Lower Bounds on Testing Functions of Low Fourier Degree
我们考虑的问题，测试是否布尔函数具有傅立叶度$\leq k$或它是$ε$ -远离任何布尔函数与傅立叶度$\leq k$。本文将已知的$Ω(k)$的下界\cite{BBM11,CGM10}改进为$Ω(k/\sqrtε)$ .下限使用Blais \textit{et. al.} \cite{BBM11}最近发现的属性测试和通信复杂性之间的联系
2013-08-24 cs.CC
Periodic Fourier representation of Boolean functions
在这项工作中，我们考虑了布尔函数的一种新的类傅立叶表示$f\colon\{+1,-1\}^n\to\{+1,-1\}$ \[ f(x) = \cos\left(π\sum_{S\subseteq[n]}ϕ_S \prod_{i\in S} x_i\right). \]这种表示，我们称之为周期傅立叶表示，布尔函数是密切相关的某种类型的多部贝尔不等式和非自适应测量为基础的量子计算与线性侧处理（$\mathrm{NMQC}_\oplus$）。上述表示中的非零系数的最小数量，我们称之为周期傅立叶稀疏度，等于通过$\mathrm{NMQC}_\oplus$精确计算$f$所需的量子位数。周期傅立叶表示不是唯一的，并且可以直接从傅立叶表示和$\mathbb{F}_2$ -多项式表示两者获得。本文首先证明了与$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ -多项式相关的布尔函数具有小的周期傅立叶稀疏性。其次，我们证明了周期傅立叶稀疏性至少是$2^{\mathrm{deg}_{\mathbb{F}_2}(f)}-1$，这意味着$\mathrm{NMQC}_\oplus$有效地计算布尔函数$f$当且仅当$f$的$\mathbb{F}_2$ -度很小。此外，我们表明，任何对称布尔函数，例如，$\mathsf{AND}_n$、$\mathsf{Mod}^3_n$、$\mathsf{Maj}_n$等可以使…
2019-03-26 cs.CC quant-ph
Instruction sequence size complexity of parity
每个布尔函数都可以通过一个单遍指令序列来计算，该指令序列仅包含设置和获取布尔寄存器内容的指令、前向跳转指令和终止指令。辅助布尔寄存器对此不是必需的。在目前的文件中，我们表明，在奇偶校验功能的情况下，较短的指令序列是可能的，使用辅助布尔寄存器中存在的指令，以补充辅助布尔寄存器的内容。在程序是作用于布尔寄存器的指令序列的设置中，该结果支持辅助数据的存储背后的基本直觉，即这使得程序的大小的减小成为可能的直觉。
2016-07-15 cs.CC cs.PL
Classical-Quantum Separations in Certain Classes of Boolean Functions-- Analysis using the Parity Decision Trees
本文利用奇偶决策树方法研究了几种布尔函数类的确定性（经典）查询复杂度（$D$）和精确量子查询复杂度（$Q_E$）之间的分离问题。我们首先定义$n$变量的查询友好（QF）函数作为具有最小确定性查询复杂性的函数$(D(f))$。我们观察到，对于每个$n$，存在一个不可分离的QF函数类，使得$D(f)=Q_E(f)$。进一步证明了对于某些$n$值，所有的QF函数都是不可分的.然后，我们提出了QF函数的某些其他值的$n$分离可以证明，特别是，$Q_E(f)=D(f)-1$。在相关的工作中，我们还研究了Maiorana McFarland（M-M）型Bent函数。我们证明了对于任意的M-M Bent函数$f$，$n$变量$D(f) = n$，分离可以实现为$\frac{n}{2} \leq Q_E(f) \leq \lceil \frac{3n}{4} \rceil$。我们的研究结果突出了如何不同类别的布尔函数可以分析利用奇偶决策树方法的经典量子分离。
2020-09-04 cs.CC quant-ph
Parity Decision Tree Complexity is Greater Than Granularity
证明了布尔函数$f$的奇偶决策树复杂度$\mathsf{D}_{\oplus}(f)$的一个新下界.即，布尔函数$f$的粒度是最小的$k$，使得$f$的所有傅立叶系数是$1/2^k$的整数倍。我们表明，$\mathsf{D}_{\oplus}(f)\geq k+1$。该下界是通过$f$的稀疏性和通过$f$在$\mathbb{F}_2$上的度对下界的改进。使用我们的下界，我们确定了确切的奇偶性决策树复杂性的几个重要的布尔函数，包括多数和递归多数。对于大多数，复杂度是$n - \mathsf{B}(n)+1$，其中$\mathsf{B}(n)$是$n$的二进制表示中1的个数。对于递归多数，复杂度为$\frac{n+1}{2}$。最后，我们提供了一个函数的例子，我们的下限不是紧的。我们的结果暗示了$n - \mathsf{B}(n)$关于多数乘法复杂度的新的下界。
2018-10-26 cs.CC
Tight Chang's-lemma-type bounds for Boolean functions
