Notes on $\log(ζ(s))^{\prime\prime}$
出于对黎曼零点相关的连接，我们调查的二阶导数的对数的黎曼ζ函数，特别是该函数的零点。定理1给出了一个零自由区域。定理2给出了高度T的非平凡零点个数的渐近估计。定理3是零密度估计。
2014-12-22 math.NT
A note on Primes in Short Intervals
我们可以假设Hardy-Littlewood素数$k$ -元组猜想的平均形式，而不是强定量形式，并且仍然得到Montgomery和Soundarajan [1]关于$ψ(x+h) - ψ(x)$的相同分布结果.
2005-03-24 math.NT
Some Notes on Digit Strings in the Primes
令$S$为$l$十进制数字的字符串。我们给出了一个明确的上界的一些素数$p$的十进制表示包含字符串$S$。我们还表明，作为格林-陶定理的一个推论，有任意长的等差数列的素数，其十进制表示包含$S$。
2014-07-30 math.NT
A note on the distribution of prime ideals in real quadratic fields
本文总结了虚二次域素理想分布的研究，并基于相同方法建立了实二次域的类似结果。
2024-01-10 math.NT
A note on primes with prime indices
设$n,k\in\mathbb{N}$和$p_{n}$表示第$n$个素数。我们将$p_{n}^{(k)}$递归地定义为$p_{n}^{(1)}:=p_{n}$和$p_{n}^{(k)}=p_{p_{n}^{(k-1)}}$，即$p_{n}^{(k)}$是$p_{n}^{(k-1)}$ th素数.本文回答了Miska和Tóth在他们最近关于素数序列的连续性的论文中提出的一些问题，并证明了一个猜想。特别是，我们建立明确的上限和下限为$p_{n}^{(k)}$。我们还研究了序列$(p_{n}^{(k)})_{k=1}^{\infty}$和$(p_{k}^{(k)})_{k=1}^{\infty}$的计数函数的行为。
2019-09-26 math.NT
A Note on Prime Fibonacci Sequences
在本文中，我们定义了一个变形的斐波那契序列，我们称之为素数斐波那契序列，其中一个采取前两项的总和，并返回该总和的最小奇素除子作为下一项。我们证明了这些序列总是终止于2的幂，但可以无限扩展到左边。
2015-07-17 math.NT
A note on bounded gaps between primes
作为张义堂最近工作的一个改进，我们证明了：当k至少为181000时，任意可容许的k-整数元组在每一个组成部分中无限频繁地包含至少两个素数和几乎素数.这意味着在连续素数之间存在无穷多个间隔，其大小至多为2530338，并且Andrew W.萨瑟兰呼叫2326476
2013-07-17 math.NT
Notes on properties of binary strings which encode prime occurrences
质数出现的二进制字符串表示是位序列，其中$1$条目对素数的位置进行编码。这是一个方便的表示分析素分布，因为它允许应用广泛的现有字符串分析算法的问题，在数论。素数出现的二进制字符串也可以用简单的算法生成。在这里，我们讨论了三个这样的算法，我们证明了它们的适用性使用的例子证明哥德巴赫的假设的一些有限的偶数集。这项工作制定了三个开放的问题（插图）有关的素数分布。
2018-10-02 math.NT
Note On Prime Gaps And Very Short Intervals
本文在黎曼假设的前提下，讨论了一个新的初等论证，它似乎证明了一个有限序列的素数p_1，p_2，.的最大素数间隔，p_n <= x，满足max {p_（n+1）- p_n：p_n <= x} <= c1（（logx）^2）/loglogx，c1 > 0常数。等价地，它表明非常短的区间（x，x + y）包含素数，对于所有y > c2（（logx）^2）/loglogx，c2 > 0常数，并且x足够大> 0。
2010-08-31 math.NT
A note on an average additive problem with prime numbers
