Monochromatic bounded degree subgraph partitions
设${\cal{F}}=\{F_1,F_2,\ldots\}$是一个图序列，使得$F_n$是一个顶点数为$n$且最大度至多为$Δ$的图.我们证明了存在一个绝对常数$C$，使得任意2-边着色完全图的顶点最多可以从${\cal{F}}$划分为$2^{CΔ\logΔ}$顶点不相交的单色图副本.如果每个$F_n$都是二部的，那么我们可以将这个界改进为$2^{C Δ}$ ;这个结果对于常数$C$是最优的。
2014-05-29 math.CO
The order of monochromatic subgraphs with a given minimum degree
设$G$是一个图。对于给定的正整数$d$，设$f_G(d)$表示最大整数$t$，使得在$G$的边的每一个双色着色中，都存在最小度至少为$d$且阶至少为$t$的单色子图.对于$n > k > d$，让$f(n,k,d)$表示$f_G(d)$的最小值，其中$G$在所有具有$n$顶点和最小度至少为$k$的图上。在本文中，我们建立$f(n,k,d)$时，$k$或$n-k$是固定的，和$n$是足够大的。我们还考虑了允许两种以上颜色的情况。
2002-12-30 math.CO
On the Profile of Multiplicities of Complete Subgraphs
设$G$是一个完全图在$n$顶点上的$2$ -染色，对于足够大的$n$ .我们证明了$G$包含至少$n^{(\frac{1}{4} - o(1))\log n}$单色完全子图的大小$r$，其中\[ 0.3\log n < r < 0.7\log n. \]以前已知的下限的单色完全子图的总数，由于Székely是$n^{0.1576\log n}$。我们还证明了$G$至少包含$n^{\frac{1}{7} \log n} $大小为$\frac{1}{2}\log n$的单色完全子图。如果进一步假设$G$中最大的单色完全子图的大小为$(\frac{1}{2} + o(1))\log n$（这是一个众所周知的公开问题，这样的图是否存在），那么对于每个常数$0 \le c \le \frac{1}{2}$，我们确定（直到低阶项）大小为$c \log n$的单色完全子图的数量。我们这样做是通过证明一个下界相匹配（低序项）以前的上限塞凯伊。例如，大小为$\frac{1}{2} \log n$的单色完全子图的个数为$n^{\frac{1}{8}(4 - \log e \pm o(1))\log n} \simeq n^{0.32 \log n}$。
2019-01-07 math.CO
Partitioning Edge-Coloured Complete Symmetric Digraphs into Monochromatic Complete Subgraphs
设$K_{\mathbb{N}}$是正整数上的完全对称有向图。我们利用DeBiasio和McKenney的一个问题，构造了$K_{\mathbb{N}}$的边的$2$ -着色，其中每条单色路径的密度为~ $0$ .然而，如果我们限制单色路径的长度在一种颜色，那么没有上面的例子可以存在：我们表明，每一个$(r+1)$ -边着色完全对称有向图（任意无限基数）不包含任何颜色$i\leq r$的边长度$\ell_i$的有向路径可以覆盖的颜色$r+1$的$\prod_{i\leq r} \ell_i$成对不相交的单色完全对称有向图。此外，我们提出了一个稳定版本的可数情况下的后一个结果：我们证明了边着色是唯一确定的一个大子图，只要上密度的单色路径的颜色$r+1$是有界的$\prod_{i\in [r]}\frac{1}{\ell_i}$。
2018-05-04 math.CO
Forbidden rainbow subgraphs that force large monochromatic or multicolored k-connected subgraphs
设$n, k, m$是正整数，且$n\gg m\gg k$，且$\mathcal{A}$是阶数至少为3的图$G$的集合，使得在使用所有$m$颜色的$K_n$的任何彩虹$G$ -自由着色中存在阶数至少为$n-f(G,k,m)$的$k$ -连通单色子图.本文证明了集合$\mathcal{A}$恰好由$P_6$，$P_3\cup P_4$，$K_2\cup P_5$，$K_2\cup 2P_3$，$2K_2\cup K_3$，$2K_2\cup P^{+}_4$，$3K_2\cup K_{1,3}$及其阶数至少为3的子图组成.此外，我们表明，对于任何图$H\in \mathcal{A}$，如果$n$充分大于$m$和$k$，那么任何彩虹$(P_3\cup H)$ -自由着色的$K_n$使用所有的$m$颜色包含一个$k$连接的单色子图的顺序至少$cn$，其中$c=c(H)$是一个常数，不依赖于$n$，$m$或$k$。此外，我们考虑了完全二部图中的一个并行问题。令$s, t, k, m$是具有${\rm min}\left\{s, t\right\}\gg m\gg k$和$m\geq |E(H)|$的正整数，并且令$\mathcal{B}$是阶至少为3的二分图$H$的集合，使得在使用所有$m$颜色的$K_{s,t}$的任何彩虹$H$ -自由着色中存在阶至少为$s+t-f(H,k,m)$的$k…
2019-07-03 math.CO
Monochromatic subgraphs in iterated triangulations
对于整数$n\ge 0$，迭代三角剖分$Tr(n)$递归定义如下：$Tr(0)$是三个顶点上的平面三角剖分，对于$n\ge 1$，$Tr(n)$是从平面三角剖分$Tr(n-1)$获得的平面三角剖分，对于$Tr(n-1)$的每个内面$F$，在$F$内添加新顶点和将该新顶点连接到与$F$关联的三个顶点的三条边。本文证明了$Tr(n)$存在2-边着色，使得对于任何$k\ge 5$，$Tr(n)$都不包含循环$C_k$的单色拷贝.因此，对Axenovich、Schade、Schaassen和Ueckerdt提出的两个问题之一的回答是否定的。我们还确定了半径为2的图$H$，对于该图存在$n$，使得$Tr(n)$的每一个2-边染色都包含$H$的一个单色拷贝，推广了上述作者关于半径为2的树的一个结果.
