Lifted Codes and Lattices from Codes Over Finite Chain Rings
Reguia Lamia Bouzara, Kenza Guenda, Edgar Martínez-Moro
本文给出了有限链环上提升码的推广。这已经通过使用从$p$ -进域的有限链环的构造来完成。此外，我们提出了一个格结构的线性码在有限链环使用提升码。
In this paper we give the generalization of lifted codes over any finite chain ring. This has been done by using the construction of finite chain rings from $p$-adic fields. Further we propose a lattice construction from linear codes over finite chain rings using lifted codes.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Fastest Mixing Reversible Markov Chain: Clique Lifted Graphs and Subgraphs
本文研究最快混合可逆马尔可夫链问题，证明团提升图上的问题可约化为基图问题且最优混合时间相同，并进一步解决独立拓扑与子图上的一般形式问题。
Distributed Averaging via Lifted Markov Chains
受分布式线性估计、分布式控制和分布式优化等应用的启发，我们考虑设计线性迭代算法来计算网络中的平均数。具体来说，我们的兴趣是在设计这样一个算法的收敛速度最快的网络的拓扑约束。作为本文的主要结果，我们设计了一个算法，在给定的网络图上使用不可逆马尔可夫链的最快可能的收敛速度。我们构造这样一个马尔可夫链通过转换的标准马尔可夫链，这是使用Metropolis-Hastings方法得到的。我们称这种新颖的变换为伪提升。我们应用我们的方法与几何图形，或图形的双重维度。具体来说，我们的算法的收敛时间（相当于我们的马尔可夫链的混合时间）与网络图的直径成正比，因此是最优的。作为一个副产品，我们的结果提供了最快的混合马尔可夫链给定的网络拓扑约束，自然应该找到他们的应用程序中的分布式优化，估计和控制。
Lifted-Product QLDPC Codes in the Polynomial Domain
本文提出多项式域有限长度提升积QLDPC码的结构化构造方案，基于商环构建，经实例验证可通过基准解码器在去极化信道实现良好性能。
Quantum Codes from Linear Codes over Finite Chain Rings
本文给出了由有限链环上的线性码构造量子码的两种方法。第一个是来自Calderbank-Shor-Steane（CSS）的建设适用于自对偶码在有限链环。第二种构造是由有限链环$\mathbb{F}_{p^{2m}}+u\mathbb{F}_{p^{2m}}$上线性码的Gray象的CSS构造导出的。利用有限链环上的循环码得到了量子码的良参数。
Some Constacyclic Codes over Finite Chain Rings
对于有限链环中单位元的$λ$的$n$次幂，证明了某些有限链环上的$λ$ -常循环重根码与循环码等价.这使我们能够简化一些constacyclic码的结构。我们还研究了Galois环$GR(p^e,r)$上长度为$p^s$的$α+p β$ -常循环码.
Structure and Rank of Cyclic codes over a class of non-chain rings
根据环$ν^{2} \in Z_{4}+νZ_{4}.$的值，将环$Z_{4}+νZ_{4}$分为链环和非链环。本文建立了环$Z_{4}+νZ_{4}$上任意长度循环码的结构，对于环$ν^{2}$的值，它们是非链环。还获得了这些码的生成器的独特形式。此外，这些代码的秩和基数已被建立通过找到这些代码的最小生成集。
Double Constacyclic Codes over Two Finite Commutative Chain Rings
在两个特殊的有限交换链环上具有两个循环结构的码，如${\Bbb Z}_2{\Bbb Z}_4$ -可加循环码和分数阶准循环码等，被证明是渐近好的。在本文中，我们将研究扩展到两个方向：我们考虑任何两个有限交换链环满同态从一个到另一个，并考虑双常循环结构。构造了两个有限交换链环上的一类推广的双重常循环码。并给出了域上拟循环码的概率方法，证明了两个有限交换链环上的双重常循环码是渐近好码。
Convolutional codes over finite chain rings, MDP codes and their characterization
在本文中，我们发展了有限交换链环上的卷积码理论。特别是，我们专注于最大距离轮廓（MDP）卷积码，我们提供了这些代码的表征，概括了一个已知的领域。此外，我们涉及（反向）MDP卷积码在有限链环（反向）MDP卷积码在其剩余字段。最后，我们提供了一个建设（反向）MDP卷积码在有限链环推广的概念（反向）超正则矩阵。
MacWilliams duality for rank metric codes over finite chain rings