我们继续调查的平均数表示的一个大的正整数作为一个总和的给定权力的素数。平均值是在一个很短的时间间隔内取的，其可接受的长度取决于我们是否假设黎曼假设。
2019-01-14 math.NT
A note on the distribution of clusters and deserts of prime numbers
本文利用三角多项式值分布公式，研究加权 von Mangoldt 函数值之和的分布，并给出其服从类正态分布的证据。
2024-11-08 math.NT
A note on prime index of a certain subgroup in $\mathbb{F}_p^*$
在广义黎曼假设下，研究 $\mathbb{F}_p^*$ 中由 $-1$ 和 $2$ 生成的子群具有奇素数指标的素数比例，证明其与指标大于 $2$ 的素数之比趋近 $46\\%$。
2023-10-11 math.NT
A note on the normal largest gap between prime factors
令$\{p_j(n)\}_{j=1}^{ω(n)}$表示整数$n$的不同素因子的递增序列。我们提供的细节证明的一项声明Erdibs意味着，对于任何功能$ξ(n)$趋于无穷与$n$，我们有$$f(n):=\max_{1\leqslant j<ω(n)}\log \Big({\log p_{j+1}(n)\over \log p_j(n)}\Big)=\log_3n+O(ξ(n))$$几乎所有的整数$n$。
2019-04-30 math.NT
A Note On Non-ordinary Primes
设$O_L$是数域$L$的整数环，并设$f(z)=\sum_{n=1}^\infty a_f(n)q^n\in S_k\cap O_L[[q]]$（注：$q := e^{2πiz}$）是$\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$的规范化Hecke特征形。我们说$f$在一个素$p$上是非平凡的，如果在$p$上存在一个素理想$\mathfrak{p}\subset O_L$，其中$a_f(p)\equiv 0 \ (mod\ {\mathfrak{p}})$。对任意有限素数集$S$，我们证明了对于每一个$p\in S$都存在非平凡的正规化Hecke特征形.证明是基本的，并遵循从一个概括的工作Choie，Kohnen和第三作者。
2016-01-07 math.NT
A note on prime number races and zero free regions for $L$ functions
设$χ$是实的非主Dirichlet特征标，$L(s,χ)$是其Dirichlet $L$ -函数，$p$是一般素数.我们证明了以下结果：如果对于某些$0\leq σ<1$，部分和$\sum_{p\leq x}χ(p)p^{-σ}$仅对于有限个$x$改变符号，则存在$ε>0$，使得$L(s,χ)$在半平面$Re(s)>1-ε$中没有零。
2021-02-20 math.NT
A non-ordinary (prime) note
本文通过若干权为4的新形式例子，说明非寻常素数条件p整除b(p)可蕴含更强的整除性，并指出这种性质可能较为罕见。
2024-08-31 math.NT
A note on zero-density approaches for the difference between consecutive primes
本研究推广了短区间素数相关的Ingham定理与Heath-Brown和Iwaniec的结果，明晰了无零点区域、零密度估计和短区间素数的关联，还在密度假设下改进了素数定理成立的短区间范围。
2024-11-04 math.NT
Note on the additive complements of primes
推广了Ruzsa和Vu关于素数的可加补数的两个结果
2011-04-28 math.CO math.NT
A note on the $\Sopfr(n)$ function
$\Sopfr(n)$函数被定义为$n$的素因子之和，每个素因子取其重数。这个功能进行了数值研究。给出了$\Sopfr(n)$与素数分布函数的类比，并给出了用$\Sopfr(n)$函数表示素数的一些公式.
