Exponential Separation of Quantum and Classical One-Way Communication Complexity for a Boolean Function
我们给出了一个布尔函数的单向量子和经典通信复杂度之间的指数分离。在此之前，这种分离只为一种关系所知。一个非常相似的结果是由Kereneirs和Raz [KR 06]独立获得的。我们的结果给出了密码学的有界存储模型中的一个例子，其中如果对手具有一定量的经典存储，则密钥是安全的，但如果他具有类似量的量子存储，则密钥是完全不安全的。
2006-07-25 cs.CC quant-ph
Towards Better Separation between Deterministic and Randomized Query Complexity
我们发现，存在一个布尔函数$F$观察以下分离之间的确定性查询复杂度$(D(F))$，随机零错误查询复杂度$(R_0(F))$和随机单侧错误查询复杂度$(R_1(F))$：$R_1(F) = \widetilde{O}(\sqrt{D(F)})$和$R_0(F)=\widetilde{O}(D(F))^{3/4}$。这反驳了Saks和Wigderson提出的猜想，即对于任何布尔函数$f$，$R_0(f)=Ω({D(f)})^{0.753..}$。这也显示了任何布尔函数的$R_1(f)$和$D(f)$之间的最宽间隔。函数$F$是由G {<$}{<$} s，Pitassi和Watson定义的，他们研究它以显示确定性决策树复杂性和明确的非确定性决策树复杂性之间的分离。独立于我们，Ambainis等人证明了函数$F$的不同变体证明了$D(f)$和$R_0(f)$之间的最优（二次）分离，以及$R_0(f)$和$R_1(f)$之间的多项式分离。被视为分离的结果，我们的结果是由那些Ambainis等人。然而，虽然在Ambainis等人的工作中的函数是不同的变体$F$，我们的工作与原来的功能$F$本身。
2015-06-24 cs.CC
Classical-Quantum Separations in Certain Classes of Boolean Functions-- Analysis using the Parity Decision Trees
本文利用奇偶决策树方法研究了几种布尔函数类的确定性（经典）查询复杂度（$D$）和精确量子查询复杂度（$Q_E$）之间的分离问题。我们首先定义$n$变量的查询友好（QF）函数作为具有最小确定性查询复杂性的函数$(D(f))$。我们观察到，对于每个$n$，存在一个不可分离的QF函数类，使得$D(f)=Q_E(f)$。进一步证明了对于某些$n$值，所有的QF函数都是不可分的.然后，我们提出了QF函数的某些其他值的$n$分离可以证明，特别是，$Q_E(f)=D(f)-1$。在相关的工作中，我们还研究了Maiorana McFarland（M-M）型Bent函数。我们证明了对于任意的M-M Bent函数$f$，$n$变量$D(f) = n$，分离可以实现为$\frac{n}{2} \leq Q_E(f) \leq \lceil \frac{3n}{4} \rceil$。我们的研究结果突出了如何不同类别的布尔函数可以分析利用奇偶决策树方法的经典量子分离。
2020-09-04 cs.CC quant-ph
New separation between $s(f)$ and $bs(f)$
本文给出布尔函数的灵敏度与块灵敏度的一种新的分离：$bs(f)=(2/3)s(f)^2-(1/3)s(f)$。
2011-08-17 cs.CC
Weak Bases of Boolean Co-Clones
泛代数和克隆理论已被证明是一个有用的工具，在约束满足问题的研究，因为复杂性，对数空间减少，是由约束语言的多态性的集合。对于原始正定义不适合的分类，例如保持大小的约简，可能需要较弱的闭包操作。在这篇文章中，我们考虑强部分克隆，它可以被看作是一个比Post格更细粒度的框架，其中每个克隆分裂成一个强部分克隆的区间。我们调查这些区间，并给出简单的关系描述，弱基，最大的元素。弱基具有高度规则的形式，并且在许多情况下容易与区间中的最小成员相关，这表明强部分克隆的晶格比部分克隆的全晶格简单得多。
2013-10-14 cs.CC
Separations between Combinatorial Measures for Transitive Functions
本文针对传递布尔函数，研究多对组合复杂性测度的最大分离，并通过改造非传递的指针函数与备忘单函数，构造出可展示类似分离的传递函数。
2025-07-18 cs.CC
