阶段，可以在无符号蒙特卡罗模拟研究。我们的模型背后的想法是将玻色子绑定到称为刺猬的拓扑缺陷上。我们确定的模型的相图，并确定一个阶段，这样的束缚态增殖。在这一阶段，我们观察到一个威滕效应的体积，其中一个外部的束缚的基本玻色子电荷的一半，这证实了它是一个玻色子拓扑绝缘体。我们还研究了拓扑绝缘体与平凡绝缘体之间的边界。我们发现一个表面的相图，其中包括外来的超流体，拓扑有序相，和一个相位与霍尔效应量化到一半的值可能在一个纯粹的二维系统。我们还提出了模型，通过将多个刺猬绑定到每个玻色子，实现了丰富的拓扑有序的阶段，这些阶段显示电荷分馏和内在的拓扑顺序，以及分数威滕效应。
2014-08-05 cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el hep-lat
Dynamically enriched topological orders in driven two-dimensional systems
量子系统的时间周期驱动可以使物质产生新的动力学拓扑相，而这些相在热平衡中是不存在的。我们研究了两类相关的二维系统中的动力学拓扑现象：Floquet对称性保护的拓扑相（FSPTs）和Floquet丰富的拓扑序（FET）。通过构建一套完整的二维玻色FSPT相的可解晶格模型，我们表明，玻色FSPT可以被理解为拓扑泵，在每个驱动周期期间，将1D SPT链的循环沉积到边界上，通过动态地将边缘调整到1D SPT和边缘的平凡相之间的自对偶点来保护非平凡边缘状态。通过将这些FSPT模型耦合到动态规范场，我们构建了FET阶的可解模型，其中任意子激发在每个驱动期间动态地转化为拓扑上不同的任意子类型。这些玻色子FSPT和规范FSPT模型进行了分类组上同调方法。此外，我们还构造了“超越上同调”FET序的例子，它们可以被看作是由涌现的任意子准粒子形成的一维拓扑链的拓扑泵。
2016-12-01 cond-mat.dis-nn cond-mat.quant-gas cond-mat.str-el
Non-invertible symmetry enriched string net topological orders
本文通过幺正融合范畴的全包含和任意子凝聚两种方式定义非可逆对称富化拓扑序，并证明其可实现为弦网模型，同时利用管代数计算任意子和对称缺陷上的对称作用。
2026-05-27 cond-mat.str-el math-ph math.CT
Three Dimensional Z2 Topological Phases enriched by Time-Reversal Symmetry
我们讨论三维$Z_2$拓扑相位丰富的$Z_2^T$时间反演对称性与玻色子体激发。其中一些相可以通过将具有$Z_2 \times Z_2^T$对称性的三维对称性保护拓扑相耦合到去限制的动力学$Z_2$规范场来构造。除了这些简单的相位，我们还构造了一个特殊的根相位（相位3），它不能被解释为规范的$Z_2 \times Z_2^T$ SPT相位。这些相的$2d$边界除了它们的本体拓扑次序之外还可以具有额外的$Z_2$拓扑次序。在这个特殊根相（相3）的一个可能的边界状态中，$Z_2^T$充当边界拓扑序的“自对偶”变换，在这个意义上，边界$e$和$m$任意子在$Z_2^T$下互换。
2017-01-30 cond-mat.str-el
Building Symmetry Enriched Topological Phases from a Bipartite Lattice Construction and Anyon Condensation
我们在二分格上引入了一种拓扑序的构造方法，在这种方法中，两个定义在每个子格上的$\mathbb{Z}_2$自旋液体被合并，然后任意子被凝聚以降低拓扑序.通过选择不同的任意子凝聚体结构，可以改变所得到的自旋液体的分馏模式，其中一些不能容易地从基于部分子的方法构建。我们证明了自旋为1/2的蜂窝晶格$i$的构造，其中我们构造了一个无特征的状态以及具有拓扑顺序的中间状态，$ii$的非对称晶格，和$iii$的磁平移对称晶格。最后，我们讨论了磁场作用下玻色子系统的非手征拓扑序的约束。
2018-02-13 cond-mat.mes-hall cond-mat.str-el
Exactly Solvable Models for Symmetry-Enriched Topological Phases
基于对称局部幺正变换的等价类的概念，我们构造了一大类玻色子拓扑（SET）相的不动点波函数和精确可解的投影哈密顿量.我们认为，现场酉对称性，我们的建设实现了所有集的异常，只要潜在的拓扑秩序本身可以实现与一个投影投影哈密顿。我们进一步扩展的建设，反酉对称性（如时间反演对称性），镜像反射对称性，并在表面上的三维拓扑相位的保护的拓扑相位异常设置。在数学上，我们的建设自然会导致一个推广的群扩张的酉融合范畴的反酉对称。
2017-09-07 cond-mat.str-el
Detection of Symmetry Enriched Topological Phases
拓扑有序系统在对称性的存在下可以表现出新的结构，这被称为对称性丰富的拓扑（SET）相。我们介绍了简单的方法来检测直接从一套完整的拓扑简并基态波函数的SET阶。特别地，我们首先展示了如何从最小纠缠态的约化密度矩阵直接确定准粒子的特征对称性分形。其次，我们展示了如何一个简单的泛化的非本地序参量可以测量检测集。所提出的方法的有用性证明了通过检查两个具体的模型状态，表现出SET：（i）一个自旋为1的蜂窝晶格模型和（ii）的kagome晶格上的共振价键状态。我们得出自旋1模型和RVB态处于相同的SET相的结论。
2013-12-11 cond-mat.str-el
Symmetry Enriched Phases via Pseudo Anyon Condensation
我们发现，一个大类的对称性丰富的（拓扑）相位的物质在2+1维可以嵌入在“更大”的拓扑相位-相位描述的更大的隐藏的霍普夫对称。这样的嵌入类似于任意子凝聚，尽管实际上没有物理凝聚发生。这将对称破缺的朗道-金兹伯格范式从连续群推广到量子群--实际上是代数--并在统一的框架中提供了对由此获得的对称性富集（拓扑）相的潜在分类，包括对称性保护的平凡相。
