On a new collection of words in the Catalan family
本文给出了一个新的长度为n的非负整数上的词集合与长度为2n-2的Dyck路之间的双射，从而证明了这个集合属于Catalan族.令人惊讶的关键一步，这个双射是zeta地图，这是一个重要的地图，在研究q，t-Catalan数。最后，我们讨论了另一种方法，这个新的收集的话，种植树木，原来是密切相关的Tutte多项式的加泰罗尼亚拟阵使用两个统计。
2014-05-23 math.CO
Facets of the $m$-generalized cluster complex and regions in the $m$-extended Catalan arrangement of type $A_n$
在本文中，我们提出了一个双射$ω_n$之间的两个著名的家庭的加泰罗尼亚对象：一组方面的$m$ -广义集群复杂$Δ^m(A_n)$和一组的优势区域的$m$ -加泰罗尼亚安排${\rm Cat}^m(A_n)$，其中$m\in\mathbb{N}_{>0}$。特别地，$ω_n$将包含负单根$-α$的小平面双折为具有超平面$\{v\in V\mid<v,α>=m\}$作为分隔壁的主导区域。因此，$ω_n$限制为$Δ^m(A_n)$的正部分的刻面集合与${\rm Cat}^m(A_n)$中的有界主导区域集合之间的双射。映射$ω_n$是两个双射的组合，其中$m$ -阶梯形状的整数分区起作用。
2013-02-11 math.CO
A Bijection Between Weighted Dyck Paths and 1234-avoiding Up-Down Permutations
三维卡塔兰数是经典（二维）卡塔兰数的一个变体，在其他有趣的对象中，它计算了形状为（n，n，n）的标准杨氏表。在本文中，我们提出了一个结构双射之间的两个三维Catalan对象：1234-避免上下排列，一类加权Dyck路。
2020-11-30 cs.DM math.CO
A bijection on Dyck paths and its cycle structure
已知的Dyck路上的双射要么是对合，要么具有众所周知的难以处理的循环结构。在这里，我们提出了一个尺寸保持双射的Dyck路径的循环结构是服从完整的分析。特别地，每个周期具有2的幂的长度。一个新的表现形式的加泰罗尼亚数字标记的森林作物在途中一样，帕斯卡矩阵模2。我们使用双射来证明Motzkin数的两种已知表现形式的等价性。最后，我们考虑一些新的加泰罗尼亚表现的统计数据。
2006-11-22 math.CO
Promotion and rowmotion in rational Catalan combinatorics
本文研究了促进与行运动在有理Catalan组合学中的等价性，通过扩展双射与RSK类对应关系，揭示了 generalized Dyck paths 上的双射性质。
2026-03-31 math.CO
The set of alternating sign matrices which are determined by their X-ray is a member of the Catalan family
我们展示了一个双射之间的Dyck路径和交替的符号矩阵，这是由他们的反对角和。
2017-07-21 math.CO
A bijection between dominant Shi regions and core partitions
众所周知，卡塔兰数$C_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n}$计算$A$类型的Shi排列中的优势区域的数量，并且它们还计算既是$n$ -核又是$(n+1)$ -核的分区。这些概念有自然扩张，我们在这里称之为$m$ -Catalan数和$m$ -Shi排列。在本文中，我们构造了$m$ -Shi排列的支配区域与既是$n$ -核又是$(mn+1)$ -核的分区之间的一个双射.双射是自然的，因为它与仿射对称群的作用可交换。
2009-04-20 math.CO
Regions of the type C Catalan arrangement
在本文中，我们给出了一个双射根标记有序森林与选择子集的叶子和区域的类型$C$加泰罗尼亚安排$\R^n$。因此，我们得到了一个双射证明的著名的计数公式，这些地区${2^n}n! \binom{2n}{n}$。
2020-04-20 math.CO
Canopy of binary trees, Catalan tableaux and the asymmetric exclusion process
本文件有两个目的。首先，我们回答Steingrimsson和威廉姆斯提出的关于某些置换tableaux的问题：我们构造二叉树和所谓的Catalan tableaux之间的双射。这些表格是某些费勒斯（或杨）图填充了一些0和1的，满足一定的钩条件，并列举了加泰罗尼亚数。它们形成排列表的子类，由n！这是Postnikov在他的完全非负Grassmannian和网络的研究中提出的。其次，我们将这个新的Catalan双射与完全不对称排它过程（TASEP）联系起来，TASEP是非平衡系统统计力学中一个非常丰富和研究得很好的一维气体模型。我们继续一些组合的理解，该模型，在由夏皮罗，Zeilberger和最近由布拉克，Essam，Rechnitzer，Corteel，威廉姆斯，Duchi和Schaeffer的作品的精神。重点是在非经典的概念上的树冠的二叉树，模拟经典的上下序列的排列。