A Super-Grover Separation Between Randomized and Quantum Query Complexities
我们构造了一个满足$R(f)=\tildeΩ(Q(f)^{5/2})$的全布尔函数$f$，反驳了长期以来关于$R(f)=O(Q(f)^2)$对所有全布尔函数的猜想.假设Aaronson和Ambainis关于部分函数的最佳量子加速比的猜想，我们将其改进为$R(f)=\tildeΩ(Q(f)^3)$。我们的构造是基于Göös-Pitassi-Watson函数，但没有使用它。
2015-06-26 cs.CC quant-ph
Characterizations of symmetrically partial Boolean functions with exact quantum query complexity
我们给出并证明了一个计算Promise问题的最优精确量子查询算法，其复杂度为$k+1$，对称和部分布尔函数）$DJ_n^k$定义为：$DJ_n^k(x)=1$用于$|x|=n/2$，$DJ_n^k(x)=0$用于集合$\{0, 1,\ldots, k, n-k, n-k+1,\ldots,n\}$中的$|x|$，并且对于其余情况是未定义的，其中$n$是偶数，$|x|$是$x$的汉明权重。$k=0$的情况是著名的Deutsch-Jozsa问题。我们概述了所有的对称（和部分）布尔函数度1和2，并证明了他们的确切的量子查询复杂性。然后，我们证明了任何对称（和部分）布尔函数$f$具有确切的量子1-查询复杂度当且仅当$f$可以计算的Deutsch-Jozsa算法。我们还发现了最佳的精确量子2-查询复杂度区分输入的汉明重量$\{ \lfloor n/2\rfloor, \lceil n/2\rceil \}$和汉明重量的集合$\{ 0, n\}$的所有奇数$n$。此外，还提供了一种确定任何对称（和部分）布尔函数的次数的方法。
2017-06-05 cs.CC cs.DS quant-ph
Towards Optimal Separations between Quantum and Randomized Query Complexities
查询模型提供了一个具体的设置，量子算法可证明优于随机算法。Bernstein-Vazirani、Simon、Aaronson和其他人提出了部分布尔函数的漂亮结果，这些函数可以通过量子算法计算，与它们的随机类似物相比，查询要少得多。到目前为止，量子和随机查询复杂度之间的$O(1)$与$\sqrt{N}$的分离仍然是最先进的（其中$N$是输入长度），留下了一个问题，即$O(1)$与$N^{1/2+Ω(1)}$分离是否可能？我们对这个问题的回答是肯定的。我们的分离问题是Aaronson-Ambainis $k$ -fold Forrelation问题的一个变种。我们证明了我们的变体：（1）可以通过对输入进行$2^{O(k)}$查询的量子算法来求解。(2)任何随机算法至少需要$\tildeΩ(N^{2(k-1)/(3k-1)})$查询。对于任何常数$\varepsilon>0$，这给出了部分布尔函数的量子和随机化查询复杂度之间的$O(1)$与$N^{2/3-\varepsilon}$分离。我们的证明是傅立叶分析，并使用新的界限上的傅立叶谱的经典决策树，这可能是独立的利益。展望未来，我们推测，傅立叶边界可以进一步提高在一个精确的方式，并表明，这种约束的界限意味着最佳的$O(1)$与$N^{1-\varepsilon}$分离之间的量子和随机查询复杂性的部分布尔函数。
2019-12-29 cs.CC quant-ph
Quantum algorithms for highly non-linear Boolean functions
分离经典计算模型和量子计算模型的尝试有着悠久的历史。最终目标是找到计算问题的指数分离。然而，这种分离并不是一毛钱一打：虽然在阿贝尔群的隐子群问题的形式上有一些早期的成功--这可能最忠实地推广了肖尔的因子分解算法--但只有少数非阿贝尔群的有效量子算法被发现。最近，寻求识别除群之外的其它组合和代数对象的隐藏子结构的问题已经得到越来越多的关注。在本文中，我们提供了新的例子，指数分离考虑隐藏的移位问题，定义为几类高度非线性布尔函数。这些所谓的弯曲函数出现在密码学中，它们在布尔超立方体上具有完全平坦的傅立叶谱的特性使它们能够抵御某些类型的攻击。我们提出了新的量子算法，解决了隐藏的移位问题的几个著名的类的弯曲功能在多项式时间内，并具有恒定数量的查询，而经典的查询复杂性被证明是指数。我们的方法使用的技术，利用弯曲函数和它们的傅立叶变换之间的对偶性。