2013-08-21 cond-mat.str-el hep-th math-ph
Subsystem symmetry enriched topological order in three dimensions
我们介绍了一个模型的三维（3D）拓扑秩序丰富的平面子系统对称性。该模型从三维复曲面代码开始构建，其基态可以被看作是二维（2D）膜覆盖物的等重叠加。然后，我们装饰这些膜具有二维集群状态下的线状子系统对称性的保护拓扑秩序。这赋予装饰模型与平面子系统的对称性下，环的激励的复曲面代码细分，导致在广泛的退化每单位长度的激励。我们还表明，拓扑纠缠熵的值是大于某些双分区的复曲面码由于子系统的对称性富集。我们的模型可以通过测量一个短程纠缠模型的全局对称性来获得，该模型具有来自全局和子系统对称性相互作用的受保护的拓扑秩序。我们研究了该模型边界对称性的非平凡作用，揭示了全局对称性和子系统对称性之间的混合边界反常。为了进一步研究这种相互作用，我们考虑测量几个不同的子群的总对称性。由此产生的模型网络，其中包括具有分形拓扑顺序的模型，展示了更多可能发生在3D中的子系统对称性富集的可能类型。
2020-09-08 cond-mat.str-el quant-ph
String order parameters for symmetry fractionalization in an enriched toric code
我们研究了一个简单的模型，通过装饰一个低维的保序拓扑状态的toric代码模型的保序丰富的拓扑秩序。我们表明，在这个模型中的对称性分形可以由字符串序参量，这些签名是强大的外部场和相互作用的影响下，到相变点。这扩展了[New Journal of Physics 21，113016（2019）]的最新提议，超越了定点张量网络状态的设置，并巩固了弦序参量作为表征和检测对称性分形的有用工具。除此之外，我们观察到如何凝聚的任意子，分形对称性的力量，对称性自发打破，我们给出了一个证明，这在框架中的投影纠缠对状态。这种现象导致在平行磁场中的复曲面码的相位图中的显著变化。
2021-03-04 cond-mat.str-el quant-ph
Conformal Boundary Conditions of Symmetry-Enriched Quantum Critical Spin Chains
一些量子临界态不能平滑地变形为彼此，而不穿过一些多临界点或显式地打破某些对称性，即使它们属于同一普适类。这就引出了“富氢”量子临界性的概念。虽然最近的工作在文献中集中在临界状态与鲁棒退化边缘模式，我们建议，共形边界条件（b.c.）是这种量子临界态的一个更普遍的特征。我们证明了在推广了Ising和三态Potts模型的两类量子自旋链中，量子临界点在保序拓扑相和破序之间实现了不同于简单Ising和Potts链的共形b.c.此外，我们认为共形的b. c.可以从体有效场论中导出，它实现了对称性丰富的量子临界态中一种新的体边界对应。
2022-10-25 cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el hep-th
Non-Invertible Interfaces Between Symmetry-Enriched Critical Phases
Harvard University（哈佛大学）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；University of Chicago（芝加哥大学）
研究通过非可逆缺陷分类无能隙相间界面，揭示对称增强临界性与拓扑的相互作用。
2025-12-29 cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el hep-th
Symmetry-Enriched Topological Phases and Their Gauging: A String-Net Model Realization
Fudan University（复旦大学）；Shanghai Research Center for Quantum Sciences（上海量子科学研究中心）；Hefei National Laboratory（合肥国家实验室）
本研究提出基于扩展弦网模型的严格可解对称性富集拓扑相构建框架，提出两种固有对称提升策略与对称规范族概念，首次实现非阿贝尔SET相的显式晶格构造并揭示局域激发的对称约束。
2025-08-11 cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el hep-th
Classification and Properties of Symmetry Enriched Topological Phases: A Chern-Simons approach with applications to Z2 spin liquids
在全局对称性存在的情况下，我们研究了具有拓扑序的2 + 1维相，如分数量子霍尔态和带隙自旋液体。共享相同拓扑顺序的相然后可以根据对称性的作用而不同，导致对称性富集拓扑（SET）相。在这里，我们提出了一个K-矩阵Chern-Simons方法来识别所有不同的相位与阿贝尔拓扑顺序，在酉或反酉的全球对称性的存在。一个关键的步骤是识别边缘缝纫条件，用于检查两个假定的阶段是否确实不同。我们说明了这种方法的情况下，$Z_2$拓扑顺序（$Z_2$自旋液体），在存在内部Z $_2$全球对称性。我们发现了6个不同的阶段。众所周知的量子数分馏模式占这些状态的一半。相位也由于添加了对称保护拓扑（SPT）相位而不同。此外，我们允许非常规的可能性，任意子交换的对称性。这导致具有对称保护的马约拉纳边缘模式的2个附加相位。其他路线，以实现保护边缘状态在SET阶段确定。讨论了对称性丰富的Laughlin态和双半子理论。出现了两个令人惊讶的教训：（i）测量不同SET相位的全局对称性总是导致具有相同总量子维数的不同拓扑序，（ii）具有不同Dijkgraaf-Witten拓扑项的规范理论可能具有相同的拓扑序。
