New partition function recurrences
Robson da Silva, Pedro Diniz Sakai
本文给出了某些分拆函数的欧拉型递推关系。我们的一些结果提供了新的递归的$n$，表示为$p(n)$的无限制分区的数量。其他人建立递归的分拆函数尚未考虑。
We present Euler-type recurrence relations for some partition functions. Some of our results provide new recurrences for the number of unrestricted partitions of $n$, denote by $p(n)$. Others establish recurrences for partition functions not yet considered.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Partition Recurrences
给出了分拆函数$p(n)$的一些欧拉型递推式。
PED and POD partitions: combinatorial proofs of recurrence relations
本文用组合方法重新证明了PED与POD分拆的多项递推关系、五边形数定理及Beck型恒等式，弥补了此前仅依赖解析证明的不足。
The Raney Numbers and $(s,s+1)$-Core Partitions
Raney数$R_{p,r}(k)$是Catalan数的两参数推广。本文得到了Raney数的一个递推关系，它是Catalan数的递推关系的推广。使用这种递归关系，我们证实了一个猜想Amdeberhan提出的关于枚举的$(s,s+1)$核心分区$λ$的部分是倍数的$p$。然后，我们给出了一个新的组合解释的Raney数$R_{p+1,r+1}(k)$与$0\leq r<p$的$(kp+r,kp+r+1)$核心分区$λ$的部分是$p$的倍数。
The Fractal and The Recurrence Equations Concerning The Integer Partitions
本文提出利用分形方法解决整数划分计数问题，并借此推导出包括五边形数定理在内的相关递推方程。
Sets of nice recurrence are partition regular
该研究证明良回归集具有分划正则性，即其任意有限着色均包含单色良回归集，解决了Bergelson的长期问题。
Generating functions for vector partition functions and a basic recurrence relation
本文定义了一种广义向量分拆函数，并导出了一个恒等式，用于生成与组合分析的基本递推关系的解相关联的一类广义向量配分函数。由此得到了广义格路数的生成函数和向量分拆函数的Chaundy-Bullard恒等式.
Euler-type recurrences for $t$-color and $t$-regular partition functions
本文受普通分拆函数近期研究启发，利用$q$-级数恒等式，为$t=2,3$的$t$-色分拆函数及所有$t$-正则分拆函数给出了类Euler递推公式，并导出了$3$-色分拆函数的“三角数”递推族。
M-partitions: Optimal partitions of weight for one scale pan
正整数m的M-划分是具有尽可能少的部分的划分，使得任何小于m的正整数具有由从m的该划分中取得的部分组成的划分。这相当于分割重量m，以便能够用尽可能少的重量和仅一个秤盘来称量任何整数重量l < m。我们证明了M-划分的部分数是m的对数线性函数，并且m的M-划分对应于多面体中的格点.我们展示了一个递归关系，用于计算m的M-划分的数量，并且对于正整数的“一半”，这个递归关系将具有生成函数。在某种意义上，生成函数将与用于计算给定整数的不同二进制分区的数量的生成函数相同。
The octahedron recurrence and RSK-correspondence
我们从一个“代数”RSK-对应由于Noumi和山田。给定一个矩阵$X$，我们考虑$X$的立体子式的金字塔阵列。事实证明，这个数组满足八面体递归的代数变体。主要的观察是，这个数组也可以在一些方形“遗传”数组的帮助下构建。接下来，我们热带化这个代数结构，并考虑$T$ -{ \em极化}金字塔阵列（即满足八面体关系的阵列）。作为结果，我们得到几个双射，即：a）非负阵列和super模函数之间的线性双射; b）super模函数和所谓的infra-模函数之间的分段线性双射; c）infra-模函数和平面划分之间的线性双射。这些双射的组合产生一个双射之间的非负阵列和平面分区符合修改后的RSK对应。
