Planted Models for the Densest $k$-Subgraph Problem
给定一个无向图$G$，Denise $k$ -子图问题（DkS）要求计算一个基数$\left\lvert S\right\rvert \leq k$的集合$S \subset V$，使得$S$内的边的权重最大化。这是一个基本的NP难问题，尽管经过几十年的研究，其逼近性尚未得到解决。Bhaskara等人（2010年）提出的当前最著名的近似算法计算任何$ε> 0$的时间$n^{\mathcal{O}\left(1/ε\right)}$上的$\mathcal{O}\left({n^{1/4 + ε}}\right)$近似。我们问这个问题有哪些“更容易”的例子？本文提出了一些自然半随机模型，并研究了计算其稠密子图的近似算法。这些模型的灵感来自于半随机模型的实例研究的各种其他图形问题，如独立集问题，图划分问题等，对于这些模型的参数范围很大，我们得到了显着更好的近似因子的Denmark $k$ -子图问题。此外，我们的算法恢复了大部分种植的解决方案。
2020-11-07 cs.DS
Approximate Fully Dynamic Directed Densest Subgraph
本研究基于已有成果提出全动态算法，可维持(1-ε)近似有向最稠密子图，边更新的摊销与最坏情况时间均优于此前Sawlani和Wang提出的算法。
2023-12-17 cs.DS
Top-k Connected Overlapping Densest Subgraphs in Dual Networks
网络主要用于建模和分析数据及其之间的关系。最近，已经表明使用单个网络可能不是最佳选择，因为单个网络可能会错过某些方面。因此，已经提出使用一对网络来更好地对所有方面进行建模，并且主要方法被称为双网络（DN）。DN是两个相关的图（一个加权，另一个未加权），它们共享相同的顶点集和两个不同的边集。在DN中，通常有趣的是提取两个网络之间的公共子图，这两个网络在概念网络中密度最大，在物理网络中连接。这个问题的最简单的例子是找到一个公共的Denmark连通子图（DCS），而我们在这里专注于Top-k Denmark连通子图的检测，即在概念网络中具有最大密度的一组k个子图，它们在物理网络中也是连通的。我们正式的问题，然后我们提出了一个启发式找到一个解决方案，因为这个问题是计算困难。合成和真实网络上的一组实验也支持我们的方法。
2020-08-04 cs.DS
Fast and Simple Densest Subgraph with Predictions
San Diego State University（圣地亚哥州立大学）
本文通过学习增强算法研究最密集子图问题及其NP难的至多k最密集子图变体，展示在有准确预测器的情况下，可设计线性时间算法实现(1-ε)近似，并通过实验验证方法在真实图上的有效性。
2026-04-14 cs.DS cs.LG
An Efficient and Exact Algorithm for Locally h-Clique Densest Subgraph Discovery
本文研究局部h-团最稠密子图（LhCDS）检测问题，提出一种基于“迭代提议-剪枝-验证”流水线（IPPV）的高效精确算法，通过收紧边界、试探性图分解和构建小规模流网络验证等方法，有效列出前k个不重叠的局部稠密子图。
2024-08-26 cs.DS
Differential Privacy from Locally Adjustable Graph Algorithms: $k$-Core Decomposition, Low Out-Degree Ordering, and Densest Subgraphs
差异隐私算法允许大规模数据分析，同时保护用户隐私。随着对个体之间的各种（敏感）关系进行建模的大型网络的增长，为图数据设计这样的算法变得越来越重要。虽然在这一领域存在着丰富的重要文献，但据我们所知，没有结果正式确定某些并行和分布式图算法与差分私有图分析之间的关系。在本文中，我们定义了\emph{locally adjustable}图的算法，并表明，这种类型的算法可以转化为差分隐私算法。我们的形式化的动机是一组结果，我们目前在中央和本地模型的差分隐私的一些问题，包括$k$ -核心分解，低出度排序，和dennial子图。首先，我们设计了一个$\varepsilon$ -边差分私有（DP）算法，该算法返回一个子集的节点，诱导密度至少为$\frac{D^*}{1+η} - O\left(\text{poly}(\log n)/\varepsilon\right),$的子图，其中$D^*$是输入图中的密度子图（对于任何常数$η> 0$）。该算法在保持近线性运行时间的同时，实现了对以前最著名的私有Denmark子图算法的乘法近似因子的两倍改进。然后，我们提出了一个$\varepsilon$ -局部边缘差分私有（LEDP）算法的$k$ -核心分解。我们的LEDP算法提供了近似的核心数（对于任何常数$η> 0$）与$(2+η)$乘法和$O\left(\text{poly}\left(\log n\…
2022-11-20 cs.DS
Fair densest subgraph across multiple graphs
本文研究了跨多个图快照的公平最密子图问题，提出基于整数规划的精确算法和多项式时间启发式算法，证明了问题的NP-hard性，并通过实验验证了其在合成和真实数据集上的有效性。
2025-02-03 cs.DS
On the Generalized Mean Densest Subgraph Problem: Complexity and Algorithms
