Fan Ge, Ade Irma Suriajaya
Assuming the Riemann hypothesis, we prove that $$ N_k(T) = \frac{T}{2π}\log \frac{T}{4πe} + O_k\left(\frac{\log{T}}{\log\log{T}}\right), $$ where $N_k(T)$ is the number of zeros of $ζ^{(k)}(s)$ in the region $0<\Im s\le T$. We further apply our method and obtain a zero counting formula for the derivative of Selberg zeta functions, improving earlier work of Luo.
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We generalize the work of Fei, Bhowmik and Halupczok, and Jia relating the Goldbach conjecture to real zeros of Dirichlet $L$-functions.
A note on the zeros of the zeta-function of Riemann
它明确地示出了如何的符号的Hardy的功能$Z(t)$依赖于奇偶性的零计数函数$N(T)$。分析了该函数的两种现有定义，并讨论了相关问题。
We numerically investigate, for zeros $ρ=1/2+iγ$, the statistics of the imaginary part of $\log(ζ^\prime(1/2+iγ))$, computed by continuous variation along a vertical line from $σ=4$ to $4+iγ$ and then along a horizontal line to $1/2+iγ$.
A note on zeros of $L$-series of elliptic curves
本文研究有限域上椭圆曲线的正定二次型与有理数域上椭圆曲线的正定二次型之间的类比。提出了一个问题，其中一个肯定的答案将意味着类似的黎曼假设的椭圆曲线在有理数域。
A note on the gaps between consecutive zeros of the Riemann zeta-function
假设的黎曼假设，我们表明，无限经常连续的非平凡零的黎曼ζ函数相差最多0.5155倍的平均间距和无限经常他们相差至少2.69倍的平均间距。
A note on S(T) and the zeros of the Riemann zeta-function
令$πS(t)$表示黎曼ζ函数在点$\frac12+it$的辐角。假设黎曼假设，我们锐化常数在目前已知的最好的界限为$S(t)$和$S(t)$的变化的时间间隔。然后，我们推导出的zeta函数的零的最大多重性和零之间的最大差距的估计。
Notes on Pair Correlation of Zeros and Prime Numbers
这些笔记基于我2004年4月在牛顿研究所随机矩阵理论和数论研讨会的最新观点期间所做的四次讲座。他们的目的是向读者介绍必要的解析数论，以了解蒙哥马利的工作对相关的零点的黎曼ζ函数和随后的工作如何这涉及到素数。一个非常简短的介绍塞尔伯格的工作的时刻$S(T)$也给出。
Notes on $\log(ζ(s))^{\prime\prime}$
出于对黎曼零点相关的连接，我们调查的二阶导数的对数的黎曼ζ函数，特别是该函数的零点。定理1给出了一个零自由区域。定理2给出了高度T的非平凡零点个数的渐近估计。定理3是零密度估计。
In this note, we prove Selberg's announced result on $r$-gaps between zeros of the Riemann zeta-function $ζ$. Our proof uses a result on variations of $\argζ$ by Tsang based on Selberg's method. The same result with explicit constants under the Riemann Hypothesis has been obtained by Conrey and Turnage-Butterbaugh using a different method. We explain how to obtain explicit constants under the Riemann Hypothesis using our approach which is based on Selberg's and Tsang's arguments.
A note on zero density results implying large value estimates for Dirichlet polynomials
本文证明黎曼 zeta 函数的零密度估计可蕴含 Dirichlet 多项式的大值估计，填补了反向蕴含关系的空白。
A note on rank zero quadratic twists of a Mordell curve
本文构造了 Mordell 曲线 $y^2=x^3+2$ 的两族秩零二次扭曲，并提供了支持该结果的数值例子。
A note on zero-one laws in metrical Diophantine approximation
本文讨论与线性型组有关的度量丢番图逼近的一般性问题。主要结果是一个零一律，它推广了Cassels和Gallagher的一维结果.该文件包含一个讨论可能的概括，包括选择各种开放的问题。
Given a function $f(n)$ periodic of period $q\geq 1$ and an irrational number $0<α\leq 1$, Chatterjee and Gun proved that the series $F(s,f,α)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f(n)}{(n+α)^s}$ has infinitely many zeros for $σ>1$ when $α$ is transcendental and $F(s,f,α)$ has a pole at $s=1$, or when $α$ is algebraic irrational and $c=\frac{\max{f(n)}}{\min{f(n)}}<1.15$. In this note, we prove that the result holds in full generality.