Recurrence Relations for Wronskian Hermite Polynomials
我们认为多项式被定义为某些厄米多项式集的朗斯基。我们的主要结果是这些多项式的一个递归关系的条款的一个或两个程度小，推广了著名的三项递归关系的埃尔米特多项式。使用自然数的划分来定义多项式，并且递归关系中的系数可以根据这些划分的标准Young tableaux的数量来表示。利用递归关系，我们提供了另一个递归关系，并表明所考虑的多项式的平均值关于Plancherel措施是非常简单的。此外，我们表明，文献中的一些现有的结果是容易的递推关系的推论。
qFunctions -- A Mathematica package for $q$-series and partition theory applications
我们描述了用于$q$ -系列和分区理论应用的qFunctions Mathematica软件包。该软件包包括实验性和象征性工具。实验组的元素包括猜测$q$ -移位方程和递归给定的$q$ -系列和拟合/发现显式表达式的多项式序列。该软件包可以象征性地处理对$q$ -微分、$q$ -移位方程和递归的形式化操作，例如在这些形式之间切换、寻找递归的最大公约数和形式化替换。在这里，我们还扩展了经典的加权词的方法。此外，qFunctions实现了自动创建加权词方法的递归系统以及圆柱形分区的方案。
A recurrence formula for Jack connection coefficients
本文研究了与Jack对称函数理论密切相关的对称群的群代数的经典交换子代数的联系系数--Jack联系系数.首先由Goulden和Jackson（1996）引入的这些数由给定整数$n$和Jack参数$α$的三个分区索引，定义为Jack对称函数的柯西和的幂和展开中的系数。虽然我们对它们知之甚少，但$n$的小值计算的例子表明，特殊情况$α=1$（类代数的连接系数）和$α= 2$（双陪集代数的连接系数）的良好性质扩展到一般的$α$。Goulden和Jackson证明了Jack连接系数是$β= α-1$中的多项式，其非负整数系数由一组$2n$元素上的匹配的统计量给出，即所谓的Matchings-Jack猜想.在本文中，我们研究了两个整数分割等于单个部分$(n)$的情况，并使用Lasalle（2008）的Jack对称函数框架来证明系数满足一个简单的递归公式，这使得它们的计算非常有效，并允许更好地理解它们的性质。特别是，我们证明了匹配杰克猜想在这种情况下。此外，我们提供了一个双射证明的递归公式$α\in \{1,2\}$使用组合解释的系数，这些特定值的杰克参数。最后，我们展示了多项式性质的更一般的系数，其中两个单一的部分分区被替换为任意数量的整数分区等于$(n)$或$[1^{n-2}2]$。
Recurrence sequences connected with the $m$--ary partition function and their divisibility properties
本文引入了一类与$m$ -元分拆函数有关的序列，并研究了它们的同余性质。特别是，我们获得了有关$m$ -ary分区$(b_{m}(n))_{m\in\mathbb{N}}$和$m$ -ary分区（没有间隙）$(c_{m}(n))_{m\in\mathbb{N}}$的序列的事实。我们证明，例如，对于任何自然数$2<h\leq m+1$在这两个序列$(b_{m}(n))_{m\in\mathbb{N}}$和$(c_{m}(n))_{m\in\mathbb{N}}$任何剩余类模$h$出现无限多次。此外，我们给出了序列$(b_{m}(n))_{m\in\mathbb{N}}$和序列$(c_{m}(n))_{m\in\mathbb{N}}$的模$m$的基- $m$表示的特征的新证明。我们还提出了一个通用的方法，找到这样的特征模的任何权力的$m$。使用我们的方法，我们得到的描述$(b_{m}(n)\mod{μ_{2}})_{n\in\mathbb{N}}$，其中$μ_{2}=m^{2}$，如果$m$是奇数和$μ_{2}=m^{2}/2$，如果$m$是偶数。
Reciprocals of Partition Polynomials
本文通过引入子求和多项式并研究其倒数之和，证明了Ballantine-Beck-Feigon-Maurischat提出的前两类共六个猜想，并利用AxiomProver自动生成了Lean/mathlib形式化证明。
On recent Partition function of Kaur and Rana
本文研究了Kaur和Rana近期引入的分拆函数$ρ(n)$，为其变体建立了新的生成函数，并推导出相应的线性递推关系。
Euler-type Recurrence Relation for Arbitrary Arithmetical Function
