Computing Densest $k$-Subgraph with Structural Parameters
\textsc{Densest $k$-Subgraph}是寻找一个大小为$k$的顶点子集$S$，使得由$S$导出的子图中的边数最大化的问题.在本文中，我们证明了\textsc{Densest $k$-Subgraph}是固定参数听话时，邻域多样性，块删除数，距离遗传删除数，和余图删除数，分别参数。进一步，我们给出了一个$2$ -近似$2^{\tc(G)/2}n^{O(1)}$ -时间算法，其中$\tc(G)$是输入图$G$的孪生覆盖数.
2022-07-20 cs.DS
Fully Dynamic Algorithm for Top-$k$ Densest Subgraphs
给定一个大图，最稠密子图问题要求找到一个平均度最大的子图。当考虑这个问题的顶部$k$版本时，一个简单的解决方案是迭代地找到可扩展子图，并在每次迭代中删除它。然而，由于高处理成本，这种解决方案是不切实际的。当处理动态图时，问题更加复杂，因为添加或删除边需要重新运行算法。本文研究了滑动窗口模型下的顶$k$稠密子图问题，提出了一种高效的全动态算法。我们的算法的输入包括一个边流，目标是找到节点不相交的子图，最大化其密度之和。与现有的最先进的解决方案，需要迭代整个图上的任何更新，我们的算法的利润从观察更新只影响有限的区域的图。因此，顶部$k$可扩展子图仅通过应用局部更新来维护。我们提供了一个理论分析所提出的算法和经验表明，该算法往往比国家的最先进的竞争对手产生更密集的子图。实验表明，与最先进的解决方案相比，效率提高了五个数量级。
2017-08-29 cs.DS
K-clique-graphs for Dense Subgraph Discovery
在图中寻找稠密子图是一项基本的图挖掘任务，在许多领域都有应用。用于识别稠密子图的算法被用于生物学、金融、垃圾邮件检测等领域。这个问题的标准公式，例如找到图的最大团的问题，很难解决。然而，也提出了一些易于处理的公式，主要集中在优化一些密度函数，如度密度和三角形密度。然而，度密度的最大化通常会导致具有小密度的大子图。在本文中，我们介绍了k-团图稠密子图问题，k >= 3，一个新的公式发现稠密子图。给定一个输入图，它的k-团图是从输入图创建的一个新图，其中新图的每个顶点对应于输入图的一个k-团，并且如果两个顶点共享一个公共的（k-1）-团，则它们与一条边相连。我们定义了一个简单的密度函数，k-团图密度，它给出了紧凑的，同时密集的子图，我们将其产生的子图投影回输入图。在本文中，我们专注于三角形图denominator子图问题得到的k=3。为了优化建议的功能，我们提出了一个有效的贪婪近似算法，以及规模较大的图形。我们评估所提出的算法在真实的数据集上，并将其与其他算法的大小和密度的提取的子图。实验结果验证了该算法在寻找高质量子图的能力。最后，我们将所提出的方法应用到文本文档的关键字提取的重要问题。
2018-07-07 cs.DS
Applications of Uniform Sampling: Densest Subgraph and Beyond
最近[Bhattacharya等人，STOC 2015]提供了流模型中具有添加和删除其边缘的denial子图问题的第一个非平凡算法，即，用于动态图形流。他们提出了一个$(0.5-ε)$ -近似算法使用$\tilde{O}(n)$空间，其中$ε$和$\log(n)$的因素被抑制在$\tilde{O}$符号。然而，该算法的更新时间较大。为了解决这个问题，他们还提供了一个$(0.25-ε)$ -近似算法，使用具有更新时间$\tilde{O}(1)$的$\tilde{O}(n)$空间。本文改进了Bhattacharya等人的算法，提出了一种利用$\tilde{O}(n)$空间的$(1-ε)$近似算法.我们的算法在概念上是简单的-它的样本$\tilde{O}(n)$边缘均匀随机，并发现采样图上的denatrium子图。我们还展示了如何使用更新时间$\tilde{O}(1)$执行此采样。除此之外，我们表明，Oracle访问的边缘集，我们可以实现我们的算法在时间$\tilde{O}(n)$在标准RAM模型的图形。据我们所知，这是最快的$(0.5-ε)$ -近似算法的内存模型中的denominated子图的问题，这样的oracle访问。此外，我们将我们的结果扩展到一般类的图优化问题，我们称之为重子图问题。这类图包含了许多有趣的问题，如可分解子图、有向可分解子图、可分解二部子图、$d$ -割和$d$…
2015-07-29 cs.DS
Planted Models for the Densest $k$-Subgraph Problem
给定一个无向图$G$，Denise $k$ -子图问题（DkS）要求计算一个基数$\left\lvert S\right\rvert \leq k$的集合$S \subset V$，使得$S$内的边的权重最大化。这是一个基本的NP难问题，尽管经过几十年的研究，其逼近性尚未得到解决。Bhaskara等人（2010年）提出的当前最著名的近似算法计算任何$ε> 0$的时间$n^{\mathcal{O}\left(1/ε\right)}$上的$\mathcal{O}\left({n^{1/4 + ε}}\right)$近似。我们问这个问题有哪些“更容易”的例子？本文提出了一些自然半随机模型，并研究了计算其稠密子图的近似算法。这些模型的灵感来自于半随机模型的实例研究的各种其他图形问题，如独立集问题，图划分问题等，对于这些模型的参数范围很大，我们得到了显着更好的近似因子的Denmark $k$ -子图问题。此外，我们的算法恢复了大部分种植的解决方案。
2020-11-07 cs.DS
Complexes Detection in Biological Networks via Diversified Dense Subgraphs Mining