2009-11-24 cs.CC quant-ph
The one-way communication complexity of the Boolean Hidden Matching Problem
我们给出了布尔隐匹配问题[BJK 04]的随机单向通信复杂性的Ω（\sqrt{n}）的一个紧下界。由于该问题存在O（\log n）量子比特的量子单向通信复杂度协议，我们得到了部分函数的量子和经典单向通信复杂度的指数分离. Gavinsky，Kempe，de Wolf [GKdW06]独立获得了类似的结果。我们的下界是通过傅立叶分析，使用Kahn Kalai和Linial [KKL 88]的傅立叶系数不等式得到的。
2006-07-25 cs.CC quant-ph
The Complexity of Holant Problems over Boolean Domain with Non-negative Weights
Holant问题是研究计数问题计算复杂性的一般框架。证明了布尔域上具有非负权的Holant问题的复杂性二分法。它是第一个完整的Holant二分法，其中约束函数不一定是对称的。Holant问题实际上是读取两次的$\#$ CSP。直观地说，当限制为读取两次实例时，某些$\#$ CSP（$\#$ P-hard）变得易于处理。为了捕获它们，我们引入块秩一条件。事实证明，这种情况导致了明显的分离。如果函数集$\mathcal{F}$满足该条件，则$\mathcal{F}$是仿射型或乘积型。否则（a）$\mathrm{Holant}(\mathcal{F})$是$\#$ P-hard的;或者（b）$\mathcal{F}$中的每个函数都是元数至多为2的函数的张量积;或者（c）$\mathcal{F}$可通过某个实正交矩阵变换为乘积类型。全息变换在硬度证明和易加工性表征中起着重要的作用。
2017-02-18 cs.CC
Query-to-Communication Lifting for BPP
对于任何$n$位布尔函数$f$，我们表明，随机通信复杂性的组成功能$f\circ g^n$，其中$g$是一个索引小工具，其特征在于随机决策树复杂性的$f$。特别地，这意味着许多涉及随机化模型的查询复杂度分离（例如，经典与量子）自动地暗示了通信复杂性的类似分离。
2017-03-22 cs.CC
A composition theorem for randomized query complexity via max conflict complexity
令$R_ε(\cdot)$代表具有错误$ε> 0$的有界错误随机化查询复杂度。对任意关系$f \subseteq \{0,1\}^n \times S$和偏布尔函数$g \subseteq \{0,1\}^m \times \{0,1\}$，证明了$R_{1/3}(f \circ g^n) \in Ω(R_{4/9}(f) \cdot \sqrt{R_{1/3}(g)})$，其中$f \circ g^n \subseteq (\{0,1\}^m)^n \times S$是$f$和$g$的合成.我们给出了一个例子的关系$f$和部分布尔函数$g$，这个下界是紧的。我们证明了我们的复合定理，通过引入一个新的复杂性措施，最大冲突复杂性$\bar χ(g)$的部分布尔函数$g$。我们显示$\bar χ(g) \in Ω(\sqrt{R_{1/3}(g)})$的任何（部分）功能$g$和$R_{1/3}(f \circ g^n) \in Ω(R_{4/9}(f) \cdot \bar χ(g))$，这两个界限意味着我们的组合结果。我们进一步表明，$\bar χ(g)$总是至少一样大的$g$，本大卫和Kothari介绍的破坏复杂性。
2018-11-27 cs.CC
Inapproximability of a Pair of Forms Defining a Partial Boolean Function
TU Dresden（德累斯顿工业大学）
考虑两个布尔函数$f, g \colon \{0,1\}^J \to \{0,1\}$的联合极小化形式问题，使得$f + g \leq 1$和从而分离不相交的集合$A \cup B \subseteq \{0,1\}^J$，使得$f(A) = \{1\}$和$g(B) = \{1\}$ .我们假设，这个问题是更容易解决或近似比众所周知的问题，最小化一个布尔函数$h: \{0,1\}^J \to \{0,1\}$的形式，使$h(A) = \{1\}$和$h(B) = \{0\}$。对于一个大类的形式，包括二叉决策树和有序二叉决策图，我们反驳了这一假设。对于析取范式，我们证明了这个问题至少和MIN-SET-COVER一样难。对于所有这些形式，我们建立没有$o(\ln (|A| + |B| -1))$ -近似算法存在，除非P $=$ NP。
