We express the weight enumerators of self-dual and doubly even (Type II for short) codes of length $24$ with a specified basis. As a consequence, we present some congruence relations among the weight enumerators.
2023-03-14 math.CO math.NT
Binary extremal self-dual codes of length $60$ and related codes
本文给出了四循环单偶自对偶$[60,30,d]$码的一个分类，并给出了$d=10$和$12$的四循环单偶自对偶码的分类.这些代码被用来构建极值单偶自对偶$[60,30,12]$码的重量枚举，没有极值单偶自对偶码是以前已知的存在。从极值单偶自对偶$[60,30,12]$码出发，我们还构造了具有权计数器的极值单偶自对偶$[58,29,10]$码，对于这些码，以前不知道存在极值单偶自对偶码.最后，我们给出了某些单偶自对偶码具有最小重量阴影$1$的可能重量计数元的限制条件。
2017-06-06 cs.IT math.CO math.IT
MacWilliams Identities for $m$-tuple Weight Enumerators
Yale University（耶鲁大学）
研究关于m元组重量枚举器的麦克威廉姆斯恒等式，通过证明布里茨等人定理的推广得出结论，并给出m元组重量枚举器示例。
2026-07-22 cs.IT math.CO math.IT
New Extremal binary self-dual codes of length 68 from a novel approach to neighbors
在这项工作中，我们引入了自对偶码之间的距离的概念，推广了自对偶码的邻居的概念。使用k-邻居，我们能够构造长度为68的极值二元自对偶码与新的重量计数器。我们构造了143个长度为68的极值二元自对偶码，其中42个码的W_{68,2}中gamma=8，40个码的W_{68,2}中gamma=9.这些例子是第一次在文献中的这些伽玛值。这就完成了W_{68,2}中伽玛可能值的理论列表。
2020-02-24 math.CO
Symmetries of weight enumerators and applications to Reed-Muller codes
Gleason在1970年提出的关于自对偶码的重量计数器的定理在过去的40年里对编码理论的研究起到了至关重要的作用。大量的推广已被证明，但据我们所知，他们都是基于对称性所给予的麦克威廉姆斯的身份。本文的目的是第一步更一般的调查对称性的重量枚举。我们列出了可能的对称群，处理有限和无限的情况下，我们开发了一种新的算法来计算一个给定的重量枚举的对称群，并将这些方法应用于家庭的Reed-Muller码，在二进制的情况下，模拟格里森定理的所有参数。
2018-11-14 cs.IT math.CO math.IT
Harmonic Tutte polynomials of matroids II
本文提出有限Frobenius环上码的调和m重重量枚举器，建立调和MacWilliams型与Greene型恒等式，并给出自对偶码相对不变空间的结构。
2023-11-19 cs.IT math.CO math.GR
New extremal binary self-dual codes of length 68 via short kharaghani array over f_2 + uf_2
本文给出了自对偶码的新构造方法。该方法使用了短Kharaghani阵列及其一种变体，适用于任何交换弗罗贝尼乌斯环。我们将这些构造应用于环F_2 + uF_2和自对偶I型[64，32，12]_2-码上，并得到了它们的各种权计数子作为Gray象。利用自对偶码的扩张定理，我们构造了27个新的长度为68的极值二元自对偶码。具有这些权元的极值二元自对偶码的存在性以前是未知的。
2016-02-23 cs.IT math.CO math.IT
Singly even self-dual codes of length $24k+10$ and minimum weight $4k+2$
目前，对于所有非负整数$k$，长度为$24k+10$的极值单偶自对偶码的存在性是未知的。本文研究了单偶自对偶$[24k+10,12k+5,4k+2]$码。本文对单偶自对偶$[24k+10,12k+5,4k+2]$码的最小重量至少为$5$（对于$k=2,3,4,5$）的可能重量计数元给出了一些限制.讨论了一种构造具有最小阴影的单偶自对偶码的方法。作为例子，首次构造了具有最小阴影的单偶自对偶$[82,41,14]$码。此外，作为邻居的代码，我们构造单偶自对偶$[82,41,14]$码的重量枚举，没有单偶自对偶码是以前已知的存在。
2018-04-06 cs.IT math.CO math.IT