蛋白质相互作用（PPI）网络提供了蛋白质相互作用模式的全面景观，使我们能够以多种分辨率探索生物过程和细胞组分。对于一个生物过程，许多蛋白质需要一起工作来完成这项工作。蛋白质彼此密集地相互作用，形成大分子机器或细胞构建块。从PPI网络中识别这种密集互连的簇或蛋白质复合物使我们能够更好地理解生物过程和细胞组分的层次和组织。大多数现有的方法应用有效的图聚类算法的PPI网络，往往无法检测可能的密集连接子图和重叠子图。除了基于聚类的方法之外，还使用了稠密子图枚举方法，其目的是找到所有密集连接的蛋白质集合。然而，这样的方法实际上是不容易处理的，即使在一个小的酵母PPI网络，由于高计算复杂性。在本文中，我们介绍了一种新的近似算法，有效地枚举假定的蛋白质复合物从生物网络。我们的算法的关键见解是，我们不需要枚举所有稠密子图。相反，我们只需要找到一小部分子图，覆盖尽可能多的蛋白质。这个问题被制定为寻找一组不同的稠密子图，在那里我们开发了高效的修剪技术，以保证效率。为了处理大型网络，我们采取分而治之的方法，以分布式的方式加快算法。通过比较现有的聚类和密集的子图为基础的算法在几个人类和酵母PPI网络，我们表明，我们的方法可以检测到更多的推定蛋白质复合物，并取得更好的预测精度。
2016-04-12 cs.DS q-bio.MN
Detecting High Log-Densities -- an O(n^1/4) Approximation for Densest k-Subgraph
在Denk-Subgraph问题中，给定一个图G和一个参数k，人们需要找到一个在k个顶点上导出的G的子图，该子图包含最多的边。在这个问题的最著名的上界和下界之间有一个很大的差距。它是NP难的，并且没有PTAS，除非NP有次指数时间算法。另一方面，Feige、Kortsarz和Peleg的当前最著名的算法对于某些特定的ε> 0（估计在1/60左右）给出了n^（1/3-ε）的近似比。我们提出了一个算法，对于每个n> 0近似Denk-Subgraph问题的比率为n^（1/4+ n）在时间n^O（1/n）。特别是，我们的算法在时间n^O（log n）上实现了O（n^1/4）的近似比。我们的算法的灵感来自于研究一个平均情况下的版本的问题，其目标是区分随机图与种植密集的子图。我们在一般情况下获得的近似比与我们在这个种植问题中获得的区分比相匹配。在一个高层次上，我们的算法涉及巧妙地计数适当定义的树G中的恒定大小，并使用这些计数来识别稠密子图的顶点。我们的算法基于以下原则。如果图G（V，E）的平均度为Theta（|V| ^alpha），则称图G（V，E）具有对数密度α。我们的结果的算法的核心是一个家庭的算法，输出k-子图的非平凡密度的对数密度的denominik-子图是大于对数密度的主机图。
2010-01-17 cs.DS
Top-k Connected Overlapping Densest Subgraphs in Dual Networks
网络主要用于建模和分析数据及其之间的关系。最近，已经表明使用单个网络可能不是最佳选择，因为单个网络可能会错过某些方面。因此，已经提出使用一对网络来更好地对所有方面进行建模，并且主要方法被称为双网络（DN）。DN是两个相关的图（一个加权，另一个未加权），它们共享相同的顶点集和两个不同的边集。在DN中，通常有趣的是提取两个网络之间的公共子图，这两个网络在概念网络中密度最大，在物理网络中连接。这个问题的最简单的例子是找到一个公共的Denmark连通子图（DCS），而我们在这里专注于Top-k Denmark连通子图的检测，即在概念网络中具有最大密度的一组k个子图，它们在物理网络中也是连通的。我们正式的问题，然后我们提出了一个启发式找到一个解决方案，因为这个问题是计算困难。合成和真实网络上的一组实验也支持我们的方法。
2020-08-04 cs.DS
Fair densest subgraph across multiple graphs
本文研究了跨多个图快照的公平最密子图问题，提出基于整数规划的精确算法和多项式时间启发式算法，证明了问题的NP-hard性，并通过实验验证了其在合成和真实数据集上的有效性。
2025-02-03 cs.DS
On Densest $k$-Subgraph Mining and Diagonal Loading: Optimization Landscape and Finite-Step Exact Convergence Analysis
University of Virginia（弗吉尼亚大学）；KU Leuven（荷语鲁汶大学）
本文提出了一种基于惩罚的非凸松弛方法，通过理论分析证明其在有限步内精确收敛到积分局部最大值，解决了密集k子图挖掘的理论难题。
2026-01-30 cs.DS cs.SI
Approximate Fully Dynamic Directed Densest Subgraph
本研究基于已有成果提出全动态算法，可维持(1-ε)近似有向最稠密子图，边更新的摊销与最坏情况时间均优于此前Sawlani和Wang提出的算法。
2023-12-17 cs.DS
Efficient Processing of Subsequent Densest Subgraph Query
针对最高节点相似性子图提取研究不足的问题，本文研究带动态约束的成员选择问题，提出可适应约束变化的近似算法，证明其1/3近似比并通过实验验证有效性与效率。
2024-02-29 cs.DS
Dense Subgraph Discovery Meets Strong Triadic Closure
本文将强三元闭包（STC）引入稠密子图发现问题，定义了基于λ加权的强边与弱边数量之和与节点数之比作为评分函数，证明该问题在λ=0和λ=1时分别对应最大团和最稠密子图，并提出了整数线性规划精确算法及四种多项式时间启发式算法，实验验证了算法的有效性和高效性。
2025-02-03 cs.DS
Flowless: Extracting Densest Subgraphs Without Flow Computations
稠密子图的发现是一个经典的理论和实践问题，本文提出了一种简单、计算效率高的方法。众所周知，稠密子图可以与从社交网络到生物系统的各个领域的真实世界网络中的感兴趣结构具有很强的相关性[Gionis和Tsourakakis '15]。对于可证明子图问题，Charikar的贪心算法[Asashiro `00，Charikar `00]非常简单，而且通常能找到比可证明因子2-近似质量更好的结果，这使得它在实践中非常流行。然而，在许多现实世界的例子中，它也被称为次优输出。另一方面，找到精确的最优解需要计算最大流。尽管存在高度优化的最大流求解器，但对于现代数据科学应用中出现的大量图形，这种计算仍然会导致过高的计算成本。我们设计了一个迭代算法，它自然地推广了Charikar的贪心算法。我们的算法从凸优化的迭代方法中汲取了一些见解，并且还利用了可扩展子图问题的对偶解释。我们有经验证据表明，我们的算法是更强大的对现实世界中的数据集的结构异质性，并收敛到最佳的子图密度，即使当简单的贪心算法失败。另一方面，在Charikar算法表现良好的情况下，我们的算法能够快速验证其最优性。此外，我们证明了我们的方法是显着快于基于最大流的精确优化算法。我们从广泛的领域的数据集进行实验，我们的算法达到$\sim$ 145 $\times$加速平均找到子图的密度至少是最佳值的90\%。
