On a Conjecture of Kelly on $(1,3)$-representation of Sylvester Gallai Designs
我们给出了L.M.Kelly猜想成立的一个精确判据，如下所述。如果在$\mathbb{R}^l,l\geq 4$中存在有限族$Σ$，使得$Σ$中每两条线的三维仿射跨度（壳）至少包含$Σ$的另一条线，则我们有$Σ$完全包含在三维空间中当且仅当仿射包的排列是中心的。最后，本文将对高维斜仿射空间，即$\mathbb{R}^6$中sylvester-gallai设计的$(2,5)$ -表示，引出一个类似的问题，这将在最后一节中回答。
2020-03-16 math.CO
On the Sylvester-Gallai theorem for conics
在本说明中，我们给出了一个新的证明结果，由于怀斯曼和威尔逊建立了一个类似的西尔维斯特-Gallai定理有效的曲线的程度二。证明的主要内容来自代数几何。具体地说，我们利用了射影平面的Cremona变换和Hirzebruch不等式。
2014-11-10 math.AG math.CO
Sylvester-Gallai Theorems for Complex Numbers and Quaternions
Sylvester-Gallai（SG）配置是点的有限集S，使得通过S中任何两个点的线包含S的第三个点。根据Sylvester-Gallai定理，实射影空间中的SG构形必须共线。Serre（1966）的一个问题是问在复射影空间中的SG构形是否必须共面。Kelly（1986）利用Hirzebruch的一个深不等式证明了这一点。我们给出了这个结果的一个初等证明，并将其推广到四元数上的射影空间中的SG位形必包含在一个三维平面中。
2006-02-15 math.CO math.MG
Robust Radical Sylvester-Gallai Theorem for Quadratics
我们证明了二次多项式的Sylvester-Gallai型定理的一个鲁棒推广，推广了[S '20]中的结果。更确切地说，给定参数$0 < δ\leq 1$和次数至多为2的不可约且成对独立的多项式的有限集合$\mathcal{F}$，如果对于任何多项式$F_i \in \mathcal{F}$，存在$δ(|\mathcal{F}| -1)$多项式$F_j$，使得$|\mathrm{rad}(F_i, F_j) \cap \mathcal{F}| \geq 3$，即$F_i, F_j$的根包含集合中的第三个多项式，则我们说$\mathcal{F}$是$(δ, 2)$根Sylvester-Gallai配置。本文证明了任何$(δ, 2)$自由基Sylvester-Gallai构型$\mathcal{F}$都必须是低维的，即$$\dim \mathrm{span}(\mathcal{F}) = \mathrm{poly}(1/δ).$$
2022-03-10 cs.CC cs.CG cs.DM
Sylvester-Gallai type theorems for approximate collinearity
我们研究的问题，在发病率几何点的精确位置是“模糊”（例如，由于噪音，不准确或错误）。因此，直线被细管代替，更一般的仿射子空间被它们的小邻域代替。我们证明了在d维复空间中的一组点中存在足够多的近似共线三元组意味着这些点接近于一个低维仿射子空间。这可以被看作是Sylvester-Gallai定理及其扩展的稳定变体。建立在最近发现的Sylvester-Gallai型定理和复杂的局部可纠正码（LCC）之间的连接，我们定义了新的概念，稳定的LCC，其中（本地）校正程序也可以处理小扰动的欧几里德度量。我们证明了这种稳定的代码与恒定的查询复杂度是不存在的。在任何此类当地环境中，2次以上查询均未获得已知的不可能结果。
2012-11-02 cs.CC cs.CG cs.DM
On the Sylvester-Gallai and the orchard problem for pseudoline arrangements
我们研究了$12$伪线的果园问题的一个非平凡的极端情况下，我们提供了一个完整的分类的伪线安排有$19$三重点和$9$二重点。我们还对那些可以用直线实现的进行了分类。他们包括新的例子不同于已知的例子Böröczky。由于梅尔基奥尔不等式也适用于伪线的安排，我们能够推断出，一些组合的点线配置不能实现使用伪线。特别是，这给出了一个否定的答案Grünbaum的问题。我们制定了一些开放的问题，其中涉及我们的新的例子线安排。
2017-07-16 math.AG math.CO
Sylvester-Gallai type theorems for quadratic polynomials
证明了二次多项式的Sylvester-Gallai型定理。具体地说，我们证明，如果一个有限的集合$\mathcal Q$，不可约多项式的次数最多$2$，满足每两个多项式$Q_1,Q_2\in {\mathcal Q}$有第三个多项式$Q_3\in{\mathcal Q}$，使每当$Q_1$和$Q_2$消失，然后也$Q_3$消失，那么线性跨度的多项式在${\mathcal Q}$有尺寸$O(1)$。我们还证明了一个有色版本的定理：如果三个有限的二次多项式集满足，每两个多项式从不同的集有一个多项式在第三集满足相同的消失条件，然后所有的多项式都包含在一个$O(1)$维空间。这肯定地回答了Gupta [ECCC 2014]在求解某些深度- $4$多项式恒等式的上下文中提出的两个命题。为了得到我们的主要定理，我们证明了一个新的结果分类的可能方式，一个二次多项式$Q$可以消失时，其他两个二次多项式消失。我们的证明还需要Edelstein和Kelly定理（将Sylvester-Gallai定理扩展到着色集）的强大版本。