Nonexistence of certain singly even self-dual codes with minimal shadow
已知对于$(n,d)=(24m+2,4m+4)$、$(24m+4,4m+4)$、$(24m+6,4m+4)$、$(24m+10,4m+4)$和$(24m+22,4m+6)$不存在具有最小阴影的极值单偶自对偶$[n,n/2,d]$码。本文研究了具有最小阴影的单偶自对偶码的最小权$d-2$。对于$n=24m+2$，$24m+4$和$24m+10$，我们证明了具有最小阴影的单偶自对偶$[n,n/2,4m+2]$码的权枚举数是唯一确定的，并且证明了对于$m \ge 155$，$m \ge 156$和$m \ge 160$，不存在具有最小阴影的单偶自对偶$[n,n/2,4m+2]$码.我们证明了具有最小阴影的单偶自对偶码的重量枚举数对于参数$[24m+6,12m+3,4m+2]$和$[24m+22,12m+11,4m+4]$不是唯一确定的。
2017-07-13 math.CO
Ternary near-extremal self-dual codes of lengths $36$, $48$ and $60$
本文针对长度36、48和60构造了具有新重量计数器的三元近极值自对偶码，填补了该类码此前未知存在的空白。
2025-07-03 cs.IT math.CO math.IT
Eulerian polynomials, Stirling permutations and increasing trees
本文从统计分解的观点出发，研究了欧拉多项式伽玛展开式的两种推广。本文首先给出了三元欧拉多项式的一个展开式，它是下降、大上升和排列序列的联合分布的计数器。然后，受Chen和Fu关于三元二阶欧拉多项式的工作的启发，我们证明了多元k阶欧拉多项式的e正性，这些多项式是k-Stirling置换的上升、下降和j-平台的联合分布的计数器.我们提供了组合的解释，这两个扩展的系数在增加树。
2021-11-17 math.CO
A note on Assmus--Mattson type theorems
本文给出了码与格的Assmus-Mattson型定理.我们发现，一个二元双偶自对偶码的长度为24米，最小重量为4米提供了一个组合1-设计和一个甚至幺模格秩为24米，最小范数为2米提供了一个球形3-设计。我们注意到，一些这样的代码和格给t-设计更高的t。作为推论，我们给出了长度为24 m，最小重量为4 m的二元双偶自对偶码的重量计数元的一些限制条件。也给出了三元和四元类似物。
2020-12-20 math.CO math.GR math.NT
Results on zeta functions for codes
给出了自对偶码的Mallows-Sloane上界的一个新的简短证明。我们为规范化权重枚举器制定了格林定理的一个版本。我们将归一化秩生成多项式与二元zeta函数联系起来。我们还证明了自对偶码具有Clifford性质，但对于形式上的自对偶码，一般不具有同样的性质。
2003-02-14 cs.IT math.CO math.IT
New extremal singly even self-dual codes of lengths $64$ and $66$
对于长度为$64$和$66$，我们构造极值单偶自对偶码的重量枚举，没有极值单偶自对偶码是以前已知的存在。我们还构造了新的$40$不等价的极值双偶自对偶$[64,32,12]$码，其覆盖半径$12$满足Delsarte界.
2017-08-20 cs.IT math.CO math.IT
Classification of binary self-dual [76, 38, 14] codes with an automorphism of order 9
利用构造具有素数阶平方自同构的二元自对偶码的方法，我们分类了所有长度为76的二元自对偶码，它们具有最小距离$d=14$和阶9自同构.在等价条件下，有六个自对偶$[76, 38, 14]$码的自同构类型为$9$ - $(8,0,4)$。所获得的所有代码在其权重枚举器中具有新的参数值，从而使已知值的数量增加一倍以上。
2017-11-15 math.CO
Self-dual Codes over the Kleinian Four Group
本文引入克莱因四元群上的自对偶码，系统研究其重量枚举子、分类、极值码等性质，作为二进制码、格与顶点算子代数类比系列的第四步。
2000-05-26 math.CO math.GR math.NT
Self-Dual Codes
自对偶码很重要，因为许多已知的最好的码都是这种类型，并且它们有丰富的数学理论。内容包括F_2、F_3、F_4、F_q、Z_4、Z_m上的码、影子码、重量计数器、Gleason-Pierce定理、不变理论、Gleason定理、界、质量公式、计数、极值码、开问题等。有一个全面的参考书目。
2002-08-01 cs.IT math.CO math.IT
New extremal binary self-dual codes of lengths 64 and 66 from bicubic planar graphs