2016-04-13 cond-mat.str-el
Electric-magnetic duality and $\mathbb{Z}_2$ symmetry enriched Abelian lattice gauge theory
本文在范畴框架下构造了循环阿贝尔群的$\mathbb{Z}_2$对称富化格点规范模型，实现对称富化拓扑相，并利用$G$-交叉UBFC研究其对称缺陷、任意子凝聚及边界-体对偶，最终给出电磁对偶的显式格点实现。
2024-05-24 cond-mat.str-el hep-th quant-ph
Stability and fine structure of symmetry-enriched quantum criticality in a spin ladder triangular model
本文研究自旋梯子三角模型中的对称性增强量子临界性，发现临界线上端点呈SEATU普适性、其余点呈SEIU普适性，且不同临界点能隙闭合行为各异，揭示普适性类的精细结构。
2023-06-20 cond-mat.str-el
Anomalies in mirror symmetry enriched topological orders
本文通过折叠方法研究二维镜像对称富集拓扑序，基于任意子凝聚理论分类$\mathbb Z_2$对称有能隙边界，推导出$H^2$阻碍函数，并证明非平凡情形可在三维SET序表面实现。
2024-11-07 cond-mat.str-el hep-th math-ph
A K matrix Construction of Symmetry Enriched Phases of Matter
我们在K矩阵形式主义中构造了对称性丰富的拓扑相的具体例子，即具有全局对称性的内在拓扑相。我们专注于阿贝尔和非手征的拓扑相位，并通过我们的例子证明了如何的全局对称性和融合代数的任意子的拓扑有序系统之间的相互作用，决定了存在的gapless边缘模式的对称性保护和（准）群结构可以定义在这些阶段。我们的例子包括显示电荷分馏和更奇异的非本地任意子交换下的全球对称性，对应于一般的全球对称群群的扩展相。
2013-02-12 cond-mat.str-el hep-th math-ph
Translational symmetry and microscopic constraints on symmetry-enriched topological phases: a view from the surface
Lieb-Schultz-Mattis定理及其由Oshikawa和Hastings的高维推广要求每个晶胞具有半整数自旋的自旋不变的2D自旋系统必须具有连续的低能激发，自发地打破一些对称性，或者表现出具有任意子激发的拓扑有序。我们建立了这些约束之间的连接和一个非常相似的一组约束在表面的3D相互作用的拓扑绝缘体。这一点，结合最近的工作，丰富的拓扑相位（SET）与现场单一对称性，使我们能够开发一个框架，理解结构的SET与平移和现场单一对称性，包括有效的对称性缺陷理论。这个框架对可能发生在二维系统中的对称性分解的可能类型施加了严格的限制，二维系统的单位单元包含分数自旋、分数电荷或对称群的投影表示。作为一个具体的应用，我们确定当一个拓扑相位必须具有“自旋”激发，即使在自旋旋转不变性被分解为一个离散的子组的晶体结构的情况下。我们还描述了“任意子自旋轨道耦合”的现象，这可能是由于平移和现场对称性的相互作用。这些包括可能的现场对称缺陷的分支线进行拓扑电荷每单位长度和晶格位错诱导现场对称保护退化。
2017-07-25 cond-mat.mes-hall cond-mat.str-el quant-ph
Relative Anomalies in (2+1)D Symmetry Enriched Topological States
在拓扑有序的物质相中，某些对称性分形的模式是反常的，在这个意义上，它们只能发生在更高维的受保护拓扑（SPT）状态的表面。一个重要的问题是确定如何计算这种异常，这意味着确定哪个SPT在其表面上具有给定的富拓扑序。虽然特殊情况是已知的，但到目前为止还缺乏计算异常的一般方法。本文提出了一种计算给定（2+1）维拓扑序的不同对称分式类之间相对反常的一般方法。这种方法适用于所有类型的对称作用，包括任意子置换对称和一般时空反射对称。我们证明了与以前的结果诊断异常$\mathbb{Z}_2^{\bf T}$时空反射对称性（例如，时间反演平方的身份）和混合异常$U(1) \times \mathbb{Z}_2^{\bf T}$和$U(1) \rtimes \mathbb{Z}_2^{\bf T}$对称性的相对异常公式的兼容性。我们还研究了一些额外的例子，包括时空反射对称性交织在一起的情况下，在非平凡的方式与酉对称性，如$\mathbb{Z}_4^{\bf T}$和混合异常的$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2^{\bf T}$对称性，和酉$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$对称性与非平凡的任意子排列。
2019-12-10 cond-mat.str-el hep-th quant-ph
Magnon harmonic generation in antiferromagnets: Dynamical symmetry enriched by symmetry breaking
Chiba University（千叶大学）；Ibaraki University（茨城大学）；Saitama Medical University（埼玉医科大学）；The University of Tokyo（东京大学）
研究反铁磁体中THz激光或GHz波驱动的谐波产生，揭示磁序和相变如何改变谐波光谱，不同于无对称性破缺系统。
