Lower Bounds on Testing Functions of Low Fourier Degree
我们考虑的问题，测试是否布尔函数具有傅立叶度$\leq k$或它是$ε$ -远离任何布尔函数与傅立叶度$\leq k$。本文将已知的$Ω(k)$的下界\cite{BBM11,CGM10}改进为$Ω(k/\sqrtε)$ .下限使用Blais \textit{et. al.} \cite{BBM11}最近发现的属性测试和通信复杂性之间的联系
2013-08-24 cs.CC
When Does Sparsity Help for k-Independent Set in Hypergraphs and Other Boolean CSPs?
Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）
研究稀疏性对超图k-独立集问题及布尔CSPs时间复杂性的影响，提出基于稀疏性的算法，并发现约束组合可能比单个约束更复杂。
2026-05-11 cs.CC
Tight Chang's-lemma-type bounds for Boolean functions
Chang引理（Duke Mathematical Journal，2002）是一个经典的结果，在数学和计算机科学的多个领域都有应用。对于取{-1，1}中的值的布尔函数$f$，让$r(f)$表示其傅立叶秩。对于每个正阈值$t$，Chang引理提供了$wt(f):=\Pr[f(x)=-1]$在其特征的跨度的维度方面的下限，其傅立叶系数的幅度至少为$1/t$。我们检查张的引理w.r.t.以下三种自然阈值设置：- $f$的傅立叶最大秩熵，表示为$k'(f)$，定义为最小$t$，使得其傅立叶系数在绝对值上至少为$1/t$的字符跨越维度$r(f)$。我们证明了新的下界$wt(f)$在这些措施。我们的一个下界包含并细化了Sanyal（ToC，2019）关于$k(f)$的$r(f)$的先前最知名的上限。另一个下界是基于我们对Chattopadhyay，Hatami，Lovett和Tal（ITCS，2019）关于水平- $1$傅立叶系数绝对值之和的边界的改进。我们还表明，张的引理，这些选择的阈值是渐近优于我们的界限，大多数设置的参数。接下来，我们证明了我们的边界对于所涉及的各种参数都是紧的，通过构造函数（这是Addressing函数的修改）来证明它们的紧性。最后，我们构造布尔函数$f$-我们的下界渐近匹配$wt(f)$，和-对于任何选择的阈值$t$，从张的引理得到的下界是渐近小于$wt(f)$。
2021-05-22 cs.CC
Structure of sparse Boolean functions over Abelian groups, and its application to testing
Indian Statistical Institute（印度统计研究所）；Nanyang Technological University（南洋理工大学）；University of Sheffield（谢菲尔德大学）
本文研究了阿贝尔群上稀疏布尔函数的结构，并提出了一种高效的稀疏性测试算法，同时推广了布尔度的概念并给出了下界。
2026-02-01 cs.CC
Fourier Entropy-Influence Conjecture for Random Linear Threshold Functions
傅里叶熵影响（FEI）猜想指出，对于任何布尔函数$f:\{+1,-1\}^n \to \{+1,-1\}$，$f$的傅里叶熵至多是它的影响，直到一个普适常数因子。虽然FEI猜想已被证明了许多类布尔函数，它仍然不知道它是否适用于线性阈值函数类。一个自然的问题是：FEI猜想是否适用于“随机”线性阈值函数？在本文中，我们肯定地回答了这个问题。我们考虑两个自然分布的权重定义一个线性阈值函数，即均匀分布在$[-1,1]$和正常分布。
2019-03-27 cs.CC
A composition theorem for the Fourier Entropy-Influence conjecture