本研究借助Lambert级数与欧拉分拆定理，推导出任意算术函数的欧拉型递推关系，并进一步得到若干知名算术函数、特定分拆函数及除数和函数的对应递推关系。
Bijections between t-Core Partitions and t-Tuples
本文介绍了一些与核划分和整数元组有关的双射。我们应用这些双射来计算核的数量与各种类型的限制，包括固定数量的部分，有限大小的部分，部分整除的一些整数，和不同的部分。例如，我们证明了分成$l$偶数部分的$2t$ -核心分区的数目等于分成$l$部分的$t$ -核心分区的数目.我们还推广了Baek，Nam和Yu最近给出的同时核的一个表达式。随后，我们使用该表达式来获得$s\geq1$的$(s,s+1,\cdots,s+r)-$核心分区数所满足的递归。
Generalized Ordered Set Partitions
在本文中，我们考虑有序集划分的大小施加条件的列表，并使第一个$r$元素是在不同的块，分别获得。我们引入了Lah数的一个推广。对于这一新的组合序列，我们得到了它的指数母函数，一些递推关系和组合恒等式。我们证明和目前的结果，使用组合参数，生成函数，符号方法和Riordan阵列。在某些特殊情况下，我们利用两类偏序集给出了广义Lah数的逆矩阵的组合解释。
Combinatorics of the double-dimer model
证明了平面二部图的三部双二聚体构型的分拆函数满足与线性代数的Desnanot-雅可比恒等式有关的递推关系。二聚体分拆函数的一个类似的恒等式是郭在近20年前建立的，并应用于随机镶嵌理论和簇代数理论。这项工作的部分动机是在这些领域的应用潜力。此外，我们还讨论了唐纳森-托马斯和Pandharipande-托马斯理论的应用，这将是即将发表的论文的主题。我们的递归性的证明需要推广Kenyon和Wilson的工作;特别是，解除他们的假设，即图的节点是黑色和奇数或白色和偶数。
Combinatorial Telescoping for an Identity of Andrews on Parity in Partitions
在Chen，Hou和Mu给出的交错和的组合伸缩方法的基础上，我们给出了正项和上分拆恒等式的组合伸缩方法.通过对正项之和所对应的组合对象进行分类，建立了导致伸缩关系的双射。我们说明了这个想法，给出一个组合伸缩关系的经典身份的麦克马洪。最近，Andrews提出了一个问题，即在q-小雅可比多项式上寻找一个恒等式的组合证明，这个恒等式是基于一个递推关系导出的.我们发现一个组合分类的某些三元组的分区和一个序列的双射。通过消去的方法，我们看到存在一个包含Andrews恒等式的递归关系的对合。
Linked partition ideals, directed graphs and $q$-multi-summations
在大多数情况下，寻找一个Andrews-Gordon型生成函数恒等式是困难的。在本文中，我们将在图论的背景下处理这个问题。利用顶点为“空”的有向图的生成函数，我们将注意力转向一个$q$ -差分系统.这个$q$ -差分系统最终产生一个特殊类型的列函数向量的因子分解问题，涉及$q$ -多求和。最后，利用某些$q$ -多重和满足的递推关系，我们能够提供某些Andrews-Gordon型生成函数恒等式的非计算机辅助证明.这些证明与二叉树也有一个有趣的联系。
Graphical Compositions 1: Basic Enumeration
图复合推广了整数复合和有限集的划分。本文给出了几类图的合成计数函数的公式、生成函数和递推关系。
Five Guidelines for Partition Analysis with Applications to Lecture Hall-type Theorems
提出了计算线性不等式组非负整数解的母函数的五个简单准则。与其他方法相比，重点是推导递归。我们展示了如何战略性地使用这些准则来解决划分和组合理论中的一些非平凡的计数问题。这包括一个显着不同的方法来演讲厅型定理，新的$q$系列身份的过程中产生的。为了完整性，我们证明了该准则足以找到任何系统的齐次线性不等式与整数系数的生成函数。这些准则可以被看作是对MacMahon的划分分析的简化，其中包含了矩阵技术、Elliott约简和“添加切片”的思想。
Even-Odd partition identities of Göllnitz-Gordon type
本文建立了Göllnitz–Gordon恒等式的新伴随恒等式，通过递推公式系统、生成级数结合Göllnitz–Gordon恒等式解析形式两种方法完成证明。
An integration of Euler's pentagonal partition
给出了一个递归公式，用于将正整数的组成作为多组正整数的和来计数，它与基于五边形数的欧拉递归公式非常相似，但是其中的系数是由欧拉系数的离散积分得到的.一个双射证明和一个基于生成函数的证明都表明了主题递归的等价性。
The pod function and its connection with other partition functions
