Some considerations on Collatz conjecture
Fabrizio Luccio
证明了一些简单的事实，统治Collatz树和链的顶点出现在它，导致的数量减少的显着元素出现在树中。虽然Collatz猜想仍然是开放的，这些事实可能会对问题的本质有所启发。
Some simple facts are proved ruling the Collatz tree and the chains of vertices appearing in it, leading to the reduction of the number of significant elements appearing in the tree. Although the Collatz conjecture remains open, these fact may cast some light on the nature of the problem.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A new conjecture equivalent to Collatz conjecture
本文提出了一个与Collatz猜想等价的新猜想，指出证明新引入的迭代函数方程所有解具有特定性质即等价于证明Collatz猜想。
Collatz Conjecture: Patterns Within
Collatz猜想序列以看似随机的方式增加和减少。通过识别和分析数字的形式，我们发现Collatz序列是由非常具体的，定义明确的规则，我们称之为级联。
An Investigation of the Collatz Conjecture
本文讨论了Collatz序列的起始值的特殊条件，这些条件意味着Collatz猜想成立。这是一位退休的数学教授（Koelzer）和一位退休的物理学教授（Welling）合作的结果。
A matricial view of the Collatz conjecture
本文从矩阵视角研究Collatz猜想，证明了某类邻接矩阵子矩阵的幂零性与非周期Collatz猜想等价。
A Collatz Conjecture Proof
我们用递归标尺函数r（2n）= r（n）+ 1和r（2n + 1）= 1表示广义Collatz函数。我们生成的偶数和奇数的Collatz序列，包含显着更少的元素的条款，2和1，分别比原来的3n + 1和Terras修改Collatz序列。我们表明，一个非线性，耦合系统的差分方程产生一个完整的无环（除了平凡的周期）Collatz树的赔率不能被3整除的根顶点1。利用选择公理构造了一棵完全Collatz树，并证明了Collatz猜想.
A Necessary Condition on the Collatz Conjecture
本文从考拉兹猜想出发，将其转化为复值函数在特定线性算子下的迭代收敛问题，从而给出该猜想成立的一个必要条件。
Two different scenarios when the Collatz Conjecture fails
在这篇文章中，我们给出了两个不同的证明为什么Collatz猜想是假的。
Verification of Collatz Conjecture: An algorithmic approach based on binary representation of integers
洛塔尔Collatz曾在1937年提出了一个猜想，在数论所谓Collatz猜想。直到今天，还没有证据证明或反驳这个猜想。在本文中，我们提出了一种基于整数位表示的Collatz猜想的算法验证方法。该方案在所谓的Collatz序列中既没有遇到任何循环，也没有序列无限增长。实验结果表明，Collatz序列从给定的整数开始，振荡有限次，永远不会超过1.7倍（比例因子）的大小的起始整数，并最终达到值1。实验结果有力地证明了猜想的正确性，并为理论证明铺平了道路。
A Proof for the Collatz Conjecture
众所周知，下面的Collatz猜想是数学中未解决的问题之一。Collatz猜想：对于任何正整数$n>1$，以下递归算法将通过有限步收敛到1。A）如果$n$是偶数，则$n/2 \to n$，B）如果$n$是奇数，则$3n+1 \to n$。利用初等数学归纳法证明了Collatz猜想。
A new method to prove the Collatz conjecture
Collatz猜想是由Lothar Collatz于1937年提出的一个著名的数学问题，至今还没有人成功地证明或证伪它。在本文中，我将用一种新的方法来分析这个问题，我将讨论我的重要发现，这些发现有助于更接近这个数学中未解决的问题的证明。
The Visual Pattern in the Collatz Conjecture and Proof of No Non-Trivial Cycles
我们提出了长期寻求的视觉模式的Collatz问题的援助的对数螺旋。使用这个新发现的模式，我们表明，Collatz问题是通过Jacobsthal数素数。然后，我们证明，没有非平凡的周期存在的螺旋和扩展的Collatz问题。
Explanation of the Dynamics involved in the 3N+1 Problem A proof for The Collatz Conjecture
该研究围绕Collatz猜想，试图通过分析Collatz树（图）中各N的独特位置，解释3N+1问题的动力学机制。
The Collatz 3n+1 Conjecture is Unprovable
在本文中，我们证明了Collatz 3n+1猜想的任何证明必须有无限多行，因此，没有正式的证明是可能的。
An Engineering and Statistical Look at the Collatz (3n + 1) Conjecture