Friedgut和Kalai [FK 96]的傅立叶熵影响（FEI）猜想试图将布尔函数复杂性的两个基本度量联系起来：它指出$H[f] \leq C Inf[f]$对每个布尔函数$f$都成立，其中$H[f]$表示$f$的谱熵，$Inf[f]$是它的总影响，$C > 0$是一个普适常数。尽管重大兴趣的猜想，它已被证明只适用于少数几类布尔函数。我们的主要结果是FEI猜想的复合定理。我们表明，如果$g_1,...,g_k$是不相交的变量集满足猜想的功能，如果$F$的傅立叶变换的产品分布与偏见$E[g_1],...,E[g_k]$满足猜想，那么他们的组合$F(g_1(x^1),...,g_k(x^k))$满足猜想。作为一个应用，我们证明了FEI猜想适用于任意有界元门上的只读公式，扩展了最近的结果[OWZ 11]，该结果证明了它适用于只读决策树。我们的技术还产生了一个明确的功能与最大的已知比例的$C \geq 6.278$之间的$H[f]$和$Inf[f]$，提高了以前的下限4.615。
2013-04-04 cs.CC
Exact versus Approximate Representations of Boolean Functions in the De Morgan Basis
本文在德摩根基下研究布尔函数精确表示与近似表示的关系，提出自适应随机限制方法，证明稀疏性和ℓ1范数在对数尺度上精确与近似版本具有类似关系，与傅里叶基形成对比。
2025-07-18 cs.CC
The Fourier Transform of Restrictions of Functions on the Slice
本文研究布尔超立方体切片上的傅里叶变换。证明了切片上函数的傅里叶系数与其限制条件的傅里叶系数之间的关系。作为应用，我们证明了一个Goldreich-Levin定理的切片上的函数的基础上的Kushilevitz-Mansour算法的布尔超立方体。
2021-11-05 cs.CC cs.DS math.CO
Nearly Optimal Quantum Sample Complexity of Learning Fourier-Sparse Boolean Functions
College of Computer and Data Science, Fuzhou University（福州大学计算机与数据科学学院）
该研究针对至多有k个非零傅里叶系数的布尔函数，提出了样本复杂度为\\(\widetilde{O}(k)\\)的量子学习算法，改进了此前的上界，并推导得到紧的经典样本复杂度\\(\Theta(nk)\\)。
2026-10-14 cs.CC cs.DS quant-ph
The one-way communication complexity of the Boolean Hidden Matching Problem
我们给出了布尔隐匹配问题[BJK 04]的随机单向通信复杂性的Ω（\sqrt{n}）的一个紧下界。由于该问题存在O（\log n）量子比特的量子单向通信复杂度协议，我们得到了部分函数的量子和经典单向通信复杂度的指数分离. Gavinsky，Kempe，de Wolf [GKdW06]独立获得了类似的结果。我们的下界是通过傅立叶分析，使用Kahn Kalai和Linial [KKL 88]的傅立叶系数不等式得到的。
2006-07-25 cs.CC quant-ph
Alternation, Sparsity and Sensitivity : Bounds and Exponential Gaps
$\newcommand{\sp}{\mathsf{sparsity}}\newcommand{\s}{\mathsf{s}}\newcommand{\al}{\mathsf{alt}}$众所周知的灵敏度猜想指出，对于任何布尔函数$f$，$f$的块灵敏度至多是$f$灵敏度的多项式（用$\s(f)$表示）。XOR对数秩猜想指出，对于任何$n$位布尔函数$f$，$2n$位上的相关函数$f^{\oplus}$（定义为$f^{\oplus}(x,y)=f(x\oplus y)$）的通信复杂度至多是$f$（由$\sp(f)$表示）的稀疏性的对数的多项式。Lin和Zhang（2017）的最近结果表明，为了证实上述假设，对于所有布尔函数$f$，$f$的上界交替（表示为$\al(f)$）分别为$\s(f)$中的多项式和$\sp(f)$的对数。在这种情况下，我们表明：* 存在一个家庭的布尔函数，$\al(f)$至少是指数的$\s(f)$和$\al(f)$至少是指数的$\log \sp(f)$。在证明的过程中，我们还显示了$\al(f)$和$f$的决策树复杂度之间的指数差距，这可能是独立的利益。* 作为我们的主要结果，我们表明，尽管$\al(f)$和$\log \sp(f)$之间的上述差距，异或对数秩猜想是真实的交替上限由$poly(\log n)$的功能。很容易观察到灵敏度猜想对这类函数也是成立的。…