本文研究广义 $p$-平均最密子图问题，证明若干参数区间的 NP-Hard 性，提出全参数近似与近线性快速算法，并通过大规模实验验证有效性。
2023-06-03 cs.DS
Almost Tight Bounds for Differentially Private Densest Subgraph
本文研究差分隐私最密子图问题，提出在集中式与 LEDP 模型下无乘法损失、仅含近似紧加性误差的 (ε,δ)-DP 算法，并扩展至加权、有向及纯 DP 设置。
2024-04-08 cs.DS
Flowless: Extracting Densest Subgraphs Without Flow Computations
稠密子图的发现是一个经典的理论和实践问题，本文提出了一种简单、计算效率高的方法。众所周知，稠密子图可以与从社交网络到生物系统的各个领域的真实世界网络中的感兴趣结构具有很强的相关性[Gionis和Tsourakakis '15]。对于可证明子图问题，Charikar的贪心算法[Asashiro `00，Charikar `00]非常简单，而且通常能找到比可证明因子2-近似质量更好的结果，这使得它在实践中非常流行。然而，在许多现实世界的例子中，它也被称为次优输出。另一方面，找到精确的最优解需要计算最大流。尽管存在高度优化的最大流求解器，但对于现代数据科学应用中出现的大量图形，这种计算仍然会导致过高的计算成本。我们设计了一个迭代算法，它自然地推广了Charikar的贪心算法。我们的算法从凸优化的迭代方法中汲取了一些见解，并且还利用了可扩展子图问题的对偶解释。我们有经验证据表明，我们的算法是更强大的对现实世界中的数据集的结构异质性，并收敛到最佳的子图密度，即使当简单的贪心算法失败。另一方面，在Charikar算法表现良好的情况下，我们的算法能够快速验证其最优性。此外，我们证明了我们的方法是显着快于基于最大流的精确优化算法。我们从广泛的领域的数据集进行实验，我们的算法达到$\sim$ 145 $\times$加速平均找到子图的密度至少是最佳值的90\%。
2019-10-17 cs.DS
Fast and Optimal Incremental Parametric Procedure for the Densest Subgraph Problem: An Experimental Study
本文首次实验评估精确算法IPC在最密子图及相关单调比率问题上的表现，证明其在速度和求解质量上均优于现有精确方法和最先进启发式方法，并提供了代码与基准。
2025-09-18 cs.DS
Scalable $k$-clique Densest Subgraph Search
针对网络分析中$k$-团最密子图问题，提出基于Frank-Wolfe的\psctl算法与基于采样的\spath算法，二者效率更优且可处理超大规模网络，推动该领域研究进展。
2024-03-09 cs.DS
Robust Densest Subgraph Discovery
稠密子图发现是图挖掘中的一个重要问题，在不同的领域有着广泛的应用。在密度子图问题中，给定具有边权重向量$w=(w_e)_{e\in E}$的无向图$G=(V,E)$，我们的目标是找到最大化密度的$S\subseteq V$，即，$w(S)/|S|$，其中$w(S)$是由$S$诱导的子图中的边的权重之和。虽然稠密子图问题是稠密子图发现中研究最多的优化问题之一，但有一个隐含的强假设;假设所有边的权重都确切地知道为输入。在现实世界的应用中，经常有这样的情况，我们只有不确定的信息的边缘权重。在这项研究中，我们提供了一个框架下的边权重的不确定性稠密子图发现。具体来说，我们解决这样的不确定性问题，使用鲁棒优化理论。首先，我们制定了我们的基本问题，强大的denumbersubgraph问题，并提出了一个简单的算法。然后，我们制定了强大的densoring子图问题与采样预言机模型密集子图发现使用边权重采样预言机，并提出了一个算法具有很强的理论性能保证。计算实验使用合成图和流行的现实世界的图形证明了我们提出的算法的有效性。
2018-09-13 cs.DS cs.SI
Efficient Processing of Subsequent Densest Subgraph Query
针对最高节点相似性子图提取研究不足的问题，本文研究带动态约束的成员选择问题，提出可适应约束变化的近似算法，证明其1/3近似比并通过实验验证有效性与效率。
2024-02-29 cs.DS
OptiRefine: Densest subgraphs and maximum cuts with $k$ refinements
OptiRefine框架通过少量细化优化初始解，应用于最密子图和最大割问题，提供常数因子近似算法，并在合成与真实数据上验证了有效性。
2025-08-07 cs.DS
Densest Subgraph in Dynamic Graph Streams
本文研究动态图流模型中的离散子图的逼近问题。在这种计算模型中，输入图由任意序列的边插入和删除来定义，目标是在给定流大小为次线性的内存的情况下分析所得图的属性。我们提出了一个单程算法，返回一个$(1+ε)$近似的最大密度与高概率，该算法使用$O(ε^{-2} n \polylog n)$空间，处理每个流更新在$\polylog (n)$时间，并使用$\poly(n)$后处理时间，其中$n$是节点的数量。我们的算法所使用的空间符合Bahmani等人的下界。（PVLDB 2012），直到常数$ε$的多对数因子。Bhattacharya等人最近建立了这个问题的最佳现有结果。(STOC 2015）。他们提出了一种使用相似空间的$(2+ε)$近似算法和另一种算法，该算法既处理每次更新，又在每次更新的$\polylog (n)$时间内保持当前最大密度的$(4+ε)$近似。