2019-10-17 cs.DS
A Branch-and-Bound Approach for Maximum Low-Diameter Dense Subgraph Problems
University of Electronic Science and Technology of China（电子科技大学）；Peking University（北京大学）；Shenzhen Institute of Artificial Intelligence and Robotics for Society, The Chinese University of Hong Kong, Shenzhen（香港中文大学（深圳）深圳市人工智能与机器人研究院）
本文针对最大直径至多为二的 $f(\cdot)$-稠密子图问题，提出基于分解的分支定界算法，结合退化序分解策略和基于排序的上界，在真实图上显著优于MIP求解器与纯分支定界方法。
2025-11-06 cs.DS
Detecting and Characterizing Small Dense Bipartite-like Subgraphs by the Bipartiteness Ratio Measure
研究了小\textit{bipartiteness ratio}子图的寻找和刻画问题。本文给出了一个双准则近似算法\verb |SwpDB|，使得如果存在一个体积至多为$k$、二分性比至多为$θ$的子集$S$，则对于任何$0<ε<1/2$，它都能找到一个体积至多为$2k^{1+ε}$、二分性比至多为$4\sqrt{θ/ε}$的集合$S'$.通过结合截断操作，给出了一个局部算法\verb |LocDB|，该算法在输出集的体积和二分比上都具有与\verb |SwpDB|算法相同的逼近保证，并且在时间上运行$O(ε^2θ^{-2}k^{1+ε}\ln^3k)$，与图的大小无关.最后，利用图的Laplacian的$k$次\textit{largest}特征值，给出了小稠密二部类子图的谱刻画.
2013-09-18 cs.DS
Finding Connected Dense $k$-Subgraphs
给定一个$n$上的连通图$G$和一个正整数$k\le n$，$G$在$k$上的子图称为$G$中的$k$ -子图.我们设计了组合近似算法，用于寻找$G$中的连通$k$ -子图，使得其密度至少是$G$中的密度$k$ -子图的密度的一个因子$Ω(\max\{n^{-2/5},k^2/n^2\})$（不一定是连通的）。这些特别提供了第一个非平凡的近似一般图上的dennial连接$k$ -子图问题。
2015-01-29 cs.DM cs.DS
Clustering with Lattices in the Analysis of Graph Patterns
Leiden Institute of Advanced Computer Science（莱顿高级计算机科学研究所）；Leiden University（莱顿大学）
挖掘频繁子图是一个研究领域，我们有一组给定的图（每个图可以被视为一个事务），我们搜索包含在许多这些图中的（连接）子图。在这项工作中，我们将讨论在我们的框架Lattice 2SAR中使用的技术，用于挖掘和分析频繁子图数据及其相应的格信息。格信息由图挖掘算法gSpan提供;它包含频繁子图模式的所有超图-子图关系及其支持。Lattice 2SAR特别用于分析频繁图模式，其中图是分子，频繁子图是片段。在碎片分析中，人们对出现模式的分子感兴趣。这些数据可以是非常广泛的，在本文中，我们专注于一种技术，使其更好地利用我们的聚类中的晶格信息。现在，我们可以减少用户需要访问高度压缩的发生数据的次数。用户不必浏览所有出现数据以搜索在相同分子中出现的模式。相反，人们可以直接看到哪些频繁子图是感兴趣的。
2007-05-04 cs.AI cs.DS
Space- and Time-Efficient Algorithm for Maintaining Dense Subgraphs on One-Pass Dynamic Streams
虽然在许多图挖掘应用程序中，在时间和空间方面有效地处理更新流是至关重要的，但对于实现这种类型的算法知之甚少。在本文中，我们研究这个问题的核心问题，许多图挖掘应用程序称为{ \em denumbersubgraph问题}。我们开发了一个算法，同时实现这个问题的时间和空间效率。这是第一个同类的图形问题，以我们所知。在图$G = (V, E)$中，由节点的子集$S \subseteq V$诱导的子图的“密度”被定义为$|E(S)|/|S|$，其中$E(S)$是$E$中的边的集合，其中两个端点都在$S$中。在导出子图问题中，目标是找到一个最大化相应导出子图密度的节点子集。对于任何$ε>0$，我们提出了一个动态的算法，以高概率，保持$(4+ε)$ -近似的denatrium子图问题下的一个序列的边缘插入和删除的图中的$n$节点。它使用$\tilde O(n)$空间，分摊更新时间为$\tilde O(1)$，查询时间为$\tilde O(1)$。这里，$\tilde O$隐藏了一个$O(\poly\log_{1+ε} n)$术语。近似比可以提高到$(2+ε)$，代价是将查询时间增加到$\tilde O(n)$。它可以扩展到一个$(2+ε)$近似的次线性时间算法和分布式流算法。我们的算法是第一个流算法，可以保持在{ \em one pass}的denatrium子图。该设置中的先前最佳算法需要$…
2015-09-22 cs.DS
An Efficient and Exact Algorithm for Locally h-Clique Densest Subgraph Discovery
本文研究局部h-团最稠密子图（LhCDS）检测问题，提出一种基于“迭代提议-剪枝-验证”流水线（IPPV）的高效精确算法，通过收紧边界、试探性图分解和构建小规模流网络验证等方法，有效列出前k个不重叠的局部稠密子图。
2024-08-26 cs.DS
In Search of Dense Subgraphs: How Good is Greedy Peeling?