本文研究了连通三次平面二部图及其相关的二元自对偶码。利用这些图的面-点关联矩阵得到了长度为16的二元自对偶码。通过考虑它们到环R_2的提升，构造了新的长度为64的极值二元自对偶码作为Gray象。更准确地说，我们构造了15个长度为64的新代码。此外，通过对二进制码进行构造，得到了10个长度为66的新码。这些重量枚举码构造的第一次在文献中。将结果制成表格。
2016-04-02 cs.IT math.CO math.IT
A group induced four-circulant construction for self-dual codes and new extremal binary self-dual codes
我们介绍了一个修改版本的四个循环建设群环的自对偶码。我们考虑二元域上的这种构造，环F_2 + uF_2和F_4 + uF_4;使用阶为3，7，9，13和15的群。通过这些构造及其扩展，我们找到了长度为32，40，56，64，68和80的二元自对偶码，它们都是极值码或最优码。特别地，我们发现了五个新的参数自对偶码[56，28，10]，二十三个长度为68的具有新的权重枚举的极值二元自对偶码和十五个新的参数自对偶码[80，40，14]。
2019-12-26 cs.IT math.CO math.IT
On the performance of optimal double circulant even codes
本文研究了非自对偶的最优双循环偶码在有界距离译码中的译码错误概率。为了做到这一点，我们分类的最佳双循环偶码，不是自对偶的长度达到$72$具有最小的权重分布。对具有最小重量$3$阴影的（极值）自对偶$[54,27,10]$码的重量计数器给出了一些限制.最后，我们考虑长度为$88$和$112$的极值自对偶码的性能。
2016-08-25 cs.IT math.CO math.IT
New binary self-dual codes of lengths 56, 58, 64, 80 and 92 from a modification of the four circulant construction
本文利用$λ$ -循环矩阵给出了一种构造交换弗罗贝尼乌斯环上自对偶码的新方法。新的构造是作为著名的自对偶码的四循环构造的修改而得到的。应用这种技术与构造法，我们构造了长度为56，58，64，80和92的单偶二元自对偶码，这些码在以前的文献中是未知的。本文首次构造了长度为80的单偶自对偶码，其权元为$β\in\{2,4,5,6,8\}$.
2021-06-23 cs.IT math.CO math.IT
New binary self-dual codes of lengths 56, 62, 78, 92 and 94 from a bordered construction
本文利用$λ$ -循环矩阵构造了一种新的自对偶加边码。给出了在特征为2的有限交换Frobenius环上产生自对偶码的必要条件。此外，使用我们的边界建设与众所周知的建设和邻居的方法，我们构建了许多二进制自对偶码的长度为56，62，78，92和94的参数，在他们的重量枚举是未知的文献中。
2022-02-03 cs.IT math.CO math.IT
The invariants of the Clifford groups
2 ^m维Barnes-Wall格L_m（m不是3）的自同构群是某个"Clifford群“C_m（一个由正交群扩张的2^（1+ 2 m）阶超特殊群）中的指数为2的子群。这个群及其复类似物CC_m是近年来在正交展开、Kerdock集、Grassmannian空间中的填充、量子码、Siegel模形式和球面设计的构造中出现的。本文给出了Runge 1996年结果的一个较简单的证明：2k次C_m的不变量空间被长度为2k的二元自对偶码与域GF（2^m）张量得到的码的完全重量计数器所张成;当m >= k-1时，这些重量计数器是基。我们还给出了L_m和C_m的新构造：设M是具有Gram矩阵[2，sqrt（2）; sqrt（2），2]的Z[sqrt（2）]-格。则L_m是M的第m个张量幂幂的有理数部分，C_m是这个张量幂幂的自同构群。此外，如果C是一个二元自对偶码，不是由权为2的向量生成的，则C_m恰好是C和GF（2 ^m）的张量积的完备权枚举数的自同构群。对于复群CC_m，所有这些结果都有类似的结果，只是用"双偶自对偶码“代替"自对偶码”.
2000-10-25 math.CO
New extremal binary self-dual codes from F_4 + uF_4-lifts of quadratic double circulant codes over F_4
本文对F_4 + uF_4和F_4应用二次二重循环码和二次加边二重循环码的构造，得到了长度分别为56和64的极值二元自对偶码。利用二进制扩张定理和环扩张形式，得到了7个长度为58的极值自对偶二进制码，24个长度为66的极值自对偶二进制码和29个长度为68的极值自对偶二进制码，它们都具有新的权计数器，更新了文献中所有已知的极值自对偶码的列表.