2019-11-30 math.CO
Low Diameter Monochromatic Covers of Complete Multipartite Graphs
设直径覆盖数$D^t_r(G)$表示最小整数$d$，使得在图$G$的边的任何$r$染色下，存在直径至多为$d$的$t$单色子图的集合，使得$G$的每个顶点包含在至少一个子图中.当$G$是至少有三部分的完全多部图时，研究了双色二子图的直径覆盖数。我们精确地确定了所有完全三部图$G$和几乎所有多于三部的完全多部图的$D_2^2(G)$的值。
2021-05-14 math.CO
Characterizing the fourth-moment phenomenon of monochromatic subgraph counts via influences
本文研究大图随机顶点2-着色中单色子图计数的分布，通过改进四阶矩定理，建立了基于局部影响的渐近正态充分条件并证明其必要性，为更广泛的Rademacher和Gauss多项式四阶矩现象提供了新见解。
2024-03-21 math.CO math.PR
Minimizing Monochromatic Subgraphs of $K_{n,n}$
研究 $K_{n,n} $ 在 $r$-边着色下的单色子图最小最大大小问题，给出下界和构造，并提出猜想该构造同时为下界。
2026-02-19 math.CO
Monochromatic components in dense 2-edge-coloured balanced bipartite graphs
Instituto de Matemática e Estatística Universidade de São Paulo（圣保罗大学数学与统计学院）；Centro de Modelamiento Matemático（数学建模中心）
该研究针对稠密二边染色平衡二分图，证明满足最小度条件的图可被至多3个单色分支覆盖，并构造实例说明该最小度条件是最优的。
2026-08-19 math.CO
Density of monochromatic infinite subgraphs
对于任意的可数无限图$G$，Ramsey定理保证了在任意的可数无限完全图$K_\mathbb{N}$的边的$r$ -染色中，$G$是无限单色的.更进一步，很自然地，我们想知道相对于某种度量，我们可以找到$G$的单色副本有多大-例如，$G$的顶点集的密度（或上密度）为正整数。与有限拉姆齐理论不同，这个问题已经被广泛研究，无限图的类似问题大多被忽视了。在这一领域为数不多的结果之一中，Erdlens和Galvin证明了在$K_\mathbb{N}$的每一个2-着色中，存在一条单色路，其顶点集的上密度至少为$2/3$，但不可能比$8/9$更好.他们还表明，对于某些序列$ε_n\to 0$，存在单色路径$P$，使得对于无穷多个$n$，集合$\{1,2,...,n\}$包含$P$的前$(\frac{1}{3+\sqrt{3}}-ε_n)n$顶点，但不可能比$2n/3$做得更好。我们改善这两个结果，在前一种情况下，实现一个上密度至少$3/4$和在后一种情况下，获得一个紧界的$2/3$。我们还考虑相关的问题，有向路径，树（连通子图），和更一般的结果，其中包括局部有限图，例如。
2018-08-14 math.CO
Minimum Number of Monochromatic Subgraphs of a Random Graph
École Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL)（洛桑联邦理工学院）；MIT（麻省理工学院）；Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）
研究通过分析随机图中二色子图数量的最小化问题，利用子图出现的连续性与自旋玻璃模型的联系，得出渐近表达式。
2026-02-03 math.CO math.PR
A note on edge-colourings avoiding rainbow K_4 and monochromatic K_m
研究了完全图K_n的边着色的最大颜色数maxR（n，K_m，K_r），使得K_n在m个顶点上没有单色完全子图，在r个顶点上没有彩虹完全子图.改进了Axenovich和Iverson的一个上界，证明了对所有m >= 3，maxR（n，K_m，K_4）<= n^{3/2} \sqrt{2m}.进一步讨论了基于有限射影平面的关联图来提高它们的maxR（n，K_4，K_4）下界的可能途径.