著名的（3 n + 1）或Collatz猜想在过去的几十年里取得了一些进展，得出了猜想为真的结论（即所有Collatz序列最终都会达到1的值），但一直顽固地拒绝证明。许多专业数学家已经应用了一系列令人印象深刻的机器来分析它，并发现了一些限制或边界，如果它们存在的话，违反Collatz猜想的地方一定是。在这里，我们试图以不同于大多数数学家或数论家的方式来看待这个猜想，也就是说，我们将从统计学家/数据科学家和工程师的角度来研究这个猜想。作为一名统计学家或数据科学家，我们把Collatz序列看作是自然界中发现的序列，就像某种自然过程产生的时间序列的集合，暂时忽略它们完全确定的起源。作为一名工程师，我们试图修补Collatz序列，看看是什么让它们工作，并在首先明确我们所说的有趣的含义之后，对序列进行工程师-调整和构建-改变，同样做有趣的事情。虽然这些分析并没有证明Collatz猜想，但像其他努力一样，他们提出了理由，认为该猜想可能是真的，并且希望类似于Collatz序列的序列的分析将告诉我们一些关于Collatz猜想本身的性质，和/或带领我们进入有趣和富有成效的新方向。事实上，在这些类Collatz程序的序列中揭示的许多现象可以说比Collatz猜想本身更有趣，并且提出了与Collatz猜想本身一样有趣的假设。
About the proof of the Collatz conjecture
我想证明Collatz猜想的一种可能性，也被称为3n+1猜想，对于任何自然数N。为此，我将分析限制在每一个自然奇数的直接奇数跟随者上，并显示已经由一个到达的数与它们的跟随者之间的联系，以找到在所有范围上的递归[1，N_{i} ]，以证明猜想。
The sequence of Collatz functions, exceptionality of the 3n+1 function and the notion of Collatz generalized Matrix
在本文中，我们定义了一个非常重要的函数序列，这个序列中的所有函数都表现出与Collatz函数非常接近的行为。对这些函数的研究使我们能够获得关于Collatz猜想的非常有趣的结果，更确切地说，关于这个问题的推广，Collatz函数的性质，关于Collatz猜想的陈述，我们证明了这个猜想可以对一个井上的每个函数进行陈述-本文研究并证明了Z的一个确定子集以及其它与Collatz序列的行为有关的有趣性质。
Proof of the Collatz Conjecture
Collatz猜想是最著名的猜想之一，因为它的简单形式，在80多年前被提出。本文对该猜想提出的问题给出了肯定的回答。在第一节中，我们提出了一些定义，稍后在证明中使用。在第二节中，我们发现了一个特征函数的公式。此公式描述了基于Collatz序列的每个数字所采用的路径的功能。在最后一节中，我们使用特征函数证明了每个数最终都将达到1。
Collatz Theorem
本文研究了一类具有无穷多个元素的奇数数列的Collatz猜想的证明。这些集合推广到包含所有正奇数的集合。这个扩展假设是证明的充分猜想，使用的概念，数学归纳法。第九节利用数学归纳法再次证明了Collatz猜想。因此Collatz猜想被证明了两次。最后给出了两个检验算法，算法1的代码是Collatz猜想函数的重述，用来检验算法2所给出的新生成的Collatz函数对某些特定项的有效性。因此，从算法2到算法1，根据猜想检查数字序列和到达1所需的步骤数。
An Extension of the Collatz Conjecture modulo $2^p+2^q$
本文提出一个扩展的Collatz猜想模$2^p+2^q$，通过特定的迭代规则，证明无论起始数如何，最终都会达到4。
The Collatz Network
考虑到所有可能的路径，一个自然数可以采取以下Collatz猜想中提出的算法的规则，我们构建了一个图，可以被解释为一个无限的网络，考虑所有可能的路径内的猜想。这使我们能够理解为什么Collatz轨道的最小元素$x$等于1。随后，我们定义的扩展Collatz猜想等于$o x+1$时，$x$是奇数和$x/2$时，$x$是偶数与$o$一个奇数大于$3$，我们表明，有无限轨道的扩展Collatz猜想发散。最后，我们发现有趣的定理有关的斐波那契序列的素数。
Collatz mapping on $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$
我们介绍了\emph{Collatz conjecture}及其历史。这个猜想的一些定义，将被表达，并与这些我们试图解释一些好的引理证明的主要性质的\emph{Collatz conjecture}。利用这些引理，给出了$\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$上Collatz图的一些主要性质.然后提供一些东西，它将在$\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$上绘制图形。
Complete Proof of the Collatz Conjecture
\textit{Collatz's conjecture}是数学中一个未解决的问题。1973年以Lothar Collatz命名。该猜想也被称为叙鲁古塞猜想或问题。取任意正整数$ n $。如果$ n $是偶数，则将其除以$ 2 $，否则执行“三倍加一”并获得$ 3n+1 $。猜想是，对于所有的数，这个过程收敛于1。在模算术记法中，定义函数$ f $如下：\[f(x)= \left\{ \begin{array}{lll} \frac{n}{2} &if & n\equiv 0 \pmod 2\\ 3n+1& if& n\equiv 1 \pmod 2. \end{array}\right. \]在本文中，我们给出了由算术的余式定理定义的许多类型的集合的Collatz猜想的证明。这些集合是在mods $6, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108$中定义的，我们只使用奇数正整数。不难证明，对于正整数$m$的任何模$12m, $，同样的结果都是正确的。
Collatz Conjecture: Is It False?
