Characterizations of symmetrically partial Boolean functions with exact quantum query complexity
我们给出并证明了一个计算Promise问题的最优精确量子查询算法，其复杂度为$k+1$，对称和部分布尔函数）$DJ_n^k$定义为：$DJ_n^k(x)=1$用于$|x|=n/2$，$DJ_n^k(x)=0$用于集合$\{0, 1,\ldots, k, n-k, n-k+1,\ldots,n\}$中的$|x|$，并且对于其余情况是未定义的，其中$n$是偶数，$|x|$是$x$的汉明权重。$k=0$的情况是著名的Deutsch-Jozsa问题。我们概述了所有的对称（和部分）布尔函数度1和2，并证明了他们的确切的量子查询复杂性。然后，我们证明了任何对称（和部分）布尔函数$f$具有确切的量子1-查询复杂度当且仅当$f$可以计算的Deutsch-Jozsa算法。我们还发现了最佳的精确量子2-查询复杂度区分输入的汉明重量$\{ \lfloor n/2\rfloor, \lceil n/2\rceil \}$和汉明重量的集合$\{ 0, n\}$的所有奇数$n$。此外，还提供了一种确定任何对称（和部分）布尔函数的次数的方法。
2017-06-05 cs.CC cs.DS quant-ph
Certification complexity of Boolean functions
Université Paris-Cité, CNRS, IRIF（巴黎西岱大学，法国国家科学研究中心，信息研究与研究所）；University of Latvia, Faculty of Science and Technology（拉脱维亚大学，理学院）
本文提出操作性证书概念，用于刻画布尔函数在零误差和精确量子查询模型下的证书复杂度，并给出新下界，展示了一个函数使证书复杂度对Q0紧而下界优于有理度。
2026-09-23 cs.CC
Towards Better Separation between Deterministic and Randomized Query Complexity
我们发现，存在一个布尔函数$F$观察以下分离之间的确定性查询复杂度$(D(F))$，随机零错误查询复杂度$(R_0(F))$和随机单侧错误查询复杂度$(R_1(F))$：$R_1(F) = \widetilde{O}(\sqrt{D(F)})$和$R_0(F)=\widetilde{O}(D(F))^{3/4}$。这反驳了Saks和Wigderson提出的猜想，即对于任何布尔函数$f$，$R_0(f)=Ω({D(f)})^{0.753..}$。这也显示了任何布尔函数的$R_1(f)$和$D(f)$之间的最宽间隔。函数$F$是由G {<$}{<$} s，Pitassi和Watson定义的，他们研究它以显示确定性决策树复杂性和明确的非确定性决策树复杂性之间的分离。独立于我们，Ambainis等人证明了函数$F$的不同变体证明了$D(f)$和$R_0(f)$之间的最优（二次）分离，以及$R_0(f)$和$R_1(f)$之间的多项式分离。被视为分离的结果，我们的结果是由那些Ambainis等人。然而，虽然在Ambainis等人的工作中的函数是不同的变体$F$，我们的工作与原来的功能$F$本身。
2015-06-24 cs.CC
Average-case deterministic query complexity of boolean functions with fixed weight
本文研究均匀分布下布尔函数的平均情形确定性查询复杂度，给出固定权重函数的近紧上界，并利用切换引理分析 CNF/DNF 公式及构造匹配下界。
2025-06-11 cs.CC
Exact quantum algorithms have advantage for almost all Boolean functions
已经证明了几乎所有的$n$位布尔函数都具有精确的经典查询复杂度$n$。然而，当我们处理精确量子查询复杂度时，情况似乎非常不同。在本文中，我们证明了几乎所有的$n$位布尔函数可以计算的精确量子算法少于$n$查询。更确切地说，我们证明，${AND}_n$是唯一的$n$位布尔函数，同构，需要$n$查询。
2014-09-29 cs.CC quant-ph
A composition theorem for randomized query complexity via max conflict complexity
令$R_ε(\cdot)$代表具有错误$ε> 0$的有界错误随机化查询复杂度。对任意关系$f \subseteq \{0,1\}^n \times S$和偏布尔函数$g \subseteq \{0,1\}^m \times \{0,1\}$，证明了$R_{1/3}(f \circ g^n) \in Ω(R_{4/9}(f) \cdot \sqrt{R_{1/3}(g)})$，其中$f \circ g^n \subseteq (\{0,1\}^m)^n \times S$是$f$和$g$的合成.我们给出了一个例子的关系$f$和部分布尔函数$g$，这个下界是紧的。我们证明了我们的复合定理，通过引入一个新的复杂性措施，最大冲突复杂性$\bar χ(g)$的部分布尔函数$g$。我们显示$\bar χ(g) \in Ω(\sqrt{R_{1/3}(g)})$的任何（部分）功能$g$和$R_{1/3}(f \circ g^n) \in Ω(R_{4/9}(f) \cdot \bar χ(g))$，这两个界限意味着我们的组合结果。我们进一步表明，$\bar χ(g)$总是至少一样大的$g$，本大卫和Kothari介绍的破坏复杂性。
2018-11-27 cs.CC
Query Complexity with Unknowns