2026-04-08 cond-mat.mes-hall cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el
Classical symmetry enriched topological orders and distinct monopole charges for dipole-octupole spin ices
International Center for Quantum Materials, Peking University（北京大学量子材料中心）；Tsung-Dao Lee Institute, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学李政道研究所）；Collaborative Innovation Center of Quantum Matter（量子物质协同创新中心）；The University of Hong Kong, Shenzhen Institute of Research and Innovation（香港大学深圳研究院）；Beijing Key Laboratory of Quantum Devices, Peking University（北京大学量子器件北京市重点实验室）
研究通过经典自旋冰中磁单极电荷区分双极和八极自旋液体，揭示长程双极-双极相互作用对磁单极电荷的影响，为Ce₂Sn₂O₇性质争论提供新视角。
2026-04-21 cond-mat.mtrl-sci cond-mat.str-el
Enriched classification of parafermionic gapped phases with time reversal symmetry
基于最近建立的仿费米子矩阵乘积态，研究了时间反演对称性满足$T^{2}=1$的一维仿费米子带隙相位的分类。在没有额外对称性的情况下，已经发现$\mathbb{Z}_{p}$亚费米能隙相可以被分类为拓扑相、自发对称性破缺（SSB）相和平凡相，它们由$p$的因子$n$唯一地标记。在TR对称性存在的情况下，富集分类的特征在于三个指标$n$、$κ$和$μ$，其中$κ\in \mathbb{Z}_{2}$表示TR作用在边上的线性或投影，$μ\in \mathbb{Z}_{2}$表示TR和（分数化）电荷算符之间的对易关系.对于$\mathbb{Z}_{r}$对称亚费米基态，其中$r=p$为平凡相或拓扑相，$r=p/n$为SSB相，具有奇数$r$的原始带隙相被分成两个相，而具有偶数$r$的那些相被进一步分成四个相.具有TR对称性的带隙亚费米子相包括对称性保护拓扑相、对称性富集拓扑相和SSB共存对称性保护拓扑相。通过分析这些拓扑相的约化密度矩阵的结构和对称性，我们可以得到它们的纠缠谱的拓扑保护简并度。
2018-01-11 cond-mat.str-el
Symmetry-Enriched Quantum Spin Liquids in $(3+1)d$
我们利用（3+1）$d$玻色子场论的内禀的一种形式和两种形式的整体对称性对由普通（$0$ -形式）整体对称性富集的量子相进行分类。不同的富氢相对应于不同的耦合方式的理论的背景规范场的普通对称性。分类的输入是更高形式的对称性和$0$形式对称性在理论的线和面上的置换作用。根据这些数据，我们通过由更高形式对称缺陷构造的0形式对称缺陷对与背景规范场的耦合进行分类。对于平凡的两种形式的对称性的分类符合分类对称分解在$(2+1)d$。我们还提供了一个系统的方法来获得对称性保护的拓扑相位，可以被吸收的耦合，我们给出了不同的耦合的相对t Hooft异常。我们讨论了几个例子，包括无隙纯$U(1)$规范理论和带隙阿贝尔有限群规范理论。作为应用，我们发现了带有两个伴随Weyl费米子的$SU(2)$规范理论的$(3+1)d$中具有约束对偶的张力.
2020-08-28 cond-mat.str-el hep-th
A classification of symmetry enriched topological phases with exactly solvable models
近年来，一类新的物质量子相：对称性保护拓扑态，如拓扑绝缘体，引起了人们的广泛关注。在相互作用的存在下，群上同调提供了这些的分类[X。Chen等人，arXiv：1106.4772v5（2011）]。这些相位具有短程纠缠，并且在体中没有拓扑序。然而，当长程纠缠拓扑序存在时，如何在全局对称性的存在下对物质的量子相进行分类就少得多了。在这里，我们提出了一个分类的玻色子带隙量子相位有或没有长程纠缠，在存在或不存在的现场全球对称性。在2+1维中，存在全局对称群SG的量子相位，其拓扑序由有限规范群GG描述，可以用上同调群H^3（SGxGG，U（1））分类。通常在d+1维中，这样的量子相位被分类为H^{d+1}（SGxGG，U（1））。虽然我们只部分地了解到我们的分类是完整的，我们提出了一个完全可解的局部玻色子模型，其中的拓扑顺序是紧急的，在我们的分类中的每个给定的类。当不存在整体对称性时，我们模型中的拓扑序由一般Dijkgraaf-Witten离散规范理论描述。当拓扑序不存在时，我们的模型成为对称保护拓扑相的精确可解模型[X。Chen等人，arXiv：1106.4772v5（2011）]。当全局对称性和拓扑序同时存在时，我们的模型描述了对称性丰富的拓扑相。我们的分类包括，但超出了前面讨论的射影对称群分类。这些对称性丰富的拓扑相位，和概括我们的分类的可测量的签名进行了讨论。
2012-12-10 cond-mat.str-el math-ph math.MP
Gapless edges of 2d topological orders and enriched monoidal categories