很长一段时间以来，Collatz猜想一直被认为是正确的，尽管迄今为止的所有努力都没有得到正式的证明。在这篇文章中，证据表明这种假设是不正确的。通过分析各种Collatz序列的停时，出现了一种模式，表明存在非空整数集的停时大于任何给定的整数。这意味着存在具有非有限停时的整数的无限集，从而表明该猜想是错误的。此外，构造了一个简单的算法，找到整数与越来越大的停时。这样的算法不会停止，进一步支持了猜想是错误的结论。
On Collatz Conjecture
Collatz猜想可以表述为：使用约化Collatz函数$C(n) = (3n+1)/2^x$，其中$2^x$是2的最大乘方，其整除$3n+1$，任何奇数$n$最终将在$j$迭代中达到1，使得$C^j(n) = 1$。本文使用既约Collatz函数和逆既约Collatz函数。我们提出奇数作为分数的总和，我们称之为“分数和记法”及其推广形式“中间分数和记法”，我们用它来提出一个公式，以获得更大的Collatz序列长度的数字。我们给出了一个公式来获得序列长度为2的数。我们证明了如果$n$的轨迹是循环的，并且存在奇数个$m$使得$C^j(m) = 1$，$n$必须是形式$3^j\times2k + 1, k \in \mathbb{N}_0$，其中$C^j(n) = n$。我们使用中间分数和符号来证明一个简单的证明，即除了平凡循环两次之外，没有长度为2的循环。然后，我们与反向约化Collatz函数，并提出了一个修改后的版本，它使我们能够确定模6的结果。我们提出了一个程序来生成一个Collatz图使用反向约化Collatz函数。
Collatz Conjecture: Exposition and Proof Through A Structured Approach
利用奇数整数，根据它们所起的作用，将它们分为起始整数、中间整数和终结整数，给出了Collatz猜想的一种结构化方法.表达式4x+1被用作一种工具，以揭示导致我们证明猜想的所有隐藏和重要特征。的混合性质的迭代的解决表明，Collatz迭代的一半的所有奇数的形式为4m+3，平均增加了三倍的值的奇数，用于开始，而那些4m+1的迭代，平均减少了四分之一。此外，提供表达式以生成所有的奇数集合，其中每个集合中的所有整数的Collatz数是形式为6m+1或6m+5的整数。Collatz网（树）的重要性变得显而易见，因为它包含所有Collatz轨迹。
The Proof of the Collatz Conjecture
针对未解决的考拉兹猜想与叙拉古猜想，研究者通过构建逆函数生成以1为根的树状结构，并提出PathFinding算法找到任意正整数到根的路径，最终证明两个猜想成立。
Using binary string to prove the Collatz conjecture
本文通过完全二叉有向树和二进制串表示自然数，将考拉兹函数迭代转化为代数公式并证明其序列最终周期收敛到1，从而验证考拉兹猜想。
$3n+3^k$: New Perspective on Collatz Conjecture
将Collatz猜想推广到$3n+3^k$（$k\in N$）.像往常一样操作，每个序列似乎都到达$3^k$并在循环$3^k, 4.3^k, 2.3^k,3^k$中结束。对$k=0$恢复了通常的$3n+1$猜想.对于$k>0$，我们注意到存在周期3的序列，即$3^{k-1}, 2.3^k, 3^k$，与在$3n+1 (k=0)$序列中遇到的周期$4.3^k, 2.3^k,3^k$并排。导出了$3n+3^k$猜想的一个项公式，从而得到了总停时.