2020-08-10 cs.CC math.AG math.CO
Sylvester-Gallai for Arrangements of Subspaces
本文研究了$k$维子空间$V_1,\ldots,V_n \subset \mathbb{C}^\ell$的排列.我们的主要结果表明，如果每对子空间的$V_{a},V_b$包含在一个依赖三元组（一个三元组$V_{a},V_b,V_c$包含在一个$2k$维空间），那么整个安排必须包含在一个子空间，其维数只取决于$k$（而不是$n$）。该定理在以下假设下成立：对每一对都有$V_a \cap V_b = \{0\}$（否则为假）。这推广了Sylvester-Gallai定理（或凯利复数定理），证明了$k=1$的情况。我们的证明还处理安排，我们有许多对（而不是所有）出现在依赖的三元组，概括了巴拉克等的定量结果。[BDWY-pnas].其中一个主要成分的证明是一个加强定理的Barthe [Bar 98]（从$k=1$到$k>1$的情况下）证明存在一个线性映射，使角度之间的对子空间大的平均。这样的映射是可以找到的，除非有一个低维子空间的形式的障碍，它与排列中的许多空间相交（在这种情况下，人们可以使用不同的参数来证明主要定理）。
2014-12-02 cs.CC math.CO
Strong Algebras and Radical Sylvester-Gallai Configurations
本文证明特征0代数闭域上满足根条件的不可约齐次多项式族（根西尔维斯特-加莱构型）的维数仅依赖次数的一致上界，证实相关猜想并推广已有结果，为PIT算法及代数不变量界提供支撑。
2023-10-06 cs.CC math.AC math.AG
Incidence geometry and universality in the tropical plane
我们研究了回归平面上直线的关联几何。我们证明热带类似物的西尔维斯特-Gallai和Motzkin-拉宾定理在经典的关联几何。这项研究自然会导致讨论的发病率数据的热带线的实现。从von Staudt结构和Mnëv的普适性定理中得到启发，我们证明了确定给定的热带线性入射数据是否可由热带线排列实现需要求解整数上的任意线性规划问题。
2018-05-13 math.CO
On the number of ordinary conics
证明了$\mathbb{R}^2$中有限点集所决定的普通二次曲线个数的一个下界。$\mathbb{R}^2$的子集$S$的普通二次曲线是由$S$的五个点确定的二次曲线，并且不包含$S$的其他点。Wiseman和Wilson证明了Sylvester-Gallai类型的陈述，即如果一个有限点集不包含在一个二次曲线中，那么它至少确定一个普通的二次曲线。我们给出了一个较简单的证明，并结合Green和Tao的一个结果证明了我们的主要结果：若$S$不包含在二次曲线中，且至多在一条直线上有$c|S|$点，则$S$确定$Ω_c(|S|^4)$普通二次曲线.我们还给出了一个结构，基于椭圆曲线的群结构，这表明在我们的界的指数是最好的可能。
2016-05-21 math.CO
Double points of free projective line arrangements
证明了Anzis和Tohaneanu猜想，即任意特征为零的域上的射影平面上超可解直线排列的Dirac-Motzkin猜想.此外，我们证明了一个分裂自由安排的线至少包含一个二重点，这可以被视为Sylvester-Gallai定理的一些自由安排。这是一个一般结果的推论，如果你给一个自由射影直线排列加上一条直线，那么这条直线必须至少包含一个二重点。证明了与超可解线列和二重点个数有关的一些定理和一个未解决的问题。
2019-12-12 math.AG math.CO
On the structure of extremal point-line arrangements
本文证明达到 Szemerédi-Trotter 极值关联数的点线排列具有刚性：仅固定依赖常数 C 的少量点，即可确定排列的正比例部分。
2024-09-09 math.CO
On the geometry of real or complex supersolvable line arrangements
给定$n$线在射影平面中的秩为3的实数排列$\mathcal A$，Dirac-Motzkin猜想（由Green和Tao在2013年证明）指出，对于足够大的$n$，$\mathcal A$的简单交点的数量大于或等于$n/2$。用一个简单得多的证明证明了如果$\mathcal A$是超可解的，则该猜想对任何$n$都成立（对原猜想的一个小改进）.斜率问题（证明Ungar在1982年）指出，$n$非共线点在真正的平面确定至少$n-1$斜率;我们表明，这是相当于提供一个下界的模点的多重性在任何（真正的）超可解安排。在第二部分中，我们发现之间的连接的数量的单点的超可解线安排，在任何领域的特征0，和程度的减少雅可比计划的安排。在复数上，即使Sylvester-Gallai定理不成立，我们猜想Dirac-Motzkin猜想的超可解版本是正确的。