在给定的图中找到稠密子图的问题在图挖掘中有几个应用，特别是在社会网络分析、蛋白质和基因分析等领域。根据应用，找到稠密子图可以用于确定高重要性、相似特征或增强交互的区域。特征子图抽取问题本质上是一个非线性优化问题。然而，它可以解决在多项式时间的一系列最大流子问题的迭代求解的基础上的精确算法。尽管它的多项式时间的复杂性，精确算法所需的计算时间非常大的图可能是禁止的。因此，要接近具有数百万个顶点和边的图，必须求助于启发式算法。我们提供了一个有效的实现贪婪的启发式从文献中，是非常快的，有一些很好的理论性质。我们还介绍了一个新的贪婪和精确的方法，是建立在顶部的mathisitic算法。一个广泛的计算研究，提出了一个基准组成的86例取自文献的各种解决方案的方法来评估性能。该分析表明，所提出的启发式算法被证明是非常有效的大量的测试实例，往往提供最佳的解决方案或接近最佳的解决方案在很短的计算时间。
2019-11-06 cs.DS
Mining Patterns in Networks using Homomorphism
近年来，许多算法已被开发用于在图和网络中发现模式。这些算法的一个缺点是，它们使用子图同构来确定图模式的支持度;子图同构是一个众所周知的NP完全问题。在本文中，我们提出了另一种方法，挖掘树模式在网络中使用子图同态。同态的优点是它可以在多项式时间内计算，这使我们能够开发一种算法，在增量多项式时间内挖掘任意图中的树模式。但是同态有两个问题是同构所没有的：（1）两个不同大小的模式可以等价;（2）无限大小的模式可以频繁出现。在本文中，我们正式这些问题，并研究解决方案，很容易适合我们的算法。
2011-10-14 cs.DS cs.SI physics.soc-ph
On the Generalized Mean Densest Subgraph Problem: Complexity and Algorithms
本文研究广义 $p$-平均最密子图问题，证明若干参数区间的 NP-Hard 性，提出全参数近似与近线性快速算法，并通过大规模实验验证有效性。
2023-06-03 cs.DS
Robust Densest Subgraph Discovery
稠密子图发现是图挖掘中的一个重要问题，在不同的领域有着广泛的应用。在密度子图问题中，给定具有边权重向量$w=(w_e)_{e\in E}$的无向图$G=(V,E)$，我们的目标是找到最大化密度的$S\subseteq V$，即，$w(S)/|S|$，其中$w(S)$是由$S$诱导的子图中的边的权重之和。虽然稠密子图问题是稠密子图发现中研究最多的优化问题之一，但有一个隐含的强假设;假设所有边的权重都确切地知道为输入。在现实世界的应用中，经常有这样的情况，我们只有不确定的信息的边缘权重。在这项研究中，我们提供了一个框架下的边权重的不确定性稠密子图发现。具体来说，我们解决这样的不确定性问题，使用鲁棒优化理论。首先，我们制定了我们的基本问题，强大的denumbersubgraph问题，并提出了一个简单的算法。然后，我们制定了强大的densoring子图问题与采样预言机模型密集子图发现使用边权重采样预言机，并提出了一个算法具有很强的理论性能保证。计算实验使用合成图和流行的现实世界的图形证明了我们提出的算法的有效性。
2018-09-13 cs.DS cs.SI
Finding Dense Subgraphs in G(n,1/2)
找到最大的团是一个众所周知的难题，即使是在随机图上。已知随机图G（n，1/2）的团数几乎必然为k或k+1，其中k = 2logn- 2log（logn）- 1.然而，一个简单的贪心算法发现一个集团的大小只有（1+o（1））log n，具有很高的概率，并找到更大的集团-大小甚至（1+ 0）log n -在随机多项式时间一直是一个长期的开放问题。本文研究了如下推广：给定一个随机图G（n，1/2），求边密度至少为（1-delta）的最大子图。我们表明，一个简单的修改的贪心算法发现一个子集的2log n顶点的诱导子图的边缘密度至少为0.951，具有很高的概率。为了补充这一点，我们证明了几乎肯定没有子集的2.784log n顶点的诱导子图的边密度为0.951或更多。
2008-09-22 cs.DS
NoSPaM Manual - A Tool for Node-Specific Triad Pattern Mining
Institute for Theoretical Physics, University of Würzburg（维尔茨堡大学理论物理研究所）
三元子图模体检测是复杂网络研究中的一种常用方法。通常用于检测模体的过程评估某个子图模式在整个网络中是否过度表示。然而，模体不一定频繁地出现在图的每个区域中。为此，我们最近引入了特定于节点的模式挖掘（NoSPaM）框架。这项工作是NoSPaM的实施手册，可以从www.mwinkler.eu下载。
2015-09-04 cs.CV cs.DS cs.SI
On Finding Dense Subgraphs in Bipartite Graphs: Linear Algorithms
从大型图中发现稠密子图是社交网络挖掘、生物信息学等许多应用的核心内容。本文主要研究二部图中稠密子图的挖掘问题。这项工作的动机是检测同步行为的任务，通常可以制定为挖掘由源节点（追随者，客户）和目标节点（追随者，产品等）形成的二分图。恶意模式。我们引入了一个新的限制biclique问题，最大半孤立Biclique（MHI Biclique），并表明该问题发现立即应用于欺诈检测。我们证明，与许多其他biclique问题，如最大边biclique问题，已知是NP-完全的，MHI Biclique问题承认一个线性时间的解决方案。我们提出了一种新的算法S-树，其扩展，S-森林，有效地解决了这个问题。我们还证明了该算法是强大的，对故意的干扰和其他扰动。此外，我们的方法可以自动组合和优先考虑多个功能，减少对功能工程的需求，同时保持安全性，防止看不见的攻击。在几个公共和专有数据集上进行的大量实验表明，S-tree/S-forest在所有配置中的性能都优于强大的竞争对手，成为欺诈检测领域的新技术。