2009-02-10 math.CO
Colorings of oriented planar graphs avoiding a monochromatic subgraph
对于固定的简单有向图$F$和给定的简单有向图$D$，$D$的无$F$ $k$染色是其中$D$中没有$F$的诱导拷贝是单色的顶点染色.本文研究了对于固定的$F$和$k$，判定给定的简单有向图是否允许$F$ -free $k$ -染色的复杂性.我们的主要重点是限制的问题，平面输入有向图，它是唯一有趣的研究情况$k \in \{2,3\}$。由已知的结果可知，对于每个其基础图不是森林的固定有向图$F$，每个平面有向图$D$允许一个$F$ -free $2$ -染色;对于每个具有$Δ(F) \ge 3$的固定有向图$F$，每个定向平面图$D$允许一个$F$ -free $3$ -染色.相反，我们表明，如果$F$是一个方向的路径的长度至少$2$，那么它是NP-难决定是否一个非循环和平面输入有向图$D$承认$F$ -免费$2$ -染色。- 如果$F$是一条长度至少为$1$路的方向，则判定一个无圈平面输入有向图$D$是否允许$F$ -自由$3$ -染色是NP-困难的。
2022-06-07 math.CO
Forcing monochromatic induced subgraphs
University of Waterloo（滑铁卢大学）
证明对于任意c种颜色和任意非空图H1,...,Ht，存在n使得任何c边染色完全图若不包含完全联结的H1,...,Ht的单色诱导副本，则顶点集可划分为n个子集，每个非单点集内某种颜色的边排除至少一个Hi作为诱导子图。
2026-07-17 math.CO
Monochromatic Subgraphs in Randomly Colored Graphons
设$T(H, G_n)$是固定连通图$G_n$的顶点均匀随机着色的单色副本数。当$\{G_n\}_{n \geq 1}$是稠密图的收敛序列时，本文给出了$T(H, G_n)$的极限分布的一个完整刻画.当颜色的数量增长到无穷大时，取决于期望值是否保持有界，$T(H, G_n)$要么收敛到独立泊松变量的有限线性组合，要么收敛到正态分布。另一方面，当颜色的数量固定时，$T(H, G_n)$收敛到独立中心卡方随机变量的（可能无限的）线性组合。这将经典的生日问题推广到网络中的一般单色子图，该问题涉及理解$T(K_s, K_n)$的渐近性，即完全图$K_n$中单色$s$ -团的数量（$s$ -在一组$n$朋友中匹配生日）。
2021-03-02 math.CO math.PR
Colourings of cubic graphs inducing isomorphic monochromatic subgraphs
无桥三次图$G$的一个$k$ -二分图是它的顶点集的一个$2$ -着色，使得色类具有相同的基数，并且由色类诱导的两个子图中的所有连通分量（以下为单色分量）的阶至多为$k$。Ban和Linial证明了除Petersen图外，所有无桥三次图都有$2$ -二分图.三次图的边集的一个类似问题已经被研究过：Wormald证明了每个具有$|E(G)| \equiv 0 \pmod 2$的三次图$G$都有一个$2$ -边着色使得两个单色子图是同构的线性森林（即一个森林的组成部分是路）。最后，Ando证明了每一个三次图都有一个二分法，使得两个导出单色子图同构。在本文中，我们给出了一个详细的洞察Ban-Linial和Wormald的结构，并提供了一个强大的关系，他们与安藤猜想的证据。此外，我们也给出了计算和理论证据的支持。因此，我们提出了一些开放的问题，比上述的结构更强大。此外，我们还证明了三次圈置换图的Ban-Linial猜想。作为研究以线性森林为单色分量的三次图的$2$ -边着色的副产品，我们还对Jackson和Wormald提出的关于三次图到线性森林的某些分解的问题给出了否定的回答.