2015-06-14 cs.DS
New Parallel and Streaming Algorithms for Directed Densest Subgraph
针对有向最密子图问题，提出新的MPC和半流式算法，实现单遍确定性$O(\log n)$近似，改进先前结果，并具有动态更新能力。
2025-09-26 cs.DS
Computing the k Densest Subgraphs of a Graph
计算凝聚子图是图论中的一个核心问题。虽然许多内聚子图的公式导致NP难问题，但找到一个内聚子图可以在多项式时间内完成。因此，denominator子图模型已经成为最流行的内聚性概念。最近，数据采掘社区已经开始研究在给定的图中计算k个denial子图的问题，而不是一个，对子图之间可能的重叠有各种限制。然而，从理论的角度来看，对这一重要而自然的概括似乎知之甚少。在本文中，我们希望通过分析三个自然的变种的k denominator子图问题来纠正这种情况。每个变体根据子图之间允许的重叠量而不同。在一个极端，当没有重叠是允许的，我们证明了问题是NP-困难的k >= 3。在另一个极端，当重叠允许没有任何限制和解决方案的子图只需要是不同的，我们证明了这个问题是固定参数易于处理的关于k，并承认一个PTAS常数k。最后，当子图之间的重叠是有限的，我们证明了问题是NP-困难的k = 2。
2021-11-23 cs.CC cs.DS cs.SI
Destroying Densest Subgraphs is Hard
本研究分析有界密度边/顶点删除问题的复杂度，证明其在树和团上多项式可解，在平面二分图等图类上NP完全，且在参数化复杂度下有不同难易表现。
2024-04-12 cs.DS
Top-k Overlapping Densest Subgraphs: Approximation and Complexity
图挖掘的一个核心问题是找到稠密的子图，在不同的领域有几个应用，一个值得注意的例子是识别社区。虽然很多的努力已经投入到寻找一个单一的稠密子图的问题，直到最近的焦点已经转移到寻找一组稠密子图的问题。一些方法旨在找到不相交的子图，而在许多现实世界的网络社区往往是重叠的。一种用来寻找可能重叠子图的方法是Top-k重叠Denmark子图问题。对于一个给定的整数k >= 1，这个问题的目标是找到一个可以共享一些顶点的k个可扩展子图的集合。要最大化的目标函数同时考虑了解中子图的密度和子图之间的距离。Top-k重叠邻接子图问题已被证明允许1/10因子近似算法。此外，该问题的计算复杂性一直是开放的。在本文中，我们提出的贡献有关的可逼近性和计算复杂性的问题。对于可逼近性，我们提出了近似算法，提高了逼近因子为1/2，当k是一个常数时，由顶点集的限制，和2/3。对于计算复杂性，我们证明了即使当k = 3时，该问题也是NP-难的。
2019-01-30 cs.CC cs.DS cs.SI
A Linear-Time Approximation Scheme for the Densest Subgraph Problem
University of Waterloo（滑铁卢大学）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
本文针对最密子图问题，提出首个真正线性时间的(1-ε)近似算法，还为最密至少k子图问题给出近线性时间的(1/2 - ε)近似算法，性能接近理论难度下界。
2026-08-12 cs.DS
Differentially Private Densest Subgraph
给定一个图，定义子图问题要求一组顶点，使得这些顶点之间的平均度最大化。Denmark子图在学习中有许多应用，例如，尽管存在输出对denominator子图问题的精确或近似解的有效算法，但是现有算法可能侵犯网络中个体的隐私，例如，泄漏边的存在/不存在。本文在差分隐私的框架下研究了分布式子图问题，得到了分布式子图问题的第一上界和第一下界。我们发现，存在一个线性时间$ε$ -差分私有算法，发现一个$2$ -近似的denominator子图与一个额外的多对数添加剂错误。我们的算法不仅报告了稠密子图的近似密度，而且还报告了构成稠密子图的顶点。我们的上限几乎匹配著名的$2$ -近似Charikar在性能和近似比，但我们还实现了差分隐私。与Charikar算法相比，我们的算法有一个额外的多对数加性误差。我们部分证明了一个新的下限的加性误差，表明任何差分私人算法，提供了一个常数因子近似，一个亚对数加性误差是固有的。我们还实际研究了我们的差异隐私算法在现实世界的图，我们表明，在实践中，该算法找到了一个非常接近最优的解决方案
2022-11-14 cs.CR cs.DS cs.GT
$(1-ε)$-approximate fully dynamic densest subgraph: linear space and faster update time