2014-05-28 cs.IT math.CO math.IT
Linear programming bounds for binary and ternary LCD Codes
National Yang Ming Chiao Tung University（国立阳明交通大学）；The Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）
本文利用Gauss相位将LCD码条件转化为线性约束，构建增强线性规划，在二元和三元码上系统强化了Hamming界，并取得四项严格改进。
2026-09-15 cs.DM cs.IT math.CO
Fourier-Reflexive Partitions and MacWilliams Identities for Additive Codes
有限阿贝尔群的划分通过傅立叶变换产生特征标群上的对偶划分。研究了对偶分拆的性质，并给出了对偶分拆与原分拆重合的一个简便的检验方法。这样的划分允许添加码的划分枚举数的MacWilliams恒等式。证明了对偶化与给定群的卡方幂上分拆的取积和对称化积是可交换的。在将结果翻译成Frobenius环，这是确定与他们的字符模块，该方法适用于分区所产生的偏序集结构。
2013-04-03 cs.IT math.CO math.IT
Gleason's Theorem on Self-Dual Codes and Its Generalizations
编码理论中最著名的定理之一是Gleason在1970年提出的关于自对偶码的重量计数器的定理。在过去的36年里，已经有数百篇关于这个定理在不同类型的代码中的推广和应用的论文，总是在逐案的基础上。在本文中，我陈述了这个定理，然后描述了Gabriele Nebe，Eric Rains和我所发展的意义深远的推广，它同时包括了所有早期的推广。完整的证明刚刚出现在我们的书“自对偶代码和不变理论”（Springer，2006）中。本文是根据我在2006年6月26日至30日在日本仙台举行的纪念班内荣一的代数组合学会议上的讲话撰写的。
2006-12-19 math.CO
New extremal binary self-dual codes from a modified four circulant construction
本文利用λ-循环矩阵和λ-逆循环矩阵的性质，提出了一种改进的自对偶码的四循环构造法和一种加边构造法。利用$F_2$上的构造，我们得到了长度为64和68的新的二元码.我们还将这些构造应用到环$R_2$上，并考虑$F_2$和$R_1$ -扩张，得到了长度为66和68的新的单偶极值二元自对偶码.更准确地说，我们发现了3个长度为64的新代码，15个长度为66的新代码和22个长度为68的新代码。这些代码都有权重枚举的参数，不知道存在于文献中。
2015-07-06 cs.IT math.CO math.IT
New examples of self-dual near-extremal ternary codes of length 48 derived from 2-(47,23,11) designs
针对长度48的自对偶近极值三元码在$A_{12}$其他取值下的存在性问题，利用带6阶自同构群的对称2-(47,23,11)设计，构造出150个新$A_{12}$取值的该类码，拓展了已知实例范围。
2023-10-28 math.CO
Hadamard matrices of orders 60 and 64 with automorphisms of orders 29 and 31
本文分类了 p=29、31 时具有 p 阶自同构的 2p+2 阶 Hadamard 矩阵，并据此构造计算，发现了若干新的三元及二元近极值自对偶码。
2023-07-18 cs.IT math.CO math.IT
On $Z_{2^k}$-Dual Binary Codes
介绍了Gray映射的一种新的推广。新的推广$Φ: Z_{2^k}^n \to Z_{2}^{2^{k-1}n}$与已知的广义Gray映射$ϕ$的联系是：如果我们取两个对偶线性$Z_{2^k}$ -码，并利用Gray映射的推广$ϕ$和$Φ$从它们构造二元码，则所得到的二元码的权枚举数将满足MacWilliams恒等式.描述了一类$Z_{2^k}$ -线性Hadamard码和一类共$Z_{2^k}$ -线性扩展1-完美码，其中共$Z_{2^k}$ -线性是指借助于新的广义Gray映射，可以从线性$Z_{2^k}$ -码得到码.关键词：Gray映射，Hadamard码，MacWilliams恒等式，完美码，$Z_{2^k}$ -线性
2009-10-05 cs.IT math.CO math.IT
The DNA Coverage Depth Problem: Duality, Weight Distributions, and Applications
Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）；Technion – Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
本文提出了一种基于对偶性和扩展重量枚举的通用方法，用于计算不同线性码的DNA覆盖深度，推导了多种码的闭合公式。
2026-03-06 cs.IT math.CO math.IT
The unique self-dual binary code of length 26 with minimum weight 6
Kansas State University（堪萨斯州立大学）
通过重量枚举子、阴影和1-设计，直接非计算证明唯一性，并重建投影平面或奇Golay码。
2026-06-24 math.CO
