Boundary Regularity of Minimal Oriented Hypersurfaces on a Manifold
Simone Steinbruechel
本文证明了黎曼流形中极小定向超曲面的边界点都是正则的，即在任意边界点的邻域内，极小曲面是一个带边界的$\mathcal{C}^{1, \frac14}$子流形.
In this article we prove that all boundary points of a minimal oriented hypersurface in a Riemannian manifold are regular, that is, in a neighborhood of any boundary point, the minimal surface is a $\mathcal{C}^{1, \frac14}$ submanifold with boundary.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Generic regularity for minimizing hypersurfaces in dimensions 9 and 10
研究9和10维中最小化超曲面的奇异性扰动问题，通过正则性理论证明奇异点可被扰动消除。
Generic Regularity of Minimal Hypersurfaces in Dimension 8
本文证明了每一个具有$C^\infty$ -一般度量的$8$ -维闭黎曼流形都存在一个光滑极小超曲面.这推广了N. Smale和Chodosh-Liokumovich-Spolaor。不同于他们的局部扰动技术，我们的建设是基于一个全球性的扰动参数和一个新的几何不变量计数奇点与适当的权重。
Singular behavior and generic regularity of min-max minimal hypersurfaces
证明了对于一般的具有正里奇曲率的$8$维黎曼流形，存在光滑极小超曲面.在没有曲率条件的情况下，我们证明了对于一个稠密的8维黎曼度量集，存在一个最小超曲面，它至多有一个奇点。这扩展了以前的工作一般的规则，只处理面积最小化超曲面。这些结果是一个更一般的估计的一个参数最小最大最小超曲面$Σ\subset (M,g)$（有效的任何维度）的后果：$$\mathcal H^{0} (\mathcal{S}_{nm}(Σ)) +{\rm Index}(Σ) \leq 1$$其中$\mathcal{S}_{nm}(Σ)$表示一组奇点的$Σ$与一个独特的切锥非面积最小化的任何一侧。
Regularity of four dimensional Willmore-type hypersurfaces
研究了四维共形不变能量。这个能量概括了众所周知的二维Willmore能量。虽然不是正定的，但它包含极小超曲面作为临界点。我们计算了它的一阶变分，并应用Noether定理得到了它的临界点所满足的具有良好分析性质的守恒律。特别地，我们证明了它的临界点是光滑的。我们还研究了Willmore能量的其他可能的四维概括，并给出了强有力的证据表明，这种能量的临界点不包括极小超曲面。
Generic regularity for minimizing hypersurfaces in dimension 11
本文研究面积极小化超曲面的一般正则性，证明11维情形下一般光滑，并在更高维中通过小扰动将奇异集维数控制为至多$n-10-\epsilon_n$。
Improved regularity for minimizing capillary hypersurfaces
本文研究了极小毛细超曲面的奇点集正则性，证明其奇点集余维数至少为4，并在毛细角接近0、π/2或π时基于与单相Bernoulli问题的联系给出改进估计。
Existence and regularity of mean curvature flow with transport term in higher dimensions
给定索伯列夫空间中的初始$C^1$超曲面和依赖于时间的向量场，证明了从给定超曲面出发，以等于中曲率加上给定向量场的速度运动的超曲面族的时间整体存在性.我们证明了超曲面在短时间内是$C^1$，甚至在一些奇点出现后，几乎在远离高重数区域的任何地方都是$C^1$。
The regularity of harmonic maps into spheres and applications to Bernstein problems
我们证明了正则性，并推导出先验估计的（弱）调和映射从黎曼流形到欧氏球面的假设下，图像避免了一些邻居的半赤道。证明结合了严格凸函数的构造和拟线性椭圆方程组的正则性理论。将这些结果应用于极小超曲面的球面和欧氏Bernstein问题，得到了球面中的紧致极小超曲面或欧几里得空间中的完备极小超曲面平凡的新条件.