2011-04-27 math.NT
A note on Riemann's $R$-function and almost primes
本文通过对素zeta函数及殆素数生成函数应用相同操作，构造了黎曼R函数的光滑族R_k，证明其展开为Selberg-Delange展开，并利用有限Perron分解确定了精确计数所需的额外围道项。
2026-10-09 math.NT
A note on primes in certain residue classes
对于给定的正整数$a_1,\ldots,a_k$，我们证明了使得$p \not\equiv 1 \bmod{a_i}$ for $i=1,\ldots,k$的素数集$p$相对于所有素数集至少有$\prod_{i=1}^k \left(1-\frac{1}{φ(a_i)}\right)$的渐近密度，其中$φ$是欧拉函数.这一结果类似于Heilbronn和Rohrbach的结果，即正整数$n$的集合使得$n \not\equiv 0 \bmod a_i$ for $i=1,\ldots,k$容许至少为$\prod_{i=1}^k \left(1-\frac{1}{a_i}\right)$的渐近密度。
2017-10-13 math.NT
A note on the distribution of normalized prime gaps
让我们用d_n表示连续素数之间的第n个差。素数定理清楚地表明d_n平均为logn。Paul Erdens在大约60年前就证明了数列d_n/logn在实数直线的非负部分处处稠密。他和独立的G。Ricci在1954-55年证明了序列{d_n/logn}的极限点集J具有正的勒贝格测度。第一个也是迄今为止唯一具体已知的J元素被证明是在Goldston，Yildirim和本作者的工作中的数字零。本说明的作者在2013年（arXiv：1305.6289）表明，存在一个包含0的固定区间，使得它的所有元素都是极限点。2014年，它被W.D.班克斯，T。Freiberg和J. Maynard（arXiv：1404.5094）提出，可以将Erdens-Rankin方法（产生大的素数间隙）和Maynard-Tao方法（产生有界素数间隙）结合起来，得到不超过T的极限点子集的勒贝格测度的下界（1+o（1））T/8。在本注记中，我们改进了这个下界到（1+o（1））T/4，使用改进的论点银行，Freiberg和梅纳德。
2015-10-15 math.NT
An inequality involving primes and the product of primes
本文证明了一个涉及素数及连续素数乘积的不等式。
2023-05-04 math.NT
Notes on Mitsui's Prime Number Theorem with Siegel zeros
Mathematical Institute, Tohoku University（东北大学数学研究所）
本文通过纳入Hecke L-函数的Siegel零点，改进了三井1957年的素数定理，使模的范数能以伪多项式速率增长，为后续研究素元素线性模式提供关键支持。
2026-09-09 math.NT
A Note on the Andrica Conjecture
我们推导了近似公式的差异$\sqrt{p_{n+1}} - \sqrt{p_n}$，其中$p_n$是第n个素数。我们发现这个公式和现有的数据之间的最大差距连续素数列表完美的协议。
2010-10-19 math.NT
Determining Mills' Constant and a Note on Honaker's Problem
米尔斯在1947年证明，存在一个常数$A$，使$\lfloor A^{3^n} \rfloor$是一个素数的每一个正整数$n$。确定$A$需要在很短的时间间隔内确定一个有效的Hoheisel类型的素数结果--尽管大多数书都忽略了这个困难。在黎曼假设下，我们证明了每对连续立方体之间至少存在一个素数，并确定（给定RH）米尔斯常数$A$的最小可能值确实以1.3063778838开始。我们通过确定超过6000位数的相关素数和超过60000位数的可能素数（PRP）来计算这个值到6850个小数位。我们也适用于克莱默-格兰维尔猜想Honaker的问题在相关的背景下。
2013-01-25 math.NT
A note on prime divisors of polynomials $P(T^k), k \geq 1$
设$F$是数域，$O_F$是$F$中$\mathbb{Z}$的整闭包，$P(T) \in O_F[T]$是一元可分多项式，使得$P(0) \not=0$和$P(1) \not=0$ .给出了正整数$k$上满足以下条件的精确充分条件：存在无穷多个$k$的非零素理想$\mathcal{P}$，使得$P(T)$的约简模$\mathcal{P}$在剩余域$O_F/\mathcal{P}$中有根，而$P(T^k)$的约简模$\mathcal{P}$在$O_F/\mathcal{P}$中无根.这使得一个结果从以前的文件（动机是一个问题，在外地算术）断言，存在（无限多）这样的整数$k$更精确。
2017-08-08 math.NT