2019-02-11 cs.CC cs.DM
Polynomial Calculus sizes over the Boolean and Fourier bases are incomparable
本文通过构造一类宽 O(log n) 的 CNF 重言式，证明多项式演算在 {0,1} 基上可高效反驳但在 {+1,-1} 基上需指数规模，从而解决 Sokolov 与 Razborov 提出的公开问题。
2024-07-01 cs.CC math.LO
Fourier sparsity, spectral norm, and the Log-rank conjecture
We study Boolean functions with sparse Fourier coefficients or small spectral norm, and show their applications to the Log-rank Conjecture for XOR functions f(x \oplus y) --- a fairly large class of functions including well studied ones such as Equality and Hamming Distance. The rank of the communication matrix M_f for such functions is exactly the Fourier sparsity of f. Let d be the F2-degree of f and D^CC(f) stand for the deterministic communication complexity for f(x \oplus y). We show that 1. D^CC(f) = O(2^{d^2/2} log^{d-2} || \hat f||_1). In particular, the Log-rank conjecture holds for X…
2013-04-09 cs.CC
Refuting approaches to the log-rank conjecture for XOR functions
本文针对XOR函数情形下对数秩猜想的两个证明进路，分别构造特定布尔函数，反驳了关于非零傅里叶系数集合具有强加性结构的两个猜想。
2024-05-03 cs.CC
Testing Booleanity and the Uncertainty Principle
设f：{-1，1}^n -> R是超立方体上的实函数，由其离散傅立叶展开式给出，或者等价地表示为多线性多项式。我们说它是布尔的，如果它的图像在{-1，1}中。我们证明了超立方体上的每一个函数的稀疏傅立叶展开必须是布尔或远离布尔。特别地，我们证明了至多k项的多线性多项式必须是布尔型的，或者对于其定义域的至少2/（k+2）^2的分数，输出值不同于-1或1。因此，给定对f的Oracle访问，以及保证它作为多线性多项式的表示最多有k项，可以使用O（k^2）查询来测试布尔性。我们给出了这个问题的一个Ω（k）查询下界。我们的证明关键地使用了海森堡测不准原理的赫希曼熵版本。
2013-11-12 cs.CC cs.DM cs.DS
Improved bounds on Fourier entropy and Min-entropy
给定布尔函数$f:\{-1,1\}^n\to \{-1,1\}$，傅立叶分布将概率$\widehat{f}(S)^2$分配给$S\subseteq [n]$。Friedgut和Kalai的傅立叶熵影响（FEI）猜想提出了一个问题：是否存在一个普适常数C> 0，使得$H(\hat{f}^2)\leq C Inf(f)$，其中$H(\hat{f}^2)$是$f$的傅立叶分布的香农熵，$Inf(f)$是$f$的总影响。1)我们考虑较弱的傅立叶最小熵影响（FMEI）猜想。这会询问是否为$H_{\infty}(\hat{f}^2)\leq C Inf(f)$，其中$H_{\infty}(\hat{f}^2)$是傅立叶分布的最小熵。我们展示了$H_{\infty}(\hat{f}^2)\leq 2C_{\min}^\oplus(f)$，其中$C_{\min}^\oplus(f)$是$f$的最小奇偶校验证书复杂度。我们还表明，对于每个$ε\geq 0$，我们都有$H_{\infty}(\hat{f}^2)\leq 2\log (\|\hat{f}\|_{1,ε}/(1-ε))$，其中$\|\hat{f}\|_{1,ε}$是$f$的近似谱范数。作为一个推论，我们验证了FMEI猜想的类读$k$ $DNF$ s（常数$k$）。2)我们表明，$H(\hat{f}^2)\leq 2 aUC^\oplus(…
