The Fourier structure of low degree polynomials
研究了有限域上低次多元多项式的傅里叶系数的结构。我们考虑三个属性：（i）非零傅里叶系数的数目;（ii）傅里叶系数的绝对值之和;以及（iii）由非零傅里叶系数所张成的线性子空间的大小。对于二次多项式，已知所有三个量之间的紧密关系。在这项工作中，我们将这种关系推广到更高次的多项式。具体而言，对于度$d$多项式，我们表明，这三个数量是等价的指数因子在$d$。
2016-03-14 cs.CC math.CA math.CO
Testing Isomorphism of Boolean Functions over Finite Abelian Groups
针对有限阿贝尔群上布尔函数同构的容错测试问题，提出查询复杂度为poly(s,1/τ)的高效算法，并针对傅里叶稀疏情形给出改进，利用群论与傅里叶分析工具。
2025-07-10 cs.CC
Low-Degree Testing Over Grids
本文研究网格上低度函数的局部可测试性，证明对称网格可常数查询测试，非对称网格需超常数查询，并提出基于junta-度测试的新方法及球形噪声小集扩张定理。
2024-11-10 cs.CC
Fourier sparsity, spectral norm, and the Log-rank conjecture
We study Boolean functions with sparse Fourier coefficients or small spectral norm, and show their applications to the Log-rank Conjecture for XOR functions f(x \oplus y) --- a fairly large class of functions including well studied ones such as Equality and Hamming Distance. The rank of the communication matrix M_f for such functions is exactly the Fourier sparsity of f. Let d be the F2-degree of f and D^CC(f) stand for the deterministic communication complexity for f(x \oplus y). We show that 1. D^CC(f) = O(2^{d^2/2} log^{d-2} || \hat f||_1). In particular, the Log-rank conjecture holds for X…
2013-04-09 cs.CC
On Testing and Learning Quantum Junta Channels
该研究聚焦量子k-junta信道的测试与学习问题，通过构建超算符空间傅里叶分析框架、提出Influence-Sample方法，给出了对应问题的上下界算法，部分解决了领域内的开放问题。
2023-12-19 cs.CC quant-ph
Low-Degree Testing Over Boolean Slices
School of Engineering and Applied Sciences, Harvard University（哈佛大学本科工程学院与应用科学学院）；Department of Computer Science, University of Copenhagen（哥本哈根大学计算机科学系）
本文针对定义域为布尔切片、值域为一般阿贝尔群的低度测试问题，提出了查询复杂度为 $O_d(1)$ 的测试方法，通过将切片嵌入超立方体的归约思路完成分析，实现了对近距函数的高概率拒绝。
2026-08-25 cs.CC
Quantum property testing for bounded-degree graphs
研究了有界度图的二分性和扩张性的量子算法。我们给出了量子算法，解决这些问题的时间为O（N^（1/3）），击败欧米茄（sqrt（N））的经典下界。对于测试扩展，我们还证明了一个Omega（N^（1/4））量子查询下界，从而排除了指数量子加速的可能性。我们的量子算法遵循经典的属性测试技术，由于Goldreich和Ron，去随机化，和元素独特性的量子算法的组合。量子下界由多项式方法得到，使用新的代数技术和组合分析，以适应图结构。
2011-06-20 cs.CC quant-ph
Property Testing in Bounded Degree Hypergraphs
本文将性质测试扩展到有界度超图，给出有界树宽超图中k-部性测试的查询复杂度与n无关的随机算法，并证明k-可着色性、k-部性和独立数测试的Ω(n)最优下界。
2025-03-13 cs.CC cs.DM
The List-Decoding Size of Fourier-Sparse Boolean Functions
定义在布尔超立方体上的函数是$k$ -傅立叶稀疏的，如果它至多具有$k$非零傅立叶系数。对于一个函数$f: \mathbb{F}_2^n \rightarrow \mathbb{R}$和参数$k$和$d$，我们证明了一个强上界的数量$k$傅立叶稀疏布尔函数，不同意$f$在最多$d$输入。我们的界意味着学习$n$变量上的$k$ -傅立叶稀疏布尔函数类所需的均匀和独立的随机样本的数量最多为$O(n \cdot k \log k)$。作为一个应用，我们证明了一个上界的查询复杂性测试布尔傅立叶稀疏函数。我们的边界是紧对数因子和二次改善的结果，由于古尔和Tamuz（芝加哥J. Theor. Comput.科学，2013年）的报告。
2015-04-07 cs.CC cs.DS
Polynomial Identity Testing and Reconstruction for Depth-4 Powering Circuits of High Degree
Tel Aviv University（特拉维夫大学）
本文提出了一种确定性算法，用于深度-4高次幂电路的多项式恒等测试和重构，解决了无界顶层扇入的多项式时间问题。
2026-02-24 cs.CC
Black-box Identity Testing for Low Degree Unmixed $ΣΠΣΠ(k)$ Circuits
如果对于每个$i\in[k]$，$F_i=f_{i1}(x_1)... f_{in}(x_n)$，其中每个$f_{ij}$是在稀疏表示中给出的单变量多项式，则$ΣΠΣΠ(k)$电路$C=\sum_{i=1}^kF_i=\sum_{i=1}^k\prod_{j=1}^{d_i}f_{ij}$是非混合的。本文给出了低次非混合$ΣΠΣΠ(k)$电路的多项式时间黑盒身份测试算法。为了得到黑盒算法，我们首先证明了一类特殊的低程度的非混合$ΣΠΣΠ(k)$电路的大小$s$是$s^{O(k^2)}$ -稀疏。然后利用稀疏性结果构造了低次非混合$ΣΠΣΠ(k)$电路的多项式时间命中集$\mathcal{H}$。构造的碰集是多项式大小的。因此，我们可以通过检查每个$a\in\mathcal{H}$的$C(a)=0$来测试电路或多项式$C$是否为零。这是第一个针对低次非混合$ΣΠΣΠ(k)$电路的多项式时间黑箱算法，也部分回答了Saxena \cite{SAX}的一个问题.
