一个具有 $E_6$ 对称性的 Calabi-Yau 代数与 $sl(3)$ 的 Clebsch-Gordan 级数
A Calabi-Yau algebra with $E_6$ symmetry and the Clebsch-Gordan series of $sl(3)$
AI总结：
本文利用极化迹研究U(sl(N))中心化子，并聚焦sl(3)的L=2情形，构造具有三个生成元的Calabi-Yau代数，证明其PBW基与中心元，揭示Z_2(sl(3))为其商代数，并显式展现E_6型Weyl群对称性及其与Clebsch-Gordan级数的联系。
摘要：
基于经典不变量理论，本文观察到极化迹生成了 $U(sl(N))$ 在对角嵌入到 $U(sl(N))^{\otimes L}$ 中的中心化子 $Z_L(sl(N))$。随后，论文聚焦于 $sl(3)$ 以及 $L=2$ 的情形。引入了一个具有三个生成元的 Calabi-Yau 代数 $\mathcal{A}$，并明确证明了它具有 PBW 基和一个特定的中心元素。可以看出，$Z_2(sl(3))$ 同构于代数 $\mathcal{A}$ 通过一个固定中心元素取值的单一显式关系所得到的商代数。在集中研究 $U(sl(3))$ 的 Clebsch-Gordan 级数中出现的三个最高权表示时，产生了 $\mathcal{A}$ 的一个特殊化，其中涉及刻画这三个最高权的数对。在 $U(sl(3))\otimes U(sl(3))$ 的这一实现中，定义关系中的系数和中心元素的值具有与 $E_6$ 型 Weyl 群的基本次数相对应的次数。通过正确建立表示的六个参数与 $E_6$ 的某些根之间的对应关系，完整的 $E_6$ 型 Weyl 群对称性得以显式展现。在 $U(sl(3))\otimes U(sl(3))$ 的实现中，关系的系数和中心元素的值用与 $E_6$ 相关的基本不变多项式表示。本文还证明了代数 $\mathcal{A}$ 的关系可以用 Racah 代数或 Hahn 代数中的 Heun 型算子来实现。
英文摘要：
Building on classical invariant theory, it is observed that the polarised traces generate the centraliser $Z_L(sl(N))$ of the diagonal embedding of $U(sl(N))$ in $U(sl(N))^{\otimes L}$. The paper then focuses on $sl(3)$ and the case $L=2$. A Calabi--Yau algebra $\mathcal{A}$ with three generators is introduced and explicitly shown to possess a PBW basis and a certain central element. It is seen that $Z_2(sl(3))$ is isomorphic to a quotient of the algebra $\mathcal{A}$ by a single explicit relation fixing the value of the central element. Upon concentrating on three highest weight representations occurring in the Clebsch--Gordan series of $U(sl(3))$, a specialisation of $\mathcal{A}$ arises, involving the pairs of numbers characterising the three highest weights. In this realisation in $U(sl(3))\otimes U(sl(3))$, the coefficients in the defining relations and the value of the central element have degrees that correspond to the fundamental degrees of the Weyl group of type $E_6$. With the correct association between the six parameters of the representations and some roots of $E_6$, the symmetry under the full Weyl group of type $E_6$ is made manifest. The coefficients of the relations and the value of the central element in the realisation in $U(sl(3))\otimes U(sl(3))$ are expressed in terms of the fundamental invariant polynomials associated to $E_6$. It is also shown that the relations of the algebra $\mathcal{A}$ can be realised with Heun type operators in the Racah or Hahn algebra.
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