本文研究奇数部分互异、偶数部分任意的分拆函数 $pod(n)$，给出其线性递推关系，并揭示它与其他分拆函数的联系。
On the partition of R^n by hyperplanes
在离散分类问题的背景下，空间的分区超平面被认为是。得到了关于分划数的一些关系式，并建立了关于R^n被m个超平面分划的最大分划数的一个递推关系。我们重新推导出一个明确的公式的组件的数量的空间可以划分成m个超平面。
Double-dimers, the Ising model and the hexahedron recurrence
定义并研究了${\mathbb Z}^3$中的一种递推关系，称之为六面体递推关系，它类似于八面体递推关系（Hirota双线性差分方程）和立方递推关系（Miwa方程）.像这些例子一样，六面体递归的解是特定图上边配置的划分和，并且在簇代数方面具有自然的解释。我们给出了一个明确的对应关系，在罗朗展开中所产生的递归与某些双二聚体配置的图的单项式。我们计算相应的双二聚体配置的极限形状。伊辛模型星三角关系中的Kashaev差分方程是六面体递推的一个特例。特别是，这揭示了集群的性质基础上的伊辛模型。上述关系使我们能够证明Kashaev差分方程的Laurent现象。
Recurrence and congruences for the smallest parts function
本文基于Hecke迹研究最小部分函数的递归公式，并推导出同余表达式，同时证明了该函数的非同余性质。
On the Recurrence Formula for Fixed Points of the Josephus Function
本文解决了归约常数为3时约瑟夫函数不动点递推公式是否存在的开放问题，证明将该公式融入递归算法可显著提升大规模输入下约瑟夫问题的求解效率。
Generating Functions, Weighted and Non-Weighted Sums for Powers of Second-Order Recurrence Sequences
在本文中，我们发现封闭形式的任何非退化的二阶递归序列的权力的生成函数，完成了研究开始由Carlitz和Riordan在1962年。此外，我们推广了Horadam关于涉及这类序列的部分和的一个定理。此外，我们发现封闭形式的加权（由二项式系数）的权力的任何非退化的二阶递归序列的部分和。作为推论，我们给出了一些已知的和似乎未知的身份，并得出一些非常有趣的同余关系涉及斐波那契和卢卡斯序列。
Uniformity of multiplicative functions and partition regularity of some quadratic equations
自Schur和van der Waerden定理以来，人们对线性方程证明了大量的剖分正则性结果，但对非线性方程的剖分正则性研究进展甚微，最困难的情况是三元方程。我们证明分区正则性的某些方程涉及形式在三个变量，例如，显示的方程$16x^2+9y^2=n^2$和$x^2+y^2-xy=n^2$是分区规则，其中$n$允许自由变化的$\mathbb{N}$。对于每一个这样的问题，我们建立一个密度模拟，可以制定在遍历条款作为一个递归属性的行动由膨胀的概率空间。我们的关键工具，建立这样的递归性质是一个分解结果的乘性函数，这是独立的利益。粗略地说，它指出模为1的任意乘性函数可以分解为两项，一项是近似周期性的，另一项具有三次的小Gowers一致性范数。
Squaring the terms of an $\ell^{th}$ order linear recurrence
我们找到了一个显式公式的生成函数的平方项的$\ell^{th}$阶线性递归。
Counting the parts divisible by k in all the partitions of n whose parts have multiplicity less than k
本文将 Andrews 和 Merca 关于分拆中偶数部分数的研究推广至部分重数严格小于 k 时可被 k 整除的部分数，利用 Glaisher 双射扩展给出组合证明，并提供生成函数验证多种幂递推关系。
A survey on recurrence relations for the independence polynomial of hypergraphs
超图的独立多项式是其独立（顶点）集关于其基数的生成函数。本文旨在讨论独立多项式的几种递推关系，并利用顶点和边的一些运算。进一步证明了单图的递归关系到超图的一个推广，并讨论了其它新的递归关系。
Recurrence relations in counting the pattern 13-2 in flattened permutations
利用递归关系和核方法，证明了模式13-2的出现次数为给定次数的平坦排列数的母函数是有理数.