该研究提出了含“未知”应答的u-query布尔函数查询复杂度模型，分析了其与标准模型的复杂度差异，证明全布尔函数的各类u-query复杂度间呈多项式关系。
2024-12-09 cs.CC
The Randomized Query Complexity of Finding a Tarski Fixed Point on the Boolean Hypercube
本文研究了在布尔超立方体及更一般的 $k$ 维网格上寻找 Tarski 不动点的查询复杂度，证明了布尔超立方体上的随机化与确定性查询复杂度为 $Θ(k)$，并给出了高维网格上的渐近最优随机化下界。
2025-07-14 cs.CC cs.GT
Instance complexity of Boolean functions
Utrecht University（乌得勒支大学）；University of Liverpool（利物浦大学）
研究布尔函数查询算法的实例复杂度（算法成本与最优先知算法成本之比），刻画对称布尔函数的实例复杂度，并发现某些函数的实例复杂度远小于查询复杂度与最小证书复杂度之比。
2026-06-15 cs.CC
Boolean function monotonicity testing requires (almost) $n^{1/2}$ non-adaptive queries
我们证明了一个下界的$Ω(n^{1/2 - c})$，对于所有的$c>0$，（双侧错误）的非自适应算法的查询复杂性测试是否$n$变量布尔函数是单调与常数远离单调。这改进了最近在[CST 14]中给出的同一问题的$\tildeΩ(n^{1/5})$下限，并且非常接近$Ω(n^{1/2})$，我们推测这是该模型的最佳下限。
2014-12-17 cs.CC
Span programs and quantum query complexity: The general adversary bound is nearly tight for every boolean function
一般的敌手界限是一个半定规划（SDP），它降低了函数的量子查询复杂度。我们把这个下限到一个上限，给出了一个量子行走算法的基础上的双SDP，查询复杂度最多的一般对手界，对数因子。更详细地说，证明有两个步骤，每个步骤都基于“跨度程序”，即某种线性代数计算模型。首先，我们给出了一个SDP，它为任何布尔函数输出一个具有最佳“见证大小”的跨度程序。“最佳证人人数与一般对手的下限一致。其次，我们给出了一个量子算法，用于评估跨度程序，只有对数查询开销的证人大小。第一个结果是出于量子算法评估组成跨度方案。该算法被认为是最佳的评估一大类公式。允许的门包括所有的常数大小的功能，有一个最佳的跨度计划。到目前为止，好的跨度程序已经找到了一个特设的方式，和SDP自动化这一过程。令人惊讶的是，SDP的值等于一般对手界限。一个推论是一个最佳量子算法，用于评估任何有限布尔门集上的“平衡”公式。第二个结果将span程序的适用性扩展到公式评估问题之外。一个强大的通用性的结果跨度程序如下。一个好的量子查询算法意味着一个好的跨度程序，反之亦然。虽然几乎是紧的，但这种等价性是不平凡的。Span程序是开发更多量子算法的有前途的模型。
2009-04-17 cs.CC quant-ph
Classical-Quantum Separations in Certain Classes of Boolean Functions-- Analysis using the Parity Decision Trees
本文利用奇偶决策树方法研究了几种布尔函数类的确定性（经典）查询复杂度（$D$）和精确量子查询复杂度（$Q_E$）之间的分离问题。我们首先定义$n$变量的查询友好（QF）函数作为具有最小确定性查询复杂性的函数$(D(f))$。我们观察到，对于每个$n$，存在一个不可分离的QF函数类，使得$D(f)=Q_E(f)$。进一步证明了对于某些$n$值，所有的QF函数都是不可分的.然后，我们提出了QF函数的某些其他值的$n$分离可以证明，特别是，$Q_E(f)=D(f)-1$。在相关的工作中，我们还研究了Maiorana McFarland（M-M）型Bent函数。我们证明了对于任意的M-M Bent函数$f$，$n$变量$D(f) = n$，分离可以实现为$\frac{n}{2} \leq Q_E(f) \leq \lceil \frac{3n}{4} \rceil$。我们的研究结果突出了如何不同类别的布尔函数可以分析利用奇偶决策树方法的经典量子分离。
2020-09-04 cs.CC quant-ph
Query-to-Communication Lifting for BPP
对于任何$n$位布尔函数$f$，我们表明，随机通信复杂性的组成功能$f\circ g^n$，其中$g$是一个索引小工具，其特征在于随机决策树复杂性的$f$。特别地，这意味着许多涉及随机化模型的查询复杂度分离（例如，经典与量子）自动地暗示了通信复杂性的类似分离。
2017-03-22 cs.CC
A Super-Grover Separation Between Randomized and Quantum Query Complexities
我们构造了一个满足$R(f)=\tildeΩ(Q(f)^{5/2})$的全布尔函数$f$，反驳了长期以来关于$R(f)=O(Q(f)^2)$对所有全布尔函数的猜想.假设Aaronson和Ambainis关于部分函数的最佳量子加速比的猜想，我们将其改进为$R(f)=\tildeΩ(Q(f)^3)$。我们的构造是基于Göös-Pitassi-Watson函数，但没有使用它。
2015-06-26 cs.CC quant-ph
A Unified Lower Bound on the Noisy Query Complexity of Boolean Functions