本文将Ravagnani的MacWilliams对偶理论推广到有限链环上的秩度量码，建立了码与其对偶码的$q$-二项式矩序列之间的对偶关系。
On Isodual Cyclic Codes over Finite Fields and Finite Chain Rings: Monomial Equivalence
本文给出了有限域和有限链环上循环等对偶码的构造方法。这些代码是单等价于他们的对偶。给出了循环等对偶码存在的条件。此外，有限域上的duadic码的概念被推广到有限链环。给出了等对偶循环码和自对偶码的几种构造方法。
On the Density of Codes over Finite Chain Rings
我们确定了具有良好距离性质的有限链环上自由模的渐近比例，并分别处理了码长n和剩余域大小q的渐近性。然后，我们专门研究并应用我们的技术来对度量码进行排名和汉明度量码。
Codes over Affine Algebras with a Finite Commutative Chain coefficient Ring
我们考虑定义在仿射代数$\mathcal A=R[X_1,\dots,X_r]/\left\langle t_1(X_1),\dots,t_r(X_r)\right\rangle$上的码，其中$t_i(X_i)$是有限交换链环$R$上的一元多项式。即研究$\mathcal A^l$（$l\in \mathbb{N}$）的$\mathcal A-$子模块。这些码推广了多项式环上的有限阶元码和有限链环上的多元码。{Some Frobenius局部环上的非链环的码也是这种类型}。借助规范生成系统，给出了这类码的规范生成矩阵。也考虑了码的对偶性。
Reversible cyclic codes over finite chain rings
该研究推导了有限交换链环上任意长度循环码可逆的充要条件，刻画了特定MDS可逆循环码，证明可逆循环码的挠码可逆但逆命题不成立，还确定了循环码的基数与汉明距离。
Hermitian LCD $2$-Quasi Abelian Codes over Finite Chain Rings
本文研究有限域与有限链环上的埃尔米特LCD 2-拟阿贝尔码，完成低相对最小重量码的计数，证明两类环上均存在渐近优的对应码类。
MDS and MHDR cyclic codes over finite chain rings
本文建立了有限链环上循环码的唯一生成元集。确定了码的最小生成集和秩。此外，已经获得了循环码是MDS码和循环码是MHDR码的充分必要条件。最佳循环码的一些例子也被提出。
Additive cyclic codes over finite commutative chain rings
Galois环上的加性循环码在以前的工作中进行了研究。在本文中，我们研究同样的问题，但在一个更一般的环族，有限交换链环。当我们关注非伽罗瓦有限交换链环时，我们观察到两种不同的可加性。其中一个是对以往研究的自然推广，而另一个具有一些特殊的性质，特别是在构造对偶码时。我们解释了这些性质的原因，并给出具体的例子说明我们的结果。
Reversible and Reversible Complement Cyclic codes over a class of non-chain rings
本文研究了一类非链环上任意长度的循环码，建立了其成为可逆循环码与可逆补循环码的充分必要条件，并给出了相关示例。
Self-dual cyclic codes over finite chain rings
设$R$是具有唯一极大理想$\langle γ\rangle$的有限交换链环，$n$是与$R/\langle γ\rangle$的特征互素的正整数.本文研究了$R$上长度为$n$的循环码的代数结构。给出了非平凡自对偶循环码存在的一些新的充分必要条件。研究了自对偶循环码的计数公式。
Primitive Idempotents and Constacyclic Codes over Finite Chain Rings
设$R$是交换局部有限环.本文构造了$R[X]/<g>$的两两正交本原幂等元完备集，其中$g$是$R[X]$中的正则多项式.利用这一集对环$R[X]/<g>$进行分解，给出了有限链环上常循环码的结构。这使我们能够描述的生成器的对偶码$\mathcal{C}^\bot$的常循环码$\mathcal{C}$和非平凡的自对偶常循环码的特征有限链环。
Quasi-Cyclic Codes Over Finite Chain Rings
本文主要研究有限链环上的准循环码。本文研究了QC码的模结构和迹表示，得到了QC码的最小汉明距离的一些下界。此外，我们还研究了1-生成元QC码的结构性质。在一定条件下，讨论了1-生成元QC码的计数问题，并给出了如何求出每个1-生成元QC码的唯一生成元的方法。
Skew constacyclic codes over a non-chain ring $\mathbb{F}_{q}[u,v]/\langle f(u),g(v), uv-vu\rangle$
令$f(u)$和$g(v)$分别是次数为$k$和$\ell$的两个多项式，不都是线性的，它们在$\mathbb{F}_{q}$上分裂成不同的线性因子。设$\mathcal{R}=\mathbb{F}_{q}[u,v]/\langle f(u),g(v),\\uv-vu\rangle$是有限交换非链环。本文研究了环$\mathcal{R}$上的$ψ$ -斜循环码和$θ_t$ -斜常循环码，其中$ψ$和$θ_t$是定义在$\mathcal{R}$上的两个自同构.