我们考虑的问题，保持$(1-ε)$ -近似的denatrium子图（DSG）的无向多重图，因为它经历了边插入和删除（全动态设置）。Sawlani和Wang [SW 20]开发了一种数据结构，对于任何给定的$ε> 0$，该数据结构保持$(1-ε)$近似，其中边缘操作的$O(\log^4 n/ε^6)$最差情况更新时间和报告密度值的$O(1)$查询时间。他们的数据结构是第一个实现接近最佳近似的，并改进了以前的工作，在摊销多对数更新时间[BHNT 15]中保持了$(1/4 - ε)$近似。在本文中，我们开发了一个数据结构的$(1-ε)$ -近似DSG，从两个方面改进了[SW 20]。首先，该数据结构使用线性空间，通过对数因子改善[SW 20]中的空间界限。第二，数据结构在每次更新的分摊$O(\log^2 n/ε^4)$时间中保持$(1-ε)$近似，同时保证最坏情况更新时间是$O(\log^3 n \log \log n/ε^6)$。我们相信，空间和更新时间的改善是有价值的，目前大规模的图形数据集。该数据结构以自然的方式扩展到超图，并在空间和更新时间方面优于建立在[SW 20]基础上的最近工作[BBCG 22]。
2022-10-06 cs.DS
Differentially Private Densest Subgraph Detection
University of Virginia（弗吉尼亚大学）；Biocomplexity Institute（生物复杂性研究院）
本文研究边隐私模型下的最密子图检测问题，提出了首个具有加性近似保证的序列和并行差分隐私算法，并在真实网络上验证了高密度网络中良好的隐私与准确性权衡。
2021-06-18 cs.AI cs.CR cs.DS
Extracting Densest Sub-hypergraph with Convex Edge-weight Functions
导出子图问题（DSG）的目标是寻找一个导出子图，使得子图的平均边权最大化，是一个研究得很好的问题。然而，当输入图是超图时，现有的DSG概念未能捕捉到部分属于导出子超图的超边也是子超图的一部分的事实。为了解决这一问题，我们提出了一个函数$f_e:\mathbb{Z}_{\ge0}\rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0}$来表示输入超图$\mathcal{H}=(V,\mathcal{E},f)$中的超边$e$的部分边权，并将一个广义可分解子超图问题（GDSH）表示为$\max_{S\subseteq V}\frac{\sum_{e\in \mathcal{E}}{f_e(|e\cap S|)}}{|S|}$ .我们证明了，当所有的边权函数都是非减凸函数时，GDSH可以通过基于线性规划的算法、基于网络流的算法和贪婪$\frac{1}{r}$ -近似算法在多项式时间内求解，其中$r$是输入超图的秩.最后，我们调查GDSH的计算易处理的一些边权函数是非凸的。
2022-07-18 cs.DS
From Enumeration to Covering: Near-Optimal Densest P-Partite Subgraph Search over Large Heterogeneous Information Networks
Swinburne University of Technology（斯威本科技大学）；Soochow University（苏州大学）；Edith Cowan University（伊迪丝科文大学）
本文针对异构信息网络的稠密P部子图问题，提出用覆盖替代枚举的自适应剥离算法，实现近最优近似比，在真实网络上较枚举方法大幅加速，可验证子图近最优性。
2026-08-10 cs.DS
Finding Densest $k$-Connected Subgraphs
稠密子图发现是一种重要的图挖掘算法，具有广泛的应用前景。密集子图发现的最好研究的优化问题之一是密集子图问题，其中给定边加权无向图$G=(V,E,w)$，我们被要求找到使密度$d(S)$最大化的$S\subseteq V$，即，导出子图$G[S]$的加权平均度的一半。该问题可以在多项式时间内精确求解，在几乎线性时间内近似求解。然而，一个denominant子图有一个结构上的缺陷，即，子图可能不是鲁棒的顶点/边故障。事实上，一个稠密的子图可能不是良好连接的，这意味着子图可能是不连续的，只删除几个顶点/边在it. In本文中，我们提供了一个算法框架，找到一个稠密的子图，是良好连接的顶点/边连接。具体地说，我们引入了以下问题：给定一个图$G=(V,E,w)$和一个正整数/实$k$，我们被要求在$G[S]$是$k$ -顶点/边连通的约束下，找到最大化密度$d(S)$的$S\subseteq V$.对于这两个问题，我们提出了多项式时间（双准则和普通）近似算法，使用经典的马德尔定理在图论及其扩展。
2020-07-03 cs.DM cs.DS cs.SI
A Note on Approximability of Densest At-Least-k-Subgraph
INSAIT, Sofia University St. Klement Ohridski（索菲亚大学圣克莱门特奥赫里斯基研究所）；Google Research（谷歌研究）；University of Haifa（海法大学）
通过从最密k子图问题到最密至少k子图问题的归约，证明了在DkS难以近似时DALkS的近似硬度下界，并推广到紧的(2-ε)因子，同时证明了参数化版本的W[1]-难性。
2026-05-25 cs.CC cs.DS
Sum-of-Squares Lower Bounds for Densest $k$-Subgraph