在这项工作中，我们给出了一个精确的数学描述的一个完全手征无隙边的二维拓扑秩序（没有对称性）。我们表明，1+1D世界表上的观察到的这样一个边缘由一个家庭的拓扑边缘激发，边界CFT的和边界CFT之间的墙壁。这些观测量可以用手征代数和丰富的么半群范畴来描述。这种数学描述自动包括作为特殊情况的间隙边。因此，它提供了一个统一的框架来研究有间隙和无间隙的边缘。此外，边界-体积对偶也适用于无间隙边。更准确地说，描述2d体相的幺正模张量范畴正好是描述无隙/有隙边的丰富幺正范畴的德林费尔德中心。我们提出了一个分类的所有带隙和完全手征无隙边缘的一个给定的体相。最后，我们解释了模不变体共形场论如何自然地出现在两个平凡相之间的某些无间隙壁上。
2018-01-14 cond-mat.str-el math.QA
G-crossed Modularity of Symmetry-Enriched Topological Phases
本文研究了由对称群 G 富集的 (2+1)D 拓扑相的普适性质，利用幺正模张量范畴的 G-交叉扩展描述了对称性作用与缺陷，定义了表示一般曲面上映射类变换的算子并证明其构成射影表示，同时证明了忠实的 G-交叉扩展必然具有 G-交叉模性。
2023-09-10 cond-mat.str-el math-ph math.MP
Point-group symmetry enriched topological orders
本文推广折叠方法，将点群对称转化为扇形边界与顶点结上的在点对称，并用对称有隙边界及新提出的有隙结分类框架刻画二维点群对称丰富拓扑序。
2025-02-16 cond-mat.str-el
Anyon Condensation: Coherent states, Symmetry Enriched Topological Phases, Goldstone Theorem, and Dynamical Rearrangement of Symmetry
尽管近年来拓扑相中任意子凝聚的数学问题得到了深入的研究，但要证明它的物理存在性，就相当于构造一个有效的哈密顿理论。本文通过建立有效哈密顿量和希尔伯特空间，具体地建立了任意子凝聚的物理基础，其中我们明确地把凝聚相的真空构造为相干态，相干态是生成凝聚任意子的生成算符的本征态。随着这一建设，这是类似于Laughlin的分数量子霍尔态的波函数的建设，我们推广的Goldstone定理在通常的自发对称性破缺范例的情况下的任意子凝聚。通过直接构造相应的对称变换，我们证明了凝聚相是一个对称性丰富的（保护的）拓扑相，这可以看作是Bogoliubov变换的推广.
2021-09-13 cond-mat.str-el hep-th math-ph
Topological lattice gauge theory enriched by non-invertible symmetry
University of Sydney（悉尼大学）
通过量子双模型中的电荷凝聚，研究由非可逆对称性丰富的拓扑序，并建立超群分次扩展的范畴化框架。
2026-06-24 cond-mat.str-el hep-th math-ph
Translation-enriched $Z_2$ spin liquids and topological vison bands: Possible application to $α$-RuCl$_3$
受自旋-轨道耦合$2d$ Mott绝缘体$α$ -RuCl $_3$的磁场诱导相实验的启发，我们研究了晶格平移对称性富集的带隙$Z_2$量子自旋液体（QSL）的一些一般性质.我们发现，有$12$不同的这样的阶段与不同的实现平移对称。在某些相态中，这种QSL的视子激发可能形成拓扑Chern带。我们探讨了一个假定的$Z_2$ QSL作为一个候选基态在中间磁场的$α$ -RuCl $_3$的唯象描述。这种状态在中子散射中具有宽的连续谱，在零温度下变为零的“玻色子”热霍尔信号，以及与锯齿形磁有序态的自然联系，所有这些都在$α$ -RuCl $_3$中可见。一般来说，在这种状态下，在布里渊区的多个点处也会看到连续散射。
2022-07-21 cond-mat.str-el
Quantized topological terms in weak-coupling gauge theories with symmetry and their connection to symmetry enriched topological phases
研究了具有规范群$G_g$和整体对称性$G_s$的弱耦合规范理论中的量子化拓扑项。我们证明了量子化拓扑项可以用一对$(G,ν_d)$来分类，其中$G$是$G_s$通过$G_g$的扩展，$ν_d$是群上同调$\cH^d(G,\R/\Z)$中的元素.当$d=3$和/或$G_g$是有限的时，具有量子化拓扑项的弱耦合规范理论描述了有间隙的对称性富集拓扑（SET）相（即有间隙的长程纠缠对称相）。因此，那些SET阶段通过$\cH^d(G,\R/\Z)$分类，其中$G/G_g=G_s$。我们还将我们的理论应用到一个简单的情况$G_s=G_g=Z_2$，这导致12个不同的SET阶段在2+ 1 D，准粒子有不同的模式的分数$G_s=Z_2$量子数和分数统计。如果弱耦合规范理论是无隙的，那么不同的量子化拓扑项可以描述具有对称性$G_s$的规范理论的不同的无隙相，这可能导致$G_s$量子数的不同的分数化和不同的分数统计（如果在2+1D中）。
2013-03-29 cond-mat.str-el hep-th
Quantum phase transition between symmetry enriched topological phases in tensor-network states
提出张量网络可解模型，研究二维SET相变，揭示时间反演对称下三个相及相边界临界行为，并推广至其他拓扑相。
2023-09-04 cond-mat.str-el quant-ph
Symmetric Fracton Matter: Twisted and Enriched
在本文中，我们探讨了对称性和分形序之间的相互作用，类似的拓扑有序系统的密切关系的动机。具体地说，我们考虑模型与三维平面子系统对称性，并表明这些可以实现子系统对称性保护的拓扑相位与无间隙边界模式。测量的平面子系统的对称性导致一个分形秩序，其中粒子限制沿线移动表现出一种新的类型的统计相互作用，是特定的晶格几何形状。我们表明，无隙边界模式的无规范理论，和统计相互作用后，测量，自然被捕获的一个更高的版本的陈-西蒙斯理论。我们还表明，测量子系统的对称性，只有一部分，可以导致富分形阶，准粒子携带分数对称电荷。