Maximum Sum-Rank Distance Codes over Finite Chain Rings
本文将最大和秩距离码与线性化 Reed-Solomon 码推广到有限链环，证明其最优性，并提出两种低复杂度译码器，还给出有限域上首个线性化 Reed-Solomon 码伴随式译码器，展示了在空时编码和网络编码中的应用。
LCD and self-orthogonal twisted group codes over finite commutative chain rings
本文研究有限交换链环上的k-Galois LCD常循环群码，利用扭曲群环结构通过幂等生成元和经典对合刻画该类码，还找到部分优良LCD码。
The Gray Image of Codes over Finite Chain Rings
J.F. Qann等[4]关于幂零指数为2的有限链环上的$(1-γ)$ -循环码的研究，推广到任意幂零指数为$e+1$的有限链环上的$(1-γ^e)$ -循环码. Gray映射被引入到这类环中。证明了有限链环上线性$(1 - γ^{e})$ -循环码的Gray像是其剩余域上距离不变的拟循环码.当码长与环的特征互素时，线性循环码和线性$(1+γ^e)$ -循环码的Gray像在其剩余域上置换为准循环码.
Two-dimensional constacyclic codes over finite chain rings
研究有限链环上二维\((\lambda,\mu)\)-常循环码的代数结构，通过分析本原幂等元确定码的生成元以获其结构，还找出二维常循环码在有限链环上关于秩是最大汉明距离的条件。
Trace duality and additive complementary pairs of additive cyclic codes over finite chain rings
本文研究有限交换环上加性循环码互补对的代数结构，证明其组成码均为自由模，给出构成互补对的充要条件，还构造了有限链环上的互补对并证明两码满足迹对偶的置换等价关系。
Abelian and consta-Abelian polyadic codes over affine algebras with a finite commutative chain coefficient ring
本文在定义为链环上仿射代数的环上定义了Abel和consta-Abel多进码。为此，我们使用经典的结构通过分裂和乘法器的基础阿贝尔群。我们还得到了一些结果的结构相关的polyadic码和代码的数量在这些条件下。
Galois Correspondence on Linear Codes over Finite Chain Rings
给定有限链环的有限Galois扩张$\texttt{S}|\texttt{R}$和$\texttt{S}$ -线性码$\mathcal{B}$，我们定义了两个Galois算子：闭包算子和内部算子.证明了线性码是Galois不变的当且仅当其生成矩阵的行标准形的所有元素都在Galois群的固定环中，并给出了在$\texttt{S}$ -线性码类中的Galois对应.作为应用，给出了限制码和迹码秩的上下界的一些改进，并给出了对$\texttt{S}$ -线性循环码的一些应用.
On polycyclic codes over a finite chain ring
研究了有限链环$S$上多环码的Galois像及其零化子对偶.刻画了环$S,$上多环码是Galois-不交码的情形，并确定了环$S$上自由多环码的迹码和限制，给出了迹映射、任意S -线性码及其零化子对偶之间Delsarte定理的一个类比.