Chang引理（Duke Mathematical Journal，2002）是一个经典的结果，在数学和计算机科学的多个领域都有应用。对于取{-1，1}中的值的布尔函数$f$，让$r(f)$表示其傅立叶秩。对于每个正阈值$t$，Chang引理提供了$wt(f):=\Pr[f(x)=-1]$在其特征的跨度的维度方面的下限，其傅立叶系数的幅度至少为$1/t$。我们检查张的引理w.r.t.以下三种自然阈值设置：- $f$的傅立叶最大秩熵，表示为$k'(f)$，定义为最小$t$，使得其傅立叶系数在绝对值上至少为$1/t$的字符跨越维度$r(f)$。我们证明了新的下界$wt(f)$在这些措施。我们的一个下界包含并细化了Sanyal（ToC，2019）关于$k(f)$的$r(f)$的先前最知名的上限。另一个下界是基于我们对Chattopadhyay，Hatami，Lovett和Tal（ITCS，2019）关于水平- $1$傅立叶系数绝对值之和的边界的改进。我们还表明，张的引理，这些选择的阈值是渐近优于我们的界限，大多数设置的参数。接下来，我们证明了我们的边界对于所涉及的各种参数都是紧的，通过构造函数（这是Addressing函数的修改）来证明它们的紧性。最后，我们构造布尔函数$f$-我们的下界渐近匹配$wt(f)$，和-对于任何选择的阈值$t$，从张的引理得到的下界是渐近小于$wt(f)$。
2021-05-22 cs.CC
Structure of sparse Boolean functions over Abelian groups, and its application to testing
Indian Statistical Institute（印度统计研究所）；Nanyang Technological University（南洋理工大学）；University of Sheffield（谢菲尔德大学）
本文研究了阿贝尔群上稀疏布尔函数的结构，并提出了一种高效的稀疏性测试算法，同时推广了布尔度的概念并给出了下界。
2026-02-01 cs.CC
Fourier Entropy-Influence Conjecture for Random Linear Threshold Functions
傅里叶熵影响（FEI）猜想指出，对于任何布尔函数$f:\{+1,-1\}^n \to \{+1,-1\}$，$f$的傅里叶熵至多是它的影响，直到一个普适常数因子。虽然FEI猜想已被证明了许多类布尔函数，它仍然不知道它是否适用于线性阈值函数类。一个自然的问题是：FEI猜想是否适用于“随机”线性阈值函数？在本文中，我们肯定地回答了这个问题。我们考虑两个自然分布的权重定义一个线性阈值函数，即均匀分布在$[-1,1]$和正常分布。
2019-03-27 cs.CC
A composition theorem for the Fourier Entropy-Influence conjecture
Friedgut和Kalai [FK 96]的傅立叶熵影响（FEI）猜想试图将布尔函数复杂性的两个基本度量联系起来：它指出$H[f] \leq C Inf[f]$对每个布尔函数$f$都成立，其中$H[f]$表示$f$的谱熵，$Inf[f]$是它的总影响，$C > 0$是一个普适常数。尽管重大兴趣的猜想，它已被证明只适用于少数几类布尔函数。我们的主要结果是FEI猜想的复合定理。我们表明，如果$g_1,...,g_k$是不相交的变量集满足猜想的功能，如果$F$的傅立叶变换的产品分布与偏见$E[g_1],...,E[g_k]$满足猜想，那么他们的组合$F(g_1(x^1),...,g_k(x^k))$满足猜想。作为一个应用，我们证明了FEI猜想适用于任意有界元门上的只读公式，扩展了最近的结果[OWZ 11]，该结果证明了它适用于只读决策树。我们的技术还产生了一个明确的功能与最大的已知比例的$C \geq 6.278$之间的$H[f]$和$Inf[f]$，提高了以前的下限4.615。
2013-04-04 cs.CC
The Fourier Transform of Restrictions of Functions on the Slice
本文研究布尔超立方体切片上的傅里叶变换。证明了切片上函数的傅里叶系数与其限制条件的傅里叶系数之间的关系。作为应用，我们证明了一个Goldreich-Levin定理的切片上的函数的基础上的Kushilevitz-Mansour算法的布尔超立方体。
2021-11-05 cs.CC cs.DS math.CO
Nearly Optimal Quantum Sample Complexity of Learning Fourier-Sparse Boolean Functions
College of Computer and Data Science, Fuzhou University（福州大学计算机与数据科学学院）
该研究针对至多有k个非零傅里叶系数的布尔函数，提出了样本复杂度为\\(\widetilde{O}(k)\\)的量子学习算法，改进了此前的上界，并推导得到紧的经典样本复杂度\\(\Theta(nk)\\)。
2026-10-14 cs.CC cs.DS quant-ph
Approximating Boolean Functions with Disjunctive Normal Form
该定理指出：每个布尔函数都可以通过大小为$O_ε(2^{n}/\log{n})$的析取范式（DNF）成为$ε-approximated$。本文将通过展示这个定理是如何产生的并证明它的正确性来详细地论证这个定理。我们还将深入研究一些特定的布尔函数，并探索如何用大小在通用范围$O_ε(2^{n}/\log{n})$内的DNF来近似这些布尔函数。我们感兴趣的布尔函数是：奇偶校验函数：奇偶校验函数可以是$ε-approximated$，由宽度为$(1 - 2ε)n$、大小为$2^{(1 - 2ε)n}$的DNF表示。此外，我们将探索DNF的大小和宽度的下限。多数函数：对于每个常数$1/2 < ε< 1$，存在大小为$2^{O(\sqrt{n})}$的DNF，其可以$ε-approximated$在n位上执行多数函数。单调函数：每个单调函数f可以是$ε-approximated$，通过大小为$2^{n - Ωε(n)}$的DNF g，对于所有x，满足$g(x) \le f(x)$。