2022-09-08 cs.CC cs.DM cs.LG
Composition limits and separating examples for some Boolean function complexity measures
区块敏感度（$bs(f)$）、证书复杂度（$C(f)$）和分数证书复杂度（$C^*(f)$）是布尔函数$f$复杂度的三个基本组合度量。人们早就知道$bs(f) \leq C^{\ast}(f) \leq C(f) =O(bs(f)^2)$。我们提供了一个无限家庭的例子，$C(f)$增长二次$C^{\ast}(f)$（也$bs(f)$），这些措施之间的最佳分离。以前已知的最大分离是$C(f)=C^{\ast}(f)^{\log_{4.5}5}$。我们还给出了一个家庭的例子，其中$C^{\ast}(f)=Ω(bs(f)^{3/2})$。这些例子是通过以各种方式组合布尔函数获得的。这里，$f$与$g$的组合$f \circ g$是通过在不相交的变量集合上用$g$的拷贝替换$f$的每个变量来获得的。为了构建和分析这些例子，我们系统地研究了这些措施的功能组合下的行为，也是灵敏度测量$s(f)$。测度$s(f)$、$C(f)$和$C^{\ast}(f)$在复合下表现良好：它们是次乘法的（其中测度$m$是次乘法的，如果$m(f \circ g) \leq m(f)m(g)$），在一些相当一般的条件下等式成立。度量$bs(f)$在性质上是不同的：它不是次乘法的。这种质的差异是没有注意到在以前的文献中，我们纠正了一些错误，出现在以前的文件。我们定义一个测度$m$在函数$f$，$m^{\lim}(f)…
2013-06-04 cs.CC
Quantum algorithm for the Boolean hidden shift problem
隐移问题是寻找经典计算模型和量子计算模型之间新的分离的一个自然的地方。这个问题的一个优点是它的灵活性，因为它可以为整个范围的函数和整个范围的底层组定义。在某种程度上，这将其与隐藏子群问题区分开来，在隐藏子群问题中，必须对周期子群的存在提出更严格的要求。然而，隐藏的移位问题被证明是足够丰富的，可以捕捉到代数、几何和组合问题的有趣特征。我们提出了一个量子算法来识别任何布尔函数的隐藏移位。使用傅立叶分析的布尔函数，我们涉及的时间和查询算法的复杂性的函数的内在属性，即其最小的影响。我们表明，随机选择的功能的时间复杂性的算法是多项式。在此基础上，我们展示了经典和量子时间复杂度之间的平均情况指数分离。这项工作的一个可能有趣的方面是，虽然在所谓的弯曲函数的布尔隐移位问题的极端情况下，可以减少到一个隐藏的子群问题的阿贝尔群，更一般的情况下，这里研究似乎不允许这样的减少。
2011-03-15 cs.CC quant-ph
Low-Sensitivity Functions from Unambiguous Certificates
我们提供了新的查询复杂性分离对总布尔函数的敏感性：确定性（甚至随机或量子）查询复杂性和敏感性之间的功率$3$分离，和证书复杂性和敏感性之间的功率$2.22$分离。我们得到这些分离，通过使用一个新的连接之间的敏感性和一个看似无关的措施称为单侧明确的证书复杂性（$UC_{min}$）。我们还表明，$UC_{min}$是下界的分数块敏感性，这意味着我们不能使用这些技术得到一个超二次分离之间的$bs(f)$和$s(f)$。我们还提供了布尔函数的树敏感性和决策树复杂性之间的二次分离，反驳了Gopalan，Servedio，Tal和Wigderson的猜想（CCC 2016）。在此过程中，我们给出了证书复杂性和单侧明确证书复杂性之间的功率$1.22$分离，改进了Göös（FOCS 2015）导致的功率$1.128$分离。因此，我们得到了一个改进的$Ω(\log^{1.22} n)$下限的共非确定性通信复杂性的集团与独立集的问题。
2017-11-15 cs.CC quant-ph
Public projects, Boolean functions and the borders of Border's theorem
边界定理给出了贝叶斯单物品环境下可行的中间分配规则的直观线性特征，并且在经济和算法机制设计中有几个应用。所有已知的边界定理的推广要么限制注意相对简单的设置，或诉诸近似。本文确定了一个复杂性理论的障碍，表明，假设标准的复杂性类分离，边界定理不能扩展显着超出国家的最先进的。我们还确定了一个令人惊讶的紧密联系之间的迈尔森的最优拍卖理论，当应用于公共项目设置，和一些基本的布尔函数的分析结果。