针对噪声查询模型，基于布尔超立方体子图的度统计，提出了布尔函数噪声查询复杂度的通用下界，统一并改进了现有结果，并解决了Gu、Li和Xu提出的开放问题。
2026-06-11 cs.CC cs.DS cs.IT
Several Separations Based on a Partial Boolean Function
我们示出了部分布尔函数$f$连同输入$x\in f^{-1}\left(*\right)$，使得$C_{\bar{0}}\left(f,x\right)$和$C_{\bar{1}}\left(f,x\right)$都至少是$C\left(f\right)^{2-o\left(1\right)}$。由于Ben-David，Göös，Jain和Kothari最近的结果，这个结果意味着查询和通信复杂性的其他几个分离。例如，它给出了一个函数$f$，其中$C(f)=Ω(deg^{2-o\left(1\right)}(f))$，其中$C$和$deg$表示证书复杂度和$f$的多项式次数。(This是对Kushilevitz和Nisan在1995年提出的$C(f)$和$deg(f)$之间的分离的第一次改进）。这一结果的其他影响是一个改进的分离之间的敏感性和多项式的程度，一个接近最优的下限conondeterministic通信复杂性的团与独立集问题和一个接近最优的下界的复杂性的Alon-Saks-Seymour问题的图论。
2021-03-09 cs.CC
Domain Reduction for Monotonicity Testing: A $o(d)$ Tester for Boolean Functions in $d$-Dimensions
我们描述了一个$\tilde{O}(d^{5/6})$ -查询单调性测试布尔函数$f:[n]^d \to \{0,1\}$上的$n$ -超网格。这是第一个查询复杂度独立于$n$的$o(d)$单调性测试器。出于这种独立性的$n$，我们开始研究的单调性测试的可测量的布尔函数$f:\mathbb{R}^d \to \{0,1\}$在连续域，其中的距离测量相对于产品分布在$\mathbb{R}^d$。我们给出了一个$\tilde{O}(d^{5/6})$查询单调性测试这样的功能。我们的主要技术成果是单调性的域缩减定理。对于任何函数$f:[n]^d \to \{0,1\}$，令$ε_f$是它到单调性的距离。考虑原始域的随机$[k]^d$子超网格上的函数的限制$\hat{f}$。我们表明，对于$k = \text{poly}(d/ε)$，预期的距离的限制是$\mathbb{E}[ε_{\hat{f}}] = Ω(ε_f)$。以前，这样的结果仅为$d=1$所知（Berman-Raskhodova-Yaroslavtsev，STOC 2014）。我们在$[n]^d$上测试布尔函数的结果随后应用Black-Chakrabarty-Seshadhri的$d^{5/6}\cdot \text{poly}(1/ε,\log n, \log d)$查询超网格测试器（SODA 2018）。为了获得测试布尔函数…
2019-12-10 cs.CC cs.DM
Easy and hard functions for the Boolean hidden shift problem
University of Waterloo（滑铁卢大学）；IBM TJ Watson Research Center（IBM TJ沃森研究中心）；NEC Laboratories America（NEC美国实验室）
研究了布尔隐移位问题的量子查询复杂度。给定一个已知的布尔函数f的oracle访问f（x+s），任务是确定n位字符串s。这个问题的量子查询复杂度强烈依赖于f。我们证明了这个问题的最简单的实例对应于弯曲的功能，在这个意义上说，一个确切的一个查询算法存在，当且仅当函数弯曲。我们部分描述了最难的实例，其中包括delta函数。此外，我们表明，这个问题是很容易的随机函数，因为两个查询就足够了。我们的随机函数算法是基于对某个状态的几个副本进行相当好的测量;它的分析依赖于傅里叶变换。我们还使用这种方法来改进量子拒绝采样方法的布尔隐藏移位问题。
2013-04-16 cs.CC cs.LG quant-ph
Weak Bases of Boolean Co-Clones
泛代数和克隆理论已被证明是一个有用的工具，在约束满足问题的研究，因为复杂性，对数空间减少，是由约束语言的多态性的集合。对于原始正定义不适合的分类，例如保持大小的约简，可能需要较弱的闭包操作。在这篇文章中，我们考虑强部分克隆，它可以被看作是一个比Post格更细粒度的框架，其中每个克隆分裂成一个强部分克隆的区间。我们调查这些区间，并给出简单的关系描述，弱基，最大的元素。弱基具有高度规则的形式，并且在许多情况下容易与区间中的最小成员相关，这表明强部分克隆的晶格比部分克隆的全晶格简单得多。
2013-10-14 cs.CC
A lower bound on the quantum query complexity of read-once functions
我们建立了只读布尔函数的有界错误量子查询复杂度的$Ω{(\sqrt{n})}$下界，为$Ω(\sqrt{D(f)})$是所有布尔函数的下界的猜想提供了证据.我们的技术扩展了Ambainis的结果，基于这样的想法，即成功计算函数需要在查询寄存器中初始相干叠加输入的“去相干”，具有不同的函数值。查询的数量是有界的，通过比较所需的总数量的去相干的一组明智地选择的输入-输出对的上限上的量可实现在一个单一的查询步骤。我们使用这个结果的扩展到一般的输入对的权重，和一般的叠加输入。
2002-01-03 cs.CC quant-ph
The quantum query complexity of composition with a relation