2018-11-03 cs.DS cs.SI
Differential Privacy from Locally Adjustable Graph Algorithms: $k$-Core Decomposition, Low Out-Degree Ordering, and Densest Subgraphs
差异隐私算法允许大规模数据分析，同时保护用户隐私。随着对个体之间的各种（敏感）关系进行建模的大型网络的增长，为图数据设计这样的算法变得越来越重要。虽然在这一领域存在着丰富的重要文献，但据我们所知，没有结果正式确定某些并行和分布式图算法与差分私有图分析之间的关系。在本文中，我们定义了\emph{locally adjustable}图的算法，并表明，这种类型的算法可以转化为差分隐私算法。我们的形式化的动机是一组结果，我们目前在中央和本地模型的差分隐私的一些问题，包括$k$ -核心分解，低出度排序，和dennial子图。首先，我们设计了一个$\varepsilon$ -边差分私有（DP）算法，该算法返回一个子集的节点，诱导密度至少为$\frac{D^*}{1+η} - O\left(\text{poly}(\log n)/\varepsilon\right),$的子图，其中$D^*$是输入图中的密度子图（对于任何常数$η> 0$）。该算法在保持近线性运行时间的同时，实现了对以前最著名的私有Denmark子图算法的乘法近似因子的两倍改进。然后，我们提出了一个$\varepsilon$ -局部边缘差分私有（LEDP）算法的$k$ -核心分解。我们的LEDP算法提供了近似的核心数（对于任何常数$η> 0$）与$(2+η)$乘法和$O\left(\text{poly}\left(\log n\…
2022-11-20 cs.DS
Fast and Simple Densest Subgraph with Predictions
San Diego State University（圣地亚哥州立大学）
本文通过学习增强算法研究最密集子图问题及其NP难的至多k最密集子图变体，展示在有准确预测器的情况下，可设计线性时间算法实现(1-ε)近似，并通过实验验证方法在真实图上的有效性。
2026-04-14 cs.DS cs.LG
A Local Algorithm for Finding Dense Subgraphs
根据Kannan和Vinay提出的稠密度定义，给出了求二部图稠密子图的一个局部算法。我们的算法以一个具有指定起始顶点的二分图作为输入，并试图在该顶点附近找到一个稠密子图。证明了对于任意k个顶点且密度为theta的子图S，S中有相当多的起始顶点使得我们的算法在至多O（Dk^2）个顶点上产生密度为theta / O（log n）的子图S'，其中D是最大度.该算法的运行时间是O（Dk^2），与图中的顶点数无关。
2007-02-13 cs.CC cs.DS
Almost Tight Bounds for Differentially Private Densest Subgraph
本文研究差分隐私最密子图问题，提出在集中式与 LEDP 模型下无乘法损失、仅含近似紧加性误差的 (ε,δ)-DP 算法，并扩展至加权、有向及纯 DP 设置。
2024-04-08 cs.DS
Dense Subgraphs on Dynamic Networks
在分布式网络中，节点知道稠密子图通常是有用的，例如，这样的密集子图可以揭示在其他稀疏图（例如万维网或社交网络）中的密集子结构;这些可以揭示社区集群或密集区域，用于可能维持良好的通信基础设施。在这项工作中，我们解决了动态网络中节点的自我意识问题，即图密度，我们给出了分布式算法，用于维护成员节点知道的稠密子图。节点需要的唯一知识是动态直径$D$的知识，即，消息穿过动态网络所需的最大轮次数。对于我们的工作，我们考虑一个模型，其中节点的数量是固定的，但一个强大的对手可以在每个时间步从网络中添加或删除有限数量的边缘。通信仅通过广播进行，并遵循CONGEST模型。我们的算法在网络上连续执行，并且在任何时候（在一些初始化之后）每个节点都将知道它是否是特定稠密子图的一部分（或不是）。给出了（$2 + ε$）-逼近可扩展子图和（$3 + ε$）-逼近至少$k$ -可扩展子图的算法（对于给定的参数$k$）.我们的算法适用于各种参数值，并在$O(D\log_{1+ε} n)$时间内运行。此外，我们的结果的一个特殊情况下，还给出了第一个完全分散的近似算法的denanding和至少- $k$ -denanding子图问题的静态分布图。
2012-08-07 cs.DC cs.DS
OptiRefine: Densest subgraphs and maximum cuts with $k$ refinements
OptiRefine框架通过少量细化优化初始解，应用于最密子图和最大割问题，提供常数因子近似算法，并在合成与真实数据上验证了有效性。
2025-08-07 cs.DS
Fast and Optimal Incremental Parametric Procedure for the Densest Subgraph Problem: An Experimental Study
本文首次实验评估精确算法IPC在最密子图及相关单调比率问题上的表现，证明其在速度和求解质量上均优于现有精确方法和最先进启发式方法，并提供了代码与基准。
2025-09-18 cs.DS