2009-05-19 math.CO
Bijections between affine hyperplane arrangements and valued graphs
我们显示新的双射证明以前已知的公式的一些变形的编织安排的区域的数量，通过相应的积分增益图和一些种类的标记二叉树的无断路集之间的双射。这导致新的双射证明施，加泰罗尼亚，和类似的超平面安排。
2014-08-23 math.CO
On floors and ceilings of the k-Catalan arrangement
结晶学根系$Φ$的$k$ -Catalan排列的主导区域的集合是由Fuchen-Catalan数$Cat^{(k)}(Φ)$枚举的充分研究的对象。通过考虑主导区域的最低和最高，很自然地要完善这一枚举。阿姆斯特朗的一个猜想指出，通过一定高度的楼层数量来计算主导区域，得到的分布与通过相同高度的天花板数量来计算主导区域的分布相同。我们证明了这个猜想使用双射，提供更精确的枚举信息。
2014-11-05 math.CO
Fibonacci, Motzkin, Schroder, Fuss-Catalan and other Combinatorial Structures: Universal and Embedded Bijections
由计数序列$\{a_n\}_{n\ge 0}$和普通生成函数$G_\mathcal{F}=\sum_{n\ge0} a_n x^n$构成的组合结构$\mathcal{F}$是正代数的，如果$G_\mathcal{F}$满足多项式方程$G_\mathcal{F}=\sum_{k=0}^N p_k(x)\,G_\mathcal{F}^k $，且$p_k(x)$是$x$中的非负整数系数多项式.我们表明，每个这样的家庭是与一个规范的PDMATHAMT岩浆。具有$\mathbf{n}=(n_1,\dots, n_k)$的$\mathbf{n}$ -magma是一对$\mathcal{M}$和$\mathcal{F}$，其中$\mathcal{M}$是一组组合结构，$\mathcal{F}$是$n_i$ -ary映射的元组$f_i\,:\,\mathcal{M}^{n_i}\to \mathcal{M}$ .范数是一个超加性大小映射$||\cdot||\,:\, \mathcal{M}\to \mathbb{N} $。若赋范$\mathbf{n}$ -magma是自由的，则证明了具有相同计数序列的所有正代数族$\mathcal{F}_i$之间存在递归的、保范的、泛双射.一个自由的$\mathbf{n}$ -岩浆定义使用一个普遍的映射原则。我们陈述了一个定理，它提供了一个组合的方法来证明，如果一…
2019-09-20 math.CO math.RA
Asymmetric Catalan and Shi Hyperplane Arrangements
Indian Institute of Technology Bombay（印度理工学院孟买分校）；Indian Institute of Science（印度科学学院）；Indian Institute of Technology Ropar（印度理工学院罗帕尔分校）
本文研究非对称Catalan与Shi超平面排列的区域，利用有限域方法得到其特征多项式与区域数公式，引入两类新组合对象并建立双射，解决了研讨会上的问题，推广了Stanley的对应关系。
2026-08-27 math.CO
Catalan numbers, parking functions, permutahedra and noncommutative Hilbert schemes
Indiana University（印第安纳大学）；National Research University Higher School of Economics（国立研究大学高等经济大学）；Université Libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学）；Universiteit Hasselt（哈瑟尔特大学）；Vrije Universiteit Brussel（布鲁塞尔自由大学）
本文通过建立$S_n$-equivariant双射，将特定zonotope中的整数点与$m$-停车函数联系起来，并利用tilting bundles构建非交换Hilbert方案导出范畴的半正交分解。
2026-02-17 math.AG math.CO math.RT
Cores with distinct parts and bigraded Fibonacci numbers
由于Anderson双射，$(a,b)$ -核的概念与有理$(a,b)$ Dyck路径密切相关，因此$(a,a+1)$ -核的数目由加泰罗尼亚数$C_a$给出。最近的研究表明，具有不同部分的$(a,a+1)$核心由另一个重要的序列-斐波那契数$F_a$来枚举。本文考虑$(a,b)$ -核的算盘描述，引入自然分次，并将这一结果推广到$(a,as+1)$ -核。我们还使用双射与Dyck路径计数的$(2k-1,2k+1)$ -核心的数量与不同的部分。给出了由二分次Catalan序列$C_{a,b} (q,t)$诱导的斐波那契数的第二分次.