2021-09-17 cs.CC
A Generalization of a Theorem of Rothschild and van Lint
Rothschild和van Lint的一个经典结果断言，如果$f$上的布尔函数$f$的每个非零傅立叶系数具有相同的绝对值，即对于$f$的傅立叶支撑中的每个$α$，都有$|\hat{f}(α)|=1/2^k$，则$f$一定是某个$n-k$维仿射子空间的指示函数。本文将他们的结果稍加推广。我们的主要结果表明，傅里叶系数取值于集合$\{-2/2^k, -1/2^k, 0, 1/2^k, 2/2^k\}$的布尔函数，大致上是两个不相交的$n-k$维仿射子空间或四个不相交的$n-k-1$维仿射子空间的指示函数.我们的主要技术工具是结果添加剂组合学提供严格的界限上的仿射跨度大小的一个子集的$\mathbb{F}_2^{n}$时，加倍常数的子集是小的。
2021-03-31 cs.CC
Testing Isomorphism of Boolean Functions over Finite Abelian Groups
针对有限阿贝尔群上布尔函数同构的容错测试问题，提出查询复杂度为poly(s,1/τ)的高效算法，并针对傅里叶稀疏情形给出改进，利用群论与傅里叶分析工具。
2025-07-10 cs.CC
On a Boolean function without bold folding in the spectrum support and implications for greedy approaches to PDT depth
研究布尔函数及其傅里叶频谱支持在奇偶决策树中的情况，通过构造显式无限族布尔函数加强折叠估计，还讨论对 PDT 构造贪心方法的影响。
2026-07-07 cs.CC
Hypercontractive Inequality for Pseudo-Boolean Functions of Bounded Fourier Width
函数$f:\ \{-1,1\}^n\rightarrow \mathbb{R}$称为伪布尔。众所周知，每个伪布尔函数$f$可以写为$f(x)=\sum_{I\in {\cal F}}\hat{f}(I)χ_I(x),$，其中${\cal F}\subseteq \{I:\ I\subseteq [n]\}$、$[n]=\{1,2,...,n\}$和$χ_I(x)=\prod_{i\in I}x_i$以及$\hat{f}(I)$是非零实数。$f$的次数是$\max \{|I|:\ I\in {\cal F}\}$，并且$f$的宽度是最小整数$ρ$，使得每个$i\in [n]$出现在$\cal F$中的至多$ρ$集合中。对于$i\in [n]$，令$\mathbf{x}_i$是一个随机变量，其值为1或-1，且与所有其他变量$\mathbf{x}_j$，$j\neq i.$一致且独立。令$\mathbf{x}=(\mathbf{x}_1,...,\mathbf{x}_n)$。对于任何$p\ge 1$，$f$的$p$ -范数都是$||f||_p=(\mathbb E[|f(\mathbf{x})|^p])^{1/p}$。众所周知，$||f||_q\ge ||f||_p$无论何时都是$q> p\ge 1$。然而，较高的范数可以由较低的范数乘以不直接依赖于$f$的系数来界定：如果$f$是$d$…
2012-12-01 cs.CC cs.DM cs.DS
On the Distribution of the Fourier Spectrum of Halfspaces
Bourgain证明了任何噪声稳定的布尔函数$f$都可以很好地近似于一个junta。本文在$f$是半空间的附加假设下，给出了Bourgain结果的参数的指数锐化.