On Finding Dense Common Subgraphs
我们研究了最近引入的问题，找到密集的公共子图：给定一个序列的图，共享相同的顶点集，目标是找到一个子集的顶点$S$，最大化一些聚合措施的密度诱导$S$在每个给定的图的子图。聚合函数的不同选择引起了最近研究的问题的变体。我们解决了许多遗留的问题，以前的作品，显示NP-硬度，硬度的近似，非平凡的近似算法，和一个完整的差距自然放松。
2018-02-18 cs.CC cs.DS
Densest Subgraph in Dynamic Graph Streams
本文研究动态图流模型中的离散子图的逼近问题。在这种计算模型中，输入图由任意序列的边插入和删除来定义，目标是在给定流大小为次线性的内存的情况下分析所得图的属性。我们提出了一个单程算法，返回一个$(1+ε)$近似的最大密度与高概率，该算法使用$O(ε^{-2} n \polylog n)$空间，处理每个流更新在$\polylog (n)$时间，并使用$\poly(n)$后处理时间，其中$n$是节点的数量。我们的算法所使用的空间符合Bahmani等人的下界。（PVLDB 2012），直到常数$ε$的多对数因子。Bhattacharya等人最近建立了这个问题的最佳现有结果。(STOC 2015）。他们提出了一种使用相似空间的$(2+ε)$近似算法和另一种算法，该算法既处理每次更新，又在每次更新的$\polylog (n)$时间内保持当前最大密度的$(4+ε)$近似。
2015-06-14 cs.DS
Dense subgraphs induced by edge labels
本文研究在边带标签的网络中寻找能诱导稠密子图的标签集合，提出合取与析取两种诱导方式，证明其NP-hard并给出高效贪心算法，实验验证了其在合成图与真实网络中的有效性与可解释性。
2023-09-07 cs.DS cs.SI
Top-k Overlapping Densest Subgraphs: Approximation and Complexity
图挖掘的一个核心问题是找到稠密的子图，在不同的领域有几个应用，一个值得注意的例子是识别社区。虽然很多的努力已经投入到寻找一个单一的稠密子图的问题，直到最近的焦点已经转移到寻找一组稠密子图的问题。一些方法旨在找到不相交的子图，而在许多现实世界的网络社区往往是重叠的。一种用来寻找可能重叠子图的方法是Top-k重叠Denmark子图问题。对于一个给定的整数k >= 1，这个问题的目标是找到一个可以共享一些顶点的k个可扩展子图的集合。要最大化的目标函数同时考虑了解中子图的密度和子图之间的距离。Top-k重叠邻接子图问题已被证明允许1/10因子近似算法。此外，该问题的计算复杂性一直是开放的。在本文中，我们提出的贡献有关的可逼近性和计算复杂性的问题。对于可逼近性，我们提出了近似算法，提高了逼近因子为1/2，当k是一个常数时，由顶点集的限制，和2/3。对于计算复杂性，我们证明了即使当k = 3时，该问题也是NP-难的。
2019-01-30 cs.CC cs.DS cs.SI
Finding Densest $k$-Connected Subgraphs
稠密子图发现是一种重要的图挖掘算法，具有广泛的应用前景。密集子图发现的最好研究的优化问题之一是密集子图问题，其中给定边加权无向图$G=(V,E,w)$，我们被要求找到使密度$d(S)$最大化的$S\subseteq V$，即，导出子图$G[S]$的加权平均度的一半。该问题可以在多项式时间内精确求解，在几乎线性时间内近似求解。然而，一个denominant子图有一个结构上的缺陷，即，子图可能不是鲁棒的顶点/边故障。事实上，一个稠密的子图可能不是良好连接的，这意味着子图可能是不连续的，只删除几个顶点/边在it. In本文中，我们提供了一个算法框架，找到一个稠密的子图，是良好连接的顶点/边连接。具体地说，我们引入了以下问题：给定一个图$G=(V,E,w)$和一个正整数/实$k$，我们被要求在$G[S]$是$k$ -顶点/边连通的约束下，找到最大化密度$d(S)$的$S\subseteq V$.对于这两个问题，我们提出了多项式时间（双准则和普通）近似算法，使用经典的马德尔定理在图论及其扩展。
2020-07-03 cs.DM cs.DS cs.SI
Computing the k Densest Subgraphs of a Graph
计算凝聚子图是图论中的一个核心问题。虽然许多内聚子图的公式导致NP难问题，但找到一个内聚子图可以在多项式时间内完成。因此，denominator子图模型已经成为最流行的内聚性概念。最近，数据采掘社区已经开始研究在给定的图中计算k个denial子图的问题，而不是一个，对子图之间可能的重叠有各种限制。然而，从理论的角度来看，对这一重要而自然的概括似乎知之甚少。在本文中，我们希望通过分析三个自然的变种的k denominator子图问题来纠正这种情况。每个变体根据子图之间允许的重叠量而不同。在一个极端，当没有重叠是允许的，我们证明了问题是NP-困难的k >= 3。在另一个极端，当重叠允许没有任何限制和解决方案的子图只需要是不同的，我们证明了这个问题是固定参数易于处理的关于k，并承认一个PTAS常数k。最后，当子图之间的重叠是有限的，我们证明了问题是NP-困难的k = 2。
2021-11-23 cs.CC cs.DS cs.SI
Large Very Dense Subgraphs in a Stream of Edges
针对边流中的社交图，提出基于蓄水池采样的检测与重建算法，可几乎必然检测大型极稠密子图，并以高概率重建其近似，且推广至动态图。
2020-10-15 cs.CC cs.DS
Finding Many Overlapping Dense Subgraphs Using Triadic Cohorts