2018-05-24 cond-mat.str-el hep-th
The Classification of 3+1d Symmetry Enriched Topological Order
Harvard University（哈佛大学）；University of Oxford（牛津大学）
该研究利用2 - 范畴的（去）等变对有有限\(G\) - 对称性的（3 + 1）维拓扑序分类，指出含\(G\) - 对称性的（3 + 1）维费米子拓扑序对应特定范畴，且相关范畴数据与特定构造一致，还说明了此方法可对所有辫合融合2 - 范畴分类。
2026-07-13 cond-mat.str-el hep-th math-ph
Symmetry enriched string-nets: Exactly solvable models for SET phases
我们构建了一个广泛的对称性丰富的拓扑（SET）阶段的精确可解模型。我们的建设适用于2D玻色子SET相位有限酉现场对称群$G$，我们猜想，我们的模型实现了每一个阶段，在这类可以描述的一个交换投影哈密顿。我们的模型被设计成具有一个特殊的性质：如果我们把它们耦合到一个具有规范群$G$的动态格点规范场，那么得到的规范理论等价于修正的弦网模型。这个属性允许我们一般性地分析我们的模型。作为一个例子，我们提出了一个模型的相位与相同的任意子激发的复曲面代码和一个$\mathbb{Z}_2$对称性交换的$e$和$m$型任意子。我们进一步说明我们的建设与一些额外的例子。
2016-12-19 cond-mat.str-el
Characterization and Classification of Fermionic Symmetry Enriched Topological Phases
我们研究了物质的$2+1$维费米拓扑相的对称性和拓扑序的相互作用。我们定义费米拓扑对称性作用于使用编织张量范畴理论描述的突现拓扑有效理论。连接到微观物理系统的${\cal G}^{\rm f}$费米子对称性，我们描述和分类的对称性分形在费米子拓扑阶段。我们发现，物理费米子提供的限制，导致在一个分层结构的障碍物和分类的物理费米子，准粒子和旋涡的分馏。物理费米子上的（玻色子）对称性$G= {\cal G}^{\rm f}/\mathbb{Z}_2^{\rm f}$的分数化本质上是由$\mathbb{Z}_2^{\rm f}$费米子宇称守恒产生的费米子对称性${\cal G}^{\rm f}$对$G$的中心扩展。利用$G$ -交叉编织张量范畴理论，我们发展了一个费米子拓扑相的${\cal G}^{\rm f}$对称性缺陷的代数理论。这种形式主义使我们能够充分表征和分类$2+1$维费米对称丰富的拓扑相位与现场酉费米对称群${\cal G}^{\rm f}$。我们首先应用这种形式主义提取指定一个一般的费米对称性保护的拓扑相的最小数据，并证明，固定的${\cal G}^{\rm f}$，这样的阶段形成一个组下的费米堆叠。然后我们分析了一般的费米对称性富集拓扑相，发现它们的分类是由准粒子的对称性分形化分类和费米对称性保护拓扑相分类相结合而给出的。我们说明我们的结果，通过详细的例子，包括所有的可逆…
2022-02-28 cond-mat.str-el hep-th math-ph
Topological Enrichment of Luttinger's Theorem
我们建立了一个推广的Luttinger定理，适用于分数费米液体，即费米液体共存的对称性丰富的拓扑秩序。我们发现，在费米体积与费米子密度之间的线性关系中，密度的贡献是由拓扑有序扇区的填充分数所决定的，而填充分数的大小取决于对称性如何分解.相反，这对允许的对称性丰富的拓扑序施加了限制，这些拓扑序可以在具有给定费米体积和费米子密度的分馏费米液体中表现出来。
2016-01-28 cond-mat.mes-hall cond-mat.str-el quant-ph
Fermionized parafermions and symmetry-enriched Majorana modes
仿费米子零模是马约拉纳模的推广，它是相对丰富的非阿贝尔-任意子性质的基础。我们引入精确的映射，连接parafermion链，它可以出现在二维的分形介质，严格的一维费米子系统。特别是，我们表明，parafermion零模式在前一个设置转换成“丰富的马约拉纳模式”，与批量序参量-产生编织和融合性能，是不可能在标准的马约拉纳平台的interpersonal。富氦Majorana模式的融合特性直接继承自相关的parafermion设置，并可以通过我们构建的两种异常泵浦周期进行探测。最值得注意的是，我们的映射与$\mathbb{Z}_4$ parafermion的传统电子的时间反演对称性。在这种情况下，我们的一个泵浦协议需要相当少的实验要求：在平凡的相位和时间反转不变的拓扑超导状态之间循环弱相关的导线，产生具有四倍周期性的边缘磁化。我们的工作突出了在实验相关的一维电子平台上探索“超越马约拉纳”物理学的新途径。
2018-08-13 cond-mat.mes-hall cond-mat.str-el
A topological phase transition on the edge of the 2d $\mathbb{Z}_2$ topological order
两个作者发展了二维拓扑序的有隙边和无隙边的统一数学理论。它提供了一个强有力的工具来研究纯边拓扑相变的边缘的二维拓扑秩序（不改变体积）。特别是，它意味着临界点的描述丰富的融合类别。在这项工作中，我们说明了这个想法在一个具体的例子：二维$\mathbb{Z}_2$拓扑秩序。特别地，我们构造了一个丰富的融合范畴，它描述了二维$\mathbb{Z}_2$拓扑序的可间隙非手征无间隙边，然后使用一个显式格模型构造来实现临界点，同时实现了这个丰富的融合范畴的所有成分.