给定一个图和一个整数$k$，Denmark $k$ -Subgraph是在$k$的顶点上寻找边数最多的子图的算法任务。这是一个基本问题，几十年来一直受到深入研究，应用范围广泛。最先进的算法是Bhaskara等人[STOC '10]提出的$O(n^{1/4 + ε})$因子近似（适用于任何$ε> 0$）。此外，所谓的对数密度框架预测这是最优的，即，对于有效算法来说，不可能实现$O(n^{1/4 - ε})$因子近似。在一般情况下，Denmark $k$ -Subgraph是一个典型的噪声推理任务，它被证明表现出计算-计算间隙。在这项工作中，我们提供了最强有力的证据，但硬度Denmark $k$ -子图显示匹配的下界对强大的平方和（SoS）算法，一个元算法的基础上凸规划，实现了最先进的算法保证许多优化和推理问题。对于$k \leq n^{\frac{1}{2}}$，我们得到了度$n^δ$ SoS下限的硬制度预测的对数密度框架。为了证明这一点，我们利用现代框架来证明Barak等人开创的平均情况问题的SoS下限。[FOCS '16]。一个关键的问题是，输入中的小的密度高于平均值的子图将极大地影响子图周围的候选伪期望算子的值。为了应对这一挑战，我们设计了一个新的矩阵分解方案的基础上积极的最小顶点分离。然后，我们证明了一个交叉权衡引理，表明使用此分离器时的误差项确实很小。
2023-03-30 cs.CC cs.DS
Finding events in temporal networks: Segmentation meets densest-subgraph discovery
在本文中，我们研究的问题，发现一个时间轴的时间网络中的事件。我们将事件建模为在网络活动间隔内发生的密集子图。我们制定的事件发现任务作为一个优化问题，在这里我们搜索的网络时间轴的分区为k个不重叠的间隔，使间隔跨越子图的最大总密度。输出是一系列密集的子图以及相应的时间间隔，捕获网络生命周期中最有趣的事件。我们的优化问题的一个简单的解决方案具有多项式，但运行时间复杂度高得惊人。我们适应现有的最新工作动态稠密子图发现和近似动态规划设计一个快速的近似算法。接下来，为了确保更丰富的结构，我们调整了问题的制定，以鼓励覆盖更大的节点集。这个问题即使对于静态图也是NP难的。然而，在静态图上，由于子模块性，简单的贪心算法会导致近似解。我们将这种贪婪方法扩展到时间网络的情况。然而，近似保证并不成立。然而，根据实验，该算法找到了良好的质量的解决方案。
2018-09-13 cs.DS cs.SI
A Survey on the Densest Subgraph Problem and Its Variants
KTH Royal Institute of Technology（KTH皇家理工学院）；Sapienza University of Rome（罗马大学）；CENTAI Institute（CENTAI研究所）
本文是最密子图问题的综述，梳理了该问题自1970年代以来的基础成果、各类变体及最新突破，介绍了相关应用并提出了开放问题。
2024-04-18 cs.AI cs.DS
Space- and Time-Efficient Algorithm for Maintaining Dense Subgraphs on One-Pass Dynamic Streams
虽然在许多图挖掘应用程序中，在时间和空间方面有效地处理更新流是至关重要的，但对于实现这种类型的算法知之甚少。在本文中，我们研究这个问题的核心问题，许多图挖掘应用程序称为{ \em denumbersubgraph问题}。我们开发了一个算法，同时实现这个问题的时间和空间效率。这是第一个同类的图形问题，以我们所知。在图$G = (V, E)$中，由节点的子集$S \subseteq V$诱导的子图的“密度”被定义为$|E(S)|/|S|$，其中$E(S)$是$E$中的边的集合，其中两个端点都在$S$中。在导出子图问题中，目标是找到一个最大化相应导出子图密度的节点子集。对于任何$ε>0$，我们提出了一个动态的算法，以高概率，保持$(4+ε)$ -近似的denatrium子图问题下的一个序列的边缘插入和删除的图中的$n$节点。它使用$\tilde O(n)$空间，分摊更新时间为$\tilde O(1)$，查询时间为$\tilde O(1)$。这里，$\tilde O$隐藏了一个$O(\poly\log_{1+ε} n)$术语。近似比可以提高到$(2+ε)$，代价是将查询时间增加到$\tilde O(n)$。它可以扩展到一个$(2+ε)$近似的次线性时间算法和分布式流算法。我们的算法是第一个流算法，可以保持在{ \em one pass}的denatrium子图。该设置中的先前最佳算法需要$…
2015-09-22 cs.DS
Multiplicative Weights Update, Area Convexity and Random Coordinate Descent for Densest Subgraph Problems
本文针对最稠密子图及其分解问题，提出基于乘法权重更新、面积凸性和加速随机坐标下降的算法，显著提升迭代复杂度与实用性，并在高精度下匹配精确算法运行时间。
2024-06-14 cs.DS
A Novel Approach to Finding Near-Cliques: The Triangle-Densest Subgraph Problem
许多图挖掘应用依赖于检测近团的子图。在现有的工作与这个问题有关的结果之间存在着二分法：一方面，最大化所有子图的平均度的dennial子图问题（DSP）是在多项式时间内可解的，但对于许多网络未能找到子图的近团。另一方面，面向寻找近似团的公式是NP困难的，并且由于与最大团问题的联系而经常不可近似。在这项工作中，我们提出了一个配方，结合了最好的两个世界：它是可解的多项式时间，发现近团时，DSP失败。令人惊讶的是，我们的配方是DSP的简单变体。具体地说，我们定义了三角形可分解子图问题（TDSP）：给定$G(V,E)$，找到顶点$S^*$的子集，使得$τ(S^*)=\max_{S \subseteq V} \frac{t(S)}{|S|}$，其中$t(S)$是由集合$S$诱导的三角形的数量。我们提供了各种精确和近似算法，有效地解决了TDSP。此外，我们展示了我们的算法如何适应更一般的问题，最大化的$k$ -团平均密度。最后，我们提供的经验证据表明，TDSP应该使用时，DSP的输出未能输出近团。
