发表机构
Chiba University; CyberAgent, Inc.; National Institute of Informatics（千叶大学; CyberAgent公司; 信息学国立研究所）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文针对稀疏结构上的有界变量布尔一阶查询，在稀疏MAX-3-SAT假设下证明了细粒度二分定理，刻画了可处理片段并归约到关系演算、新布尔模态逻辑和单变量计数逻辑。
AI 中文摘要
我们研究了在稀疏关系结构上评估布尔有界变量一阶查询的细粒度复杂性。对于每个固定的 $k \ge 2$、每个关系签名以及介于 $k$ 变量原始正逻辑（$\mathrm{PP}^{k}$）和一阶逻辑（$\mathrm{FO}^{k}$）之间的每个片段，我们假设稀疏 MAX-$3$-SAT 假设成立，证明了在 $O(m^{k-\varepsilon})$ 时间内评估的二分定理，其中 $m$ 是输入结构中元组的数量。唯一可处理的情况分为三个族：（1）三变量片段，（2）二变量片段，以及（3）一元签名上的片段。在困难方面，对于每个固定的 $k \ge 4$ 和每个 $\varepsilon > 0$，存在一个固定的句子 $\varphi_\varepsilon$，属于 $\mathrm{PP}^{k}$，基于单个二元关系符号，依赖于 $\varepsilon$ 但不依赖于输入结构，其评估不能在 $O(m^{k-\varepsilon})$ 时间内完成。对于可处理的情况，我们证明了评估问题可以在 $2^{O(|\varphi|)} \cdot m^{k-\varepsilon}$ 时间内解决，其中 $\varepsilon > 0$。此外，每个可处理片段在 DAG 表示下公式大小增加 $2^{O(|\varphi|)}$ 的代价下，可归约到以下查询语言之一：（1）Tarski 的关系演算，（2）一种用于稀疏模型检查的新布尔模态逻辑，以及（3）单变量计数逻辑。
英文摘要
We study the fine-grained complexity of evaluating Boolean bounded-variable first-order queries over sparse relational structures. For every fixed $k \ge 2$, every relational signature, and every fragment between $k$-variable primitive positive ($\mathrm{PP}^{k}$) and first-order ($\mathrm{FO}^{k}$) logic, we prove, assuming the Sparse MAX-$3$-SAT hypothesis, a dichotomy theorem for evaluation in $O(m^{k-\varepsilon})$ time, where $m$ is the number of tuples in the input structure. The only tractable cases fall into three families: (1) three-variable fragments, (2) two-variable fragments, and (3) fragments over unary signatures. On the hard side, for every fixed $k \ge 4$ and every $\varepsilon > 0$, there is a fixed sentence $φ_\varepsilon$ in $\mathrm{PP}^{k}$ over a single binary relation symbol, depending on $\varepsilon$ but not on the input structure, whose evaluation cannot be performed in $O(m^{k-\varepsilon})$ time. For the tractable cases, we show that the evaluation problem can be solved in $2^{O(|φ|)} \cdot m^{k-\varepsilon}$ time for some $\varepsilon > 0$. Moreover, every tractable fragment reduces, with a $2^{O(|φ|)}$ blowup in formula size under DAG representations, to one of the following query languages: (1) Tarski's calculus of relations, (2) a new Boolean modal logic for sparse model checking, and (3) one-variable counting logic.
CommentsLong version of PODS'27 paper
DOI：10.1145/3850130