A note on zeros of Eisenstein series for genus zero Fuchsian groups
令$Γ\subseteq \text{SL}_2(\mathbb{R})$是一个亏格为零的第一类富克斯群，其尖点为$\infty$，令$E_{2 k}^Γ$是与$Γ$相关的全纯艾森斯坦级数，其尖点在$\infty$处不为零，但在所有其他尖点处为零。在“关于亏格为零的富克斯群的Eisenstein级数的零点“一文中，在$Γ$和某个基本区$\mathcal{F}$的假设下，H.哈恩证明，但最多$c(Γ, \mathcal{F})$（一个常数）的零$E_{2 k}^Γ$谎言的某一子集的$\{z \in \mathfrak{H} : j_Γ(z) \in \mathbb{R}\}$。本文考虑了Hahn关于$E_{2 k}^Γ$的零点区域的结果的一个小推广.在同样的假设下，我们可以证明$\mathcal{F}$中$E_{2 k}^Γ$的零点大多数位于它的下弧上。
A note on the zeros of $L$-functions associated to fixed-order Dirichlet characters
该研究利用Dirichlet $L$-函数的Weyl界推导固定阶Dirichlet特征族对应$L$-函数的零点密度估计，在σ距临界线足够远时改进了作者此前的界。
Let $χ$ be a real and non-principal Dirichlet character, $L(s,χ)$ its Dirichlet $L$-function and let $p$ be a generic prime number. We prove the following result: If for some $0\leq σ<1$ the partial sums $\sum_{p\leq x}χ(p)p^{-σ}$ change sign only for a finite number of $x$, then there exists $ε>0$ such that $L(s,χ)$ has no zeros in the half plane $Re(s)>1-ε$.
A note on the gaps between zeros of Epstein's zeta-functions on the critical line
证明了与定积分二元二次型有关的Epstein zeta函数$ζ_{Q}(s)$，对充分大的正数$T$，有一个零$1/2 + iγ$且有$ T \leq γ\leq T + T^{{3/7} +\varepsilon} $.这是M. Jutila和K. Srinivas（Bull. London Math.Soc.37（2005）45- 53）。
A detailed note on the zeros of Eisenstein series for $Γ_0^* (5)$ and $Γ_0^* (7)$
本文提供了“关于$Γ_0^* (5)$和$Γ_0^* (7)$的Eisenstein级数的零点”一文中省略的细节。“我们通过应用和扩展F. K. C. Rankin和H. P. F. Swinnerton-Dyer（1970年）。我们还使用的参数的一些条款的爱森斯坦级数，以改善现有的误差界。
A note on zero-density approaches for the difference between consecutive primes
本研究推广了短区间素数相关的Ingham定理与Heath-Brown和Iwaniec的结果，明晰了无零点区域、零密度估计和短区间素数的关联，还在密度假设下改进了素数定理成立的短区间范围。
A note on the zeros of zeta and $L$-functions
令$πS(t)$表示黎曼ζ函数在点$s=\tfrac12+it$处的辐角。在黎曼假设下，给出了$S(t)$已知最尖锐界的一个新的简单证明.我们讨论了这一界的一个大类的$L$ -功能，包括那些所产生的尖形自守表示GL（$m$）在数域上的推广。我们还证明了一些相关的结果，包括边界的消失顺序的$L$ -功能的中心点和边界的高度最低零点的$L$ -功能。
Evidence of an algebraic/analytic structure of the Riemann Spectrum, consisting of the imaginary parts of the corresponding zeros, is reviewed, with emphasis on the distribution of the image of the primes under the Cramer characters $X_p(t)=p^{it}$. The duality between primes and Riemann zeros, expressed traditionally as the Riemann-Mangoldt exact equation, is further used to investigate from a statistical point of view, the correspondence between the POSet structure of prime numbers and this yet unknown structure of R-Spec. Specifically, the statistical correlation coefficient $c(p,q)=<X_p,X_…
Assuming the Riemann Hypothesis, we improve on previous results by proving there are infinitely many zeros of the Riemann zeta-function whose differences are smaller than 0.50412 times the average spacing. To obtain this result, we generalize a set of weights that were developed by Xiaosheng Wu, who used them to find a positive proportion of large and small gaps between zeros of the Riemann zeta-function.
A note on the standard zero-free region for $L$-functions
本文为一类对数系数实部非负的一般 $L$-函数（含酉尖点自守表示的 Rankin--Selberg $L$-函数）建立了标准无零点区域。
A note on simple zeros related to Dedekind zeta functions
本文在 $ζ(s)$ 与 $L(s,χ)$ 的 $L^{6}$ 平均 Lindelöf 假设下，证明二次数域 Dedekind zeta 函数非平凡单零点数量的新下界，并加强和改进已有条件性结果。
Notes on Low discriminants and the generalized Newman conjecture
推广Polya，de Bruijn和Newman的工作，我们允许向后热方程变形二次Dirichlet L-函数的零点.存在一个实常数Λ_Kr（推广了de Bruijn-Newman常数Λ），使得对于时间t>=Λ_Kr，所有这样的L-函数的零点都在临界线上;对于时间t<Λ_Kr，存在偏离临界线的零点。在GRH下，Λ_Kr<=0，我们提出了补充猜想0<=Λ_Kr.根据Csordas et.本文利用二次Dirichlet L-函数的低位零点证明了-1.13* 10^{-7}<Λ_Kr。在最后一节中，我们开发了一个精确的定义，这是出于随机矩阵理论的考虑。无穷多个Low判别式的存在意味着0<=Λ_Kr。
In this paper, we review the study of the distribution of the zeros of certain approximations for the Ramanujan $Ξ-$function given by Haseo Ki, and we provide a new proof of his results. Our approach is motivated by the ideas of Velásquez in the study of the zeros of certain sums of entire functions with some condition of stability related to the Hermite-Biehler theorem.