Reversible complement cyclic codes over finite chain rings
本文研究了有限交换链环上的可逆补循环码，给出了循环码成为(u,k)可逆补码的充要条件，并据此验证了特定环上长度为4的主生成循环码是否为(1,1)可逆补码。
The weight distribution of codes over finite chain rings
在这项工作中，我们确定了新的线性方程的重量分布的线性码在有限链环。通过计算码的校验矩阵中某些特殊子矩阵的个数来确定恒等式。由于这些关系，我们能够计算具有小Singleton缺陷的代码的全重量分布，例如MDS，MDR和AMDR代码。
Duadic negacyclic codes over a finite non-chain ring and their Gray images
设$f(u)$是一个在有限域$\mathbb{F}_{q}$上分裂成不同线性因子的次数为$m, m \geq 2,$的多项式。设$\mathcal{R}=\mathbb{F}_{q}[u]/\langle f(u)\rangle$为有限非链环。在以前的文章中，我们研究了$\mathcal{R}$上的二元码和三元码及其Gray像。本文研究了环$\mathcal{R}$上的I型和II型二元非循环码及其扩张和Gray象.由此构造了$\mathbb{F}_q$上的自对偶、等对偶、自正交和互补对偶（LCD）码。文中还举例说明了这一点。
Polyadic cyclic codes over a non-chain ring $\mathbb{F}_{q}[u,v]/\langle f(u),g(v), uv-vu\rangle$
令$f(u)$和$g(v)$分别是次数为$k$和$\ell$的任意两个多项式（$k$和$\ell$不都是$1$），它们在$\mathbb{F}_{q}$上分裂成不同的线性因子。设$\mathcal{R}=\mathbb{F}_{q}[u,v]/\langle f(u),g(v),uv-vu\rangle$是有限交换非链环。本文研究了环$\mathcal{R}$上的多元码及其扩张.我们给出了一些例子的polyadic码是最佳的Griesmer型界环。从保持对偶性的$\mathcal{R}^n \rightarrow \mathbb{F}^{k\ell n}_q$定义了一个Gray映射.利用环$\mathcal{R}$上多元码的Gray像及其推广，构造了环$\mathbb{F}_q$上的自对偶、等对偶、自正交和互补对偶（LCD）码.文中还举例说明了这一点。
An Algorithm to find the Generators of Multidimensional Cyclic Codes over a Finite Chain Ring
本文的目的是确定有限链环$\mathfrak{R}$上多维循环码的代数结构。利用环$\mathfrak{R}$上循环码的生成多项式，给出了一种求环$\mathfrak{R}$上长度为$m_{1}m_{2}\dots m_{n}$的$n$维（$n$ D）循环码的生成多项式的算法.此外，对于$q\equiv 1(mod~ m_{j}), j\geq 2$情形，得到了长度为$m_{1}m_{2}\dots m_{n}$的$n$ D循环码的生成元作为可分多项式，其中$q=p^{r}$是$\mathfrak{R}$的剩余域的基数.