2015-04-29 cs.CC cs.GT
Separations in Query Complexity Based on Pointer Functions
在1986年，Saks和Wigderson指出，对于一个全布尔函数，确定性和零错误随机化查询复杂度之间的最大分离是由$f$在$n=2^k$位上给出的，$f$由深度为$k$的NAND门的完整二叉树定义，它实现了$R_0(f) = O(D(f)^{0.7537\ldots})$。我们证明这是假的，给出一个例子，总布尔函数$f$ $n$位的确定性查询复杂性是$Ω(n/\log(n))$，而其零错误随机查询复杂性是$\tilde O(\sqrt{n})$。我们进一步表明，量子查询复杂性相同的功能是$\tilde O(n^{1/4})$，给出了第一个例子的总功能与超二次差距之间的量子和确定性查询复杂性。我们还构造了一个总的布尔函数$g$ $n$变量，具有零错误的随机查询复杂度$Ω(n/\log(n))$和有界错误的随机查询复杂度$R(g) = \tilde O(\sqrt{n})$。这是这两个复杂性度量之间的第一个超线性分离。同一函数的量子查询复杂度是$Q_E(g) = \tilde O(\sqrt{n})$。这两个函数表明，$D(f) = O(R_1(f)^2)$和$R_0(f) = \tilde O(R(f)^2)$的关系是最佳的，直到多对数因子。这些函数的进一步变化给出了其他查询复杂性度量之间的额外分离：$Q$和$R_0$之间的立方分离，$Q_E$和$R$之间的$3/2$ -幂分离，以…
2015-10-26 cs.CC quant-ph
Exponential quantum communication reductions from generalizations of the Boolean Hidden Matching problem
在这项工作中，我们重新审视布尔隐藏匹配通信问题，这是单向模型中的第一个通信问题，以证明指数经典量子通信分离。在这个问题中，爱丽丝的比特根据鲍勃持有的分区配对。这些对使用奇偶校验函数进行压缩，并且保证最终的位串等于Bob持有的另一个位串或其补码。问题是决定哪种情况是正确的。在这里，我们推广的布尔隐藏匹配问题，取代奇偶校验功能与任意布尔函数$f$。根据$f$的符号度，给出了有效的通信协议。如果它的符号度小于或等于1，我们证明了一个有效的经典协议。如果它的符号度小于或等于$2$，我们证明了一个有效的量子协议。然后，我们完全表征的经典硬度的所有对称函数$f$的符号度大于或等于$2$，除了一个家庭的特定情况下。我们还证明了，通过傅立叶分析，一个经典的下界为任何功能$f$，其纯高的程度是大于或等于$2$。同样，我们证明，也通过傅立叶分析，量子下界的任何功能$f$，其纯高的程度是大于或等于$3$。这些结果给出了一个新的指数经典量子通信分离的大家庭。
2021-08-17 cs.CC quant-ph
Pseudodeterminism and MA != NP^BPP in Communication Complexity
Department of Computer Science, University of Memphis（孟菲斯大学计算机科学系）
该研究在通信复杂度中证明部分布尔函数的零误差随机与双边误差伪确定性通信复杂度存在指数级分离，并将该技术推广以分离MA与NP^BPP的通信复杂度类似物。
2026-08-28 cs.CC
Functional lower bounds for arithmetic circuits and connections to boolean circuit complexity
如果对于每个$x \in \{0,1\}^n$，我们都有那个$C(x) = P(x)$，我们说域$F$上的电路$C$在函数上计算$n$变量多项式$P$。这与当$C \equiv P$作为形式多项式时按语法计算$P$相反。本文研究了齐次深度$3$和深度$4$算术电路的函数计算下界的证明问题。我们证明了以下结果：1. $VNP$中多项式的指数下界齐次深度$3$算术电路。2.对于$VNP$中多项式具有有界个别次数的齐次深度$4$算术电路的指数下界。我们的主要动机，这条线的研究来自于我们的观察，足够强大的功能下限，甚至非常特殊的深度- $4$算术电路的永久意味着分离之间的${\#}P$和$ACC$。因此，改进第二个结果以摆脱有界个体度条件可以导致布尔电路复杂性的实质性进步。此外，从Kumar和Saptharishi [KS 15]最近的一个结果可知，在常数大小的有限域上，齐次深度- $4$回路的足够强的平均情况泛函下界意味着齐次深度- $5$回路的超多项式下界.我们的证明是基于一个家庭的新的复杂性措施，称为转移评估维度，可能是独立的利益。