Enumeration of Restricted Words and Linear Recurrence Equations
在以前的论文中，对于算术函数$f_0$，我们定义了函数$f_m$和$c_m$，并指定了由这些函数计数的有限字母表上的限制词的数目。在本文中，我们研究了五种特定类型的限制词的反向问题。也就是说，我们找到初始函数$f_0$，使得$f_m$和$c_m$枚举这些单词。在每种情况下，我们推导出明确的公式为$f_m$和$c_m$。Fibonacci、Merssen、Pell、Jacosthal、Tribonacci和Padovan数都以$f_m$的值出现，因此我们得到了这些数的新公式。此外，我们还组合地导出了五类齐次线性递归方程解的显式公式。
Recurrence Relations for Some Integer Sequences Related to Ward Numbers
本文研究了与Ward数相关的整数序列，给出了Ward-Lah数、变型Ward数和二项式Ward数等多种序列的三角递推关系、水平递推关系、生成函数及高阶递推关系。
Newton's Method as a Formal Recurrence
迭代牛顿法象征性地为一般的二次产生一个有理函数，其分子和分母是多项式与高度复合系数。
The Planar Modular Partition Monoid
本论文的主要贡献是介绍和研究参数$m, k \in \mathbb{Z}_{>0}$的平面模划分么半群，这同时和独立产生的兴趣，从其他研究人员概述内。我们对相关幺半群的集体理解，特别是琼斯幺半群、布劳尔幺半群和划分幺半群，以及它们所产生的代数，极大地影响了大量数学家和物理学家的研究方向。例子包括Schur-Weyl型对偶在表示论随着波茨，冰型和安德鲁-巴克斯特-福雷斯特模型从统计力学，给予强有力的动机，平面模分割幺半群进行审查。本论文所包含的关于平面模划分么半群的原始结果是：生成元的建立;么半群的基数的递归关系; Green的$\mathcal{R}$，$\mathcal{L}$和$\mathcal{D}$关系的基数的递归关系;以及关于当$m=2$时出现平面模划分么半群的关系的猜想。对于在垂直反射下闭的图半群，格林关系的$\mathcal{R}$，$\mathcal{L}$和$\mathcal{H}$的特征已经用二分划的上下模式建立起来.我们给出了格林$\mathcal{D}$关系的一个特征，对于在垂直反射下闭的图半群具有类似的味道。$<paragraph\ missing\ due\ to\ arXiv\ character\ limit\ on\ abstracts\ -\ see\ thesis\ file>$这篇论文的进一步贡献是一个合理的全面阐述的基本原理图半群，这在传统…
Explorations in the theory of partition zeta functions
我们介绍和调查结果的两个家庭的zeta函数连接到乘法和加法理论的整数分区。在乘法理论的情况下，我们提供专业化的公式和结果的解析延拓这些“分区zeta函数”，找到不寻常的公式的黎曼ζ函数，证明身份的多个zeta值，并看到一些公式允许$p$进插值。我们研究的第二个家庭是预期的Manin和利用模形式，功能是密切相关的整数分区的普遍多项式递归关系。我们综述了最近的工作，这些zeta多项式，包括他们的黎曼假设的证明。
Log-Coulomb gases in the projective line of a $p$-field
本文推广了最近关于$p$场$K$中对数库仑气体的结果（即，一个非阿基米德局部域）到它的投影线$\mathbb{P}^1(K)$上的那些域，其中后者被赋予$PGL_2$ -不变的Borel概率测度和球面度量.我们的第一个主要结果是一个明确的组合公式的正则配分函数的对数库仑气体在$\mathbb{P}^1(K)$与任意的电荷值。我们的第二个主要结果被称为“$(q+1)$ th幂定律”，它以一种简单的方式将$\mathbb{P}^1(K)$（其中所有粒子的电荷为1）中单组分气体的巨正则配分函数与$K$的开放和封闭单位球中的配分函数联系起来。最后的结果是在$K$和$\mathbb{P}^1(K)$两个单位球的单组分气体的正则配分函数的二次递归。除了正则配分函数的有效计算之外，递归还提供了它们的“$q\to 1$“极限和“$q\mapsto q^{-1}$“函数方程。
Partially Ordinal Sums and $P$-partitions
给出了偏序集$P$的$P$ -划分的生成函数$f_P(\x)$的一种计算方法。其思想是在偏序集上引入两种变换，并通过递归地应用这些变换来计算$f_P(\x)$。作为应用，我们考虑了偏序集的$n$拷贝的部分序和$P_n$，它推广了直和序数和.我们证明了序列$\{f_{P_n}(\x)\}_{n\ge 1}$满足关于$n$的递归关系的有限系统。我们通过几个例子来说明这个方法，包括一类三棱偏序集和多立方偏序集。
On the partition of numbers into parts of a given type and number