2018-09-10 cs.DM math.CO
Non-monochromatic Triangles in a 2-Edge-Coloured Graph
设$G = (V,E)$是一个单图，$\{R,B\}$是$E$的一个划分.证明了只要$|E| + \min\{ |R|, |B| \} > { |V| \choose 2 }$，就存在一个同构于$K_3$的$G$的子图，该子图包含来自$R$和$B$的边.我们猜想一个自然的推广分区更多的块。
2018-09-26 math.CO
Monochromatic Subgraphs in Randomly Colored Dense Multiplex Networks
该研究将单色子图计数的边缘收敛结果推广到多重网络场景，推导了依联合割度量收敛的稠密多重网络中有限个单色子图计数的联合极限分布，为相关网络分析提供了理论支撑。
2025-01-17 math.CO math.PR
On connected components with many edges
证明了如果$H$是完全多部图$G$的一个子图，则$H$包含一个满足$|E(H')||E(G)|\geq |E(H)|^2$的连通分支$H'$.我们利用这一点证明了一个完全图的边的每一个三色都包含一个单色连通子图，其中至少有$1/6$条边。我们进一步表明，这样的着色有一个单色电路的一部分$1/6-o(1)$的边缘。这证实了Conlon和Tyomkyn的一个猜想。对一般的$k$，我们证明了$K_n$的边的每个$k$ -染色都包含一个至少有$\frac{1}{k^2-k+\frac{5}{4}}\binom{n}{2}$边的单色连通子图.
2022-08-27 math.CO
An additive version of Ramsey's theorem
我们证明了，对于每一个$r, k$，有一个$n = n(r,k)$，使任何$r$染色的$[n]$上的完全图的边缘将产生一个单色的顶点${a + \sum_{i \in I} d_i \mid I \subseteq [k]}$上的完全子图的$a, d_1,..., d_k$的一些选择。特别地，总是存在$x_1 + ... + x_\ell = y_1 + ... + y_\ell$的解，其诱导子图是单色的。
2012-02-28 math.CO
Rainbow subgraphs of star-coloured graphs
本文针对星着色图的彩虹子图问题，确定了不含给定图彩虹副本的大型完全图星着色的最大颜色数，拓展了Axenovich与Iverson在广义拉姆齐数相关问题上的结果。
2025-11-16 math.CO
Gallai-Ramsey multiplicity for rainbow small trees
本文定义了Gallai-Ramsey重数，并在足够多颜色下求得了彩虹小树与一般单色图该重数的精确值，同时研究了二部Gallai-Ramsey重数。
2024-03-25 math.CO
A fourth moment phenomenon for asymptotic normality of monochromatic subgraphs
针对随机顶点着色下图中单色子图计数的渐近正态性，证明了带显式误差率的中心极限定理，揭示四阶矩现象：当颜色数c≥30时，四阶矩收敛到3等价于其收敛于标准正态分布。
2023-03-13 math.CO math.PR
Upper density of monochromatic infinite paths
我们证明了在每个$2$ -着色的$K_\mathbb{N}$的边缘存在一个单色的无限路径$P$，使$V(P)$具有上密度至少${(12+\sqrt{8})}/{17} \approx 0.87226$，并进一步表明，这是最好的可能。这解决了Erdés和Galvin的一个问题。
2019-10-23 math.CO
Monochromatic $k$-edge-connection colorings of graphs
边着色图$G$中的路径称为单色的，如果路径上的任意两条边具有相同的颜色。对于$k\geq 2$，边着色图$G$称为单色$k$边连通的，如果$G$的每两个不同的顶点由至少$k$边不相交的单色路连接，而$G$被称为均匀单色$k$ -边连接，如果每两个不同的顶点至少由$k$边连接，不相交的单色路径，使得这些$k$路径的所有边缘用相同的颜色着色。我们分别使用$mc_k(G)$和$umc_k(G)$来表示确保$G$为单色$k$ -边连接和$G$为均匀单色$k$ -边连接的最大颜色数。本文首先猜想，对于任何$k$ -边连通图$G$，$mc_k(G)=e(G)-e(H)+\lfloor\frac{k}{2}\rfloor$，其中$H$是$G$的最小$k$ -边连通生成子图.我们验证了$k=2$的猜想。证明了当$k\geq4$为偶数时对$G=K_{k+1}$的猜想，当$k\geq4$为偶数时对$G=K_{k,n}$的猜想，以及当$k=3$和$n\geq k$为偶数时对$G=K_{k,n}$的猜想.当$G$是极小$k$ -边连通图时，我们给出了$mc_k(G)$的一个上界，即，$mc_k(G)\leq k-1$，和当$G=K_{k,n}$时的$mc_k(G)\leq \lfloor\frac{k}{2}\rfloor$。对于一致单色$k$ -边连通，证明了对所有的$k$，有$umc_k(G)=e(G…
2018-10-28 math.CO
Partitioning infinite hypergraphs into few monochromatic Berge-paths