负权重攻击方法$\mathrm{ADV}^\pm(g)$被认为是描述任意布尔函数$g$的有界错误量子查询复杂度的方法，并且也服从完美复合定理$\mathrm{ADV}^\pm(f \circ g^n) = \mathrm{ADV}^\pm(f) \mathrm{ADV}^\pm(g)$。Belovs给出了一个修改版本的负权重的对手的方法，$\mathrm{ADV}_{rel}^\pm(f)$，其特征的有界错误量子查询复杂性的关系$f \subseteq \{0,1\}^n \times [K]$，提供了关系是有效的验证。如果对于每个$a \in [K]$都有$\mathrm{ADV}^\pm(f_a) = o(\mathrm{ADV}_{rel}^\pm(f))$，则关系是有效可验证的，其中$f_a$是定义为$f_a(x) = 1$的布尔函数当且仅当$(x,a) \in f$。本文证明了一个完美的复合定理，它适用于关系$f$与布尔函数$g$ \[ \mathrm{ADV}_{rel}^\pm(f \circ g^n) = \mathrm{ADV}_{rel}^\pm(f) \mathrm{ADV}^\pm(g) \enspace . \]的复合。对于有效可验证的关系$f$，这意味着$Q(f \circ g^n) = Θ( \mathrm{ADV}_{rel}^\pm(f) \mat…
2020-04-14 cs.CC quant-ph
Nonadaptive quantum query complexity
我们研究了非自适应量子查询算法的能力，这些算法的输入查询不依赖于以前的查询结果。首先，我们证明了任何计算依赖于n个变量的总布尔函数的有界误差非自适应量子查询算法必须对总输入进行Omega（n）查询。第二，我们表明，如果存在一个量子算法，使用k个非自适应的Oracle查询，学习一组m个布尔函数中的哪一个已经给出，存在一个非自适应的经典算法，使用O（k log m）查询来解决同样的问题。因此，在非自适应设置，量子算法可以实现最多一个非常有限的速度超过经典的查询算法。
2010-01-28 cs.CC quant-ph
New algorithms and lower bounds for monotonicity testing
我们考虑的问题，测试是否一个未知的布尔函数$f$是单调与$ε$ -远离每一个单调函数。本文的两个主要结果是一个新的下界和一个新的算法，这个问题研究得很好。下限：我们证明了一个$\tildeΩ(n^{1/5})$下界的查询复杂性的任何非自适应双边错误算法测试是否一个未知的布尔函数$f$是单调与常数远离单调。由于Fischer等人[FLN+02]，这给出了先前$Ω(\log n)$下限的指数改进。我们发现，相同的下界持有超网格域$\{1,\ldots,m\}^n$的所有$m\ge 2$的布尔值函数的单调性测试。上限：我们给出了一个$\tilde{O}(n^{5/6})\text{poly}(1/ε)$查询算法，测试是否一个未知的布尔函数$f$是单调与$ε$ -远离单调。我们的算法，这是非自适应的，使单侧错误，是一个修改版本的Chakrabarty和Seshadhri [CS 13 a]，使$\tilde{O}(n^{7/8})\text{poly}(1/ε)$查询算法。
2014-12-17 cs.CC
Consistent Query Answering for Primary Keys in Logspace
我们研究了数据库上可能违反主键码约束的一致性查询应答的复杂性。这种数据库的修复是可以通过删除最小元组集来获得的任何一致数据库。对于每个布尔查询q，CERTAINTY（q）是一个问题，它以数据库作为输入，并询问q是否在每次修复时都计算为true。在[KW 17]中，作者证明了对于每个自连接自由布尔合取查询q，问题CERATAINTY（q）要么在P中，要么是coNP-完全的，并且可以判定这两种情况中的哪一种适用。在本文中，我们锐化这一结果表明，对于每一个自连接的布尔合取查询q，问题CERATAINTY（q）是可表达的对称分层数据或coNP完全。由于对称分层数据集在L中，因此我们得到了L和coNP-完全之间的复杂性理论二分法。另一个具有实际重要性的新发现是，对于所有连接条件都表示外部到主键码的匹配的查询q，CERTAINTY（q）位于二分法的对数空间一侧，这无疑是最常见的连接条件类型。
2018-10-08 cs.CC cs.DB cs.LO
Quantum Identification of Boolean Oracles
预言机识别问题（OIP）是给定一组$M$布尔预言机的$S$，确定$S$中哪个预言机是当前的黑盒预言机。我们可以利用当前oracle的候选者被限制为$S$的信息。OIP包含几个具体的问题，如原始的Grover搜索和Bernstein-Vazirani问题。我们的兴趣是在量子查询的复杂性，我们提出了几个上限和下限。（i）OIP的查询复杂度是$O(\sqrt{N\log M \log N}\log\log M)$，对于{ \it any} $S$，使得$M = |S| > N$，这优于明显的约束$N$，如果$M < 2^{N/\log^{3}N}$。(ii)如果$|S| = N$，则对于{ \it any} $S$，它是$O(\sqrt{N})$，这包括Grover搜索的上限作为特殊情况。(iii)对于诸如随机预言机和平衡预言机的大范围预言机（$|S| = N$），查询复杂度是$Θ(\sqrt{N/K})$，其中$K$是由$S$确定的简单参数。
2004-03-07 cs.CC quant-ph
Towards Optimal Separations between Quantum and Randomized Query Complexities