2016-05-13 cs.CC
A Composition Theorem via Conflict Complexity
让$\R(\cdot)$代表有界错误随机化查询复杂度。我们证明了对于任何关系$f \subseteq \{0,1\}^n \times \mathcal{S}$和偏布尔函数$g \subseteq \{0,1\}^n \times \{0,1\}$，$\R_{1/3}(f \circ g^n) = Ω(\R_{4/9}(f) \cdot \sqrt{\R_{1/3}(g)})$ .独立于我们，Gavinsky、Lee和Santha \cite{newcomp}证明了这个结果。通过一个例子证明了这个界是最优的。我们证明了我们的结果，通过引入一种新的复杂性措施称为\emph{conflict complexity}的部分布尔函数$g$，表示为$χ(g)$，这可能是独立的利益。我们证明了$χ(g) = Ω(\sqrt{\R(g)})$和$\R(f \circ g^n) = Ω(\R(f) \cdot χ(g))$ .
2018-01-10 cs.CC
Separation Results for Constant-Depth and Multilinear Ideal Proof Systems
University of Copenhagen（哥本哈根大学）；IT University of Copenhagen（哥本哈根信息技术大学）
本文通过功能性方法和倍数方法，证明了常深IPS和多线性IPS的分离定理，展示了不可满足实例的反驳复杂性。
2026-01-09 cs.CC
A study of distributional complexity measures for Boolean functions
本文研究了布尔函数在独立输入下的分布复杂性度量，探讨了各度量在期望意义下的“渐近分离”与“多项式相关”性，并引入了局部见证复杂性与涉及部分信息的新版算法复杂性，还通过渗流例子建立了与理论计算机科学的联系。
2024-08-23 cs.CC math.PR
On the Rational Degree of Boolean Functions and Applications
研究布尔函数的有理度（$\textrm{rdeg}(f)$），证明对称、单值函数及一次读公式等的有理度下界，构造部分函数展示有理度与近似度的双向无界分离，还得出量子资源不可比较等结论，并证明复合引理及新的多项式分离。
2025-04-14 cs.CC quant-ph
New Separations Results for External Information
我们得到了布尔函数两方外部信息复杂性的新的分离结果。函数$f(x,y)$的外部信息复杂度是两方协议计算$f$必须向外部观察者揭示的关于输入的最小信息量。我们得到以下结果：1.我们证明了外部和内部信息复杂性之间的指数分离，这是最好的可能，以前没有分离是已知的。2.我们证明了一个近二次分离摊销零错误通信复杂性和外部信息复杂性的总功能，反驳了\cite{Bravermansurvey}的猜想。3.我们证明了一个匹配的上限表明我们的分离结果是紧的。
2021-03-06 cs.CC cs.IT math.IT
A new exponential separation between quantum and classical one-way communication complexity
我们提出了一个新的例子，部分布尔函数的单向量子通信的复杂性是指数低于其单向经典通信的复杂性。这个问题是以前研究过的子群成员问题的自然推广：Alice收到一个比特串x，Bob收到一个置换矩阵M，他们的任务是确定Mx=x还是Mx远离x。证明使用傅立叶分析和Kahn，Kalai和Linial不等式。
2011-04-26 cs.CC quant-ph
On the Sensitivity Conjecture for Disjunctive Normal Forms
Nisan和Szegedy [CC '94]的灵敏度猜想询问对于任何布尔函数$f$，最大灵敏度$s(f)$是否与其块灵敏度$bs(f)$多项式相关，从而与其他主要复杂性度量相关。尽管在过去的十年中，布尔函数的分析取得了重大进展，但这个问题仍然是广泛开放的。在本文中，我们考虑通过计算模型（DNF）对布尔函数类的限制，并将遵守此限制的函数称为允许归一化块属性。我们证明，对于任何函数$f$承认规范化块属性，$bs(f) \leq 4s(f)^2$。我们注意到，文献中提到的（几乎）所有实现灵敏度和块灵敏度之间的二次分离的函数都承认归一化块属性。最近，Gopalan等。[ITCS '16]表明，每个布尔函数$f$是唯一指定的，其值的汉明球的半径最多$2s(f)$。我们扩展了这一结果，并构造了布尔函数的例子，提供了匹配的下界。