On isolated singularities and generic regularity of min-max CMC hypersurfaces
本文证明正里奇曲率流形中Allen-Cahn极小极大常平均曲率超曲面在孤立奇点处局部极小且切锥面积极小，并通过手术构造一般8维流形上的闭嵌入光滑常平均曲率超曲面。
Regularity of minimal hypersurfaces with a common free boundary
设$N$是一个黎曼流形，考虑三个或三个以上的有边$M_k$的$C^{1,μ}$超曲面在具有公共边界$Γ$的$N$中的平稳并.我们表明，如果$N$是光滑的，那么$Γ$是光滑的，每个$M_k$是光滑的$Γ$（真正的解析的情况下，$N$是真正的解析）。因此，我们加强了Wickramasekera的结果，得出结论，在更强的假设下，$V$是一个平稳的，稳定的，积分$n$ -变倍的$(n+1)$ -维，光滑（实解析）黎曼流形，使得$\|V\|$的支集在任何地方都不是三个或更多光滑流形的并（实解析）超曲面与边界沿公共边界相交，如果$n = 6$，则$V$的奇异集是空的，如果$n = 7$，则$V$是离散的，并且如果$n \geq 8$，则具有至多$n-7$的Hausdorff维数。
Regularity and compactness theory of stable free-boundary minimal hypersurfaces
本文建立了稳定自由边界极小超曲面的Schoen-Simon正则性与紧性理论，通过倾斜函数的ε-正则性和De Giorgi迭代证明层片定理，并推广了自由边界Almgren-Pitts存在性理论到任意维数。
Existence and regularity of min-max anisotropic minimal hypersurfaces
本文利用 min-max 构造在维数至少为 3 的闭光滑 Riemannian 流形中找到了奇异集余维数为 2 且 Hausdorff 测度为零的各向异性极小超曲面，并通过获得密度比的均匀上界证实了 Allard 在 1983 年提出的猜想。
$C^{1,α}$ regularity of hypersurfaces of bounded nonlocal mean curvature in Riemannian manifolds
本文在任意黎曼流形中证明有界非局部平均曲率超曲面的平坦性改进定理，从而在足够平坦的条件下得到其局部 $C^{1,α}$ 正则性，推广了欧氏情形的经典结果。
Regularity of branched stable minimal immersed hypersurfaces
该研究建立了分支稳定极小浸入超曲面非分支奇异集的Hausdorff维数精确界，构造了达到该界的例子，并以广义Schoen不等式和分支分层定理为核心证明工具，推进了极小曲面正则性理论的研究。
The spacelike-characteristic Cauchy problem of general relativity in low regularity
本文研究了Einstein真空方程的类空特征Cauchy问题。我们证明了给定的初始数据上的一个最大的紧凑类空超曲面$Σ\simeq \overline{B(0,1)} \subset \mathbb{R}^3$和传出的零超曲面$\mathcal{H}$发出的$\partial Σ$，爱因斯坦真空方程的解的存在时间控制的低正则性边界上的初始数据的曲率水平在$L^2$。证明中使用了Klainerman，Szeftel和Rodnianski的有界$L^2$曲率定理，Czimek的约束方程的延拓方法，Czimek发展的低正则性Cheeger-Gromov理论，Czimek和Graf的低正则性零超曲面上的正则叶理，以及类空极大超曲面的整体椭圆估计.
Partial regularity at the first singular time for hypersurfaces evolving by mean curvature
本文研究了$(0, t_0)$上$\mathbb{R}^{n+1}$的某个开子集中光滑的、适当浸入的超曲面按中曲率演化.我们证明了在某些时空区域$B_R(y)\times (0, t_0)$中这些超曲面的第二基本形式的$p$ -可积性和$p\ge 2$-可积性意味着第一奇异集的$\mathcal{H}^{n+2-p}$ -测度在$B_R(y)$中为零。对于$p=2$，这是由Han和Sun独立建立的。我们的结果进一步推广了Xu，Ye和Zhao以及Le和Sesum以前对$p\ge n+2$的工作，在这种情况下奇异集被证明是空的.利用Ilmanen的一个定理，证明了当初始曲面有有限亏格时，$p=2$和$n=2\,$满足可积性条件。因此，在这种情况下，第一奇异集具有零$\mathcal{H}^2$ -测度。这是Brakke的主要正则性定理对于曲面的特殊情况的结论，但导出时不必施加面积连续性和单位密度假设。它遵循最近的工作头和Huisken和Sinestrari的流动封闭，$k$凸超曲面，即超曲面的总和最小的$k$主曲率是积极的，我们的可积性准则举行与指数$p=n+3-k-α$所有小$α>0$只要$1\le k\le n-1$。因此，这种解决方案的第一个奇异集是最$(k-1)$维，这是一个最佳的估计，鉴于一些明确的例子。