将Rado的一个结果推广到超图，证明了对所有具有$k \geq t \geq 2$的$s, k, t \in \mathbb{N}$，每个$r = s(k-t+1)$ -边色可数无限完全$k$ -图的顶点至多可划分为不同颜色的$s$ $t$ -紧Berge-path的核.我们进一步描述了一个结构，表明这一结果是最好的可能。
2019-05-13 math.CO
Monochromatic infinite sumsets
我们证明了存在一个有理向量空间$V$，使得每当$V$是有限着色的时，就存在一个无限集$V$，其和集$X+X$是单色的。我们的例子是维数为$\sup\{\aleph_0,2^{\aleph_0},2^{2^{\aleph_0}},\ldots\,\}$的有理向量空间。这补充了Hindman、Leader和Strauss的结果，Hindman、Leader和Strauss表明，该结果不适用于低于$\aleph_ω$的维度。因此，我们的结果是最好的可能下GCH。
2017-07-25 math.CO
Weak diameter coloring of graphs on surfaces
考虑一个在固定曲面上绘制的图$G$，如果$G$是无三角形的，则为每个顶点分配一个大小至少为2的颜色列表，否则至少为3。我们证明了我们可以给每个顶点一个颜色，使得每个单色连通子图有界弱直径（即，在整个图$G$的度量中测量的直径，而不仅仅是子图）。在$G$有界最大度的情况下，这意味着每个连通单色子图有界大小。这解决了平面无三角形图的Esperet和Joret问题，并将已知结果在一般情况下推广到列表设置，回答了Wood的一个问题。
2021-11-13 math.CO
Infinite monochromatic patterns in the integers
我们证明了几个无限单色模式的存在性，在合适的对称多项式的值得到的整数。最简单的例子如下。对于自然数$\mathbb{N}=C_1\cup\ldots\cup C_r$的每一个有限着色，存在一个递增序列$a<b<c<\ldots$，使得下面的所有元素都是单色的，也就是说，它们属于同一个$C_i$：$$a,b,c,\ldots, a+b+ab, a+c+ac, b+c+bc,\ldots,a+b+c+ab+ac+bc+abc,\ldots.$$证明使用超滤子$β\mathbb{Z}$空间中的代数。
2022-02-15 math.CO
Density of monochromatic infinite paths
对于任何子集$A \subseteq \mathbb{N}$，我们定义其上密度为$\limsup_{ n \rightarrow \infty } |A \cap \{ 1, \dotsc, n \}| / n$。证明了$\mathbb{N}$上完全图的每一个$2$边着色都含有一条单色无限路，且其顶点集的上密度至少为$(9 + \sqrt{17})/16 \approx 0.82019$ .这改进了Erdés和Galvin以及DeBiasio和McKenney的结果。
2018-10-22 math.CO
Partitioning edge-coloured infinite complete bipartite graphs into monochromatic paths
1978年，理查德·拉多证明了每一个可数无限阶的边着色完全图都可以划分成不同颜色的单色路。他问这是否仍然适用于不可数完全图和概念的\emph{generalised paths}。在2016年，Daniel Soukup对此做出了肯定的回答，并证明了类似的结果应该适用于具有相同无限基数的双划分类的完全二部图，即每个用$r$颜色边着色的图都可以划分为$2r-1$单色广义路径，每个颜色最多使用两次。本文对Soukup猜想给出了肯定的回答。
2018-08-29 math.CO
More Ramsey theory for highly connected monochromatic subgraphs
本文研究不可数基数上高度连通单色子图的弱 Ramsey 定理，在适当大基数一致性假设下证明若干命题与 ZFC 相对一致，并利用坍缩大基数后具有强组合性质的理想完成证明。
2023-11-11 math.CO math.LO
Monochromatic Paths in the Complete Symmetric Infinite Digraph
设$\vec{K}_{\mathbb{N}}$是正整数上的完全对称有向图。我们利用DeBiasio和McKenney的问题，构造了$\vec{K}_{\mathbb{N}}$的边的2-着色，其中每条单色路径的密度为0.另一方面，我们表明，在每一个着色，没有一个有向路径与$r$边缘在第一种颜色，有向路径在第二种颜色的密度至少$\frac1r$。
2017-10-30 math.CO
A Ramsey Type problem for highly connected subgraphs
Bollobás和Gyárfás证明了：对于任何具有$n > 4(k-1)$的$k, n \in \mathbb{Z}^+$，完全图在$n$顶点上的每一个2-边染色都导致一个$k$连通单色子图，其中至少有$n-2k+2$顶点.我们发现一个反例与$n = \lfloor 5k-2.5-\sqrt{8k-\frac{31}{4}} \rfloor$，从而反驳了猜想，我们表明结论持有$n > 5k-2.5-\sqrt{8k-\frac{31}{4}}$时$k \ge 16$。
2023-03-21 math.CO