We consider (symmetric, non-degenerate) bilinear spaces over a finite field and investigate the properties of their $\ell$-complementary subspaces, i.e., the subspaces that intersect their dual in dimension $\ell$. This concept generalizes that of a totally isotropic subspace and, in the context of coding theory, specializes to the notions of self-orthogonal, self-dual and linear-complementary-dual (LCD) codes. In this paper, we focus on the enumerative and asymptotic combinatorics of all these objects, giving formulas for their numbers and describing their typical behavior (rather than the be…
2022-12-15 cs.IT math.CO math.IT
Construction of quasi-cyclic self-dual codes
有限域$\mathbb F_q$上的$\ell$ -拟循环码与环$R = \mathbb F_q[Y]/(Y^m-1)$上的线性码之间存在一一对应关系。利用这一对应关系，证明了有限域$\mathbb F_q$上长度为$m\ell$的所有$\ell$ -准循环自对偶码都可以通过{ \it building-up}构造得到，只要char $(\mathbb F_q)=2$或$q \equiv 1 \pmod 4$，$m$是素数$p$，$q$是$\mathbb F_p$的本原元.我们确定可能的重量枚举的二进制$\ell$ -准循环自对偶码的长度$p\ell$（与$p$素数）的$p$整除方面。我们通过构造新的二元立方（即，$\ell$ -长度为$3\ell$的准循环码长度为$30, 36, 42, 48$的最优自对偶码（类型I），54和66。我们还发现了长度为40，50和60的准循环最佳自对偶码。当$m=5$时，我们得到了$\mathbb F_3$上一个新的8-准循环自对偶$[40, 20, 12]$码和$\mathbb F_4$上一个新的6-准循环自对偶$[30, 15, 10]$码.当$m=7$时，我们找到了$\mathbb F_4$上一个新的4-拟循环自对偶$[28, 14, 9]$码和$\mathbb F_4$上一个新的6-拟循环自对偶$[42,21,12]$码.
2012-01-29 cs.IT math.AC math.CO
A formula on the weight distribution of linear codes with applications to AMDS codes
线性码的权重分布的确定一直是编码理论研究的热点问题。对于自对偶码和具有小Singleton亏的码等特殊情况的重量计数器，已有大量的研究。我们提出了一组新的线性关系，必须满足的系数的权重分布。从这些关系，我们能够得到已知的身份（在一个更容易的方式）有趣的情况下，如极值码，厄米特码，MDS和NMDS码。此外，我们能够第一次提出的权重分布的AMDS码。我们还讨论了我们的结果和Pless方程之间的联系。
2021-09-25 cs.DM cs.IT math.CO
Weight Distributions of Single Parity-Check Product Codes via Character Sums
Secretária de Educação do Estado de São Paulo（圣保罗州教育部）；São Paulo State University (UNESP)（圣保罗州立大学）
该研究分析二元单奇偶校验乘积码的结构与枚举性质，推导其权重分布的闭式表达式，提出无需穷举码字的精确计算方法，为编码理论提供了关键理论结果与计算方案。
2026-08-28 cs.IT math.CO math.IT
Binary Multiple-Node-Erasure-Correcting Codes over Complete Graphs: Constructions, q-Ary Metric Balls, and Duality
Tel-Hai University of Kiryat Shmona in the Galilee（加利利基里亚特什莫纳泰尔海大学）；MIGAL–Galilee Research Institute, Kiryat Shmona, Israel（以色列基里亚特什莫纳米格尔-加利利研究所）
该研究针对完全图上的二元多节点删除纠正码，扩展循环构造并推导相关度量球公式，得到特定参数下的最优码及对偶性结果。
2026-10-01 cs.IT math.CO math.IT
Partitions of Matrix Spaces With an Application to $q$-Rook Polynomials
研究了矩阵空间$\mathbb{F}_q^{n \times m}$上的行空间划分和主元划分。我们表明，这两个分区是自反的，行空间分区是自对偶的。此外，使用各种组合的方法，我们明确地计算与这些分区相关的Krawtchouk系数。这建立了线性秩度量码的行空间和枢轴枚举数的麦克威廉斯型恒等式。然后我们推广了秩度量码的类Singleton界，并引入了码极值的两个新概念。这两种码推广了MRD码的概念，并且都是由迹对偶保持的。此外，根据任一概念极值的代码满足类似于MRD代码的强刚性特性。作为我们的结果在组合数学中的一个应用，我们给出了与Ferrers图板相关的$q$ -rook多项式的封闭公式。利用有限域上矩阵与车的位置之间的关系，证明了在费勒斯图上支持的秩为$r$的$\mathbb{F}_q$上的矩阵的个数在$q$中是多项式，且其次数在$r$中是严格递增的.最后，我们调查的秩，行空间和枢轴分区的MacWilliams扩展定理的自然类似物。
2019-08-23 cs.IT math.CO math.IT