Enestrom指数中的E394。翻译自拉丁原文，“De partitione numerorum in partes tam numero quam specie datas”（1768年）。欧拉发现了很多关于从1到6（骰子两侧的数字）的集合中将$N$划分为$n$部分的次数的递归公式。他在论文的开头谈到了通过掷$n$骰子可以形成一个数字$N$的多种方式。这里似乎没有任何新的结果或想法，没有在“Observationes analyticae variae de combinationibus”，E158和“De partitione numerorum”，E191。在本文中，欧拉只是做了许多特殊情况。我的印象是，欧拉正试图使他的理论分区更接近。而且，也许为了他自己的利益，他想用不同的话再说一遍，把它说清楚。
A MacMahon Analysis View of Cylindric Partitions
本文利用MacMahon分区分析研究双元素轮廓柱分区，求得其生成函数显式公式，推广了相关恒等式，并猜想Andrews-Gordon与Bressoud恒等式的新多项式加细，同时利用Bailey引理变体给出新的多项式恒等式无限层级。
The two-sided peak polynomial
通过富化P-划分，推导排列及其逆的峰数联合分布的生成函数恒等式，给出峰多项式的递推关系，并证明两统计量渐近独立。
Rook decomposition of the Partition function
本文利用 Ferrers 棋盘的最大车数与 Durfee 三角形的联系，提出分拆函数的新车分解，并给出相关生成函数、模周期性、奇偶性及增长渐近结果。
The free-fermionic $C^{(1)}_2$ loop model, double dimers and Kashaev's recurrence
我们研究了一种称为$C^{(1)}_2$循环模型的双色循环模型。我们为这个模型定义了一个自由的费米子制度，并表明在这个假设下，它可以转化为一个双二聚体模型。然后我们计算它在周期可平面图上的自由能。我们还研究了该模型的星三角关系或杨-巴克斯特方程，并表明，经过适当的参数化，它们可以归结为一个单一的关系称为Kashaev的关系。这足以将Kashaev关系的解识别为具有某些边界条件的$C^{(1)}_2$回路模型的分拆函数，从而解决了Kenyon和Pemantle关于Kashaev关系的组合学的公开问题。
Relation between powers of factors and recurrence function characterizing Sturmian words
本文利用无限非周期词的下标与其递归函数的关系给出了Sturmian词的另一个刻划。作为一个副产品，我们给出了一个新的证明定理描述的指数的Sturmian字的连分数扩展其斜率。这个定理是由Carpi和de Luca以及Damanik和Lenz独立证明的。
Pentagonal number recurrence relations for $p(n)$
本文证明欧拉划分函数递推是 $\nu=0$ 的特例，并给出无限族五边形数递推，其中 $\nu=6$ 情形联系 Ramanujan tau 函数。
Definability of Combinatorial Functions and Their Linear Recurrence Relations
我们考虑自然数的功能，允许组合解释为密度函数（速度）的类关系结构，如斐波那契数，贝尔数，加泰罗尼亚数等。这些函数中的许多函数满足$\mathbb Z$或${\mathbb Z}_m$上的线性递归关系，并且允许解释为对满足一元二阶逻辑（MSOL）中可表达的性质的关系的数量进行计数。C. Blatter和E. Specker（1981）表明，如果这样一个函数$f$计算满足MSOL中可表达的性质的二元关系的数量，则$f$对每个$m \in \mathbb{N}$都满足$\mathbb{Z}_m$上的线性递归关系。本文给出了满足$\mathbb{Z}$上线性递归关系的组合函数在MSOL中可定义性的一个完整刻画，并讨论了Specker-Blatter定理的各种推广和局限性.
Block-Separated Overpartitions: Fibonacci Structure and Euler Factorization
本文研究了块分离的超划分，揭示其与斐波那契数列的关联，并通过生成函数和转移矩阵方法推导了相关递推关系和渐进行为。
Nested Catalan tables and a recurrence relation in noncommutative quantum field theory
动态四次矩阵模型中的关联函数由两点函数通过递推关系得到。本文通过将递归映射到一个以Catalan数计数的二重嵌套组合结构上，给出了该递归的显式解。这些"嵌套加泰罗尼亚表"有一个描述，作为非交叉弦和线程的图表。
Tau functions, infinite Grassmannians and lattice recurrences
KP $τ$ -函数的加法公式，当在无穷维Sato-Segal-Wilson Grassmannian中KP流群轨道的格点上求值时，给出KP族离散化的无穷参数解族. CKP层次可以类似地被视为关于适当定义的辛形式的最大各向同性子空间的拉格朗日子格拉斯曼上的交换流。评估的$τ$ -功能在KP轨道内的点的子格，由此产生的离散化给出解决方案的hyperdeterminantal关系（或Kashaev复发）和六面体（或Kenyon-Pemantle）复发。
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