2014-05-20 cs.DM cs.DS cs.SI
Practical Parallel Algorithms for Near-Optimal Densest Subgraphs on Massive Graphs
本文提出结合 Greedy++ 并行变体与 k-core 剪枝的 (1+ε)-近似最密子图框架，显著提升并行性能，并首次处理千亿边级 hyperlink2012 与 clueweb 图。
2023-11-07 cs.DC cs.DS
Densest Subhypergraph: Negative Supermodular Functions and Strongly Localized Methods
本文将锚定最密子图问题推广到超图并引入可调局部性参数，证明并给出了局部性参数不太小时的强局部算法，同时提出了最密超模集合的首个强多项式时间算法和带任意节点权重的重且稠密子图发现精确算法。
2024-02-22 cs.DM cs.DS cs.SI
Polynomial integrality gaps for strong SDP relaxations of Densest k-subgraph
Denk-subgraph（DkS）问题（即寻找一个最大边数为k的子图）是近似算法中著名的问题之一。在已知的DkS的上限和下限之间存在显著的差距：当前最好的算法给出~ O（n^{1/4}）近似，而即使显示小的常数因子硬度也需要比P！NP.除了对设计更好的算法感兴趣之外，最近的一些结果利用了Denmark-子图及其变体的约束硬度。因此，理解DkS的可近似性是一个重要的挑战。在这项工作中，我们给出了证据的硬度近似DkS内多项式的因素。具体地说，我们揭示了SDP层次的强半定规划在求解Denmark-子图时的局限性。我们的成果包括：* DkS的Sherali-Adams松弛的Omega（log n/log log n）轮的完整性间隙的Omega（n^{1/4}/log^3 n）的下限。这也适用于从Sherali-Adams获得的松弛与添加的SDP约束。我们的间隙实例实际上是Erdos-Renyi随机图。* 对于每个ε> 0，DkS的Lasserre SDP松弛的n^{Omega（eps）}轮的完整性间隙的下限为n^{2/53-eps}，并且n ^{1-eps}轮的完整性间隙为n^{Omega_eps（1）}。我们的建设收益通过减少从随机实例的某个Max-CSP在大域。在缺乏DkS的不可近似性结果的情况下，我们的结果表明，即使是最强大的SDP也无法击败n^{Omega（1）}的因子，事实上，…
2011-10-06 cs.CC cs.DS
In-depth Analysis of Densest Subgraph Discovery in a Unified Framework
本文提出统一框架系统比较从小规模到十亿级图上的最密子图发现算法，并结合现有技术提出快至10倍且精度保证相同的新变体，为后续研究提供新见解。
2024-06-07 cs.DB cs.DS
Tighter Bounds for Local Differentially Private Core Decomposition and Densest Subgraph
本文针对局部差分隐私下的核心分解问题，首次给出集中式与局部模型的加性误差下界，并基于持续计数黑盒构造了几乎匹配下界的精确与近似核心分解机制，同时改进了近似最密子图问题的机制。
2024-02-28 cs.CR cs.DS
Finding Connected Dense $k$-Subgraphs
给定一个$n$上的连通图$G$和一个正整数$k\le n$，$G$在$k$上的子图称为$G$中的$k$ -子图.我们设计了组合近似算法，用于寻找$G$中的连通$k$ -子图，使得其密度至少是$G$中的密度$k$ -子图的密度的一个因子$Ω(\max\{n^{-2/5},k^2/n^2\})$（不一定是连通的）。这些特别提供了第一个非平凡的近似一般图上的dennial连接$k$ -子图问题。
2015-01-29 cs.DM cs.DS
Query Complexity of Densest Sub(hyper)graph Problems
Pacific Northwest National Laboratory（太平洋西北国家实验室）；School of Computing, University of Utah（犹他大学计算机学院）；Department of Computer Science and Engineering, Texas A&M University（德克萨斯农工大学计算机科学工程系）
本文研究割查询模型下最密子（超）图问题的查询复杂度，推广稀疏化方法至带权图获近似算法，确定最密k子图精确复杂度，突破超图近似障碍并证实相关猜想。
2026-10-14 cs.CC cs.DS
On Densest $k$-Subgraph Mining and Diagonal Loading: Optimization Landscape and Finite-Step Exact Convergence Analysis