2012-07-25 cs.CC math.RA
Testing Booleanity and the Uncertainty Principle
设f：{-1，1}^n -> R是超立方体上的实函数，由其离散傅立叶展开式给出，或者等价地表示为多线性多项式。我们说它是布尔的，如果它的图像在{-1，1}中。我们证明了超立方体上的每一个函数的稀疏傅立叶展开必须是布尔或远离布尔。特别地，我们证明了至多k项的多线性多项式必须是布尔型的，或者对于其定义域的至少2/（k+2）^2的分数，输出值不同于-1或1。因此，给定对f的Oracle访问，以及保证它作为多线性多项式的表示最多有k项，可以使用O（k^2）查询来测试布尔性。我们给出了这个问题的一个Ω（k）查询下界。我们的证明关键地使用了海森堡测不准原理的赫希曼熵版本。
2013-11-12 cs.CC cs.DM cs.DS
Testing classical properties from quantum data
University of Warwick（华威大学）；Freie Universität Berlin（柏林自由大学）；California Institute of Technology（加州理工学院）
本文研究了从量子数据测试布尔函数性质的量子算法，展示了量子方法在恢复经典测试速度优势方面的有效性，并揭示了量子数据与经典查询在测试任务中的不可比性。
2025-09-12 cs.CC cs.DS cs.LG
Tight bounds on the Fourier growth of bounded functions on the hypercube
给出了立方体上有界函数$f$的度$\ell$齐次部分$f_\ell$的紧界.证明了若$f: \{\pm 1\}^n \rightarrow [-1,1]$有度$d$，则$\| f_\ell \|_\infty$有界于$d^\ell/\ell!$，$\| \hat{f}_\ell \|_1$有界于$d^\ell e^{\binom{\ell+1}{2}} n^{\frac{\ell-1}{2}}$ .我们描述应用伪随机和学习理论。我们用类似的方法从凸分析的角度推广了经典的Pisier不等式。我们的分析涉及的性质的实根多项式，可能是有用的其他地方。
2021-07-19 cs.CC math.FA
Identity Testing and Interpolation from High Powers of Polynomials of Large Degree over Finite Fields
我们考虑的问题的身份测试和恢复（即，插值）的“隐藏”monic多项式$f$，给定的Oracle访问$f(x)^e$为$x\in\mathbb F_q$，其中$\mathbb F_q$是有限域的$q$元素和扩展字段访问是不允许的。朴素插值算法需要$de+1$查询，其中$d =\max\{{\rm deg}\ f, {\rm deg }\ g\}$因此需要$ de<q$。对于一个素数$q = p$，我们设计了一个算法，在某些情况下，特别是当$d$是大的渐近更好。该算法是基于一个结果的独立利益在精神的加法组合。它给出了一个上界的一个合理的功能的价值观的数量大的程度，评估一个短序列的连续整数，属于一个小的子群的$\mathbb F_p^*$。
2018-03-01 cs.CC math.NT
Sharp Low-Degree Thresholds for Planted-vs-Planted Testing
Department of Mathematics, University of California, Davis（加州大学戴维斯分校数学系）
针对植入vs植入设置，建立了低度多项式测试的首个尖锐阈值，并证明在植入子矩阵和植入稠密子图模型中计数社区的匹配上下界，测试阈值与已知低度恢复阈值精确一致。
2026-06-03 cs.CC cs.DS cs.LG
Limitations of Algebraic Approaches to Graph Isomorphism Testing
我们研究了基于代数推理技术的图同构算法，如格罗布纳基计算。这些算法的思想是将两个图编码成一个方程组，当且仅当图是同构的时，方程组是可满足的，然后使用例如格罗布纳基算法来（尝试）确定系统的可满足性。在某些情况下，这可以在多项式时间内完成，特别是，如果方程在代数证明系统（如Nullstellenetron或多项式演算）中允许有界度反驳。我们证明了线性下界的多项式演算度在所有领域的特征不同于2，也线性下界的程度Positivstellenbrand演算导子。我们比较这种方法最近研究的线性和半定规划方法同构测试，这是已知的组合Weisfeiler-Lehman算法。我们确切地证明了Weisfeiler-Lehman算法在代数证明系统方面的能力，该代数证明系统位于k度Nullstellenetrance和k度多项式演算之间。