Microsoft Research（微软研究院）；UC Santa Cruz（加州大学圣克鲁兹分校）
本文提出算法 CohortRecovery，基于三元队列框架，可生成覆盖真实网络大量顶点的重叠稠密子图，在多数据集上性能优于多种图聚类算法，能捕获人工整理的真实簇。
2026-09-07 cs.DS cs.SI
Novel Dense Subgraph Discovery Primitives: Risk Aversion and Exclusion Queries
在度密度子图问题中，给定一个加权无向图$G(V,E,w)$，具有非负的边权重，我们被要求找到一个节点子集$S\subseteq V$，使度密度$w(S)/|S|$最大化，其中$w(S)$是由$S$引起的边权重之和。这个问题是一个研究得很好的问题，被称为{ \em denominator子图问题}，并且可以在多项式时间内求解。但是当边权重为负时会发生什么呢？这个问题在多项式时间内仍然是可解的吗？还有，为什么我们要关心负权存在时的denominator子图问题？在这项工作中，我们回答了上述问题。具体来说，我们提供了两个新的图形挖掘原语，适用于各种各样的应用程序。我们的原语可以用来回答这样的问题：“我们如何在Twitter中找到一个有很多回复和提及但没有关注的稠密子图？如何从一个不确定的图中抽取出一个具有高期望回报和低风险的稠密子图？我们制定了这两个问题的数学稠密子图发现的特殊情况下，图的负权重。我们研究了问题的困难性，证明了该问题在一般情况下是NP-困难的。我们设计了一个有效的近似算法，在存在小的负权重，也是一个有效的启发式更一般的情况下。最后，我们在各种真实世界的不确定图和爬行的Twitter多层图上进行了实验，验证了所提出的原语的价值，以及我们提出的算法的实用价值。代码和数据可从\url{https://github.com/negativedsd}获得。
2019-04-17 cs.DS cs.SI
Finding events in temporal networks: Segmentation meets densest-subgraph discovery
在本文中，我们研究的问题，发现一个时间轴的时间网络中的事件。我们将事件建模为在网络活动间隔内发生的密集子图。我们制定的事件发现任务作为一个优化问题，在这里我们搜索的网络时间轴的分区为k个不重叠的间隔，使间隔跨越子图的最大总密度。输出是一系列密集的子图以及相应的时间间隔，捕获网络生命周期中最有趣的事件。我们的优化问题的一个简单的解决方案具有多项式，但运行时间复杂度高得惊人。我们适应现有的最新工作动态稠密子图发现和近似动态规划设计一个快速的近似算法。接下来，为了确保更丰富的结构，我们调整了问题的制定，以鼓励覆盖更大的节点集。这个问题即使对于静态图也是NP难的。然而，在静态图上，由于子模块性，简单的贪心算法会导致近似解。我们将这种贪婪方法扩展到时间网络的情况。然而，近似保证并不成立。然而，根据实验，该算法找到了良好的质量的解决方案。
2018-09-13 cs.DS cs.SI
Differentially Private Densest Subgraph
给定一个图，定义子图问题要求一组顶点，使得这些顶点之间的平均度最大化。Denmark子图在学习中有许多应用，例如，尽管存在输出对denominator子图问题的精确或近似解的有效算法，但是现有算法可能侵犯网络中个体的隐私，例如，泄漏边的存在/不存在。本文在差分隐私的框架下研究了分布式子图问题，得到了分布式子图问题的第一上界和第一下界。我们发现，存在一个线性时间$ε$ -差分私有算法，发现一个$2$ -近似的denominator子图与一个额外的多对数添加剂错误。我们的算法不仅报告了稠密子图的近似密度，而且还报告了构成稠密子图的顶点。我们的上限几乎匹配著名的$2$ -近似Charikar在性能和近似比，但我们还实现了差分隐私。与Charikar算法相比，我们的算法有一个额外的多对数加性误差。我们部分证明了一个新的下限的加性误差，表明任何差分私人算法，提供了一个常数因子近似，一个亚对数加性误差是固有的。我们还实际研究了我们的差异隐私算法在现实世界的图，我们表明，在实践中，该算法找到了一个非常接近最优的解决方案
2022-11-14 cs.CR cs.DS cs.GT
Stochastic Solutions for Dense Subgraph Discovery in Multilayer Networks
网络分析在知识发现和数据采掘中发挥着重要作用。在近年来的许多实际应用中，我们对挖掘多层网络感兴趣，其中我们有许多称为层的边集，这些边集编码同一组顶点上的不同类型的连接和/或时间相关连接。在众多的网络分析技术中，稠密子图发现是一种重要的网络分析技术，其目的是发现网络中的稠密分支，在不同的领域有着广泛的应用。本文提出了一种新的多层网络中稠密子图发现的优化模型。我们的模型旨在找到随机解，即，在顶点子集族上的概率分布，而不是单个顶点子集，然而它也可以用于获得单个顶点子集。对于我们的模型，我们设计了一个基于LP的多项式时间精确算法。此外，为了处理大规模的网络，我们还设计了一个简单的，可扩展的预处理算法，这往往会显着减少输入网络的大小，并在一个显着的加速结果。计算实验验证了模型的正确性和算法的有效性。
2022-11-07 cs.DS cs.SI
Discovering Dense Correlated Subgraphs in Dynamic Networks