2012-02-29 cs.CC cs.DM math.PR
Boolean functions on high-dimensional expanders
本文开创高维扩展器上的布尔函数分析，提出基于随机游走的定义与近似特征空间分解，将Friedgut-Kalai-Naor定理推广到该稀疏模型，并证明其可作为布尔切片的去随机化。
2024-01-17 cs.CC math.CO
On the Fourier Entropy Influence Conjecture for Extremal Classes
The Fourier Entropy-Influence (FEI) Conjecture of Friedgut and Kalai states that ${\bf H}[f] \leq C \cdot {\bf I}[f]$ holds for every Boolean function $f$ , where ${\bf H}[f]$ denotes the spectral entropy of $f$ , ${\bf I}[f]$ is its total influence, and $C > 0$ is a universal constant. Despite significant interest in the conjecture it has only been shown to hold for some classes of Boolean functions such as symmetric functions and read-once formulas. In this work, we prove the conjecture for extremal cases, functions with small influence and functions with high entropy. Specifically, we show …
2019-01-24 cs.CC cs.DM math.CO
Coin Theorems and the Fourier Expansion
在这份说明中，我们比较了两个措施的复杂性一类$\mathcal F$的布尔函数研究（无条件）伪随机性：$\mathcal F$的能力，以区分有偏见和均匀硬币（硬币问题），规范的不同层次的傅立叶展开的功能在$\mathcal F$（傅立叶增长）。我们表明，对于具有低偏差$\varepsilon = o(1/n)$的硬币，硬币问题中函数的区别优势基本上等于$\varepsilon$乘以其水平$1$傅立叶系数之和，这特别表明，已知水平$1$和某些感兴趣的类别的总影响范围（如恒定宽度只读一次分支程序）实际上遵循相应的硬币定理的黑盒，从而简化了文献中某些已知结果的证明。对于更高的水平，这是众所周知的，傅立叶增长边界上的所有级别的傅立叶频谱意味着硬币定理，即使是大的$\varepsilon$，我们在这里讨论的可能性的逆。
2020-08-29 cs.CC
Exponential quantum communication reductions from generalizations of the Boolean Hidden Matching problem
在这项工作中，我们重新审视布尔隐藏匹配通信问题，这是单向模型中的第一个通信问题，以证明指数经典量子通信分离。在这个问题中，爱丽丝的比特根据鲍勃持有的分区配对。这些对使用奇偶校验函数进行压缩，并且保证最终的位串等于Bob持有的另一个位串或其补码。问题是决定哪种情况是正确的。在这里，我们推广的布尔隐藏匹配问题，取代奇偶校验功能与任意布尔函数$f$。根据$f$的符号度，给出了有效的通信协议。如果它的符号度小于或等于1，我们证明了一个有效的经典协议。如果它的符号度小于或等于$2$，我们证明了一个有效的量子协议。然后，我们完全表征的经典硬度的所有对称函数$f$的符号度大于或等于$2$，除了一个家庭的特定情况下。我们还证明了，通过傅立叶分析，一个经典的下界为任何功能$f$，其纯高的程度是大于或等于$2$。同样，我们证明，也通过傅立叶分析，量子下界的任何功能$f$，其纯高的程度是大于或等于$3$。这些结果给出了一个新的指数经典量子通信分离的大家庭。
2021-08-17 cs.CC quant-ph
Quantum algorithms for highly non-linear Boolean functions