查询模型提供了一个具体的设置，量子算法可证明优于随机算法。Bernstein-Vazirani、Simon、Aaronson和其他人提出了部分布尔函数的漂亮结果，这些函数可以通过量子算法计算，与它们的随机类似物相比，查询要少得多。到目前为止，量子和随机查询复杂度之间的$O(1)$与$\sqrt{N}$的分离仍然是最先进的（其中$N$是输入长度），留下了一个问题，即$O(1)$与$N^{1/2+Ω(1)}$分离是否可能？我们对这个问题的回答是肯定的。我们的分离问题是Aaronson-Ambainis $k$ -fold Forrelation问题的一个变种。我们证明了我们的变体：（1）可以通过对输入进行$2^{O(k)}$查询的量子算法来求解。(2)任何随机算法至少需要$\tildeΩ(N^{2(k-1)/(3k-1)})$查询。对于任何常数$\varepsilon>0$，这给出了部分布尔函数的量子和随机化查询复杂度之间的$O(1)$与$N^{2/3-\varepsilon}$分离。我们的证明是傅立叶分析，并使用新的界限上的傅立叶谱的经典决策树，这可能是独立的利益。展望未来，我们推测，傅立叶边界可以进一步提高在一个精确的方式，并表明，这种约束的界限意味着最佳的$O(1)$与$N^{1-\varepsilon}$分离之间的量子和随机查询复杂性的部分布尔函数。
2019-12-29 cs.CC quant-ph
A $o(d) \cdot \text{polylog}~n$ Monotonicity Tester for Boolean Functions over the Hypergrid $[n]^d$
研究了超网格$[n]^d$上布尔函数的单调性测试问题，设计了一个具有$1$单侧错误的非自适应测试器，其查询复杂度为$\tilde{O}(d^{5/6})\cdot \text{poly}(\log n,1/ε)$。在我们的工作之前，最著名的测试人员在$d$中具有线性的查询复杂度，但独立于$n$。我们对这些测试仪进行改进，只要$n = 2^{d^{o(1)}}$。为了获得我们的结果，我们使用我们所谓的增强超网格，它向超网格添加了额外的边。我们的主要技术贡献是增强超网格的马古利斯风格的等周结果，和我们的测试，像以前的测试超立方体域，在这个结构上执行定向随机游走。
2017-10-29 cs.CC cs.DM cs.DS
Nondeterministic Quantum Query and Quantum Communication Complexities
我们研究布尔函数f的非确定性量子算法。这样的算法在输入x上有正的接受概率当且仅当f（x）=1。在查询复杂性的设置中，我们证明了布尔函数的非确定性量子复杂性等于它的“非确定性多项式”次数。我们还证明了一个量子与经典的差距1与n的非确定性查询复杂性的总功能。在通信复杂性的设定下，我们证明了两方函数的非确定性量子复杂性等于通信矩阵的非确定性版本的秩的对数。这意味着如果我们不允许任何错误概率，则等式和不相交函数的量子通信复杂性为n+1。我们还展示了一个总函数，其中的非确定性量子通信复杂性是指数小于其经典的对应。
2004-01-15 cs.CC quant-ph
No Price Tags? No Problem: Query Strategies for Unpriced Information
MIT（麻省理工学院）；University of Massachusetts Amherst（马萨诸塞大学阿默斯特分校）
本文研究变量成本未知的定价查询模型，证明不确定性带来不可避免的开销，并设计出匹配下界且对任意布尔函数具有竞争力的查询策略。
2025-11-09 cs.CC cs.DS
On the Fine-Grained Query Complexity of Symmetric Functions
本文探讨了 Watrous 猜想的细粒度版本，证明了在成功概率任意接近 1/2 时，对称布尔函数的量子与随机查询复杂度存在多项式甚至二次方的等价关系，并确立了多种复杂度度量间的多项式等价性。
2023-10-22 cs.CC quant-ph
Quantum algorithms for testing Boolean functions
我们讨论了基于伯恩斯坦-瓦齐兰尼算法的量子算法，用于确定布尔函数依赖于哪些变量。有2^n个可能的n个变量的线性布尔函数;给定一个线性布尔函数，伯恩斯坦-瓦齐兰尼量子算法可以确定性地确定我们只需要一个函数查询。同样的量子算法也可以用来学习其他类型的布尔函数依赖于哪些输入变量，其成功概率取决于被测试的布尔函数的形式，但不取决于输入变量的总数。我们还概述了一个程序，以进一步扩大成功的概率，基于另一种量子算法，格罗弗搜索。
2010-06-08 cs.CC quant-ph
Separations in Query Complexity Based on Pointer Functions
在1986年，Saks和Wigderson指出，对于一个全布尔函数，确定性和零错误随机化查询复杂度之间的最大分离是由$f$在$n=2^k$位上给出的，$f$由深度为$k$的NAND门的完整二叉树定义，它实现了$R_0(f) = O(D(f)^{0.7537\ldots})$。我们证明这是假的，给出一个例子，总布尔函数$f$ $n$位的确定性查询复杂性是$Ω(n/\log(n))$，而其零错误随机查询复杂性是$\tilde O(\sqrt{n})$。我们进一步表明，量子查询复杂性相同的功能是$\tilde O(n^{1/4})$，给出了第一个例子的总功能与超二次差距之间的量子和确定性查询复杂性。我们还构造了一个总的布尔函数$g$ $n$变量，具有零错误的随机查询复杂度$Ω(n/\log(n))$和有界错误的随机查询复杂度$R(g) = \tilde O(\sqrt{n})$。这是这两个复杂性度量之间的第一个超线性分离。同一函数的量子查询复杂度是$Q_E(g) = \tilde O(\sqrt{n})$。这两个函数表明，$D(f) = O(R_1(f)^2)$和$R_0(f) = \tilde O(R(f)^2)$的关系是最佳的，直到多对数因子。这些函数的进一步变化给出了其他查询复杂性度量之间的额外分离：$Q$和$R_0$之间的立方分离，$Q_E$和$R$之间的$3/2$ -幂分离，以…