A note on Dirichlet $L$-functions
我们研究了$L(1,χ)$的大小与该点左侧无零区间宽度之间的关系。
Notes on Mitsui's Prime Number Theorem with Siegel zeros
本文通过纳入Hecke L-函数的Siegel零点，改进了三井1957年的素数定理，使模的范数能以伪多项式速率增长，为后续研究素元素线性模式提供关键支持。
Note on the index conjecture in zero-sum theory and its connection to a Dedekind-type sum
设$S=(a_1)\cdots(a_k)$是有限循环群$G$上的极小零和序列.索引猜想指出，如果$k=4$和$\gcd(|G|,6)=1$，则$S$的索引为1。本文研究了指数猜想，并把它与一个Dedekind型和联系起来。特别地，当$|G|$是素数时，我们重新证明了该猜想的一个特例.
A note on a conjecture of Gonek
我们推导出一个二阶矩的倒数的导数的黎曼ζ函数平均超过零点的ζ函数，这是一半的大小的限制值。我们的结果是以黎曼假设和zeta函数的零点是单的猜想为条件的。
A note on the zeros of the derivatives of Hardy's function $Z(t)$
本文利用黎曼 zeta 函数的扭曲四阶矩改进哈代函数导数零点间大间隙的结果，并用光滑化离散二阶矩证明其偶数阶导数与 $Z(t)$ 零点的小距离现象。
Note on the Prime Number Theorem
综述了素数定理的经典结果
A note on Hardy's theorem
黎曼ζ函数$ζ(s)$的哈代定理说，它在$\Re({s}) = \frac{1}{2}$线上允许无穷多个复零点。在本文中，我们给出了这个陈述的一个简单证明，据我们所知，这是新的。
A note on quadratic approximation for Liouville numbers
Schleischitz [arXiv：1701.01129]确定指数的最佳逼近强刘维尔数的整数多项式和代数数的precribed程度。在本文中，我们证明了我们不能将他的结果推广到任意的Liouville数。
A note on the generalized Euler numbers and polynomials
本文给出了广义欧拉数和多项式的一些有趣的对称性质。
A note on q-Bernoulli numbers and polynomials
利用p-adic q-积分，研究了q-Bernoulli数和高阶多项式。
A Note on Minimal zero-sum sequences over ${\mathbb Z}$
${\mathbb Z}$上的零和序列是${\mathbb Z}$中的项和为$0$的序列。如果它不包含一个真零和子序列，则称之为极小。考虑${\mathbb Z}$上具有正项$a_1,\ldots,a_h$和负项$b_1,\ldots,b_k$的极小零和序列.我们证明了$h\leq \lfloor σ^+/k\rfloor$和$k\leq \lfloor σ^+/h\rfloor$，其中$σ^+=\sum_{i=1}^h a_i=-\sum_{j=1}^k b_j$.这些界限是紧的，并改善了以前的结果。对于任意正整数$n$，我们还证明了集合$\{i\in {\mathbb Z}:\; -n\leq i\leq n\}$上所有极小零和序列的集合上的自然偏序结构。
A note on the q-Genocchi numbers and polynomials
本文讨论了Genocchi数的q-扩张的新概念，并给出了q-Genocchi多项式与q-欧拉数之间的一些关系。
Notes on the divisibility of the class numbers of certain imaginary quadratic fields
本文构造了一类类数可被给定正整数整除的虚二次域无限族。
A note on the generalized q-Euler numbers(2)
本文研究广义q-欧拉数和多项式。从我们的结果中，我们得到了一些与广义q-欧拉数有关的有趣的同余式.
This paper is devoted to conditions defined in terms of the generalized shift operator for a rational number to be representable by certain positive generalizations of $q$-ary expansions.
Notes on Nonlinear Number Fields
这是一个指导建设的非线性数域，其中包括新的点没有发现在我们以前的文章"几何伽罗瓦论，非线性数域和伽罗瓦群解释的idele类群“。
Some notes on Euler products
我们专注于一个著名的收敛现象，事实上，$ζ$零点是某些欧拉产品的通用奇点。
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