2020-05-12 cs.CC cs.LO
Polynomial Calculus sizes over the Boolean and Fourier bases are incomparable
本文通过构造一类宽 O(log n) 的 CNF 重言式，证明多项式演算在 {0,1} 基上可高效反驳但在 {+1,-1} 基上需指数规模，从而解决 Sokolov 与 Razborov 提出的公开问题。
2024-07-01 cs.CC math.LO
On the Structure of Boolean Functions with Small Spectral Norm
本文证明了有关具有小谱范数（f的谱范数为$\|\hat{f}\|_1=\sum_α|\hat{f}(α)|$）的布尔函数的结果。具体来说，我们证明了以下结果的功能$f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$与$\|\hat{f}\|_1=A$。1.存在余维至多为$A^2$的子空间$V$，使得$f|_V$为常数。2. f可以通过大小为$2^{A^2}n^{2A}$的奇偶校验决策树来计算。（奇偶性决策树是其节点用任意线性函数标记的决策树。）3.如果另外f具有至多s个非零傅立叶系数，则f可以通过深度为$A^2 \log s$的奇偶校验决策树来计算。4.对于每个$0<ε$，存在深度为$O(A^2 + \log(1/ε))$且大小为$2^{O(A^2)} \cdot \min\{1/ε^2,O(\log(1/ε))^{2A}\}$的奇偶校验决策树，其ε-近似于f。此外，可以使用$\poly(n,\exp(A^2),1/ε,\log(1/δ))$成员查询以概率$1-δ$来学习该树。上述所有结果也适用于函数$f:Z_p^n\to \{0,1\}$（参数略有变化）。
2013-05-22 cs.CC math.CA math.CO
Refuting approaches to the log-rank conjecture for XOR functions
本文针对XOR函数情形下对数秩猜想的两个证明进路，分别构造特定布尔函数，反驳了关于非零傅里叶系数集合具有强加性结构的两个猜想。
2024-05-03 cs.CC
Testing Booleanity and the Uncertainty Principle
设f：{-1，1}^n -> R是超立方体上的实函数，由其离散傅立叶展开式给出，或者等价地表示为多线性多项式。我们说它是布尔的，如果它的图像在{-1，1}中。我们证明了超立方体上的每一个函数的稀疏傅立叶展开必须是布尔或远离布尔。特别地，我们证明了至多k项的多线性多项式必须是布尔型的，或者对于其定义域的至少2/（k+2）^2的分数，输出值不同于-1或1。因此，给定对f的Oracle访问，以及保证它作为多线性多项式的表示最多有k项，可以使用O（k^2）查询来测试布尔性。我们给出了这个问题的一个Ω（k）查询下界。我们的证明关键地使用了海森堡测不准原理的赫希曼熵版本。
2013-11-12 cs.CC cs.DM cs.DS
Parity $\notin$ QAC0 $\iff$ QAC0 is Fourier-Concentrated
University of California at Berkeley（加州大学伯克利分校）
该研究探讨了浅层量子电路QAC0能否计算奇偶性的问题，发现这与QAC0的傅里叶谱有关。通过分析傅里叶谱，证明了QAC0电路若具有显著的高阶傅里叶质量，则可精确计算奇偶性。同时，研究指出QAC0在某些方面比AC0更具优势，提出了新的度量标准felinity。
2026-08-27 cs.CC quant-ph
Fourier Growth of Parity Decision Trees
我们证明了对于$n$变量上的深度$d$的每一个奇偶决策树，$\ell$层上的傅立叶系数的绝对值之和至多为$d^{\ell/2} \cdot O(\ell \cdot \log(n))^\ell$。我们的结果对于$\ell$的小值几乎是紧的，并且扩展了Sherstov，Storozhenko和Wu（STOC，2021）之前标准决策树的傅立叶界。作为我们的傅立叶边界的应用，使用Bansal和Sinha（STOC，2021）的结果，我们证明了$k$ -fold Forrelation问题具有（随机化）奇偶校验决策树复杂度$\tildeΩ\left(n^{1-1/k}\right)$，同时具有量子查询复杂度$\lceil k/2\rceil$。我们的证明遵循随机游走的方法，分析决策树中的随机路径的贡献的水平- $\ell$傅立叶表达式。为了进行论证，我们对奇偶校验决策树应用了仔细的清理过程，确保随机游走的值以高概率有界。我们观察到，级别$\ell$行走的步长可以通过级别$\le \ell-1$行走的中间值来计算，这需要一个归纳参数。我们的方法不同于Tal（FOCS，2020）和Sherstov，Storozhenko和Wu（STOC，2021）之前的证明，这些证明依赖于树的分解。特别是，对于标准决策树的特殊情况，我们认为我们的证明稍微简单和更直观。此外，我们证明了一个类似的界限噪声决策树的…
2021-05-13 cs.CC cs.DM
A Generalization of a Theorem of Rothschild and van Lint
Rothschild和van Lint的一个经典结果断言，如果$f$上的布尔函数$f$的每个非零傅立叶系数具有相同的绝对值，即对于$f$的傅立叶支撑中的每个$α$，都有$|\hat{f}(α)|=1/2^k$，则$f$一定是某个$n-k$维仿射子空间的指示函数。本文将他们的结果稍加推广。我们的主要结果表明，傅里叶系数取值于集合$\{-2/2^k, -1/2^k, 0, 1/2^k, 2/2^k\}$的布尔函数，大致上是两个不相交的$n-k$维仿射子空间或四个不相交的$n-k-1$维仿射子空间的指示函数.我们的主要技术工具是结果添加剂组合学提供严格的界限上的仿射跨度大小的一个子集的$\mathbb{F}_2^{n}$时，加倍常数的子集是小的。