On prime vs. prime power pairs
在本文中，我们考虑一个素数和一个素数的幂与一个固定的差异对。我们证明了这种对的分布的平均结果。这是Bauer（1998）结果的部分改进。
2016-10-28 math.NT
A characterization of Wilson-Lerch primes
本文用伯努利数给出了一个数同时是Wilson素数和Lerch素数的准则。
2015-11-22 math.NT
On pairs of one prime, four prime cubes and powers of 2
本文研究了充分大整数对的同时表示问题。证明了每对大的正奇数都可以表示为一对一个素数、四个素数的立方和231个2的幂的形式。
2022-03-03 math.NT
An infinitude of proofs of the infinitude of primes
本文推广了Perott的一种方法，给出了存在无穷多个素数的新证明。
2006-10-03 math.NT
Note on shifted primes with large prime factors
Yangzhou University（扬州大学）；Alfréd Rényi Institute of Mathematics (LERN)（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所（LERN））；Shandong University（山东大学）
本文改进了丁关于移位素数中最大素因子的上界，给出了更精确的渐进行为估计。
2026-02-05 math.NT
A note on the dimension of the largest simple Hecke submodule
对于$k\ge 2$偶数，令$d_{k,N}$表示$S_{k}(Γ_0(N); \mathbb{Q})^\text{new}$的最大单Hecke子模的维数。我们使用一个简单的分析方法证明了$d_{k,N} \gg_k \log\log N / \log(2p)$与$p$是$N$的最小素数互质.以前，这种性质的界限只知道$N$在某些子集的素数。我们也建立了类似的（有时更强）的结果，$S_{k}(Γ_0(N), χ)$，$k \geq 2$的整数和$χ$任意neutralypus。
2018-12-17 math.NT
A generalisation of a congruence due to Vantieghem only holding for primes
本文给出了一类同余式，当且仅当自然数$n$是素数时，这类同余式成立。
2004-02-08 math.NT
A note on $θ_2$
本文针对素数模数用光滑权无条件重证 Selberg 的除数函数分布水平 $\theta_2=2/3$，并提出借助次凸性提升至 $4/5$ 的假设，以期改进孪生素数逼近和素数间隔下界。
2023-08-13 math.NT
A note on Galois groups and local degrees
本文考虑数域的无限Galois扩张，研究了它们的局部度与其伽罗瓦群的结构之间的关系。已知，若$K$是数域，$L/K$是群$G$的无限Galois扩张，则$L$的局部度在所有有理素数处一致有界当且仅当$G$有有限指数.本文证明了局部度的非一致有界性不等价于任何群论性质。更确切地说，我们展示了几个群体，承认两个不同的实现在一个给定的数域，一个有界的本地度在一组给定的素数和一个无限的本地度在相同的素数。
2017-08-30 math.NT
On primeness of the Selberg zeta-function
本文证明了紧Riemann曲面上的Selbergzeta函数在分解意义下是伪素和右素的。
2019-08-08 math.NT
Combinatorial Identities Involving Mertens Function Through Relatively Prime Subsets
本文给出了涉及Mertens函数M（n）的几个恒等式.我们的证明是组合的互素子集作为一个主要工具。
2009-12-08 math.NT
Some notes about power residues modulo prime
让$q$是一个素数。我们对奇素数$p\neq q$进行了分类，使得方程$x^2\equiv q\pmod{p}$有解，具体地说，我们找到了与$4q$互素的整数乘法群$\mathbb{U}_{4q}$的子群$\mathbb{L}_{4q}$（模$4q$），使得对于某些$p\equiv c\pmod{4q}$有解当且仅当.此外，$\mathbb{L}_{4q}$是$\mathbb{U}_{4q}$的唯一包含$-1$的半阶子群。考虑环$\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$，对于任何奇素数$p$，已知方程$x^2\equiv 2\pmod{p}$有解当且仅当方程$x^2-2y^2=p$有整数解。我们问这是否可以扩展的背景下，$\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$与$n\geq 2$，即：对于任何总理$p\equiv 1\pmod{n}$，是真的$x^n\equiv 2\pmod{p}$有一个解决方案，如果方程$D^2_n(x_0,\ldots,x_{n-1})=p$有一个解决方案的整数？这里$D^2_n(\bar{x})$表示$\mathbb{Q}$的域扩展$\mathbb{Q}(\sqrt[n]{2})$的范数。我们解决了这个问题的一些弱版本，其中与$p$的等式被$0\pmod{p}$（可被$p$整除）取代，并且“规范”$D^r_n(\bar{x})$被认为是任何$r\…