2019-03-29 cond-mat.str-el math.CT math.QA
Classification of symmetry-enriched topological quantum spin liquids
本文提出一个系统框架分类二维对称性富集拓扑量子自旋液体，能处理任意Abelian或非Abelian态及一般对称性，并利用Lieb-Schultz-Mattis异常区分不同晶格系统，发现难以用parton-mean-field方法捕捉的新例子。
2024-09-27 cond-mat.quant-gas cond-mat.str-el hep-th
Quantum Phase Transitions between Symmetry-Enriched Fracton Phases
本文利用等距张量网络态研究X-Cube模型中对称富化分形子相之间的量子相变，构造了精确非稳定子波函数，并提出了在量子处理器上实现和表征这些三维奇异态的可行的量子电路与全息方案。
2025-08-04 cond-mat.str-el quant-ph
Symmetry Enriched U(1) Topological Orders for Dipole-Octupole Doublets on a Pyrochlore Lattice
对称性在我们理解传统的对称性破缺阶段和更奇特的物质的量子和拓扑阶段中起着基础性的作用。本文研究了焦绿石晶格上对称性富集的U（1）量子自旋液体的实验特征。指出新发现的焦绿石QSL候选体Ce $_2$ Sn $_2$ O $_7$的Ce局域磁矩是偶极-八极偶极的。这些不寻常的双峰的一般模型支持两个不同的对称性丰富的U（1）QSL基态在相应的量子自旋冰制度。这两个U（1）QSL被称为偶极U（1）QSL和八极U（1）QSL。虽然偶极U（1）QSL已经在许多场合讨论过，但八极U（1）QSL是相当独特的。基于偶极-八极二重态的对称性，我们预言了八极U（1）QSL的特殊物理性质，阐明了其在外磁场中独特的光谱性质。我们进一步预言了在外部磁场驱动下的八极U（1）QSL的Anderson-Higgs跃迁。我们确定了与候选材料Ce $_2$ Sn $_2$ O $_7$和其他偶极-八极双重体系的实验相关性。
2017-01-20 cond-mat.mtrl-sci cond-mat.str-el
A Unified Framework of Topological Phases with Symmetry
在$2+1$维的拓扑相中，任意子都可以用量子群对称表示。正如我们的工作（arXiv：1308.4673）中所提出的，可以通过“母相”的（隐藏的）量子群对称性破缺的数学来提取对称性富集相的物理。这提供了一个统一的框架和分类的对称性丰富的（拓扑）阶段，包括对称性保护平凡阶段以及。在本文中，我们扩展我们的调查的情况下，“父”阶段是非阿贝尔拓扑相位。我们明确地展示了如何可以获得的拓扑数据和对称性变换的对称性丰富的阶段，从“父”的非阿贝尔阶段。计算了两个示例：（1）$\text{Ising}\times\overline{\text{Ising}}$相位分裂成具有$\mathbb{Z}_2$整体对称性的$\mathbb{Z}_2$复曲面码;（2）$SU(2)_8$相位分裂成具有$\times$对称性的手征斐波那契相位，这是规范理论构造之外的第一个非阿贝尔对称性丰富拓扑相位的例子。
2014-02-25 cond-mat.str-el hep-th math-ph
Symmetry Enriched $c$-Theorems & SPT Transitions
我们推导出普遍的限制$(1+1)d$合理的共形场论（CFTs），可以出现的拓扑理论之间的过渡保护的全球对称性。远离临界态的变形是由保持对称性的相关变形驱动的，并且在重整化群流下定义了CFT的共形边界条件。当CFT可以在不同的平凡间隙相位之间进行转换时，在具有相关联的边界条件的间隔上量化的CFT的谱在每个能级处具有简并性。使用边界CFT和模不变性的技术，我们得到所有这样的退化，包括基态的普遍不等式。这建立了一个对称丰富的$c$定理，有效地一个下界的中心荷，这是严格的积极的，这一类的CFTs和对称保护流。我们说明了我们的结果的情况下，由$SU(M)/\mathbb{Z}_{M}$对称性保护流。在这种情况下，所有的SPT转换可以产生的WZW模型$SU(M)_{1},$，我们开发了一个字典共形边界条件和相关的运营商。
2022-10-03 cond-mat.str-el hep-th
Abelian Topological Order on Lattice Enriched with Electromagnetic Background
在物质的拓扑相中，内在拓扑有序和整体对称性之间的相互作用是一个有趣的任务。在研究具有离散整体对称性的拓扑序时，一个重要的系统方法是构造精确可解格模型。然而，对于连续的全局对称性，特别是电磁$U(1)$，晶格方法已经不太系统地发展。本文介绍了电磁背景下三维时空格点上一大类阿贝尔拓扑序的有效理论的系统构造。我们讨论了相关的拓扑性质，包括霍尔电导率和自旋c性质的电磁背景。这些有效的时空晶格理论中的一些可以很容易地映射到空间晶格上的微观哈密顿;其他的也可能揭示他们可能的微观哈密顿实现。我们的方法是基于$1$形式的$\mathbb{Z}$对称性的测量.我们的建设是自然相关的连续路径积分（加倍）$U(1)$陈-西蒙斯理论，通过后者的正式描述的Deligne-Beilinson上同调，当全球对称性下降，我们的建设可以减少到相关的交换拓扑秩序的Dijkgraaf-Witten模型，如预期的。