2021-03-31 cs.CC
Testing Isomorphism of Boolean Functions over Finite Abelian Groups
针对有限阿贝尔群上布尔函数同构的容错测试问题，提出查询复杂度为poly(s,1/τ)的高效算法，并针对傅里叶稀疏情形给出改进，利用群论与傅里叶分析工具。
2025-07-10 cs.CC
On a Boolean function without bold folding in the spectrum support and implications for greedy approaches to PDT depth
研究布尔函数及其傅里叶频谱支持在奇偶决策树中的情况，通过构造显式无限族布尔函数加强折叠估计，还讨论对 PDT 构造贪心方法的影响。
2026-07-07 cs.CC
Parity Decision Tree Complexity and 4-Party Communication Complexity of XOR-functions Are Polynomially Equivalent
本文研究了布尔函数$f$的奇偶性决策树复杂度（记为$\mathrm{D}_{\oplus}(f)$）与异或函数$F(x_1,\ldots, x_k)= f(x_1\oplus\cdots\oplus x_k)$的$k$（记为$\mathrm{CC}^{(k)}(F)$）的多方通信复杂性之间的关系.已知$\mathrm{CC}^{(k)}(F)\leq k\cdot\mathrm{D}_{\oplus}(f)$，因为参与者可以模拟计算$f$的奇偶性决策树。在本说明中，我们表明，\[\mathrm{D}_{\oplus}(f)\leq O\big(\mathrm{CC}^{(4)}(F)^5\big).\]我们的主要工具是最近的结果添加剂组合由于桑德斯。由于$\mathrm{CC}^{(k)}(F)$不随$k$的增长而减少，因此只要$k\geq 4$，$f$的奇偶性决策树复杂度和对应的$k$ -自变量XOR函数的通信复杂性就多项式等价。备注：在这篇论文的第一个版本完成后，我们发现哈塔米和洛维特几年前就已经发现了同样的结果，没有写下来。
2015-06-28 cs.CC
Hypercontractive Inequality for Pseudo-Boolean Functions of Bounded Fourier Width
函数$f:\ \{-1,1\}^n\rightarrow \mathbb{R}$称为伪布尔。众所周知，每个伪布尔函数$f$可以写为$f(x)=\sum_{I\in {\cal F}}\hat{f}(I)χ_I(x),$，其中${\cal F}\subseteq \{I:\ I\subseteq [n]\}$、$[n]=\{1,2,...,n\}$和$χ_I(x)=\prod_{i\in I}x_i$以及$\hat{f}(I)$是非零实数。$f$的次数是$\max \{|I|:\ I\in {\cal F}\}$，并且$f$的宽度是最小整数$ρ$，使得每个$i\in [n]$出现在$\cal F$中的至多$ρ$集合中。对于$i\in [n]$，令$\mathbf{x}_i$是一个随机变量，其值为1或-1，且与所有其他变量$\mathbf{x}_j$，$j\neq i.$一致且独立。令$\mathbf{x}=(\mathbf{x}_1,...,\mathbf{x}_n)$。对于任何$p\ge 1$，$f$的$p$ -范数都是$||f||_p=(\mathbb E[|f(\mathbf{x})|^p])^{1/p}$。众所周知，$||f||_q\ge ||f||_p$无论何时都是$q> p\ge 1$。然而，较高的范数可以由较低的范数乘以不直接依赖于$f$的系数来界定：如果$f$是$d$…
2012-12-01 cs.CC cs.DM cs.DS
Exponential quantum communication reductions from generalizations of the Boolean Hidden Matching problem
在这项工作中，我们重新审视布尔隐藏匹配通信问题，这是单向模型中的第一个通信问题，以证明指数经典量子通信分离。在这个问题中，爱丽丝的比特根据鲍勃持有的分区配对。这些对使用奇偶校验函数进行压缩，并且保证最终的位串等于Bob持有的另一个位串或其补码。问题是决定哪种情况是正确的。在这里，我们推广的布尔隐藏匹配问题，取代奇偶校验功能与任意布尔函数$f$。根据$f$的符号度，给出了有效的通信协议。如果它的符号度小于或等于1，我们证明了一个有效的经典协议。如果它的符号度小于或等于$2$，我们证明了一个有效的量子协议。然后，我们完全表征的经典硬度的所有对称函数$f$的符号度大于或等于$2$，除了一个家庭的特定情况下。我们还证明了，通过傅立叶分析，一个经典的下界为任何功能$f$，其纯高的程度是大于或等于$2$。同样，我们证明，也通过傅立叶分析，量子下界的任何功能$f$，其纯高的程度是大于或等于$3$。这些结果给出了一个新的指数经典量子通信分离的大家庭。
2021-08-17 cs.CC quant-ph
On the Distribution of the Fourier Spectrum of Halfspaces
Bourgain证明了任何噪声稳定的布尔函数$f$都可以很好地近似于一个junta。本文在$f$是半空间的附加假设下，给出了Bourgain结果的参数的指数锐化.