2017-05-28 math.CO
Iterating the Lehmer code on inversion sequences: Catalan fixed points and finite stabilization
University of Maryland Eastern Shore（马里兰东部大学）；Virginia State University（弗吉尼亚州立大学）；Université de Lorraine（洛林大学）
本文研究有限整数序列上的算子$\boldsymbol{\theta}$，刻画其不动点、首次像为不动点的序列，证明其与卡塔兰数、Dyck路径的关联，还证明所有逆序列存在有限稳定化并给出相关性质。
2026-09-11 math.CO
A basis construction of the extended Catalan and Shi arrangements of the type $A_{2}$
在[9]中，Terao通过给出基的显式构造证明了具有常数重数的多Coxeter排列的自由性。Yoshinaga在[11]中结合代数几何方法证明了推广的Catalan和Shi安排的自由性。然而，一直没有明确的建设基地的对数推导模块的扩展Catalan和施安排。本文给出了当根系为$A_2$型时它们的第一个显式构造。
2014-01-24 math.CO
Freeness for restriction arrangements of the extended Shi and Catalan arrangements
本文利用有向图构造限制封闭的排列类，刻画其锥的自由性，并据此确定 A 型扩展 Catalan 与 Shi 排列锥的遗传自由性。
2023-07-14 math.CO
Enumeration of Flats of the Extended Catalan and Shi Arrangements with Species
超平面排列的平面数是Bell数和第二类Stirling数的推广。罗伯特吉尔给了指数母函数的单位数的扩展加泰罗尼亚安排，使用物种。本文引入了推广的Catalan和Shi排列的平坦类，它们是通过集合和列表的迭代替换而给出的。此外，我们列举了单位的这些安排的无限矩阵。
2021-09-29 math.CO
Catalan numbers: from FC elements to classical diagram algebras
本文从 $A_n$ 型 Coxeter 群的全交换元出发，利用典范形式重新推导卡塔兰数、Narayana 数与卡塔兰三角，并构造其与 $n+1$ 弦非交叉图之间保持 Temperley-Lieb 代数拼接乘法的唯一双射及双向算法。
2024-01-17 math.CO math.RT
Coxeter-Catalan combinatorics and Temperley-Lieb algebras
我们引入广义型$A_n$非交叉分区（即，与任意标准Coxeter元素）和完全交换元素的相同类型之间的双射。后者索引了经典Temperley-Lieb代数的图基，而对于每一个标准Coxeter元素的选择，相应的非交叉划分也索引了一个基，由$n+1$链上的Artin辫群的对偶Garside结构（与标准Coxeter元素的选择相关）的简单元素在Temperley-Lieb代数中的图像给出。然后，我们表明，我们的双射来自三角基地之间的变化图的基础和各种基地索引的非交叉分区，明确描述的订单给三角。这些订单介绍了在一份联合文件与威廉姆斯和提供异国情调的晶格结构的非交叉分区。几个组合对象介绍了沿途，包括一个对合的集合上的非交叉分区。
2016-08-16 math.CO math.RA
Labeled binary trees, subarrangements of the Catalan arrangements, and Schur positivity