2022-03-17 math.NT
A pair of Goldbach-Linnik equations in unlike powers of primes and powers of two
本文证明满足特定必要条件的大偶数对均可表示为一个素数、一个素数平方、两个素数立方及56个2的幂，解决了一对Goldbach-Linnik方程的表示问题。
2024-08-24 math.NT
Valuations, arithmetic progressions, and prime numbers
本文利用赋值论给出了素数无穷大的两个证明，并利用等差数列的Roth定理和Euler-Legendre定理给出了素数倒数和发散的一个新的证明.
2018-02-12 math.NT
Note on a problem of Nathanson related to the $φ$-Sidon set
设$φ(x_{1}, \ldots, x_{h})=c_{1} x_{1}+\cdots+c_{h} x_{h}$是域$\mathbf{F}$中的系数的线性形式，并且设$V$是$\mathbf{F}$上的向量空间。$V$的一个非空子集$A$是$φ$-Sidon集，如果对于所有$h$ -元组$\left(a_{1}, \ldots, a_{h}\right) \in A^{h}$和$\left(a_{1}^{\prime}, \ldots, a_{h}^{\prime}\right) \in A^{h}$，$φ\left(a_{1}, \ldots, a_{h}\right)=φ\left(a_{1}^{\prime}, \ldots, a_{h}^{\prime}\right)$蕴涵PDMATHABMSPDMATHABMT.我们称$A$为$B$的多项式扰动，如果对某些$r>0$和正整数$k_0$，$|a_k-b_k|< k^r$对所有整数$k \geq k_0$成立.本文证明了对于给定的集合$B$，存在一个整数的$φ$-Sidon集合$A$，它是$B$的多项式扰动。这对Nathanson最近提出的一个问题给出了肯定的回答。同时也证明了其它一些结果。
2021-11-30 math.NT
A note on primitive $1-$normal elements over finite fields
设$q$是素数$p$的素数幂，$n$是正整数，$\mathbb F_{q^n}$是含有$q^n$元素的有限域.有限域上的$k-$正规元由Huczynska等人（2013）引入并表征。在$n$不能被$p$整除的条件下，得到了$q>2$的$\mathbb F_{q^n}$在$\mathbb F_q$上的本原$1-$正规元的存在性结果.本文将他们的结果推广到排除的情形$q=2$。
2017-01-19 math.NT
A Note on the equivalence of the parity of class numbers and the signature ranks of units in cyclotomic fields
本文收集了素数幂分圆域中各种类数的奇偶性和单位的签名秩的等价性的一些陈述。我们纠正了文献中关于这些奇偶性的一些错误陈述，提供了一个例子，一个素分圆域的单位的签名秩和循环单位的签名秩不相等。
2018-12-12 math.NT
Divisibility in paired progressions, Goldbach's conjecture, and the infinitude of prime pairs
我们调查的一组对整数$\mathbb{Z}^2$的进展，并定义了一个推广的Jacobsthal函数。对于这个函数，我们猜想一个特定上界并证明这一界将是一个充分条件的真理哥德巴赫猜想，无限的孪生素数，更一般的素数对固定的偶数差。
2017-06-01 math.NT
Notes on Algebraic Properties and Non-Standard Analysis of the Ring of Integers Modulo Infinitely Large Primes
本文探讨无限大素数模整数环的代数与模型论性质，结合非标准分析方法扩展超越数理论中的判别准则。
2026-09-11 math.LO math.NT
On the minimal number of small elements generating prime field
本文给出了生成有限域$p$为奇素数的有限域$\mathbb{F}_{p}$所需的区间$[1,p^{1/4e^{1/2}+ε}]$中元素个数的上界.