分离经典计算模型和量子计算模型的尝试有着悠久的历史。最终目标是找到计算问题的指数分离。然而，这种分离并不是一毛钱一打：虽然在阿贝尔群的隐子群问题的形式上有一些早期的成功--这可能最忠实地推广了肖尔的因子分解算法--但只有少数非阿贝尔群的有效量子算法被发现。最近，寻求识别除群之外的其它组合和代数对象的隐藏子结构的问题已经得到越来越多的关注。在本文中，我们提供了新的例子，指数分离考虑隐藏的移位问题，定义为几类高度非线性布尔函数。这些所谓的弯曲函数出现在密码学中，它们在布尔超立方体上具有完全平坦的傅立叶谱的特性使它们能够抵御某些类型的攻击。我们提出了新的量子算法，解决了隐藏的移位问题的几个著名的类的弯曲功能在多项式时间内，并具有恒定数量的查询，而经典的查询复杂性被证明是指数。我们的方法使用的技术，利用弯曲函数和它们的傅立叶变换之间的对偶性。
2009-11-24 cs.CC quant-ph
Improved Lower Bounds for the Fourier Entropy/Influence Conjecture via Lexicographic Functions
每个布尔函数都可以唯一地表示为多线性多项式。熵和总影响是测量其傅立叶系数集中度的两种方法，即在此表示中的单项系数：熵粗略地测量它们的扩散，而总影响测量它们的平均水平。Friedgut和Kalai在1996年提出的傅立叶熵/影响猜想指出，熵与影响的比值受普适常数$C$的限制。使用字典序布尔函数，我们提出了三个明确的渐近结构，提高了以前最好的已知下界$C>6.278944$ O 'Donnell和谭，通过递归组合。第一个使用它们的构造与度量$2/3$的词典功能$\ell\left\langle 2/3\right\rangle $来证明$C\ge4+3\log_{4}3>6.377444$。第二种方法将它们的构造推广到有偏函数，并利用$\ell\left\langle Φ\right\rangle $得到$C>6.413846$，其中$Φ$是逆黄金比例。第三，独立的，建设给予$C>6.454784$，即使是单调的功能。除了对$C$的值的适度改进之外，我们的构造还揭示了在该猜想的潜在反例中所寻求的性质。此外，我们证明了Lipschitz型条件的总影响和谱熵，这可能是独立的利益。
2017-11-02 cs.CC math.CO
Quantum Lower Bound for Recursive Fourier Sampling
最早的量子算法之一是由Bernstein和Vazirani发现的，用于解决一个称为递归傅立叶采样的问题。本文证明了Bernstein-Vazirani算法离最优解不远。其寓意是，对“非计算”垃圾的需求可能会对有效的量子计算施加根本性的限制。证明引入了布尔函数的一个新参数，称为“非奇偶系数”，这可能是独立的利益。
2004-12-18 cs.CC quant-ph
Towards Optimal Separations between Quantum and Randomized Query Complexities
查询模型提供了一个具体的设置，量子算法可证明优于随机算法。Bernstein-Vazirani、Simon、Aaronson和其他人提出了部分布尔函数的漂亮结果，这些函数可以通过量子算法计算，与它们的随机类似物相比，查询要少得多。到目前为止，量子和随机查询复杂度之间的$O(1)$与$\sqrt{N}$的分离仍然是最先进的（其中$N$是输入长度），留下了一个问题，即$O(1)$与$N^{1/2+Ω(1)}$分离是否可能？我们对这个问题的回答是肯定的。我们的分离问题是Aaronson-Ambainis $k$ -fold Forrelation问题的一个变种。我们证明了我们的变体：（1）可以通过对输入进行$2^{O(k)}$查询的量子算法来求解。(2)任何随机算法至少需要$\tildeΩ(N^{2(k-1)/(3k-1)})$查询。对于任何常数$\varepsilon>0$，这给出了部分布尔函数的量子和随机化查询复杂度之间的$O(1)$与$N^{2/3-\varepsilon}$分离。我们的证明是傅立叶分析，并使用新的界限上的傅立叶谱的经典决策树，这可能是独立的利益。展望未来，我们推测，傅立叶边界可以进一步提高在一个精确的方式，并表明，这种约束的界限意味着最佳的$O(1)$与$N^{1-\varepsilon}$分离之间的量子和随机查询复杂性的部分布尔函数。
2019-12-29 cs.CC quant-ph
Degree and Sensitivity: tails of two distributions