1995年，第一作者引入了一个多变量生成函数{ $G$ }，它跟踪标记二叉树中上升和下降的分布。除了证明$G$是对称的，他还证明了$G$是舒尔正的。我们证明了这一猜想通过扩展$G$积极的带状Schur函数。我们使用保权双射来获得这种扩展，其逆的灵感来自于Préville-Ratelle和Viennot的Push-Glide算法。事实上，这种重量保持双射使我们能够建立一个更强的版本的第一作者的猜想表明，生成函数限制到标记的二叉树与固定的树冠仍然是舒尔积极的。我们还讨论了超平面安排的设置中的应用。我们表明，一定的专业化$G$等于Frobenius特性的自然$\mathfrak{S}_n$ -行动的半序安排，我们然后扩展的{Frobenius特性}的福克斯字符。我们还构造了一个$\mathfrak{S}_n$ -行动的区域的线性安排使用一组树研究Bernardi，并随后计算的字符，这一行动采用拉格朗日反演。由此产生的表达式概括了Postnikov的公式中的Linial安排的区域的数量。作为最后的应用，我们证明了$γ$ -非负的分布的右边缘的数量在本地二叉搜索树。
2019-09-27 math.CO
The freeness of Shi-Catalan arrangements
设$W$为有限外尔群，$\A$为相应的Weyl排列. $\A$的变形是通过将$H$的几个平行移动通过垂直于$H$的正根（及其整数倍）添加到每个超平面$H\in\A$而获得的仿射布置。如果每个超平面$H\in \A$的平行超平面的数目仅取决于$H$的$W$ -轨道，则我们说变形是$W$ -等变的.证明了$W$ -等变变形的锥环在Shi-Catalan条件下是自由排列的，并给出了腔室个数的计算公式.这推广了Edelman-Reiner的Yoshinaga定理。
2010-12-29 math.CO
Positive Fuss-Catalan numbers and Simple-minded systems in negative Calabi-Yau categories
对于Dynkin型遗传代数$H$和$d\ge 1$，我们建立了$(-d)$ -Yau簇范畴${\cal C_{-d}}(H)$的$d$ -简单系统（$d$-SMS）与包含在$\cal D^{\le 0}\cap \cal D^{\ge 1-d}$中的${\cal D^{\rm b}}(H)$的Selling对象之间的双射.利用这个双射和Buan-Reiten-Thomas和Zhu关于Fomin-Reading广义簇复形的结果，证明了${\cal C_{-d}}(H)$中的$d$的个数是相应Weyl群$W$的正Fuss-Catalan数$C_{d}^{+}(W)$.我们的研究结果是基于一个改进版本的淤积- $t$ -结构对应。
2021-12-22 math.CO math.RA math.RT
Worpitzky-compatible sets and the freeness of arrangements between Shi and Catalan
本文研究了不可约根系的Worpitzky-compatible子集，证明了其具有基于roots的简单组合刻画，并借此完整刻画了扩展Shi和Catalan配置间超平面配置的自由性，完成了Yoshinaga在2010年针对单边根系的早期结果。
2024-03-25 math.CO
Deformations of the braid arrangement and Trees
我们建立计数公式和双射的辫子安排的变形。确切地说，我们考虑实超平面的安排，使所有的超平面的形式为$x\_i-x\_j=s$的某个整数$s$。经典的例子包括辫子，加泰罗尼亚，施，半序和线性安排，以及图形安排。我们将任何这种排列的区域数表示为装饰平面树的带符号计数。这些安排的特征多项式和上边界多项式也有简单的表达式，这些树。然后，我们专注于某些“行为良好”的变形的辫子安排，我们称之为传递。这包括加泰罗尼亚，施，半序和线性安排，以及许多其他安排出现在文献中。对于任何传递变形的编织安排，我们建立一个简单的双射之间的区域的安排和一组平面树定义的当地条件。这回答了一个关于Gessel的问题。
2021-06-12 math.CO
Dominant regions in noncrystallographic hyperplane arrangements
对于晶体学的根系，在加泰罗尼亚超平面安排的主要地区是在双射与反链在偏序的正根。对于非晶体学根系，类似的排列和区域在伴随分次Hecke代数的表示论中具有重要意义。由于也存在类似的根阶，因此自然希望可以使用类似的双射来理解这些区域。我们发现，这样的双射并不适用于类型$H_3$和类型$I_2(m)$，包括任意比例的根长度时，$m$是偶数，但不适用于类型$H_4$。我们给出了一个标准，解释这种失败和列表中的16个反链的$H_4$根顺序对应于空区域。