On the Collatz Problem
对Collatz问题或3x+1猜想进行了新的分析。介绍了一些新的函数Collatz-2和Collatz-3序列，并推导了与Collatz-2和Collatz-3序列有关的结果。
On the relationship between the Collatz conjecture and Mersenne prime numbers
本文研究的目的是说明如何借助于特殊矩阵得到素数的一个必要判据。我特别感兴趣的是这些矩阵及其模式，结构和对称性的实证研究。矩阵又依赖于Collatz算法3n+1的扩展。
Handles, Hooks, and Scenarios: A fresh Look at the Collatz Conjecture
给出了Collatz猜想的一种运算方法。场景被定义为字符串“s”（代表“spike”）和“d”（代表“down”），它们象征着连接两个奇数（起始数和结束数）的Collatz级数中的Collatz运算（3 m +1）/2和m/2。它表明，一个场景确定唯一的四个整数，称为startperiod，startphase，endperiod，和endphase，使startnumber = startperiod x k减去startphase，和endnumber = endperiod x k减去endphase，其中k是任何自然数。因此，任何场景都可以实现无限次，每次实现都有明确定义的startnumber和endnumber。它显示了如何计算给定情景的期间和阶段。这些结果被用来证明Collatz级数中的任何奇（偶）数与可被3整除的奇数的距离小于8（7）（“上”或“下”）步。它们也用于Collatz系列的构建，这些系列表现出规定的规则图形模式。最后，讨论了目前工作对非平凡圈问题的意义。
Symbolic Dynamic Formulation for the Collatz Conjecture: I. Local and Quasi-global Behavior
本文提出Collatz猜想的符号动力学表述，利用三值字母表分析行程的扩张、耗散与循环行为，并给出生成任意长发散行程及按等价动力学行为分组序列族的方法。
An optimal convergent Collatz algorithm
本研究提出一个针对Collatz猜想的最优算法，证明其收敛性并建立与经典猜想的联系，通过实例及前600个3的幂次验证了正确性。
Convergence of Collatz Sequences: Procedure to Prove the Collatz Conjecture
由于Collatz猜想尚待证明，本文探讨了一种完整证明的方法。从概念上讲，该过程依赖于预先证明的序列数据，并且该方法以顺序向前的方式（n的升序）确认所有自然数的Collatz序列的收敛。因此，在开始证明序列对于数n的收敛性之前，已经证明了所有小于n的数都是收敛的。最初，探索了问题的本质，并解释了一些显着性质的原因。然后，通过对最初几个层序数据的模式分析，提出了预证实层序的概念。然后，四重奏的起源，随后，八重奏模式进行了描述。“奇偶”组合和（8*v + c）的概念清楚地说明了评价收敛性的整个过程。然后向前，个别的一组数字进行了分析，并达到收敛确认。计算的过程涉及梳理的概念。最后，将所有集合汇编在一起将给出完整的证明。在此，通过示例和当前计算状态（$>$ 99\%已完成）来呈现计算过程，而繁重的计算正在进行中（对于剩余的$<$ 1\%）。期望PSO数列表的长度是有限的，并且所有的数都将收敛。
The relationship between stopping time and number of odd terms in Collatz sequences
对于给定自然数$N$的Collatz序列是通过重复应用映射$N$（如果$N$是奇数）和$N$（如果$N$是偶数）来生成的，所述映射$N$ $\rightarrow$ $3N+1$和$N$ $\rightarrow$ $N/2$。数学中一个难以捉摸的开放问题是是否所有这样的序列都以1结尾（Collatz猜想），另一种可能性是循环或无界序列。在本文中，我们提出了一个公式的停时和数量的奇项Collatz序列，数值计算和测试的所有数字$10^7$和随机数高达$2^{128.000}$。这一结果是作为一个猜想提出的，并希望它可能有助于构造Collatz猜想的证明。
A Proof of Collatz Conjecture Based on a New Tree Topology
考虑一个有限的正整数。如果它是偶数，除以2，如果它是奇数，乘以3，再加1。这将给你一个新的整数。按照新整数的过程，您将收到另一个整数。重复这些步骤，重复几次后，你最终会达到1。Collatz猜想指出，在上述过程中的最后一个整数将永远是1，无论它以什么整数开始。虽然猜想的过程很容易描述，但其正确性尚未得到证实。本文通过引入树的拓扑结构证明了该猜想，给出了树的拓扑结构，证明了所有整数都唯一分布在树上，且不存在除1-2-1以外的圈。我们还看到每个轨迹都以1结尾。