2016-12-07 cs.CC cs.DM
Block Sensitivity and Certificate Complexity of Rotation Symmetric Boolean Functions
Winston–Salem State University（温斯顿-塞勒姆州立大学）；Governors State University（州长州立大学）
该研究分析旋转对称布尔函数的块灵敏度与证书复杂度，明确奇次、二次单项式旋转对称布尔函数的相关测度关系，还确定连续四次族Rₙ的测度，得到灵敏度小于块灵敏度且二者与证书复杂度相等的无穷多类函数。
2026-11-10 cs.CC cs.DM math.CO
Forrelation: A Problem that Optimally Separates Quantum from Classical Computing
我们基本上实现了量子和经典查询复杂性之间的最大可能的分离。我们使用一个名为Forrelation的属性测试问题来做到这一点，其中需要确定一个布尔函数是否与第二个函数的傅里叶变换高度相关。这个问题可以使用1个量子查询来解决，但是我们证明了任何随机化算法都需要~sqrt（N）/log（N）个查询（改进了Aaronson的~N^{1/4}下界）。相反，我们证明了这种1对~sqrt（N）的分离是最优的：实际上，任何t-查询量子算法都可以用O（N^{1-1/2 t}）-查询随机化算法来模拟。因此，解决Buhrman等人从2002年开始的一个公开问题，不存在量子查询复杂度为常数且随机查询复杂度为线性的部分布尔函数。我们猜想，Forrelation的自然推广实现了所有t的最佳t对~N^{1-1/2 t}分离。作为奖励，我们证明了这种推广是BQP-完全的。这产生了可以说是迄今为止已知的最简单的BQP完全问题，并给出了第二种意义，其中Forrelation“捕获了量子计算的最大功率。"
2014-11-21 cs.CC quant-ph
A special role of Boolean quadratic polytopes among other combinatorial polytopes
我们考虑几个家庭的组合多面体与以下NP-完全问题：最大割，布尔二次规划，二次线性序，二次分配，集划分，集包装，稳定集，3-分配。为了比较两族多面体，我们使用以下方法。我们说族$P$是仿射约化为族$Q$，如果对于每个多面体$p\in P$，存在$q\in Q$使得$p$仿射等价于$q$或$q$的一个面，其中$\dim q = O((\dim p)^k)$对于某个常数$k$。在这种比较下，上述家族被分裂成两个等价类。我们还表明，这两个类是简单的（在上述意义上）比家庭的poytopes以下问题：集覆盖，旅行商，0-1背包问题，3-可满足性，立方子图，偏序。特别是，布尔二次多面体出现在每一个提到的家庭多面体的面。
2015-03-05 cs.CC math.CO
Exponential Separation between Quantum Communication and Logarithm of Approximate Rank
Chattopadhyay，Mande和Sherif（ECCC 2018）最近展示了一个全布尔函数，即sink函数，它具有多项式近似秩和多项式随机通信复杂度。这给出了随机通信复杂度和近似秩的对数之间的指数分离，反驳了对数近似秩猜想。我们证明了即使是量子通信复杂度的汇函数是多项式，从而也反驳了量子对数近似秩猜想。我们的下界是基于Rao和Sinha（ECCC 2015）为经典情况引入的愚弄分布方法，以及Anshu，Touchette，Yao和Yu（STOC 2017）为量子情况扩展的方法。利用愚弄分布方法给出了经典下界的一个新的证明。
2018-11-25 cs.CC quant-ph
Separations in query complexity using cheat sheets
我们展示了一个总布尔函数的有界错误随机化和量子查询复杂性之间的幂2.5分离，驳斥了人们普遍认为的最佳分离只能是二次的猜想（来自Grover算法）。我们还提出了一个总功能的量子查询复杂性和近似多项式的程度之间的权力4分离，显示严重的限制的权力的多项式方法。最后，我们展示了量子查询复杂性和证书复杂性之间的二次差距的总函数，这是最佳的（最多对数因子）。这些分离是使用一种新的，通用的技术，我们称之为备忘单技术。该技术是基于一个通用的转换，将任何（可能部分）功能转换成一个新的总功能与所需的属性，显示分离。该框架还允许许多已知的分离，包括Ambainis等人最近的一些突破性结果，以统一的方式展示。