Discrepancy and large dense monochromatic subsets
Erdans和Pach（1983）引入了Ramsey数的自然度推广，其中不是在$2$ -边着色的完全图中寻找大的单色团，而是寻找最小度或平均度高的单色子图。在这里，我们扩大研究这些所谓的准拉姆齐数在几个方面，特别是，多个颜色和均匀超图。准拉姆齐数是已知的，表现出一定的独特的相变，我们表明，这也是我们考虑的设置的情况。我们的研究结果依赖于密度偏置的概念超图差异优化集的有界大小，这可能是独立的利益。
2018-01-10 math.CO
Covering complete graphs by monochromatically bounded sets
给定完全图$K_n$的边的$k$ -着色，是否存在覆盖其顶点的$k-1$单色分量？著名的洛瓦兹-莱瑟猜想的这个重要特例仍然悬而未决。在本文中，我们考虑加强这个问题，我们坚持覆盖集不仅是连接的，但有界直径。特别是，我们证明了，对于任何着色的$E(K_n)$与4种颜色，有一个选择的集合$A_1, A_2, A_3$，覆盖所有顶点，和颜色$c_1, c_2, c_3$，使每个$i = 1,2,3$的单色子图诱导的集合$A_i$和颜色$c_i$的直径最多为160。
2017-05-25 math.CO
On some variations of coloring problems of infinite words
给定集合$A$上自由半群$A^+$的有限染色（或有限划分），我们考虑了右端无限字$x\in A^ω$的各种类型的单色分解.一些更强的版本通常的概念单色因式分解的介绍。当连续块的连接是单色的时，因式分解被称为顺序单色。一个顺序单色分解被称为超单色分解，如果任意置换块的分解的任何级联具有相同的颜色的单个块。我们建立联系，并在某些情况下，这些分解和拉姆齐理论的基本结果，包括无限拉姆齐定理，Hindman的有限和定理，分区规则的IP集和密立根-泰勒定理的存在之间的等价关系。本文证明了对每个有限集$A$和几乎所有字$x\in A^ω,$的每个有限着色$φ: A^+\rightarrow C,$，在允许一个$φ$ -超单色分解的$x$生成的子移位中存在$y$，其中“几乎所有”指的是$A^ω.$上的Bernoulli测度
2015-08-10 math.CO
Decompositions of edge-colored infinite complete graphs into monochromatic paths
图或超图$G=(V,E)$的$r$ -边染色是映射$c:E\to \{0, \dots, r-1\}$ .推广了Rado的结果，回答了Rado，Gyárfás和Sárközy的问题，证明了（1.）每个$r$ -边着色的可数无限完全$k$ -一致超图的顶点集可被划分为具有不同颜色的$r$单色紧路（$k$ -一致超图中的紧路是不同顶点的序列，使得每个$k$连续顶点的集合形成边），（2.）对于所有自然数$r$和$k$，存在一个自然数$M$，使得每个$r$ -边着色的可数无限完全图的顶点集可以被划分为除有限集之外的路径的$M$单色$k^{th}$幂（路径的$k^{th}$幂是不同顶点的序列$v_0, v_1, \dots$，使得$1\le|i-j| \le k$暗示$v_iv_j$是边），（3）每个$2$ -边着色的可数无限完全图的顶点集都可以划分为$4$单色路平方，但不一定划分为$3$，（4）$ω_1$上的每个$2$ -边着色完全图的顶点集都可以被划分为具有不同颜色的$2$单色路.
2016-01-06 math.CO
Coloring random graphs online without creating monochromatic subgraphs
考虑以下随机过程：一个二项式随机图$G_{n,p}$的顶点被一个接一个地显示，并且在每一步中，只有由已经显示的顶点诱导的边可见。我们的目标是从固定数量的可用颜色$r$中立即并可替换地为每个顶点分配一个颜色，而不会在此过程中创建某个固定图形$F$的单色副本。我们的第一个主要结果是，对于任何$F$和$r$，这个问题的门限函数由$p_0(F,r,n)=n^{-1/m_1^*(F,r)}$给出，其中$m_1^*(F,r)$表示$F$和$r$的所谓\emph{online vertex-Ramsey density}。这个参数是通过一个纯粹确定性的两人游戏来定义的，在这个游戏中，随机过程被一个对手所取代，这个对手受到从随机设置继承的某些限制。我们的第二个主要结果表明，对于任何$F$和$r$，在线顶点拉姆齐密度$m_1^*(F,r)$是一个可计算的有理数。我们的下限证明是算法的，即，我们得到多项式时间在线算法，成功地着色$G_{n,p}$所需的概率$1-o(1)$为任何$p(n) = o(n^{-1/m_1^*(F,r)})$。
2011-04-27 math.CO math.PR
Tiling with monochromatic bipartite graphs of bounded maximum degree
我们证明了对于任何$r\in \mathbb{N}$，存在一个常数$C_r$，使得下面的是真的。设$\mathcal{F}=\{F_1,F_2,\dots\}$是一个二部图的无限序列，使得$|V(F_i)|=i$和$Δ(F_i)\leq Δ$对所有$i$成立.则在任何$r$ -边着色完全图$K_n$中，至多存在一个$\exp(C_rΔ)$单色子图的集合，每个单色子图同构于$\mathcal{F}$的一个元素，其顶点集划分$V(K_n)$ .证明了Corsten和Mendonça的一个强形式猜想，推广了有界度二部图的多色Ramsey数的结果.