2012-02-29 cs.CC cs.DM math.PR
Boolean functions on high-dimensional expanders
本文开创高维扩展器上的布尔函数分析，提出基于随机游走的定义与近似特征空间分解，将Friedgut-Kalai-Naor定理推广到该稀疏模型，并证明其可作为布尔切片的去随机化。
2024-01-17 cs.CC math.CO
Coin Theorems and the Fourier Expansion
在这份说明中，我们比较了两个措施的复杂性一类$\mathcal F$的布尔函数研究（无条件）伪随机性：$\mathcal F$的能力，以区分有偏见和均匀硬币（硬币问题），规范的不同层次的傅立叶展开的功能在$\mathcal F$（傅立叶增长）。我们表明，对于具有低偏差$\varepsilon = o(1/n)$的硬币，硬币问题中函数的区别优势基本上等于$\varepsilon$乘以其水平$1$傅立叶系数之和，这特别表明，已知水平$1$和某些感兴趣的类别的总影响范围（如恒定宽度只读一次分支程序）实际上遵循相应的硬币定理的黑盒，从而简化了文献中某些已知结果的证明。对于更高的水平，这是众所周知的，傅立叶增长边界上的所有级别的傅立叶频谱意味着硬币定理，即使是大的$\varepsilon$，我们在这里讨论的可能性的逆。
2020-08-29 cs.CC
On the Fourier Entropy Influence Conjecture for Extremal Classes
The Fourier Entropy-Influence (FEI) Conjecture of Friedgut and Kalai states that ${\bf H}[f] \leq C \cdot {\bf I}[f]$ holds for every Boolean function $f$ , where ${\bf H}[f]$ denotes the spectral entropy of $f$ , ${\bf I}[f]$ is its total influence, and $C > 0$ is a universal constant. Despite significant interest in the conjecture it has only been shown to hold for some classes of Boolean functions such as symmetric functions and read-once formulas. In this work, we prove the conjecture for extremal cases, functions with small influence and functions with high entropy. Specifically, we show …
2019-01-24 cs.CC cs.DM math.CO
The Head Complexity of Boolean Functions in Single-Layer Attention
Northeastern University（东北大学）
该研究定义了仅含一层注意力的模型中计算布尔函数所需的最小注意力头数（头复杂度），建立了其层级、下界、紧致性界及一般二元函数的通用界，明确了头数与维度、精度的不可替代性。
2026-09-04 cs.CC cs.LG
Instance complexity of Boolean functions
Utrecht University（乌得勒支大学）；University of Liverpool（利物浦大学）
研究布尔函数查询算法的实例复杂度（算法成本与最优先知算法成本之比），刻画对称布尔函数的实例复杂度，并发现某些函数的实例复杂度远小于查询复杂度与最小证书复杂度之比。
2026-06-15 cs.CC
Lower Bounds for the Size of Nondeterministic Circuits
非确定性电路是电路复杂性理论中的一种非确定性计算模型。本文证明了计算奇偶函数的非确定$U_2$ -电路的大小的一个$3(n-1)$下界。已知计算奇偶函数的（确定性）$U_2$ -电路的最小尺寸正好等于$3(n-1)$。因此，我们的结果意味着非确定性计算是无用的计算奇偶函数的$U_2$ -电路，不能减少从$3(n-1)$的大小。据我们所知，这是显式布尔函数具有无限非确定性的非确定性电路（包括公式，常数深度电路等）大小的第一个非平凡下界。我们还讨论了一种方法来证明下界的大小确定性电路通过下界的大小不确定性的限制电路。
2015-04-25 cs.CC
Exact versus Approximate Representations of Boolean Functions in the De Morgan Basis
本文在德摩根基下研究布尔函数精确表示与近似表示的关系，提出自适应随机限制方法，证明稀疏性和ℓ1范数在对数尺度上精确与近似版本具有类似关系，与傅里叶基形成对比。
2025-07-18 cs.CC
Quantum algorithms for highly non-linear Boolean functions
分离经典计算模型和量子计算模型的尝试有着悠久的历史。最终目标是找到计算问题的指数分离。然而，这种分离并不是一毛钱一打：虽然在阿贝尔群的隐子群问题的形式上有一些早期的成功--这可能最忠实地推广了肖尔的因子分解算法--但只有少数非阿贝尔群的有效量子算法被发现。最近，寻求识别除群之外的其它组合和代数对象的隐藏子结构的问题已经得到越来越多的关注。在本文中，我们提供了新的例子，指数分离考虑隐藏的移位问题，定义为几类高度非线性布尔函数。这些所谓的弯曲函数出现在密码学中，它们在布尔超立方体上具有完全平坦的傅立叶谱的特性使它们能够抵御某些类型的攻击。我们提出了新的量子算法，解决了隐藏的移位问题的几个著名的类的弯曲功能在多项式时间内，并具有恒定数量的查询，而经典的查询复杂性被证明是指数。我们的方法使用的技术，利用弯曲函数和它们的傅立叶变换之间的对偶性。