布尔函数f的灵敏度是所有输入x上x的灵敏坐标数的最大值。著名的尼桑敏感性猜想（也见尼桑和塞格迪）指出，每个敏感性为s的布尔函数都可以通过次数为多的实数上的多项式来计算。然而，最著名的次数上界是指数的，而不是s中的多项式。我们的主要结果是猜想的一个近似版本：每个具有灵敏度s的布尔函数都可以用一个次数为O（slog（1/n））的多项式ε-逼近（在L_2中）。这是对《诗经》民俗学范畴的第一次改进。进一步，我们证明了对于任意d 0，将其上界提高到O（s^c log（1/n）^d）$< 1 and any c >将意味着敏感性猜想.因此，我们的结果基本上是人们在不证明猜想的情况下所能期望的最好结果。我们假设一个强大的模拟的敏感性猜想：如果大多数输入的布尔函数f具有低灵敏度，那么大多数的傅立叶质量的f是集中在小的子集，并提出了一种方法来证明这个猜想。
2016-04-25 cs.CC
Quantum algorithms to solve the hidden shift problem for quadratics and for functions of large Gowers norm
大多数量子算法都以某种方式利用了傅里叶变换，它们比经典算法有指数级的加速。在Shor的算法中，从量子傅里叶谱中采样被用来发现模幂函数的周期性。在这个想法的推广中，量子傅立叶采样可以用来发现一些函数的隐藏子群结构，比经典方法更有效。傅立叶变换在量子计算机上成功应用的另一个问题是隐位移问题。隐位移问题的量子算法通常与隐子群算法略有不同，因为它们使用傅里叶变换来执行与给定参考函数的相关，而不是直接从傅里叶频谱中采样。在本文中，我们表明，隐藏的移位可以有效地提取布尔函数是二次形式。我们还展示了如何使用线性数量的查询来识别n个变量的未知二次型，与经典的情况相反，这需要Theta（n^2）许多查询到黑盒。更重要的是，我们表明，我们的量子算法是强大的，在这个意义上，它也可以推断的移位，如果函数是接近二次，我们认为布尔函数是接近二次，如果它有一个大的Gowers U_3范数。
2009-11-24 cs.CC quant-ph
Easy and hard functions for the Boolean hidden shift problem
University of Waterloo（滑铁卢大学）；IBM TJ Watson Research Center（IBM TJ沃森研究中心）；NEC Laboratories America（NEC美国实验室）
研究了布尔隐移位问题的量子查询复杂度。给定一个已知的布尔函数f的oracle访问f（x+s），任务是确定n位字符串s。这个问题的量子查询复杂度强烈依赖于f。我们证明了这个问题的最简单的实例对应于弯曲的功能，在这个意义上说，一个确切的一个查询算法存在，当且仅当函数弯曲。我们部分描述了最难的实例，其中包括delta函数。此外，我们表明，这个问题是很容易的随机函数，因为两个查询就足够了。我们的随机函数算法是基于对某个状态的几个副本进行相当好的测量;它的分析依赖于傅里叶变换。我们还使用这种方法来改进量子拒绝采样方法的布尔隐藏移位问题。
2013-04-16 cs.CC cs.LG quant-ph
Approximability of all Boolean CSPs with linear sketches
在这项工作中，我们认为$\textsf{Max-CSP}(f)$的可近似性的背景下，草图算法和完整的特征的可近似性的所有布尔CSP。具体地说，给定$f$，$γ$和$β$，我们证明：（1）$\textsf{Max-CSP}(f)$的$(γ,β)$ -近似版本具有使用$O(\log n)$空间的线性草图算法，或者（2）对于每个$ε> 0$，$\textsf{Max-CSP}(f)$的$(γ-ε,β+ε)$ -近似版本对于任何草图算法都需要$Ω(\sqrt{n})$空间。我们还证明了几个CSP的流算法的下限。特别是，我们恢复的流二分法[CGV 20]的$k=2$和显示流近似阻力的所有CSP的$f^{-1}(1)$支持均匀的边缘分布。我们的积极结果表明，[GVV 17]和[CGV 20]以前使用的基于偏差的算法通过提供系统的方法来发现偏差，具有更广泛的适用性。我们的否定结果结合了[KKS 15]的傅立叶分析方法，我们将其扩展到更广泛的CSP类，并在否定结果的核心通信复杂性问题中收集了丰富的减少。
2022-02-11 cs.CC cs.DS
Quantum algorithm for the Boolean hidden shift problem