给定一个动态网络，其中边随时间出现和消失，我们感兴趣的是找到具有相似时间行为并形成稠密子图的边集。形式上，我们定义的问题，满足特定的密度和相似性阈值的最大子图的枚举。为了度量时间行为的相似性，我们使用表示边缘活动的二进制时间序列之间的相关性。对于密度，我们研究了基于平均度的两个变量。对于这些问题的变种，我们列举了最大的子图，并计算一个紧凑的子图，有有限的重叠。我们提出了一种近似算法，该算法可以很好地扩展网络的大小，同时实现了高精度。我们在真实和合成数据集上评估我们的框架。合成数据的结果证明了近似的高精度，并显示了该框架的可扩展性。
2021-02-28 cs.DS cs.SI
The Vertex-Attribute-Constrained Densest $k$-Subgraph Problem
本文提出了结合顶点属性的 VAC-D$k$S 问题，证明其连续松弛是紧致的并可用 Frank--Wolfe 算法高效求解，实验表明该方法能扩展至大图并在政治网络中识别出比经典 D$k$S 更平衡且有意义的子图。
2025-08-08 cs.DS cs.SI
Differentially Private Densest Subgraph Detection
University of Virginia（弗吉尼亚大学）；Biocomplexity Institute（生物复杂性研究院）
本文研究边隐私模型下的最密子图检测问题，提出了首个具有加性近似保证的序列和并行差分隐私算法，并在真实网络上验证了高密度网络中良好的隐私与准确性权衡。
2021-06-18 cs.AI cs.CR cs.DS
Sum-of-Squares Lower Bounds for Densest $k$-Subgraph
给定一个图和一个整数$k$，Denmark $k$ -Subgraph是在$k$的顶点上寻找边数最多的子图的算法任务。这是一个基本问题，几十年来一直受到深入研究，应用范围广泛。最先进的算法是Bhaskara等人[STOC '10]提出的$O(n^{1/4 + ε})$因子近似（适用于任何$ε> 0$）。此外，所谓的对数密度框架预测这是最优的，即，对于有效算法来说，不可能实现$O(n^{1/4 - ε})$因子近似。在一般情况下，Denmark $k$ -Subgraph是一个典型的噪声推理任务，它被证明表现出计算-计算间隙。在这项工作中，我们提供了最强有力的证据，但硬度Denmark $k$ -子图显示匹配的下界对强大的平方和（SoS）算法，一个元算法的基础上凸规划，实现了最先进的算法保证许多优化和推理问题。对于$k \leq n^{\frac{1}{2}}$，我们得到了度$n^δ$ SoS下限的硬制度预测的对数密度框架。为了证明这一点，我们利用现代框架来证明Barak等人开创的平均情况问题的SoS下限。[FOCS '16]。一个关键的问题是，输入中的小的密度高于平均值的子图将极大地影响子图周围的候选伪期望算子的值。为了应对这一挑战，我们设计了一个新的矩阵分解方案的基础上积极的最小顶点分离。然后，我们证明了一个交叉权衡引理，表明使用此分离器时的误差项确实很小。
2023-03-30 cs.CC cs.DS
The Generalized Mean Densest Subgraph Problem
Cornell University（康奈尔大学）
寻找大型图的稠密子图是图挖掘中的一个标准问题，由于其理论上的丰富性和许多实际应用而被广泛研究。在本文中，我们引入了一个新的家庭稠密子图的目标，参数为一个单一的参数$p$，计算的基础上，广义手段的程度序列的一个子图。我们的目标捕获的标准densorable子图的问题和最大的$k$ -核心的特殊情况下，并提供了一种方法来插入和外推超出这两个目标时，寻找其他概念的稠密子图。在算法的贡献，我们首先表明，我们的目标可以在多项式时间内最小化所有$p \geq 1$使用重复的子模块化最小化。我们的工作的一个主要贡献是在理论和实践中分析了不同类型的剥离算法的稠密子图的性能。我们证明，标准的剥离算法可以执行任意差我们的广义目标，但我们设计了一个更复杂的剥离方法，$p \geq 1$有一个近似的保证，总是至少$1/2$和收敛到1的$p \rightarrow \infty$。在实践中，我们表明，该算法获得了非常好的近似的最优解，规模大的图形，并突出了一系列不同的有意义的概念的密度图来自许多领域。此外，通过更好地考虑移除一个节点如何影响其邻域中的其他节点，它通常能够比标准剥离算法更好地近似分布式子图问题。
2021-06-04 cs.DM cs.DS cs.LG
Generalized Densest Subgraph in Multiplex Networks
针对多重网络现有稠密子图挖掘方法未区分连接类型重要性、仅用边密度的局限，提出带双参数的广义稠密子图目标，基于扩展FirmCore给出多项式近似算法，验证了方法的有效性与高效性。
2023-10-07 cs.DS cs.SI
Jaccard-constrained dense subgraph discovery
HIIT（赫尔辛基信息技术研究所）；University of Helsinki（赫尔辛基大学）
本文研究时间网络中Jaccard约束的稠密子图发现，提出迭代和贪心算法以最大化密度与Jaccard指数加权和，并证明问题NP难，实验验证了算法的高效性和实用性。
2023-08-30 cs.DS cs.LG cs.SI
A Survey on the Densest Subgraph Problem and Its Variants
KTH Royal Institute of Technology（KTH皇家理工学院）；Sapienza University of Rome（罗马大学）；CENTAI Institute（CENTAI研究所）
本文是最密子图问题的综述，梳理了该问题自1970年代以来的基础成果、各类变体及最新突破，介绍了相关应用并提出了开放问题。
2024-04-18 cs.AI cs.DS