2009-11-24 cs.CC quant-ph
Fourier sparsity, spectral norm, and the Log-rank conjecture
We study Boolean functions with sparse Fourier coefficients or small spectral norm, and show their applications to the Log-rank Conjecture for XOR functions f(x \oplus y) --- a fairly large class of functions including well studied ones such as Equality and Hamming Distance. The rank of the communication matrix M_f for such functions is exactly the Fourier sparsity of f. Let d be the F2-degree of f and D^CC(f) stand for the deterministic communication complexity for f(x \oplus y). We show that 1. D^CC(f) = O(2^{d^2/2} log^{d-2} || \hat f||_1). In particular, the Log-rank conjecture holds for X…
2013-04-09 cs.CC
Improved Lower Bounds for the Fourier Entropy/Influence Conjecture via Lexicographic Functions
每个布尔函数都可以唯一地表示为多线性多项式。熵和总影响是测量其傅立叶系数集中度的两种方法，即在此表示中的单项系数：熵粗略地测量它们的扩散，而总影响测量它们的平均水平。Friedgut和Kalai在1996年提出的傅立叶熵/影响猜想指出，熵与影响的比值受普适常数$C$的限制。使用字典序布尔函数，我们提出了三个明确的渐近结构，提高了以前最好的已知下界$C>6.278944$ O 'Donnell和谭，通过递归组合。第一个使用它们的构造与度量$2/3$的词典功能$\ell\left\langle 2/3\right\rangle $来证明$C\ge4+3\log_{4}3>6.377444$。第二种方法将它们的构造推广到有偏函数，并利用$\ell\left\langle Φ\right\rangle $得到$C>6.413846$，其中$Φ$是逆黄金比例。第三，独立的，建设给予$C>6.454784$，即使是单调的功能。除了对$C$的值的适度改进之外，我们的构造还揭示了在该猜想的潜在反例中所寻求的性质。此外，我们证明了Lipschitz型条件的总影响和谱熵，这可能是独立的利益。
2017-11-02 cs.CC math.CO
Degree and Sensitivity: tails of two distributions
布尔函数f的灵敏度是所有输入x上x的灵敏坐标数的最大值。著名的尼桑敏感性猜想（也见尼桑和塞格迪）指出，每个敏感性为s的布尔函数都可以通过次数为多的实数上的多项式来计算。然而，最著名的次数上界是指数的，而不是s中的多项式。我们的主要结果是猜想的一个近似版本：每个具有灵敏度s的布尔函数都可以用一个次数为O（slog（1/n））的多项式ε-逼近（在L_2中）。这是对《诗经》民俗学范畴的第一次改进。进一步，我们证明了对于任意d 0，将其上界提高到O（s^c log（1/n）^d）$< 1 and any c >将意味着敏感性猜想.因此，我们的结果基本上是人们在不证明猜想的情况下所能期望的最好结果。我们假设一个强大的模拟的敏感性猜想：如果大多数输入的布尔函数f具有低灵敏度，那么大多数的傅立叶质量的f是集中在小的子集，并提出了一种方法来证明这个猜想。
2016-04-25 cs.CC
Towards Optimal Separations between Quantum and Randomized Query Complexities
查询模型提供了一个具体的设置，量子算法可证明优于随机算法。Bernstein-Vazirani、Simon、Aaronson和其他人提出了部分布尔函数的漂亮结果，这些函数可以通过量子算法计算，与它们的随机类似物相比，查询要少得多。到目前为止，量子和随机查询复杂度之间的$O(1)$与$\sqrt{N}$的分离仍然是最先进的（其中$N$是输入长度），留下了一个问题，即$O(1)$与$N^{1/2+Ω(1)}$分离是否可能？我们对这个问题的回答是肯定的。我们的分离问题是Aaronson-Ambainis $k$ -fold Forrelation问题的一个变种。我们证明了我们的变体：（1）可以通过对输入进行$2^{O(k)}$查询的量子算法来求解。(2)任何随机算法至少需要$\tildeΩ(N^{2(k-1)/(3k-1)})$查询。对于任何常数$\varepsilon>0$，这给出了部分布尔函数的量子和随机化查询复杂度之间的$O(1)$与$N^{2/3-\varepsilon}$分离。我们的证明是傅立叶分析，并使用新的界限上的傅立叶谱的经典决策树，这可能是独立的利益。展望未来，我们推测，傅立叶边界可以进一步提高在一个精确的方式，并表明，这种约束的界限意味着最佳的$O(1)$与$N^{1-\varepsilon}$分离之间的量子和随机查询复杂性的部分布尔函数。