2020-08-10 cond-mat.str-el hep-th math-ph
Symmetry-Enriched Criticality in a Coupled Spin-Ladder
研究两条耦合XXZ自旋链构成的一维梯子系统，利用玻色化方法识别并分析了多种不可连接的无能隙对称性富集临界相及拓扑相，确定了相变普适类与相图，并通过数值方法验证。
2024-04-29 cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el
Nonlinear Symmetry-Fragmentation of Nonabelian Anyons In Symmetry-Enriched Topological Phases: A String-Net Model Realization
Fudan University（复旦大学）；Hefei National Laboratory（合肥国家实验室）
本文通过字符串-网络模型揭示非阿贝尔任何子在对称性下的非线性碎裂机制，提出相干表示概念，揭示非阿贝尔SETs的特征。
2025-10-11 cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el hep-th
Symmetry enriched phases of quantum circuits
由随机幺正门组成的量子线路在局域测量下会经历一个相变，由测量速率调节，从体积律纠缠态到面积律纠缠态。从更广泛的角度来看，这些电路在其输出端产生了一种新颖的量子多体态系综。在本文中，我们描述了这个合奏和分类的阶段，可以建立稳定的状态。对称性扮演着一个非标准的角色，因为施加在电路元件上的物理对称性本身并不决定可能的相位。相反，它被与这个系综相关的动力学对称性扩展，形成一个扩大的对称性。因此，我们预测没有平衡对应物的相位，并且不能单独由物理电路对称性支持。我们给出以下例子。首先，我们对运行在具有$\mathbb{Z}_2$对称性的量子比特链上的电路的相位进行分类。一个惊人的预测，证实了数值模拟，是存在不同的体积法阶段在一个维度上，但支持真正的长程序。此外，我们认为，由于扩大对称性，这个系统可以在原则上支持拓扑面积法相，保护电路对称性和动态排列对称性的组合。其次，我们考虑一个高斯费米子电路，只保存费米子宇称。在这里，扩大的对称性产生了一个$U(1)$临界相在中等测量速率和Kosterlitz无相变面积律阶段。我们评论的不同阶段的编码量子信息的能力方面的解释。我们讨论密切的类比，爱德华兹和安德森开创的自旋玻璃的理论，以及关键的差异，源于量子性质的电路合奏。
2021-09-20 cond-mat.dis-nn cond-mat.quant-gas cond-mat.stat-mech
Symmetry Enriched Fracton Phases from Supersolid Duality
受最近建立的弹性晶体和分形张量规范理论之间的对偶性的启发，我们将其与玻色子涡旋对偶性相结合，明确地解释底层原子的玻色子统计。由此，我们得到了一个混合的矢量张量规范对偶的超固体，它的特点是晶体和超流秩序。规范对偶描述了一种具有超流序赋予的完全偶极迁移率的分形子物质状态，由理论中分形子和涡旋扇区之间的“相互”轴子电动力学所支配，并具有相关的广义威滕效应。涡旋凝聚恢复了U（1）对称性，将偶极子限制在亚维（恢复了相称量子晶体的位错滑移约束），并驱动两个不同分形子相之间的相变。同时，凝聚的基本fracton偶极子和电荷，分别提供了一个规范的双重描述的超六角和普通超流体。与传统观点一致，在没有晶体有序的情况下，U（1）对称相在零温度下通过类似于去限制量子临界性的机制被禁止。
2019-01-10 cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el
Absolute anomalies in (2+1)D symmetry-enriched topological states and exact (3+1)D constructions
在（2+1）D拓扑有序的物质相中，某些对称性分形模式可能是反常的，这意味着它们对在纯（2+1）D中实现具有障碍。在本文中，我们演示了如何计算玻色子的拓扑（SET）丰富态的异常在完全的一般性。我们演示了如何，给定任何酉模张量范畴（UMTC）和对称分解类的全球对称群$G$，可以定义一个（3+1）D拓扑不变路径积分的状态和的$G$安全保护的拓扑（SPT）状态。我们提出了一个精确可解的哈密顿系统，并明确证明了（2+1）D $G$对称的表面终止主机deconfined任意子激发所描述的给定的UMTC和对称分形类。我们提出了具体的算法，可用于计算异常指标一般。我们的方法适用于一般的对称群，包括任意子置换和反酉对称。除了提供一种计算反常的一般方法外，我们的结果还表明，通过显式构造，任何UMTC的每一个对称性分数化类都可以在（3+1）维SPT态的表面实现.作为一个副产品，这种构造还提供了一种方法，可以显式地看到定义对称分解的代数数据通常是如何在精确可解模型的上下文中出现的。在酉方向保持对称的情况下，我们的结果也可以被视为提供了一种方法来计算$\mathcal{H}^4(G, U(1))$的障碍，出现在$G$交叉编织张量范畴的理论，没有一般的方法已经提出了日期。
2020-03-25 cond-mat.str-el hep-th math.QA