2015-02-20 cs.CC cs.LO
Notes on Computational Hardness of Hypothesis Testing: Predictions using the Low-Degree Likelihood Ratio
这些笔记调查和探索一种新兴的方法，我们称之为低度方法，用于预测和理解高维推理问题中的计算与计算权衡。简而言之，该方法假定某个量--低阶似然比的二阶矩--可以洞察解决给定的假设检验问题需要多少计算时间，这反过来又可以用来预测各种统计推断任务的计算难度。虽然这种方法起源于凸规划的平方和（SoS）层次结构的研究，我们提出了一个独立的介绍，不需要知识的SoS。除了展示如何使用该方法进行预测外，我们还讨论了这些预测的严格和非理性后果。这些注记包括一些新的结果、简化的证明和改进的图解。例如，我们指出了一个正式的连接之间的谱方法和低程度的似然比，我们给了一个尖锐的低程度的下界对次指数时间算法的张量PCA。
2019-07-26 cs.CC cs.DS math.ST
Frobenius Additive Fast Fourier Transform
在ISSAC 2017中，van der Hoeven和Larrieu表明，在GF（$q^d$）的所有n阶单位根处计算GF（q）[x]中次数<n的多项式P，基本上可以比在所有这些根处计算GF（$q^d$）[x]中的Q快d倍，假设GF（$q^d$）包含本原n阶单位根。这一发现被称为Frobenius FFT，对多项式乘法，特别是二进制多项式乘法产生了深远的影响，在编码理论和密码学中有着广泛的应用。在本文中，我们表明，Frobenius FFT的理论漂亮地推广到一类加性FFT康托和高Mateer。此外，我们证明了Frobenius加法FFT在q=2时的能力：将两个乘积次数<256的二进制多项式相乘，新技术只需要29，005位操作，而之前报道的最佳结果是33，397。据我们所知，这是基于FFT的乘法第一次在位操作计数方面以如此低的程度优于Karatsuba等。
2018-02-12 cs.CC cs.SC
Testing noisy low-degree polynomials for sparsity
University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）；MIT（麻省理工学院）；Columbia University（哥伦比亚大学）
本文研究带噪声低次多项式的稀疏性测试问题，给出其常数样本复杂度的精确刻画与匹配算法，扩展了线性函数的相关工作，还推广了傅里叶尾部结果至广泛分布。
2025-11-11 cs.CC cs.DS
Learning DNF Expressions from Fourier Spectrum
IBM Almaden Research Center（IBM阿尔马登研究中心）
自1984年Valiant提出以来，DNF表达式的PAC学习一直是学习理论的核心问题之一。我们考虑这个问题的基础分布是均匀的，或更一般地说，产品分布的设置。Kalai，Samorodnitsky和Teng（2009）表明，在这种情况下，DNF表达式可以仅从其“重”低阶傅立叶系数有效地近似。这与先前的方法形成对比，在先前的方法中使用增强，因此需要通过各种分布修改的目标函数的傅立叶系数。这个属性对于在平滑乘积分布上学习DNF表达式至关重要，这是Kalai等人（2009）引入的学习模型，并受到Spielman和Teng（2001）的开创性平滑分析模型的启发。我们引入了一种学习（或逼近）多项式阈值函数的新方法，该方法基于创建一个范围为[-1，1]的函数，该函数与低阶傅里叶系数上的未知函数大致一致。然后，我们描述的条件下，这是足够的学习多项式阈值函数。我们的方法产生了一个新的，简单的算法近似任何多项式大小的DNF表达式从其“沉重”的低程度的傅立叶系数单独。我们的算法大大简化了证明的DNF表达式在光滑的产品分布的可学习性。我们还描述了应用我们的算法学习单调DNF表达式的产品分布。基于Servedio（2001）的工作，我们给出了一个在时间上运行的算法$\poly((s \cdot \log{(s/\eps)})^{\log{(s/\eps)}}, n)$，其中$s$是目标DNF表达的大小，$\…
2013-04-03 cs.CC cs.DS cs.LG
Quantum Property Testing for Bounded-Degree Directed Graphs
School of Computer Science and Technology, University of Science and Technology of China（中国科学技术大学计算机科学与技术学院）
研究受限度有向图的量子属性测试，证明在单向模型中可实现近二次量子加速，同时展示特定属性在单向模型中的查询下界。
2026-10-06 cs.CC cs.DS quant-ph