2006-09-19 math.CO
Bijections for the Shi and Ish arrangements
为了研究仿射对称群的Kazhdan-Lusztig胞腔结构，Shi引入了{ \sf Shi超平面排列} Shi（n）. { \sf Ish超平面排列} Ish（n）是Armstrong在对角调和函数的研究中引入的。阿姆斯特朗和罗兹发现了施和伊什安排之间的深层组合相似性。我们解决了阿姆斯特朗和Armstrong-Rhoades提出的一系列问题，通过在Shi（n）和Ishn（n）的区域之间给出双射来保持某些统计。我们的双射推广到依赖于完全图K_n的n阶子图G的删除排列Shi（G）和Ish（G）.在我们的双射的关键工具是引入一个伊什模拟停车功能称为{ \sf车字}和一个新的实例循环引理的枚举组合。
2013-07-24 math.CO
A Simple Bijection for the Regions of the Shi Arrangement of Hyperplanes
Shi排列${\mathcal S}_n$是${\mathbb R}^n$中仿射超平面的排列，形式为$x_i - x_j = 0$或$1$，用于$1 \leq i < j \leq n$。它将${\mathbb R}^n$分为$(n+1)^{n-1}$区，这是Shi首先证明的。我们给出了这个结果的一个简单的双射证明。我们的双射很容易推广到任何子安排的${\mathcal S}_n$包含超平面$x_i - x_j = 0$和扩展的施安排。
1997-02-20 math.CO
A Computational Obstruction to Swapping Area and Dinv: An Automata-Theoretic View of the $q,t$-Catalan Symmetry
Korea Institute for Advanced Study (KIAS)（韩国高等科学研究院）
该研究从自动机理论视角，证明见证q,t-卡特兰对称性的ζ映射及高度扫描双射非多正则映射，引入WRP映射后，发现ζ的逆映射不在WRP中，且WRP无法实现保持半长度的面积与Dinv交换，揭示了相关计算障碍。
2026-09-07 cs.CC cs.FL cs.LO
Refinements of the braid arrangement and two parameter Fuss-Catalan numbers
本文研究了 $\mathbb{R}^n$ 中辫排列的细化排列 $\mathcal{A}_n^{(m)}$，证明其区域数为双参数 Fuss-Catalan 数，并建立了区域与 decorated Dyck paths 的双射，同时计算了特征多项式。
2022-02-24 math.CO
Sketches, moves and partitions: counting regions of deformations of reflection arrangements
本文利用移动和草图概念，为反射排列的Catalan形变区域与非嵌套划分建立统一显式双射，并通过指数公式刻画特征多项式系数统计量，同时研究了阈值排列及其形变。
2023-08-31 math.CO
Posets, parking functions and the regions of the Shi arrangement revisited
R ^n中A_{n-1} Shi型排列的区域数可以用内在美丽的公式（n +1）^{n-1}计算。首先证明了施，这一结果激励帕克和斯坦利以及Athanasiadis和Linusson提供双射证明。本文给出了Athanasiadis-Linusson双射的一个刻划，并将其推广到R ^n中C_nShi型排列区域与序列a_1a_2. a_n，其中a_i \in\{-n，-n +1，.，-1，0，1，... n-1，n\}，i \in [n]。我们的双射自然地限制在具有一定数量的天花板（或地板）的安排的区域与具有给定数量的不同元素的序列之间的双射。一个特殊的偏序集家族，其反链编码的安排的区域，在我们的方法中发挥了核心作用。
2011-06-19 math.CO