2021-09-20 math.CO
Upper density of monochromatic paths in edge-coloured infinite complete graphs and bipartite graphs
定义具有$V(G) \subseteq \mathbb{N}$的无限图$G$的上密度为$\overline{d}(G) = \limsup_{n \rightarrow \infty}{|V(G) \cap \{1,\ldots,n\}|}/{n}$。设$K_{\mathbb{N}}$是顶点集为$\mathbb{N}$的无限完全图. Corsten、DeBiasio、Lamaison和Lang证明，在$K_{\mathbb{N}}$的每个$2$ -边着色中，存在一个最高密度至少为$(12 + \sqrt{8})/17$的单色路径，这是最好的可能。在本文中，我们将这个结果推广到$k$ -边着色的$K_{\mathbb{N}}$为$k \ge 3$。我们猜想每个$k$ -边色$K_{\mathbb{N}}$都包含一个单色路径，其上密度至少为$1/(k-1)$，这是最好的可能性（当$k-1$是素数幂时）。我们证明，这是真的，当$k = 3$和渐近时$k =4$。此外，我们表明，这个问题可以推导出它的二分变体，这是独立的利益。
2022-10-25 math.CO
The Second Moment Phenomenon for Monochromatic Subgraphs
在一组$n$朋友中，有几个$n$朋友的生日相同？这是一个生日庆祝问题，它可以表述为完全图$K_n$中存在一个单色$s$ -团$K_s$（$s$ -匹配生日），其中$K_n$的每个顶点都均匀地用$365$颜色（对应于生日）着色.更一般地，对于一般连通图$H$，令$T(H, G_n)$是在图$G_n$的顶点用$c_n$颜色的均匀随机着色中$H$的单色副本的数量。本文证明了当$\mathbb E T(H, G_n) \rightarrow λ$和$\mathrm{Var} T(H, G_n) \rightarrow λ$同时存在时，$T(H, G_n)$收敛于$\mathrm{Pois}(λ)$，即$T(H, G_n)$的渐近Poisson分布仅由其均值和方差的收敛决定.此外，这个条件是必要的，当且仅当$H$是一个星图。事实上，二阶矩现象是关于$T(H,G_n)$收敛于独立泊松随机变量的有限线性组合的更一般定理的结果。作为应用，当$G_n\sim G(n, p)$是Erd \H os-Rényi随机图时，我们得到了$T(H, G_n)$的极限分布.当$p$从0变化到1时，会出现多个相变，这取决于图形$H$是平衡的还是不平衡的。
2020-04-15 math.CO math.PR
Coverings by few monochromatic pieces - a transition between two Ramsey problems
（广义）拉姆齐理论中的典型问题是求一个具有t种颜色的完全图K_n的任意边着色中必须存在的族F（例如匹配、路、圈、连通子图）的最大单色成员的阶。另一个方面是寻找F中划分或覆盖每个边着色完全图的顶点集的单色成员的最小数目。这里我们提出了一个连接这些区域的问题：对于固定的正整数s，t，在K_n的每一个t色边染色中，至少有多少个顶点可以被F的不超过s个单色成员的顶点所覆盖。本文提出了几个问题和解决方法，其中包括Cockayne和Lorimer关于单色匹配的一个著名结果的可能推广，我们证明了其中的一个初步步骤：当s=t-1时，我们确定K_n的每一个t-染色中有多少个顶点可以被s个单色匹配覆盖。
2013-04-03 math.CO
Infinite closed monochromatic subsets of a metric space
给定不可数可分度量空间的k元子集的一个着色，证明了存在一个包含其极限点的无限单色子集.