2015-10-26 cs.CC quant-ph
Testing Isomorphism of Boolean Functions over Finite Abelian Groups
针对有限阿贝尔群上布尔函数同构的容错测试问题，提出查询复杂度为poly(s,1/τ)的高效算法，并针对傅里叶稀疏情形给出改进，利用群论与傅里叶分析工具。
2025-07-10 cs.CC
Bounds for Hardness Condensation in the Query Model
Université Paris Cité, CNRS, IRIF（巴黎西岱大学、法国国家科学研究中心、IRIF）；Indian Institute of Technology Kanpur（坎普尔印度理工学院）；Microsoft Research India（微软研究院印度分部）；Indian Institute of Technology Hyderabad（海得拉巴印度理工学院）；Indian Institute of Technology Madras（马德拉斯印度理工学院）
该研究探讨了在查询模型中，是否可以将布尔函数限制到Θ(k)变量并保持复杂度为Θ(k)，并证明了决策树度量如块敏感度和证书复杂度无法无损凝结，同时给出了关于有损凝结的正结果。
2026-05-21 cs.CC
Randomized query complexity of sabotaged and composed functions
我们研究了有界错误随机查询复杂度的合成问题：对于所有的布尔函数f和g，R（f o g）= Omega（R（f）R（g））吗？我们表明，插入一个简单的布尔函数h，其查询复杂度只有Theta（log R（g）），在f和g之间允许我们证明R（f o h o g）= Omega（R（f）R（h）R（g））。我们证明了这一点，使用一个新的下界测量随机查询复杂性，我们称之为随机破坏复杂性，RS（f）。随机破坏复杂度具有几个期望的性质，例如完美合成定理，RS（f o g）>= RS（f）RS（g），以及具有随机查询复杂度的合成定理，R（f o g）= Omega（R（f）RS（g））。它也是全函数的二次紧下界，并且可以二次优于分区界，这是随机查询复杂度的最佳已知一般下界。使用这种技术，我们还表明提升定理的影响，通信复杂性。我们证明了零错误随机化协议的一般提升定理隐含了有界错误协议的一般提升定理。
2016-12-05 cs.CC quant-ph
Settling the query complexity of non-adaptive junta testing
我们证明，任何非自适应算法，测试是否一个未知的布尔函数$f: \{0, 1\}^n\to \{0, 1\}$是一个$k$ -军或$ε$ -远离每一个$k$ -军必须使$\widetildeΩ(k^{3/2} / ε)$许多查询范围广泛的参数$k$和$ε$。我们的结果显着改进了[BGSMdW 13，STW 15]中之前的下限，并且考虑到[Blais 08]中Blais的非自适应军政府测试程序（该测试程序进行了$\widetilde{O}(k^{3/2})/ε$查询），我们的结果本质上是最优的。结合[Blais 09]的自适应测试器进行$O(k\log k + k /ε)$查询，我们的结果表明，自适应性可以使junta测试的查询复杂度节省多项式。
2017-04-20 cs.CC
Quantum Algorithms for Graph Connectivity and Formula Evaluation
我们给出了一个新的上界的量子查询复杂性决定$st$ -连通性的某些类的平面图，并显示界有时指数优于以前的结果。然后，我们表明布尔公式评估减少到决定连接只是这样一类图。将$st$ -连通性算法应用于布尔公式求值问题，匹配了$N$变量上的公式求值的量子查询复杂度的$O(\sqrt{N})$界，给出了一类Promise布尔公式的经典查询复杂度的二次加速，并证明了该方法可以产生超多项式的量子/经典分离.这些结果表明，这种基于$st$连接性的方法可能是看待量子算法进行公式评估的“正确”方式。
2019-12-18 cs.CC cs.DS quant-ph
Lower Bounds for Conjunctive Query Evaluation
本教程综述了不同设置下合取查询评估的复杂性下界，利用复杂性理论新假设证明已知算法在多种情况下难以改进。
2025-06-21 cs.CC cs.DB
A Fine-Grained Dichotomy for Bounded-Variable Query Evaluation: The Calculus of Relations, a Boolean Modal Logic, and One-Variable Counting Logic
Chiba University（千叶大学）；CyberAgent, Inc.（CyberAgent公司）；National Institute of Informatics（信息学国立研究所）
本文针对稀疏结构上的有界变量布尔一阶查询，在稀疏MAX-3-SAT假设下证明了细粒度二分定理，刻画了可处理片段并归约到关系演算、新布尔模态逻辑和单变量计数逻辑。
2026-10-06 cs.CC cs.DB cs.LO
