近似共线性的Sylvester-Gallai型定理

Sylvester-Gallai type theorems for quadratic polynomials

We prove Sylvester-Gallai type theorems for quadratic polynomials. Specifically, we prove that if a finite collection $\mathcal Q$, of irreducible polynomials of degree at most $2$, satisfy that for every two polynomials $Q_1,Q_2\in {\mathcal Q}$ there is a third polynomial $Q_3\in{\mathcal Q}$ so that whenever $Q_1$ and $Q_2$ vanish then also $Q_3$ vanishes, then the linear span of the polynomials in ${\mathcal Q}$ has dimension $O(1)$. We also prove a colored version of the theorem: If three finite sets of quadratic polynomials satisfy that for every two polynomials from distinct sets there …

A Sylvester-Gallai result for concurrent lines in the complex plane

We show that if a set of points in $\mathbb{C}^2$ lies on a family of $m$ concurrent lines, and if one of those lines contains more than $m-2$ points, then there is a line passing through exactly two points of the set. The bound $m-2$ in our result is optimal. Our main theorem resolves a conjecture of Frank de Zeeuw, and generalizes a result of Kelly and Nwankpa.

复可表示拟阵的西尔维斯特-加莱型定理

A Sylvester-Gallai-type theorem for complex-representable matroids

本文证明了复可表示拟阵的西尔维斯特-加莱型定理，即秩至少为$4^{k-1}$的复可表示拟阵必含恰好$k$个点的秩-$k$平坦，且通过更初等的证明获得了更优界。

C^2 中代数曲线上的 Sylvester–Gallai 构型

Sylvester--Gallai configurations on algebraic curves in C^2

本文在假设大多数点位于低次代数曲线上的“99%结构”情形下，证明了复平面中 Sylvester–Gallai 构型仅有 Fermat 构型这一无穷类的猜想。

Sylvester-Gallai定理、着色与代数

The Sylvester-Gallai Theorem, colourings and algebra

我们的出发点是以下简单的共同推广西尔维斯特-加莱定理和莫茨金-拉宾定理：设S是一个有限集的点在平面上，与每个点的颜色红色或蓝色或与两种颜色。假设对于S中共享一种颜色的任何两个不同的点A，B，存在S中另一种颜色的第三个点C，与A和B共线。那么S中的所有点都是共线的。我们定义一个色几何是一个简单的拟阵，其中每个点都是红色或蓝色或两种颜色，使得对于S中共享一种颜色的任何两个不同的点A，B，S中有第三个点C，另一种颜色，与A和B共线。这是真有限线性空间和真双色有限线性空间的一个普通推广，两者都有许多已知的推广性质。一个这样的性质是凯利的复Sylvester-Gallai定理。我们还考虑了色几何在Deskuesian射影空间中的嵌入。本文证明了四元数上的射影空间中三维色几何的点数的下界为51。最后，我们提出了一个初等的方法来推论的不等式Hirzebruch凯利在他的证明复杂的Sylvester-Gallai定理。

关于Kelly关于Sylvester Gallai设计的$(1,3)$ -表示的一个猜想

On a Conjecture of Kelly on $(1,3)$-representation of Sylvester Gallai Designs

我们给出了L.M.Kelly猜想成立的一个精确判据，如下所述。如果在$\mathbb{R}^l,l\geq 4$中存在有限族$Σ$，使得$Σ$中每两条线的三维仿射跨度（壳）至少包含$Σ$的另一条线，则我们有$Σ$完全包含在三维空间中当且仅当仿射包的排列是中心的。最后，本文将对高维斜仿射空间，即$\mathbb{R}^6$中sylvester-gallai设计的$(2,5)$ -表示，引出一个类似的问题，这将在最后一节中回答。

Sylvester-Gallai关于子空间的排列

Sylvester-Gallai for Arrangements of Subspaces

本文研究了$k$维子空间$V_1,\ldots,V_n \subset \mathbb{C}^\ell$的排列.我们的主要结果表明，如果每对子空间的$V_{a},V_b$包含在一个依赖三元组（一个三元组$V_{a},V_b,V_c$包含在一个$2k$维空间），那么整个安排必须包含在一个子空间，其维数只取决于$k$（而不是$n$）。该定理在以下假设下成立：对每一对都有$V_a \cap V_b = \{0\}$（否则为假）。这推广了Sylvester-Gallai定理（或凯利复数定理），证明了$k=1$的情况。我们的证明还处理安排，我们有许多对（而不是所有）出现在依赖的三元组，概括了巴拉克等的定量结果。[BDWY-pnas].其中一个主要成分的证明是一个加强定理的Barthe [Bar 98]（从$k=1$到$k>1$的情况下）证明存在一个线性映射，使角度之间的对子空间大的平均。这样的映射是可以找到的，除非有一个低维子空间的形式的障碍，它与排列中的许多空间相交（在这种情况下，人们可以使用不同的参数来证明主要定理）。

