几乎齐次空间的极限及其基本群
Limits of almost homogeneous spaces and their fundamental groups
AI总结：
本文研究几乎齐次空间列在带基点 Gromov–Hausdorff 收敛下的极限结构，证明极限为配备不变测地度量的幂零局部紧群，并在半局部单连通条件下进一步得到幂零李群结构及基本群之间的包含关系。
摘要：
我们称一列真测地空间 $X_n$ 由几乎齐次空间组成，如果存在一列离散等距群 $G_n \leq \text{Iso}(X_n)$，使得当 $n \to \infty$ 时 $\text{diam} (X_n/G_n)\to 0$。我们证明，如果一列带基点的几乎齐次空间 $(X_n,p_n)$ 在带基点 Gromov–Hausdorff 意义下收敛到空间 $(X,p)$，则 $X$ 是一个配备不变测地度量的幂零局部紧群。在上述假设下，我们证明如果 $X$ 是半局部单连通的，则它是一个配备不变次 Finsler 度量的幂零李群，并且当 $n$ 足够大时，$π_1(X)$ 是 $π_1(X_n)$ 的某个商群的子群。
英文摘要：
We say that a sequence of proper geodesic spaces $X_n$ consists of \textit{almost homogeneous spaces} if there is a sequence of discrete groups of isometries $G_n \leq \text{Iso}(X_n)$ with $\text{diam} (X_n/G_n)\to 0$ as $n \to \infty$. We show that if a sequence $(X_n,p_n)$ of pointed almost homogeneous spaces converges in the pointed Gromov--Hausdorff sense to a space $(X,p)$, then $X$ is a nilpotent locally compact group equipped with an invariant geodesic metric. Under the above hypotheses, we show that if $X$ is semi-locally-simply-connected, then it is a nilpotent Lie group equipped with an invariant sub-Finsler metric, and for $n$ large enough, $π_1(X) $ is a subgroup of a quotient of $ π_1(X_n) $.
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