2019-12-29 cs.CC quant-ph
Quantum algorithms to solve the hidden shift problem for quadratics and for functions of large Gowers norm
大多数量子算法都以某种方式利用了傅里叶变换，它们比经典算法有指数级的加速。在Shor的算法中，从量子傅里叶谱中采样被用来发现模幂函数的周期性。在这个想法的推广中，量子傅立叶采样可以用来发现一些函数的隐藏子群结构，比经典方法更有效。傅立叶变换在量子计算机上成功应用的另一个问题是隐位移问题。隐位移问题的量子算法通常与隐子群算法略有不同，因为它们使用傅里叶变换来执行与给定参考函数的相关，而不是直接从傅里叶频谱中采样。在本文中，我们表明，隐藏的移位可以有效地提取布尔函数是二次形式。我们还展示了如何使用线性数量的查询来识别n个变量的未知二次型，与经典的情况相反，这需要Theta（n^2）许多查询到黑盒。更重要的是，我们表明，我们的量子算法是强大的，在这个意义上，它也可以推断的移位，如果函数是接近二次，我们认为布尔函数是接近二次，如果它有一个大的Gowers U_3范数。
2009-11-24 cs.CC quant-ph
Easy and hard functions for the Boolean hidden shift problem
University of Waterloo（滑铁卢大学）；IBM TJ Watson Research Center（IBM TJ沃森研究中心）；NEC Laboratories America（NEC美国实验室）
研究了布尔隐移位问题的量子查询复杂度。给定一个已知的布尔函数f的oracle访问f（x+s），任务是确定n位字符串s。这个问题的量子查询复杂度强烈依赖于f。我们证明了这个问题的最简单的实例对应于弯曲的功能，在这个意义上说，一个确切的一个查询算法存在，当且仅当函数弯曲。我们部分描述了最难的实例，其中包括delta函数。此外，我们表明，这个问题是很容易的随机函数，因为两个查询就足够了。我们的随机函数算法是基于对某个状态的几个副本进行相当好的测量;它的分析依赖于傅里叶变换。我们还使用这种方法来改进量子拒绝采样方法的布尔隐藏移位问题。
2013-04-16 cs.CC cs.LG quant-ph
Exact Quantum Query Algorithms Outperforming Parity -- Beyond The Symmetric functions
在精确量子查询模型中，几乎所有存在非平凡查询算法的布尔函数本质上都是对称的。在这个领域中最著名的技术利用奇偶校验决策树，其中两个比特的奇偶校验可以通过单个查询获得。因此，精确的量子查询算法优于奇偶校验决策树是罕见的。在本文中，我们首先获得最佳精确量子查询算法（$Q_{algo}(f)$）的直接和为基础的类$Ω\left( 2^{\frac{\sqrt{n}}{2}} \right)$非对称函数。我们构造这些算法，通过分析的代数范式与一个新的解开策略。接下来，我们得到的广义奇偶校验决策树复杂度（$D_{\oplus}(f)$）分析沃尔什频谱。最后，我们表明，$Q_{algo}$的查询复杂性是$\lceil \frac{3n}{4} \rceil$，而$D_{\oplus}(f)$不同的类之间的$n-1$和$\lceil \frac{3n}{4} \rceil+1$，强调在许多情况下，这两个措施之间的线性分离。据我们所知，这是第一个家庭的算法超越广义奇偶校验（因此奇偶校验）的一大类非对称函数。我们还实现了这些技术的一个更大的（双指数在$\frac{n}{4}$）类的Maiorana-McFarland型函数，但只能获得部分结果使用类似的算法技术。
2021-05-16 cs.CC quant-ph
Quantum algorithm for the Boolean hidden shift problem
隐移问题是寻找经典计算模型和量子计算模型之间新的分离的一个自然的地方。这个问题的一个优点是它的灵活性，因为它可以为整个范围的函数和整个范围的底层组定义。在某种程度上，这将其与隐藏子群问题区分开来，在隐藏子群问题中，必须对周期子群的存在提出更严格的要求。然而，隐藏的移位问题被证明是足够丰富的，可以捕捉到代数、几何和组合问题的有趣特征。我们提出了一个量子算法来识别任何布尔函数的隐藏移位。使用傅立叶分析的布尔函数，我们涉及的时间和查询算法的复杂性的函数的内在属性，即其最小的影响。我们表明，随机选择的功能的时间复杂性的算法是多项式。在此基础上，我们展示了经典和量子时间复杂度之间的平均情况指数分离。这项工作的一个可能有趣的方面是，虽然在所谓的弯曲函数的布尔隐移位问题的极端情况下，可以减少到一个隐藏的子群问题的阿贝尔群，更一般的情况下，这里研究似乎不允许这样的减少。
2011-03-15 cs.CC quant-ph
Parity vs. AC0 with simple quantum preprocessing
本文研究AC0与QNC0混合电路能否计算奇偶性，证明其在无辅助量子比特时相关性可忽略，并通过非局域博弈和决策树复杂度证明一般情形下猜想成立，揭示QNC0的量子优势无法被简单经典后处理用于判定问题。
2023-11-29 cs.CC quant-ph
Hardness of Learning Boolean Functions from Label Proportions
University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）；Simons Institute for the Theory of Computing（西蒙斯理论计算研究所）；Google Research India（谷歌印度研究院）