2019-07-09 cs.CC quant-ph
Separations in query complexity for total search problems
本文研究总搜索问题的查询复杂度，通过总搜索问题与部分函数的相互转换，在量子查询复杂度、近似度、正量子对手、锥 junta 度及通信复杂度等多个测度之间建立了新的指数级分离，并重新证明了部分函数的相关分离结果。
2024-10-21 cs.CC quant-ph
Easy and hard functions for the Boolean hidden shift problem
University of Waterloo（滑铁卢大学）；IBM TJ Watson Research Center（IBM TJ沃森研究中心）；NEC Laboratories America（NEC美国实验室）
研究了布尔隐移位问题的量子查询复杂度。给定一个已知的布尔函数f的oracle访问f（x+s），任务是确定n位字符串s。这个问题的量子查询复杂度强烈依赖于f。我们证明了这个问题的最简单的实例对应于弯曲的功能，在这个意义上说，一个确切的一个查询算法存在，当且仅当函数弯曲。我们部分描述了最难的实例，其中包括delta函数。此外，我们表明，这个问题是很容易的随机函数，因为两个查询就足够了。我们的随机函数算法是基于对某个状态的几个副本进行相当好的测量;它的分析依赖于傅里叶变换。我们还使用这种方法来改进量子拒绝采样方法的布尔隐藏移位问题。
2013-04-16 cs.CC cs.LG quant-ph
Size and Depth Separation in Approximating Benign Functions with Neural Networks
Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）；Worcester Polytechnic Institute（伍斯特理工学院）；University of Toronto（多伦多大学）；IAS（高等研究院）
When studying the expressive power of neural networks , a main challenge is to understand how the size and depth of the network affect its ability to approximate real functions. However, not all functions are interesting from a practical viewpoint: functions of interest usually have a polynomially-bounded Lipschitz constant, and can be computed efficiently. We call functions that satisfy these conditions "benign", and explore the benefits of size and depth for approximation of benign functions with ReLU networks. As we show, this problem is more challenging than the corresponding problem for n…
2021-06-28 cs.CC cs.LG stat.ML
Quantum Algorithms for Graph Connectivity and Formula Evaluation
我们给出了一个新的上界的量子查询复杂性决定$st$ -连通性的某些类的平面图，并显示界有时指数优于以前的结果。然后，我们表明布尔公式评估减少到决定连接只是这样一类图。将$st$ -连通性算法应用于布尔公式求值问题，匹配了$N$变量上的公式求值的量子查询复杂度的$O(\sqrt{N})$界，给出了一类Promise布尔公式的经典查询复杂度的二次加速，并证明了该方法可以产生超多项式的量子/经典分离.这些结果表明，这种基于$st$连接性的方法可能是看待量子算法进行公式评估的“正确”方式。
2019-12-18 cs.CC cs.DS quant-ph