2015-08-10 math.CO math.MG
Some New Results on Monochromatic Sums and Products in the Rationals
本文的目的是证明，对于任何$k$，其分解子只包含第一个$k$素数的有理数集合存在有限着色，使得没有无限集的有限和与乘积都是单色的.我们实际上证明了一个“统一”的形式：有一个有限着色的理性与财产，没有无限集的扩张器只包含许多素数有其所有的有限总和和产品单色。我们还给出了其他各种结果，包括一个新的短证明旧的结果，有一个有限的着色的自然，这样就没有无限集的所有成对和产品单色。
2023-03-07 math.CO
Central sets and infinite monochromatic exponential patterns
Charles University（查理大学）
该研究将Hindman定理扩展到含指数运算的非结合运算类，借助中心集工具证明存在无限序列，其生成的有限指数构型均为单色，推广了Sahasrabudhe的相关结果。
2026-08-04 math.CO
Graph coloring with no large monochromatic components
对于图G和整数t，设mcc_t（G）是最小的m，使得G的顶点有t个着色，且没有一个单色连通子图的顶点数大于m。设F是任意非平凡的次闭图族。证明了对任意n-顶点图G \in F，\mcc_2（G）= O（n^{2/3}）.这个界是渐近最优的，它是在平面图上得到的。更一般地，对于每个这样的F和每个固定的t，我们证明了mcc_t（G）=O（n^{2/（t+1）}）。另一方面，我们有图G没有K_{t+3}子图且mcc_t（G）=Ω（n^{2/（2 t-1）}）的例子。考虑有界度的图也很有趣。Haxell、Szabo和Tardos证明了对于每个最大度为5的图G，\mcc_2（G）\leq 20000。证明了存在n-顶点7-正则图G，使\mcc_2（G）=Ω（n），更尖锐的是，对每个ε>0，存在c_ε>0和n-顶点图G，其所有子图的最大度为7，平均度至多为6+ε，且mcc_2（G）\ge c_ \eps n.对于6-正则图，只知道\mcc_2的最大数量级在\sqrt n和n之间。我们还提供了一个数量\mcc_t（G）的拉姆齐理论的观点。
2007-03-12 math.CO
Infinite Sum-Product Configurations in Parallel
Ohio State University（俄亥俄州立大学）
本文证明了对于自然数的任意有限划分，存在一个无限序列，其有限和是单色的，且固定因子数的无限多个乘积也是单色的，并应用此技术证明多种复杂无限和积配置在任意有限着色下必为单色。
2026-09-22 math.CO
Unavoidable Induced Subgraph of Infinite 2-connected Graphs
本文针对无限 2-连通图，推广 Ramsey 与 König 关于无限图不可避免诱导子图的经典定理，建立其 2-连通对应结果。
2024-12-04 math.CO
Anti-Ramsey theory problems, lattice point counts on polytopes, and Hodge structures on the cohomology of toric varieties
我们发现图族$G$和$G$的子图$H$，使得避免$H$的单色着色的$G$的边着色的数目由格点计数或某一环面簇上同调的Hodge结构决定。一般来说，这给出了一类具有几何结构的“反拉姆齐理论问题”。例如，我们发现一个拉姆齐数类这样的图。关键的观察是，我们以前的结果表示的辅助单纯复形的$h$ -向量的单纯色多项式可以重新解释为一个边染色的图避免单色染色指定的禁用子图。专门单纯复形所产生的三角形的多面体（如单模三角），我们得到家庭的图形和禁止的子图，避免单色着色的禁止的子图的边着色取决于格点计数或霍奇结构上同调的环面品种。
2022-06-14 math.AG math.AT math.CO
Monochromatic cycle partitions of graphs with large minimum degree
Lehel推测，在$K_n$的边的每个$2$ -着色中，存在一个跨越$V(K_n)$的顶点不相交的红色和蓝色循环。Rödl和Szemerédi证明了Lehel的猜想大$n$，艾伦给了一个不同的证明大$n$，最后Bessy和Rassé给了一个证明所有$n$。Balogh、Barát、Gerbner、Gyárfás和Sárközy提出了一个重要的加强Lehel猜想的方法，其中$K_n$被任何具有$δ(G)> 3n/4$的图$G$所取代;如果真的话，这个最小度条件本质上是最好的。我们证明了当$δ(G)>(3/4+o(1))n$ .我们的证明使用了Szemerédi的正则引理以及Rödl，Rucibrski和Szemerédi的吸收方法，首先证明了图可以被具有某些鲁棒扩展特性的单色子图覆盖。
2016-09-01 math.CO
Decompositions of edge-coloured infinite complete graphs into monochromatic paths II
Erdens证明了自然数上的任意2-边着色完全图都可以顶点分解为两条不同颜色的单色路。R.拉多到任意有限数量的颜色。证明了有限边着色的无限完全图的顶点都可以划分为不相交的不同颜色的单色路。这就回答了R. 1978年的雷达。
2016-03-16 math.CO math.LO
Monochromatic $k$-connection of graphs
本文研究了图的 $k$$-连通图的单色 $k$-连通数 $mc_k(G)$，，得到了一般图的界，，并精确计算了了特定条件下的值，同时证明了二分图的类似结果。
2024-02-14 math.CO