本文研究从标签比例学习布尔函数的计算困难性，证明学习 OR 时常数子句 CNF 与半空间存在能力分离，并给出 t-DNF 及奇偶函数学习的 NP 困难性与近似下界。
2024-03-28 cs.CC cs.DS cs.LG
Exponential Quantum Advantage in Testing Fourier Dimensionality
The University of Sydney（悉尼大学）
本文研究布尔函数傅里叶维数的性质测试，提出最优量子测试器并改进经典上界，展示指数级量子优势。
2026-11-03 cs.CC cs.DS quant-ph
On the Rational Degree of Boolean Functions and Applications
研究布尔函数的有理度（$\textrm{rdeg}(f)$），证明对称、单值函数及一次读公式等的有理度下界，构造部分函数展示有理度与近似度的双向无界分离，还得出量子资源不可比较等结论，并证明复合引理及新的多项式分离。
2025-04-14 cs.CC quant-ph
Robust Polynomials and Quantum Algorithms
我们定义并研究了布尔函数的鲁棒多项式和相关的容错量子决策树的复杂性，其中输入比特被噪声扰动。我们比较了几种可能的定义。我们的主要结果是 * 对于每一个n位布尔函数f有一个n变量多项式p的次数为O（n），鲁棒地逼近它，在这个意义上，p（x）保持接近f（x），如果我们稍微改变每个n输入的多项式。* 有一个O（n）-查询量子算法，鲁棒地恢复n个噪声输入位。因此，在存在噪声的情况下，每个n位函数都可以用O（n）查询进行量子计算。这与Feige等人的经典模型形成对比，其中，诸如奇偶校验之类的函数需要Theta（n*log n）查询。我们给出了这些结果的几个推广和应用。
2006-03-30 cs.CC quant-ph
Learning circuits with few negations
University of Waterloo（滑铁卢大学）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；Columbia University（哥伦比亚大学）
单调布尔函数和计算它们的单调布尔电路在复杂性理论中得到了深入的研究。在本文中，我们研究了布尔函数的结构方面的最小数量的否定在任何电路计算它们，一个复杂的措施，插值之间的单调函数和类的所有功能。我们从学习理论的角度研究了这种单调性的推广，给出了电路的均匀分布可学习性的近似匹配上界和下界，它们包含的否定数。我们的上界是基于负限电路的一个新的结构特征，它推广了A. A.马尔科夫我们的下界，采用傅立叶分析工具从硬度放大，甚至没有否定电路（即单调函数），给出了新的结果。
2014-10-30 cs.CC cs.DM cs.LG
VC-Dimension vs Degree: An uncertainty principle for Boolean functions
School of Statistics and Data Science, Nankai University（南开大学统计与数据科学学院）；Extremal Combinatorics and Probability Group (ECOPRO), Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究所极值组合与概率研究组）；Department of Mathematics, National University of Singapore（新加坡国立大学数学系）
该研究针对布尔立方体上的函数，证明了支撑击碎不确定性原理，推导了布尔函数相关的VC维与次数不等式，还将其应用于相关引理证明与多项式方法的应用。
2026-08-12 cs.CC cs.DM math.CO
Limits on representing Boolean functions by linear combinations of simple functions: thresholds, ReLUs, and low-degree polynomials
We consider the problem of representing Boolean functions exactly by "sparse" linear combinations (over $\mathbb{R}$ ) of functions from some "simple" class ${\cal C}$ . In particular, given ${\cal C}$ we are interested in finding low-complexity functions lacking sparse representations. When ${\cal C}$ is the set of PARITY functions or the set of conjunctions, this sort of problem has a well-understood answer, the problem becomes interesting when ${\cal C}$ is "overcomplete" and the set of functions is not linearly independent. We focus on the cases where ${\cal C}$ is the set of linear thresh…
2018-02-26 cs.CC cs.DM cs.NE