University of Virginia（弗吉尼亚大学）；KU Leuven（荷语鲁汶大学）
本文提出了一种基于惩罚的非凸松弛方法，通过理论分析证明其在有限步内精确收敛到积分局部最大值，解决了密集k子图挖掘的理论难题。
2026-01-30 cs.DS cs.SI
A New Conjecture on Hardness of Low-Degree 2-CSP's with Implications to Hardness of Densest $k$-Subgraph and Other Problems
我们提出了一个关于低次$2$ -CSP's的硬度的新猜想，并证明了Denmark $k$ -Subgraph和其他几个问题，包括图划分问题和图交叉数问题的一个变体的逼近结果的新硬度都来自这个猜想.该猜想可以被视为占据了$d$到$1$猜想和$2$ -CSP的硬度结果之间的中间地带，该硬度结果可以通过标准技术获得，例如与用于3SAT问题的标准$2$ -证明器协议相结合的并行重复.我们希望这项工作将激励进一步探索的硬度$2$ -CSP的制度所产生的猜想。我们相信，一个积极的解决方案的猜想将提供一个很好的起点，进一步的硬度近似证明。我们工作的另一个贡献是证明我们考虑的问题从近似的角度来看是大致等价的。这些问题中的一些出现在以前的工作中，从那里看来，它们可能是相互关联的。我们在这项工作中正式确立了这种关系。
2022-11-10 cs.CC cs.DS
The Densest Subgraph Problem with a Convex/Concave Size Function
在密度子图问题中，给定一个边加权无向图$G=(V,E,w)$，我们被要求找到使密度最大化的$S\subseteq V$，即，$w(S)/|S|$，其中$w(S)$是由$S$诱导的子图中的边的权重之和。这个问题经常被用于各种各样的图挖掘应用程序中。然而，该问题有一个缺点;与手头的应用程序中所需的大小相比，可能会发生所获得的子集太大或太小的情况。在这项研究中，我们解决的密度子图问题的大小问题，通过推广的密度$S\subseteq V$。具体来说，我们引入$S\subseteq V$的$f$ -密度，定义为$w(S)/f(|S|)$，其中$f:\mathbb{Z}_{\geq 0}\rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$是单调非减函数。在$f$ -密度子图问题（$f$-DS）中，我们的目标是找到最大化$f$ -密度$w(S)/f(|S|)$的$S\subseteq V$.虽然$f$ -DS没有明确指定顶点的输出子集的大小，但是我们可以使用凸/凹大小函数$f$适当地处理上述大小问题。对于具有凸函数$f$的$f$ -DS，我们提出了一个近似保证的近似线性时间算法。另一方面，对于具有凹函数$f$的$f$-DS，我们提出了一个基于LP的精确算法，一个基于流的$O(|V|^3)$ -时间精确算法和一个近似线性时间近似算法。
2017-03-10 cs.DM cs.DS cs.SI
Sherali-Adams Integrality Gaps Matching the Log-Density Threshold
对数密度方法是一个强大的算法框架，近年来已经产生了最著名的各种问题的近似，包括Denmark- $k$ -子图和二分小集顶点扩展。这些近似已被证明是最佳的基础上的各种实例的一般猜想：这是很难区分一个完全随机的组合结构，其中包含一个类似的种植子结构具有相同的“日志密度”。证明了在边概率为$n^{-α}$的随机超图中，对任意$k$和$α$，Sherali-Adams的$\tildeΩ(\log n)$轮不能排除边密度为$k^{-α-o(1)}$的$k$ -子超图的存在性.即使目标函数的界限被提升，这也是成立的。这给出了与上述区分问题中的间隙完全匹配的强完整性间隙，以及最著名的近似，用于Denmark $k$ -子图，最小$p$ -边子图，它们的超图扩展，以及小集二分顶点扩展（或等价地，最小$p$ -并集）。以前，这种完整性差距仅为Denmark $k$ -子图的一个特定参数设置所知。
2018-04-20 cs.DS
The Generalized Mean Densest Subgraph Problem
Cornell University（康奈尔大学）
寻找大型图的稠密子图是图挖掘中的一个标准问题，由于其理论上的丰富性和许多实际应用而被广泛研究。在本文中，我们引入了一个新的家庭稠密子图的目标，参数为一个单一的参数$p$，计算的基础上，广义手段的程度序列的一个子图。我们的目标捕获的标准densorable子图的问题和最大的$k$ -核心的特殊情况下，并提供了一种方法来插入和外推超出这两个目标时，寻找其他概念的稠密子图。在算法的贡献，我们首先表明，我们的目标可以在多项式时间内最小化所有$p \geq 1$使用重复的子模块化最小化。我们的工作的一个主要贡献是在理论和实践中分析了不同类型的剥离算法的稠密子图的性能。我们证明，标准的剥离算法可以执行任意差我们的广义目标，但我们设计了一个更复杂的剥离方法，$p \geq 1$有一个近似的保证，总是至少$1/2$和收敛到1的$p \rightarrow \infty$。在实践中，我们表明，该算法获得了非常好的近似的最优解，规模大的图形，并突出了一系列不同的有意义的概念的密度图来自许多领域。此外，通过更好地考虑移除一个节点如何影响其邻域中的其他节点，它通常能够比标准剥离算法更好地近似分布式子图问题。
2021-06-04 cs.DM cs.DS cs.LG