关于伪线性排列的Sylvester-Gallai和Orchard问题

On the Sylvester-Gallai and the orchard problem for pseudoline arrangements

我们研究了$12$伪线的果园问题的一个非平凡的极端情况下，我们提供了一个完整的分类的伪线安排有$19$三重点和$9$二重点。我们还对那些可以用直线实现的进行了分类。他们包括新的例子不同于已知的例子Böröczky。由于梅尔基奥尔不等式也适用于伪线的安排，我们能够推断出，一些组合的点线配置不能实现使用伪线。特别是，这给出了一个否定的答案Grünbaum的问题。我们制定了一些开放的问题，其中涉及我们的新的例子线安排。

强代数与根西尔维斯特-加莱构型

Strong Algebras and Radical Sylvester-Gallai Configurations

本文证明特征0代数闭域上满足根条件的不可约齐次多项式族（根西尔维斯特-加莱构型）的维数仅依赖次数的一致上界，证实相关猜想并推广已有结果，为PIT算法及代数不变量界提供支撑。

加权匹配多项式的精细 Gallai-Edmonds 结构定理

A refined Gallai-Edmonds structure theorem for weighted matching polynomials

本文利用匹配多项式与分支连分式的联系，证明了加权匹配多项式 Gallai-Edmonds 结构定理的精细化版本，并揭示其与 Sylvester 修改的 Sturm 定理的关系，同时给出匹配多项式零点的新结果。

Point-Line Geometry in the Tropical Plane

We study the classical result by Bruijn and Erd\H os regarding the bound on the number of lines determined by a $n$-point configuration in the plane, and in the light of the recently proven Tropical Sylvester-Gallai theorem, come up with a tropical version of the above-mentioned result. In this work, we introduce stable tropical lines, which help in answering questions pertaining to incidence geometry in the tropical plane. Projective duality in the tropical plane helps in translating the question for stable lines to stable intersections that have been previously studied in depth. Invoking dua…

复数与四元数的初等关联定理

Elementary incidence theorems for complex numbers and quaternions

本文给出了证明以下涉及复数和四元数平面上点与线的关联的Sylvester-Gallai型定理的一些基本思想。(1)设A和B是至少各有两个复数的有限集合。则在复仿射平面中存在一条直线l，使得l与AxB相交于两点。(2)设S是复仿射平面上的有限个非共线点集。则存在一条与S相交于2、3、4或5个点的直线l。(3)设A和B是至少各有两个四元数的有限集合。则在四元数仿射平面中存在直线l，使得l与AxB相交于2、3、4或5个点。(4)设S是四元数仿射平面上的有限个非共线点集。则存在一条与S相交的直线l至少有2个至多24个点。

关联定理及其应用

Incidence Theorems and Their Applications

我们调查最近（不那么最近）的结果有关安排的线，点和其他几何对象和应用这些结果在理论计算机科学和组合学。我们将讨论的三种主要类型的问题是：（1）计数发生率：给定一组（或几组）几何对象（线，点等），不同集合中的元素之间可以存在的最大关联（或交叉）数量是多少？我们将看到几个这类结果，如Szemeredi-Trotter定理，在实数和有限域上，并讨论它们在组合学中的应用（例如，最近Guth和Katz对Erdos距离问题的解决方案）和计算机科学（多源提取器的显式构造）。(2)Kakeya类型问题：这些问题处理指向不同方向的线的排列。我们的目标是试图了解这些线可以在多大程度上相互重叠。我们将在实数域和有限域上讨论这些问题，看看它们是如何出现在随机抽取器理论中的。(3)Sylvester-Gallai型问题：在这种类型的问题中，人们提出了一个包含许多“局部”依赖关系的点的配置（例如，一条线上的三个点），并被要求导出所有点的跨度的维度上的界限。我们将讨论几个最近的结果，这种类型的，在不同的领域，并看到他们的连接到理论的局部可纠正的纠错码。在整个调查的不同部分，两种类型的技术将经常出现。一种是多项式方法，它使用多项式插值对手头的问题施加代数结构。其他经常性的技术将来自加法组合学领域。

双色点集中的单色对象集合

On Sets of Monochromatic Objects in Bicolored Point Sets

研究双色点集中的单色直线和圆等几何对象的性质，证明了单色直线的存在性和某些配置下的共线性，以及随机情况下的最小期望单色直线数量。