Quantum Query-Space Lower Bounds Using Branching Programs
本研究通过分析受限广义量子分支程序（GQBP），推导出ORₙ等问题的量子查询-空间下界Q²s=Ω(n²)，并给出对称布尔函数查询复杂度下界的新证法。
2024-10-05 cs.CC quant-ph
The List-Decoding Size of Fourier-Sparse Boolean Functions
定义在布尔超立方体上的函数是$k$ -傅立叶稀疏的，如果它至多具有$k$非零傅立叶系数。对于一个函数$f: \mathbb{F}_2^n \rightarrow \mathbb{R}$和参数$k$和$d$，我们证明了一个强上界的数量$k$傅立叶稀疏布尔函数，不同意$f$在最多$d$输入。我们的界意味着学习$n$变量上的$k$ -傅立叶稀疏布尔函数类所需的均匀和独立的随机样本的数量最多为$O(n \cdot k \log k)$。作为一个应用，我们证明了一个上界的查询复杂性测试布尔傅立叶稀疏函数。我们的边界是紧对数因子和二次改善的结果，由于古尔和Tamuz（芝加哥J. Theor. Comput.科学，2013年）的报告。
2015-04-07 cs.CC cs.DS
The $\mathbf{P}$-Completeness of Inverted Index Traversal: On the Complexity of Evaluating Boolean Query DAGs
Apple Inc.（苹果公司）
本文证明基于DAG的布尔查询评估问题是$\mathbf{P}$-完备的，并提出一种稀疏感知算法ComputePN，通过正负对偶表示和DAG记忆化，将评估时间严格限制在$O(|Q| \cdot |U_{\mathit{active}}|)$，避免指数爆炸和全量扫描。
2026-08-19 cs.AI cs.CC cs.CL
Forrelation: A Problem that Optimally Separates Quantum from Classical Computing
我们基本上实现了量子和经典查询复杂性之间的最大可能的分离。我们使用一个名为Forrelation的属性测试问题来做到这一点，其中需要确定一个布尔函数是否与第二个函数的傅里叶变换高度相关。这个问题可以使用1个量子查询来解决，但是我们证明了任何随机化算法都需要~sqrt（N）/log（N）个查询（改进了Aaronson的~N^{1/4}下界）。相反，我们证明了这种1对~sqrt（N）的分离是最优的：实际上，任何t-查询量子算法都可以用O（N^{1-1/2 t}）-查询随机化算法来模拟。因此，解决Buhrman等人从2002年开始的一个公开问题，不存在量子查询复杂度为常数且随机查询复杂度为线性的部分布尔函数。我们猜想，Forrelation的自然推广实现了所有t的最佳t对~N^{1-1/2 t}分离。作为奖励，我们证明了这种推广是BQP-完全的。这产生了可以说是迄今为止已知的最简单的BQP完全问题，并给出了第二种意义，其中Forrelation“捕获了量子计算的最大功率。"
2014-11-21 cs.CC quant-ph
Inapproximability of a Pair of Forms Defining a Partial Boolean Function
TU Dresden（德累斯顿工业大学）
考虑两个布尔函数$f, g \colon \{0,1\}^J \to \{0,1\}$的联合极小化形式问题，使得$f + g \leq 1$和从而分离不相交的集合$A \cup B \subseteq \{0,1\}^J$，使得$f(A) = \{1\}$和$g(B) = \{1\}$ .我们假设，这个问题是更容易解决或近似比众所周知的问题，最小化一个布尔函数$h: \{0,1\}^J \to \{0,1\}$的形式，使$h(A) = \{1\}$和$h(B) = \{0\}$。对于一个大类的形式，包括二叉决策树和有序二叉决策图，我们反驳了这一假设。对于析取范式，我们证明了这个问题至少和MIN-SET-COVER一样难。对于所有这些形式，我们建立没有$o(\ln (|A| + |B| -1))$ -近似算法存在，除非P $=$ NP。
2022-09-08 cs.CC cs.DM cs.LG
Boolean function monotonicity testing requires (almost) $n^{1/2}$ queries
Columbia University（哥伦比亚大学）
本文证明布尔函数单调性测试的自适应算法查询复杂度下界为 $Ω(n^{1/2-c})$，改进了此前 $\tildeΩ(n^{1/3})$ 的结果，几乎达到已知上界。
2025-11-07 cs.CC cs.DM cs.DS
Isoperimetric Inequalities for Real-Valued Functions with Applications to Monotonicity Testing
我们将Khot，Minzer和Safra~（SICOMP 2018）关于布尔函数的著名等周不等式推广到实值函数$f \colon \{0,1\}^d\to\mathbb{R}$的情况。我们在证明广义不等式的主要工具是一个新的布尔分解，表示每个实值函数$f$在一个任意的偏序域作为一个集合的布尔函数在同一个域，大致捕获的距离$f$单调性和结构的违反$f$单调性。我们应用我们的广义等周不等式，以改善算法的单调性测试和近似的距离单调的实值函数。我们的单调性测试器具有查询复杂度$\widetilde{O}(\min(r \sqrt{d},d))$，其中$r$是输入函数图像的大小。(The Chakrabarty和Seshadhri（STOC 2013）之前最著名的测试人员进行了$O(d)$查询。）我们的测试是非适应性的，有单侧误差。我们显示了一个匹配的下界为非自适应，单侧误差测试单调性。我们还表明，距离单调的实值函数，$α$ -远离单调可以近似非自适应的$O(\sqrt{d\log d})$的一个因素内的查询复杂性多项式在$1/α$和尺寸$d$。这种查询的复杂性是已知的非自适应算法，即使是布尔函数的特殊情况下，几乎是最佳的。(The Fattal和Ron（TALG 2010）的一个已知的最佳实值函数距离近似算法实现了$O(d\log r)$ -近似。