Predictable trajectories of the reduced Collatz iteration and a possible pathway to the proof of the Collatz conjecture (Version 2)
我在这里表明，简化Collatz算法有三种不同的迭代;具体取决于数字的根是奇数还是偶数。如果根是奇数，则只有一种迭代，如果根是偶数，则有两种迭代。我还证明了对奇数根的数字进行迭代将导致值的增加，并最终导致偶数根的数字。对偶数根数的迭代将随后导致值的减少。由于奇根迭代过程中的值的增加是有界的，我得出结论，Collatz迭代不能转向无穷大。由于Collatz迭代生成的序列是无限的，并且数字的值不会转向无穷大，因此它必须循环和/或收敛。我假设任何循环都必须发生交替类型的迭代：例如，奇数根迭代导致数值增加，然后是偶数根迭代导致数值减少。我在这里表明，对于简单类型的周期，奇数根或偶数根数的有效值仅在一个狭窄的间隙中找到，该间隙随着迭代次数的增加而关闭。我进一步推广到所有类型的奇-偶和偶-奇迭代。鉴于以前的工作已经表明，只有非常大的非平凡循环是可行的Collatz迭代过程中，这项研究表明，大的简单循环的概率很低，导致我们的结论最有可能的循环以外的平凡循环是不可能的Collatz迭代过程中。
Collatz conjecture becomes theorem
本文证明了Collatz猜想的终止性质，并指出其在初等数论中无法被证明。
Modular Arithmetic Study on Ascending and Descending Operations Related with Collatz Conjecture
本文基于Collatz猜想研究数字序列的上升与下降运算，证明了下降序列的唯一性与终止条件，并利用模算术揭示了奇数序列的生成模式。
Variations on a Theme of Collatz
考虑根据以下简单规则从正整数$n_{\ell }$生成新的正整数$n_{\ell +1}$的递归关系：如果整数$n_{\ell }$是奇数，则为$n_{\ell +1}=3n_{\ell }+1$ ;如果整数$n_{\ell }$是偶数，则为$n_{\ell +1}=n_{\ell }/2$。所谓的Collatz猜想指出，从任何正整数$N$开始，由这些规则的持续应用所表征的递归最终在循环$4,$ $2,1$中结束。这个猜想通常被认为是正确的（基于广泛的数值检验），但它尚未被证明。在本文中--基于Collatz猜想确实成立的假设--我们提出了它的一个相当简单的扩展，它包含了将所有自然数分成$3$不相交类的可能性，我们对每个类进行猜想--基于（不是很广泛）数字检查-- $1/3$的所有自然数属于;或者，在某种程度上等价于$2$不相交类，我们猜想所有自然数的$1/3$和$2/3$分别属于这些不相交类。
Weakly and Strongly Admissible Triplets for a Collatz-Type Map
本文研究了Collatz型映射中弱适应和强适应三元组的生成方法，提出了扩展Collatz猜想的猜想，并通过算法和实验分析了非平凡循环长度的界限。
The theory of the Collatz process and the method of dynamical balls
本文提出Collatz过程的理论与动态球方法，用于研究Collatz猜想及其与Sophie Germain素数分布的联系。
On the nonexistence of cycles for the Collatz function
Collatz函数定义为C（n）= n / 2，如果n是偶数; C（n）= 3 n + 1，如果n是奇数。Collatz猜想指出Collatz函数生成的每个序列在有限次迭代后以循环（4，2，1）结束。本文证明了Collatz函数不存在其它的环。
Fixed point theorem in metric spaces and its application to the Collatz conjecture
本文提出度量空间中一个新的不动点定理，并将其应用于考拉兹猜想的研究。
Counting the Collatz numbers
通过研究指数同余方程，提出一种方法在区间[1,x]中找到至少x^{0.3227}个科尔茨数。
Paradoxical behavior in Collatz sequences
本文研究了Collatz序列中奇数项比例与停止时间之间的关系，发现悖论性行为与Collatz猜想密切相关，并支持Terras的猜想。
Collatz Dynamics is Partitioned by Residue Class Regularly