MDS and Self-dual Codes over Rings
本文给出了形式幂级数和链环上常循环码的结构。给出了主理想环上MDS码存在的充分必要条件。这些结果允许有限链环，形式幂级数和主理想环上的MDS自对偶码的无限族的建设。
Galois hulls of cyclic serial codes over a finite chain ring
本文研究了链环上循环串行码的Galois壳的一些性质，并给出了计算该码的Euclidean壳的所有可能参数的算法。我们还建立了欧氏壳的平均$p^r$ -维数，其中$\mathbb{F}_{p^r}$是$R$的剩余域，我们提供了它的相对增长的一些结果。
Linear Complementary Pair Of Group Codes over Finite Chain Rings
有限域上的线性互补对偶（LCD）码和线性互补对（LCP）码由于其在密码学中的应用，在旁道攻击和故障注入攻击中得到了广泛的研究。代码$(C,D)$的LCP的安全参数被定义为最小距离$d(C)$和$d(D^\bot)$中的最小值。最近证明了，如果$C$和$D$都是有限域上的双边群码，则$C$和$D^\bot$是置换等价的.因此，双侧分组代码$(C,D)$的LCP的安全参数简单地为$d(C)$。我们将这个结果推广到有限链环上的双边群码。
Contraction of Cyclic Codes Over Finite Chain Rings
设$\texttt{R}$是一个可交换的有限链环，其不变量为$(q,s)$，$Γ(\texttt{R})$是$\texttt{R}.$的Teichmüller集。本文给出了长度为$\ell,$的循环$\texttt{R}$ -线性码的迹表示，当$\texttt{gcd}(\ell, q) = 1.$时，我们将证明某些长度为$u\ell$的循环$\texttt{R}$ -线性码的压缩是$γ$ -常循环$\texttt{R}$ -长度为$\ell,$的线性码，其中$γ\inΓ(\texttt{R})$和的乘法阶为$u.$
A class of locally recoverable codes over finite chain rings
本文研究有限链环上的局部可恢复码，通过扩展Tamo和Barg在2014年提出的构造，提出了一类新的局部可恢复码并讨论其最优性，推广了域上码的已知结果和界。
Reversible DNA codes over a family of non-chain rings $R_{k,s}$
本文解决了非链环$R_{k,s}=\mathbb{F}_{4^{2k}}[u_1,...,u_{s}]/< u_1^2-u_1,..., u_s^2-u_s>$上DNA码的可逆性问题。我们定义了$R_{k,s}$上的自同构$θ$，它既帮助我们找到了$R_{k,s}$的幂等分解，又帮助我们解决了斜循环码的可逆性问题.此外，我们引入了一个广义的格雷映射，保持DNA可逆性。
On the structure of $1$-generator quasi-polycyclic codes over finite chain rings
有限链环$R$上的准多环码（简称QP码）是准循环码的推广，这些码可以看作是$\mathcal{R}_m^{\ell}$上的一个$R[x]$ -子模，其中$\mathcal{R}_m:= R[x]/\langle f\rangle$，$f$是$R$上的次数为$m$的一元多项式.如果$f$唯一分解为monic和coprime基本不可约项，则它们的代数结构允许我们将1-生成元QP码的生成多项式和最小生成集刻画为$R$ -模.此外，我们还利用强格罗布纳基确定了这些码的奇偶检验多项式.特别地，通过Magma系统，从这些1-生成元QP码导出了一些具有新参数的四元码。
New Quantum codes from constacyclic codes over a general non-chain ring
设$q$是一个素数幂，$\mathcal{R}=\mathbb{F}_{q}[u_1,u_2, \cdots, u_k]/\langle f_i(u_i),u_iu_j-u_ju_i\rangle$是一个有限非链环，其中$f_i(u_i), 1\leq i \leq k$是多项式，不全是线性的，它在$\mathbb{F}_{q}$上分裂成不同的线性因子。我们刻画了环$\mathcal{R}$上的常循环码，并由此研究了量子码.作为应用，我们得到了一些新的量子码，这些量子码比已知的量子码更好。我们还证明了在$\mathcal{R}$上由常循环码构造量子码时，多项式$f_i(u_i),$ $1 \leq i \leq k$的选择是无关的，它只取决于它们的次数.证明了对于任何具有$\gcd (n,q)\neq 1.$的$n$，都存在量子MDS码$[[n,n-2,2]]_q$
Communication over Finite-Chain-Ring Matrix Channels
虽然网络编码传统上是在有限域上进行的，但最近关于基于嵌套格的网络编码的工作表明，通过允许在某些有限环上进行网络编码，可以构建更有效的物理层网络编码方案。本文研究有限环矩阵信道$Y = AX + BE$上的通信问题，其中$X$是信道输入，$Y$是信道输出，$E$是随机误差，$A$和$B$是随机转移矩阵。在假设$A$在所有满秩矩阵上是一致的，$BE$在所有秩- $t$矩阵上是一致的情况下，得到了紧容量结果，并提供了简单的多项式复杂度容量实现编码方案，扩展了Silva，Kschischang和Kötter（2010）的工作，他们处理了有限域的情况。这种扩展是基于几个新的结果，这可能是独立的利益，推广的概念和方法，从矩阵有限域矩阵有限链环。
Relative projective group codes over chain rings
给出了$G$的子群$\lbrace 1 \rbrace$的相对投射群码的一个结构定理。证明了固定群代数$RG$中的所有相对投射群码都是到群代数$\mathbb{F}G$中长度为$\ell$的投射群码链的双射，其中$\mathbb{F}$是$R$的剩余域.利用给定的链构造了$RG$中的对偶码，并导出了对偶码的最小汉明重量和最小欧氏重量的下界.