2020-11-18 cs.CC cs.DM
Polynomials, Quantum Query Complexity, and Grothendieck's Inequality
我们证明了1-查询量子算法和2次多项式表示之间的等价性。也就是说，部分布尔函数$f$可由具有由$ε<1/2$限定的误差的1-查询量子算法计算当且仅当$f$可由具有由$ε'<1/2$限定的误差的2次多项式近似。这个结果适用于多项式近似的两个不同概念：Nisan和Szegedy的标准定义以及Aaronson和Ambainis最近引入的块多线性多项式近似（STOC'2015，arxiv：1411.5729）。我们还显示了两个结果多项式的更高的次数。首先，存在需要$\tildeΩ(n)$量子查询但可以由次数为$\tilde{O}(\sqrt{n})$的块多线性多项式表示的全布尔函数。因此，在一般情况下（对于任意数量的查询），块多线性多项式不等同于量子算法。其次，对于任何常次数$k$，多项式近似的两个概念（标准和块多线性）是等价的。因此，我们解决了一个公开的问题Aaronson和Ambainis，表明可以估计值的任何有界度$k$多项式$p:\{0, 1\}^n \rightarrow [-1, 1]$与$O(n^{1-\frac{1}{2k}})$查询。
2016-06-30 cs.CC quant-ph
Average-Case Quantum Query Complexity
我们比较了经典和量子查询复杂性的总布尔函数。众所周知，对于最坏情况的复杂性，量子和经典之间的差距最多可以是多项式。我们表明，对于均匀分布下的平均情况下的复杂性，量子算法可以比经典算法快指数。在非均匀分布下，间隙甚至可以是超指数的。我们还证明了平均情况下的复杂性的一些一般界限，并表明，平均情况下的量子复杂性的均匀分布下的MAJORITY是近二次方优于经典的复杂性。
2001-07-02 cs.CC quant-ph
Strong Selective and List-Decoding Direct Product Theorems for Quantum Query Complexity
University of Washington（华盛顿大学）；Sandia National Laboratories（桑迪亚国家实验室）
本文为量子查询复杂度证明了所有函数的强选择性直接积定理，并推广了列表解码直接积定理至部分布尔函数，通过新的乘法对手表述统一了相关结果。
2026-10-01 cs.CC quant-ph
A Polynomial Time Bounded-error Quantum Algorithm for Boolean Satisfiability
本文的目的是回答一个长期存在的开放问题NP和BQP之间的关系。本文通过对MAX-E3-SAT问题这一基本NP难问题的BQP量子算法的提出，证明了BQP包含NP。给定一个E3-CNF布尔公式，MAX-E3-SAT问题的目标是找到最大化满足子句数量的变量分配。对于带有$m$子句的E3-CNF布尔公式，该算法在$O(m^2)$中运行，而对于带有$n$输入的E3-CNF布尔公式，在最坏情况下，该算法在$O(n^6)$中运行。该算法使用一种新的迭代部分否定和部分测量技术最大化满足条款的集合。该算法实现了任意高概率的成功$1-ε$小$ε>0$使用多项式资源。该算法除了求解MAX-E3-SAT问题外，还可以根据满足子句的最大数目来判定E3-CNF布尔公式是否可满足，这是一个NP完全问题。
2015-07-27 cs.CC cs.DS
On query complexity measures and their relations for symmetric functions
本文探讨了对称函数类中量子查询复杂性下界与其他基于决策树的复杂性度量之间的关系，为正对手方法等给出了显式构造，并刻画了Gap Majority的量子查询复杂性及紧分离。
2024-02-19 cs.CC quant-ph
Improved Algorithm for Tolerant Junta Testing
本文研究布尔函数的容差测试问题。与Blais等人先前的工作相比，我们在参数间隙和查询复杂度方面提供了改进的结果。与De等人的先前工作相比，我们的工作没有缩小参数差距，但是我们删除了查询复杂度的$2^k$项。
2021-06-29 cs.CC cs.DS
Quantum and Classical Communication Complexity of Permutation-Invariant Functions
本文刻画了置换不变布尔函数的量子通信复杂度，证明其量子与随机化通信复杂度二次等价，并将该对称性结论推广至通信复杂度，验证了相关秩猜想。
2025-10-13 cs.CC quant-ph
Randomized query complexity can beat certificate complexity
University of Waterloo（滑铁卢大学）；Google Quantum AI（谷歌量子人工智能）
本文构造了一个全布尔函数，证明其随机化查询复杂度可远低于证书复杂度，达到平方根级别的最优，同时量子查询复杂度也接近最优。
2026-09-15 cs.CC quant-ph