本文提出等价于Collatz猜想的约化Collatz猜想，证明正整数的剩余类在约化动力学中按I/O规则二分，为最终证明提供结构基础。
Integer patterns in Collatz sequences
Collatz猜想断言，重复迭代$f(x) = (3x + 1)/2^{a(x)}$，其中$a(x)$是$2^{a(x)}$恰好整除$3x+1$的最高指数，对于任何奇数$x$，总是导致$1$。在这里，我们提出了一个树形图构造的$g(x) = (2^{e(x)}x - 1)/3$，这是逆$f(x)$和$x \not \equiv [0]_3$和$e(x)$的迭代是任何正整数满足$2^{e(x)}x - 1 \equiv [0]_3$，与$[0]_3$表示$0\pmod{3}$。从由此产生的树形推断的整数模式提供了新的见解证明的有效性的猜想。
Note on Collatz conjecture
本文证明了当 $n \to \infty$ 时，若 $[1,2^n]$ 满足Collatz猜想，则 $[2^n+1,2^{n+1}]$ 内几乎所有的整数也满足该猜想，并探讨了特定整数集 $p\operatorname{-}C$ 的分布与下界计算。
Observations towards a proof of the Collatz conjecture using $2^{j}k+x$ number series
本文聚焦考拉兹猜想，通过分析具有特定性质和周期的$2^{j}k+x$数系序列，论证其存在性与规则性，探讨无限循环特征及单一闭合循环可能，为猜想证明提供结构化思路。
Collatz/Bařina a$n$+b conjecture proofs by 16/64: Cayley a$n$+b tree not Cantor-Gödel-Conway-Wolfram undecidable
将Collatz图转换为3-正则自守Cayley着色图及4-正则Middle Pages图，利用欧拉回路证明了$3n+1$猜想，并给出了$an+b$猜想的可判定性准则。
Reduced Collatz Dynamics is Periodical and the Period Equals 2 to the Power of the Count of x/2
本文证明约化 Collatz 动力学具有周期 P=2^L，其中 L 为 x/2 计算次数，从而可将约化动力学存在性推广到 x+nP，并据此支撑 Collatz 猜想。
$\left(p,q\right)$-adic Analysis and the Collatz Conjecture
针对不同素数p、q的(p,q)-进分析，通过构造函数χ_H并推广Monna-Springer积分理论、建立(p,q)-进版Wiener Tauberian定理，将考拉兹映射周期点问题转化为非阿基米德函数空间中的稠密性问题，为考拉兹及高维考拉兹型动力系统研究提供新方法。
The Collatz Conjecture & Non-Archimedean Spectral Theory -- Part II -- $\left(p,q\right)$-Adic Fourier Analysis and Wiener's Tauberian Theorem
本文提出$(p,q)$-进傅里叶分析，并证明Wiener陶伯型定理的$(p,q)$-进推广，建立测度平移张成稠密性与Radon-Nikodym导数非零的等价关系。
Trial for a proof of the Syracuse conjecture
臭名昭著的3x+1猜想在1952年由Lothar Collatz传播，尽管它的基本公式，仍然没有证明超过60年。从复杂的概率方法到算法的复杂映射，科学界已经找到了许多方法来试图正式证明它，因此，像鄂尔多斯这样的数学家倾向于相信“数学还没有准备好解决这样的问题”。在这篇研究报告中，涵盖了代数和图论等领域，通过反驳两个对立面来证明该猜想：不断增长的锡拉丘兹套件的存在和不同于循环4，2，1的循环的存在。
Some considerations in favor of the truth of Goldbach's Conjecture
本文给出了关于哥德巴赫猜想的一些思考。这项工作是基于基本结果的数论，它提供了一个建设性的方法，允许，给定一个偶数，找到至少一对素数根据GC。最后给出了这种构造方法与一类运筹学问题之间的联系。
Noncommutativity in the analysis of piecewise discrete-time dynamical systems
本文利用Collatz型子函数交换子为常数的性质，给出分段动力系统复合重排的一个等式结果，并指出该方法可推广到多种重复复合的分段函数。
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