On the Lattice of Cyclic Linear Codes Over Finite Chain Rings
设$\texttt{R}$是交换有限链环的不变量$(q,s).$本文利用$q$ -模$\ell,$的分圆陪集给出了任意自由循环$\texttt{R}$ -长度为$\ell,$的线性码的迹表示.研究了循环$\texttt{R}$ -长度为$\ell,$的线性码的格$\left(\texttt{Cy}(\texttt{R},\ell), +, \cap\right)$.建立了长度为$\ell,$的循环$\texttt{R}$ -线性码的汉明距离的一个下界.当$q$为偶数时，构造了一类MDS和自正交$\texttt{R}$ -线性循环码.
Skew Constacyclic Codes over Finite Chain Rings
有限域上的斜多项式环（[7]和[10]）和Galois环（[8]）已经被用来研究码。在本文中，我们将这一概念推广到有限链环。研究了由$x^n-λ$（其中$λ$为单位元）的幺右因子生成的斜常循环码的性质.当$λ^2=1$时，确定了这类码的欧几里德和厄米特对偶码的生成元，以及它们是欧几里德和厄米特自对偶码的充要条件.更感兴趣的是环$\mathbb{F}_{p^m}+u\mathbb{F}_{p^m}$上的码。完全确定了所有斜常循环码的结构。这使我们能够表示生成元的欧几里德和厄米特对偶码的斜循环和斜双循环码的原始代码的生成元。给出了$\mathbb{F}_{3}+u\mathbb{F}_{3}$上所有长度为~2的斜循环码及其欧几里德和厄米特对偶码的一个例子。
Characterization of Plotkin-optimal two-weight codes over finite chain rings and related applications
本文刻画有限链环上Plotkin最优二齐次权码的参数与权重分布，构造无限族码及其Gray像，并应用于秘密共享方案和图论，获得非平凡参数的强正则图与强游走正则图。
Left Dihedral Codes over Finite Chain Rings
设$R$是有限交换链环，$D_{2n}$是大小为$2n$的二面体群，$R[D_{2n}]$是二面体群环。本文完全刻画了当${\rm gcd}(char(R),n)=1$为$R[D_{2n}]$时，$R[D_{2n}]$的左理想（称为左$D_{2n}$ -码）.通过这种方法，我们研究了$R$和$R\times S$上长度为2的斜循环码的结构，其中$S$是$R$的同构拷贝.作为一个特殊的结果，我们给出了$R$上长度为2的循环码的结构.在$R=\F_{p^m}$是Galois域的情况下，对任意正整数$N$，给出了$\F_{p^m}$上左$D_{2N}$ -码的一个分类.在这两种情况下，我们确定对偶码，并确定自对偶的。
Density of Free Modules over Finite Chain Rings
本文主要研究大小为$q^s$的有限链环$\mathcal{R}$上的模.我们计算了$\mathcal{R}^n$的自由模的密度，其中我们分别处理了$n,q$和$s$的渐近性.特别是，我们专注于两种情况：一种是我们固定模块的长度，另一种是我们固定模块的秩。在这两种情况下，密度结果都可以由Andrews-Gordon恒等式来界定。我们还研究了由$\mathcal{R}$上随机矩阵生成的模的渐近性质。由于$\mathcal{R}$上的线性码是$\mathcal{R}^n$的子模，我们得到了编码理论的直接含义。例如，我们证明了随机码以高概率达到Gilbert-Varshamov界。
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