2015-05-09 math.CO
Point-Line Geometry in the Tropical Plane
本文研究了Bruijn和Erd \H os关于平面上$n$ -点位形所决定的线数的界的经典结果，并根据最近证明的热带Sylvester-Gallai定理，给出了上述结果的热带形式.在这项工作中，我们介绍了稳定的热带线，这有助于回答有关的问题，在热带平面的发病率几何。在热带平面上的射影对偶有助于将稳定线的问题转化为以前已经深入研究过的稳定交点。排除牛顿细分和线排列之间的对偶性，我们能够对细分中细胞形状的稳定交叉进行分类，这最终有助于我们提出一个界限。在这个过程中，我们还遇到了各种独特的性质，线性牛顿细分是对偶热带线安排。
2020-06-08 math.AG math.CO
Graph metric with no proper inclusion between lines
在试图推广经典的Sylvester-Gallai定理和De Bruijn-Erdés定理在平面几何中，线和闭包线先前被定义为度量空间和超图。这两个定义都不符合几何直观，因为两条线（闭合线）可以相交于多个点，并且一条线（闭合线）可能是另一条线的真子集。在这项工作中，我们研究的系统中的一个或两个配置是禁止的。我们注意到，当任意两条直线至多相交于一点时，这两个经典定理在任意度量空间中推广。研究了由单图导出的度量空间，其中没有一条线是另一条线的真子集，证明了具有$n$顶点的简单图的最少线数介于$n^{4/3}$和$n^{4/3} \ln^{2/3} n$的阶之间.
2014-02-23 math.CO math.MG
Elementary incidence theorems for complex numbers and quaternions
本文给出了证明以下涉及复数和四元数平面上点与线的关联的Sylvester-Gallai型定理的一些基本思想。(1)设A和B是至少各有两个复数的有限集合。则在复仿射平面中存在一条直线l，使得l与AxB相交于两点。(2)设S是复仿射平面上的有限个非共线点集。则存在一条与S相交于2、3、4或5个点的直线l。(3)设A和B是至少各有两个四元数的有限集合。则在四元数仿射平面中存在直线l，使得l与AxB相交于2、3、4或5个点。(4)设S是四元数仿射平面上的有限个非共线点集。则存在一条与S相交的直线l至少有2个至多24个点。
2007-03-13 math.CO math.MG
Incidence Theorems and Their Applications
我们调查最近（不那么最近）的结果有关安排的线，点和其他几何对象和应用这些结果在理论计算机科学和组合学。我们将讨论的三种主要类型的问题是：（1）计数发生率：给定一组（或几组）几何对象（线，点等），不同集合中的元素之间可以存在的最大关联（或交叉）数量是多少？我们将看到几个这类结果，如Szemeredi-Trotter定理，在实数和有限域上，并讨论它们在组合学中的应用（例如，最近Guth和Katz对Erdos距离问题的解决方案）和计算机科学（多源提取器的显式构造）。(2)Kakeya类型问题：这些问题处理指向不同方向的线的排列。我们的目标是试图了解这些线可以在多大程度上相互重叠。我们将在实数域和有限域上讨论这些问题，看看它们是如何出现在随机抽取器理论中的。(3)Sylvester-Gallai型问题：在这种类型的问题中，人们提出了一个包含许多“局部”依赖关系的点的配置（例如，一条线上的三个点），并被要求导出所有点的跨度的维度上的界限。我们将讨论几个最近的结果，这种类型的，在不同的领域，并看到他们的连接到理论的局部可纠正的纠错码。在整个调查的不同部分，两种类型的技术将经常出现。一种是多项式方法，它使用多项式插值对手头的问题施加代数结构。其他经常性的技术将来自加法组合学领域。
2013-08-27 cs.CC math.CO
On Sets of Monochromatic Objects in Bicolored Point Sets
Indian Institute of Technology Bombay（印度理工学院孟买分校）；London School of Economics（伦敦政治经济学院）
研究双色点集中的单色直线和圆等几何对象的性质，证明了单色直线的存在性和某些配置下的共线性，以及随机情况下的最小期望单色直线数量。
2026-02-19 cs.DM math.CO
Note on the Number of Almost Ordinary Triangles
Algoresearch L.L.C.（Algoreresearch有限责任公司）；Research Institute of the University of Bucharest（布加勒斯特大学研究所）；Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
研究平面上\(n\)个不共线点集\(X\)中\(c\) - 普通三角形数量。在特定条件下，证明其数量随\(n\)超线性甚至超二次增长，给出相关结论成立的条件，并提供计算\(n\)元点集中所有\(c\) - 普通三角形的\(O(n^{2.372})\)时间算法。
2026-07-21 cs.CG cs.DM math.CO