2017-03-20 math.NT
Prime pairs and Zeta's zeros
Hardy和Littlewood（1923）关于pi_{2r}（x）的渐近性态的素数对猜想（PPC）得到了广泛的数值支持。然而，仍然不知道是否有无限多个素数对具有给定的偶数差！利用等差数列中素数（加权）均匀分布的强假设，Goldston、Pintz和Yildirim（2007）证明了存在无穷多对素数，它们之间的差异最多为16。本文作者用Tauberian方法导出PPC等价于包含zeta复零点的某些函数的特定边界表现。在黎曼假设下，在实轴上，这些函数类似于对相关表达式。蒙哥马利的经典著作（1973）的一个推测性的扩展意味着必须有大量的素数对。
2008-06-05 math.NT
A Note on The Gaussian Moat Problem
本文针对高斯护城河问题，利用复平面格点性质证明了互不相同的高斯素数无穷序列的相邻差不能被绝对常数界定，从而给出否定回答。
2024-09-06 math.NT
The Tail of the Singular Series for the Prime Pair and Goldbach Problems
对于Goldbach问题和素数对问题，我们得到了奇异级数尾部平方加权和的一个渐近公式。
2014-09-07 math.NT
Notes on the dual of the ideal class groups of CM-fields
本文对数域的CM阿贝尔扩张$K/k$，提出了一个猜想，它完全刻画了素数集$T$作为${\rm Gal}(K/k)$ -模的$K/k$束类群的Pontryagin对偶的负部分的Fitting理想.在这里，我们强调，我们考虑的是全类群，并没有抛弃分歧素（即，我们研究的对象不是类群与分歧素类生成的子群的商）。我们证明了我们的猜想是等变玉川数猜想的一个推论，并且证明了我们的猜想的岩泽理论版本在不假设eTNC的情况下在假设$μ=0$下成立.
2020-06-10 math.NT
A note on balancing sequences and application to cryptography
本文证明了等差数列中平衡非Wieferich素数个数的下界。更准确地说，对于任何给定的整数$r\geq2$，存在$\gg\log x$平衡非维费里希素数$p\leq x$，使得$p\equiv\pm1 \pmod{r}$，在数字字段$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$的$abc$猜想的假设下。进一步讨论了平衡序列在密码学中的一些应用。
2022-09-14 math.NT
A Note about Iterated Arithmetic Functions
设$f\colon\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}_0$是乘法算术函数，使得对于所有素数$p$和正整数$α$，$f(p^α)<p^α$和$f(p)\vert f(p^α)$。还假设任何能整除$f(p^α)$的素数也能整除$pf(p)$。定义$f(0)=0$，设$H(n)=\displaystyle{\lim_{m\rightarrow\infty}f^m(n)}$，其中$f^m$表示$f$的$m^{th}$。我们证明了函数$H$是完全乘法的。
2015-01-24 math.NT
A note on square totients
University of Missouri（密苏里大学）；Dartmouth College（达特茅斯学院）
本文研究了素数 $p$ 和 $q$ 的对数，其中 $(p - 1)(q - 1)$ 为完全平方数，并给出了相关数量的上界和下界。
2014-10-29 math.NT