Spanning trees in complete uniform hypergraphs and a connection to extended r-Shi hyperplane arrangements
对于所有r >= 3的完全r-一致超图，我们给出了一个计算其生成树个数的Cayley型公式.类似于完全图的生成树与Parking函数之间的双射，我们得到了完全（r+1）-一致超图的生成树与r-Parking函数之间的双射。我们观察到一个简单的后果，这种双射的数量方面的地区的扩展施安排。
2006-05-12 math.CO
Enumerating regions of Shi arrangements per Weyl Cone
本文针对Shi排列的区域计数问题，在已有双射结论基础上，借助与Shi图相关有向图的路径，给出了任意Weyl锥内区域精确数量的行列式公式。
2023-09-04 math.CO
The Primitive Derivation and Discrete Integrals
已知与根系相关的（扩展）Catalan和Shi安排的对数导子模是自由的。然而，除了少数情况下，这些模块的明确基础是未知的。本文构造了$A$型根系的显式基。我们的结构是基于Bandlow-Musiker的积分公式的准不变空间的基础。积分公式可以看作是K引入的本原导数的逆的表达式。齐藤我们证明了积分公式的离散类似物为Catalan和Shi安排提供了基础。
2021-04-13 math.CO
A Bijection Between All Shi Regions and Core Partitions
本文推广了Fishel-Vazirani关于$m$-Shi配置支配区域的双射，将Type $A_{n}$的$m$-Shi配置的所有极小房间与特定的$n$-core分拆等价类集合建立双射，并给出了$m$-极小房间$S_{n}$-轨道的分类。
2024-09-24 math.CO math.RT
Parking functions, Shi arrangements, and mixed graphs
\emph{Shi arrangement}是$\mathbb R^n$中所有超平面的集合，其形式为$1 \le j < k \le n$的$x_j - x_k = 0$或$1$。Shi在1986年观察到，区域的数量（即，这种排列的连接部分）是$(n+1)^{n-1}$。一个不相关的组合概念是\emph{parking function}，即，正整数的序列$(x_1, x_2, ..., x_n)$，当从最小到最大重新排列时，满足$x_k \le k$。（术语\emph{parking function}有一个说明性的原因。）结果表明，长度为$n$的停车函数的个数也等于$(n+1)^{n-1}$，这是Konheim和Weiss在1966年得出的结果。一个自然的问题是找到$n$维Shi数组和长度为$n$的parking函数之间的双射。Stanley和Pak（1996）以及Athanasiadis和Linusson（1999）给出了这样的（完全不同的）双射。我们将通过某些混合图的风景路线来阐明前双射。
2014-09-07 math.CO
Labeling regions in deformations of graphical arrangements
UNC Charlotte（北卡罗来纳大学夏洛特分校）
本文结合Carver的Farkas引理变体与流分解定理，证明图形排列变形的区域可被特定加权有向图集唯一标记，其中有向环仅含负权。研究此类标记有助于补充Stanley证明中的细节，推广已删除Shi和Ish排列中的天花板图，并引入Fuss-Catalan排列的新区域标注。
2026-04-11 math.CO
Bijectivity of a generalized Pak-Stanley labeling
Brandeis University（布兰迪斯大学）
本文研究了广义Pak-Stanley标记的双射性，证明了其在特定排列下为双射，并识别出包含多Shi排列和多Catalan排列的类C。
2026-03-26 math.CO
Low elements in dominant Shi regions
本文补充了仿射Coxeter群低元素的研究，用Borel子代数的ad-幂零理想解释支配Shi区域最小元素为低元素的原因，并综述了仿射Weyl群支配Shi区域研究中的相关双射。
2023-09-23 math.CO