隐移问题是寻找经典计算模型和量子计算模型之间新的分离的一个自然的地方。这个问题的一个优点是它的灵活性，因为它可以为整个范围的函数和整个范围的底层组定义。在某种程度上，这将其与隐藏子群问题区分开来，在隐藏子群问题中，必须对周期子群的存在提出更严格的要求。然而，隐藏的移位问题被证明是足够丰富的，可以捕捉到代数、几何和组合问题的有趣特征。我们提出了一个量子算法来识别任何布尔函数的隐藏移位。使用傅立叶分析的布尔函数，我们涉及的时间和查询算法的复杂性的函数的内在属性，即其最小的影响。我们表明，随机选择的功能的时间复杂性的算法是多项式。在此基础上，我们展示了经典和量子时间复杂度之间的平均情况指数分离。这项工作的一个可能有趣的方面是，虽然在所谓的弯曲函数的布尔隐移位问题的极端情况下，可以减少到一个隐藏的子群问题的阿贝尔群，更一般的情况下，这里研究似乎不允许这样的减少。
2011-03-15 cs.CC quant-ph
Exponential Quantum Advantage in Testing Fourier Dimensionality
The University of Sydney（悉尼大学）
本文研究布尔函数傅里叶维数的性质测试，提出最优量子测试器并改进经典上界，展示指数级量子优势。
2026-11-03 cs.CC cs.DS quant-ph
On the Structure of Boolean Functions with Small Spectral Norm
本文证明了有关具有小谱范数（f的谱范数为$\|\hat{f}\|_1=\sum_α|\hat{f}(α)|$）的布尔函数的结果。具体来说，我们证明了以下结果的功能$f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$与$\|\hat{f}\|_1=A$。1.存在余维至多为$A^2$的子空间$V$，使得$f|_V$为常数。2. f可以通过大小为$2^{A^2}n^{2A}$的奇偶校验决策树来计算。（奇偶性决策树是其节点用任意线性函数标记的决策树。）3.如果另外f具有至多s个非零傅立叶系数，则f可以通过深度为$A^2 \log s$的奇偶校验决策树来计算。4.对于每个$0<ε$，存在深度为$O(A^2 + \log(1/ε))$且大小为$2^{O(A^2)} \cdot \min\{1/ε^2,O(\log(1/ε))^{2A}\}$的奇偶校验决策树，其ε-近似于f。此外，可以使用$\poly(n,\exp(A^2),1/ε,\log(1/δ))$成员查询以概率$1-δ$来学习该树。上述所有结果也适用于函数$f:Z_p^n\to \{0,1\}$（参数略有变化）。
2013-05-22 cs.CC math.CA math.CO
Learning circuits with few negations
University of Waterloo（滑铁卢大学）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；Columbia University（哥伦比亚大学）
单调布尔函数和计算它们的单调布尔电路在复杂性理论中得到了深入的研究。在本文中，我们研究了布尔函数的结构方面的最小数量的否定在任何电路计算它们，一个复杂的措施，插值之间的单调函数和类的所有功能。我们从学习理论的角度研究了这种单调性的推广，给出了电路的均匀分布可学习性的近似匹配上界和下界，它们包含的否定数。我们的上界是基于负限电路的一个新的结构特征，它推广了A. A.马尔科夫我们的下界，采用傅立叶分析工具从硬度放大，甚至没有否定电路（即单调函数），给出了新的结果。
2014-10-30 cs.CC cs.DM cs.LG
VC-Dimension vs Degree: An uncertainty principle for Boolean functions
School of Statistics and Data Science, Nankai University（南开大学统计与数据科学学院）；Extremal Combinatorics and Probability Group (ECOPRO), Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究所极值组合与概率研究组）；Department of Mathematics, National University of Singapore（新加坡国立大学数学系）
该研究针对布尔立方体上的函数，证明了支撑击碎不确定性原理，推导了布尔函数相关的VC维与次数不等式，还将其应用于相关引理证明与多项式方法的应用。
2026-08-12 cs.CC cs.DM math.CO