Faster Algorithms for Generalized Mean Densest Subgraph Problem
Baidu Research（百度研究院）
本文针对广义平均稠密子图问题，首次证明标准剥离算法在0<p<1时具有2^{1/p}近似比，并提出更快算法GENPEEL++，在p≥1时达到(2(p+1))^{1/p}近似比，时间复杂度降至O(m log n)。
2023-10-17 cs.DS cs.LG stat.ML
Generalized Densest Subgraph in Multiplex Networks
针对多重网络现有稠密子图挖掘方法未区分连接类型重要性、仅用边密度的局限，提出带双参数的广义稠密子图目标，基于扩展FirmCore给出多项式近似算法，验证了方法的有效性与高效性。
2023-10-07 cs.DS cs.SI
Sparsification Framework for Directed Densest Subgraph
UC Davis（加州大学戴维斯分校）
提出有向最密子图稀疏化框架，在半流式、MPC和次线性时间设置中实现(1-ε)近似，显著改进现有算法的近似比和复杂度。
2026-10-02 cs.DS
The Vertex-Attribute-Constrained Densest $k$-Subgraph Problem
本文提出了结合顶点属性的 VAC-D$k$S 问题，证明其连续松弛是紧致的并可用 Frank--Wolfe 算法高效求解，实验表明该方法能扩展至大图并在政治网络中识别出比经典 D$k$S 更平衡且有意义的子图。
2025-08-08 cs.DS cs.SI
Towards Realistic Team Formation in Social Networks based on Densest Subgraphs
给定一个任务$\mathcal{T}$，一组具有多种技能的专家$V$和一个反映专家之间兼容性的社交网络$G(V, W)$，团队形成是识别一个团队$C \subseteq V$的问题，该团队既能胜任执行任务$\mathcal{T}$，又能兼容地一起工作。现有的方法对这个问题的限制性假设，因此不能模拟实际情况。本文的目标是考虑在现实环境中的团队形成问题，并提出了一种新的配方的基础上denumbersubgraphs。我们的公式允许对许多自然需求进行建模，例如（i）包括指定的团队领导和/或一组给定的专家，（ii）限制团队的规模或更一般的成本，（iii）强制执行团队的本地化，例如，在地理意义上或社会意义上，等等。所提出的配方导致了一个推广版本的经典的基数约束的denominationsubgraph问题（DSP），这是一个NP难的问题，并有许多应用在社会网络分析。本文提出了一种新的近似求解广义DSP（GDSP）的方法。我们的方法，FORTE，是基于解决GDSP的等效连续松弛。通过我们的方法找到的解决方案有质量保证，并始终满足GDSP的约束。实验表明，所提出的配方（GDSP）是有用的建模更广泛的团队形成的问题，我们的方法产生更连贯和紧凑的高品质的团队。我们还表明，LP松弛的GDSP的帮助下，我们的方法给GDSP接近最优的解决方案。
2015-05-25 cs.DS cs.SI
Dense Subgraphs on Dynamic Networks
在分布式网络中，节点知道稠密子图通常是有用的，例如，这样的密集子图可以揭示在其他稀疏图（例如万维网或社交网络）中的密集子结构;这些可以揭示社区集群或密集区域，用于可能维持良好的通信基础设施。在这项工作中，我们解决了动态网络中节点的自我意识问题，即图密度，我们给出了分布式算法，用于维护成员节点知道的稠密子图。节点需要的唯一知识是动态直径$D$的知识，即，消息穿过动态网络所需的最大轮次数。对于我们的工作，我们考虑一个模型，其中节点的数量是固定的，但一个强大的对手可以在每个时间步从网络中添加或删除有限数量的边缘。通信仅通过广播进行，并遵循CONGEST模型。我们的算法在网络上连续执行，并且在任何时候（在一些初始化之后）每个节点都将知道它是否是特定稠密子图的一部分（或不是）。给出了（$2 + ε$）-逼近可扩展子图和（$3 + ε$）-逼近至少$k$ -可扩展子图的算法（对于给定的参数$k$）.我们的算法适用于各种参数值，并在$O(D\log_{1+ε} n)$时间内运行。此外，我们的结果的一个特殊情况下，还给出了第一个完全分散的近似算法的denanding和至少- $k$ -denanding子图问题的静态分布图。
2012-08-07 cs.DC cs.DS
Continual Release of Densest Subgraphs: Privacy Amplification & Sublinear Space via Subsampling
Yale University（耶鲁大学）
研究边差分隐私图算法的持续发布模型，通过精细化子采样实现隐私放大与稀疏化，提出首个匹配最佳静态DP误差与非隐私流式空间复杂度的稠密子图算法，并引入图稠密化消除额外对数因子。
2025-10-13 cs.CR cs.DS cs.LG
Convergence to Lexicographically Optimal Base in a (Contra)Polymatroid and Applications to Densest Subgraph and Tree Packing
本文通过关联（反）多拟阵字典最优基的Fujishige二次规划与带噪声Frank-Wolfe方法，简化了Super-Greedy++算法收敛性证明并强化结论，还以此统一阐释了树装填相关研究。
2023-05-04 cs.DM cs.DS