The canonical foliation on null hypersurfaces in low regularity
令$\mathcal{H}$表示从真空时空$(\mathcal{M},\mathbf{g})$中类空2-球$\mathcal{H}$发出的未来出射零超曲面。本文研究了由Klainerman和Nicolecn提出的$\mathcal{H}$上的所谓正则叶理，并证明了相应的几何仅由$S$上的初始几何和通过$\mathcal{H}$的$L^2$曲率通量局部控制.特别地，我们证明了进出零展开$\mathrm{tr} χ$和$\mathrm{tr} \underlineχ$都是局部一致有界的。我们的估计的证明依赖于Klainerman和Rodnianski，Alexakis，邵和王的方法的推广在零超曲面$\mathcal{H}$的测地线叶理进行了研究。本文的结果是Czimek和Graf的类空特征有界$L^2$曲率定理的证明所必需的。
Regularity and energy of hyperbolic boundary value problems on non-timelike hypersurfaces with lower order terms
本文研究含低阶项的双曲边值问题，证明解在非类时超曲面上的$H^1$正则性，推广能量概念并建立能量差估计，通过乘子方法和逼近证明能量守恒及法向导数$L^2$估计。
Minimal hypersurfaces for generic metrics in dimension 8
我们证明了在具有$C^\infty$ -一般度量的$8$ -维闭黎曼流形中，每个极小超曲面都是光滑的和非退化的。这证实了八维极小超曲面的一个完整的一般正则性猜想。这也使我们能够推广许多通用的几何性质的（Almande-Pitts）极小极大极小超曲面，以前只知道在低维，到8维。
Trace maps under weak regularity assumptions
我们从与经典理论根本不同的角度研究了索伯列夫空间超曲面上的有界迹映射。这使我们能够在弱正则性假设下构造超曲面上的有界迹映射。在$\mathbf R^n$中的有界域的情况下，我们只要求边界的连续性。对于全空间$\mathbf R^n$中的超曲面，我们只假设超曲面是勒贝格可测的.作为迹映射的一个应用，我们考虑了狄利克雷问题，并证明了一个余面积公式，其中水平集只假设是勒贝格可测超曲面.
A sharp strong maximum principle and a sharp unique continuation theorem for singular minimal hypersurfaces
证明了标题中的两个定理，解决了奇异极小超曲面局部理论中两个长期存在的问题。任何一个结果的尖锐性都与其关于允许奇异集的大小的假设有关。这两个定理的证明在很大程度上依赖于作者最近的稳定极小超曲面的正则性和紧性理论，以及Ilmanen，Simon和Solomon-White的早期工作。
Multiplicity one for min-max theory in compact manifolds with boundary and its applications
证明了一般度量下边界维数在3 - 7之间的紧致流形中极小极大自由边界极小超曲面的重数为1的定理。为了解决这一问题，我们发展了具有指定中曲率的自由边界超曲面的存在性和正则性理论，其中包括极小元的正则性理论，紧性理论和一般的具有Morse指标界的极小极大理论.作为应用，我们构造了欧几里得空间中单位球上新的自由边界极小超曲面和具有任意大熵的中曲率流的自收缩曲面。
Min-max for phase transitions and the existence of embedded minimal hypersurfaces
在极小超曲面理论和相变理论之间可以画出很强的相似之处。借用前一个想法，我们扩展最近的结果稳定的相变界面的规则性有限的莫尔斯指数的情况下。作为应用，我们提出了一个基于偏微分方程的证明著名定理的Almante-Pitts，嵌入极小超曲面在紧流形的存在性。我们比较我们的结果与其他极小极大理论。
Hypersurfaces of constant Gauss-Kronecker curvature with Li-normalization in affine space
本文通过研究带梯度爆破边界条件的Monge-Ampère方程，证明了仿射空间中正则域被相对于Li-规范化的常Gauss-Kronecker曲率完备凸超曲面叶状化，并推广了$α=1$情形。
Min-max Minimal Hypersurfaces with Obstacle
研究了带边界光滑流形中超曲面间面积泛函的极小极大理论。对于满足变分不等式且内部限制于稳定极小超曲面的积分变分，证明了Schoen-Simon型正则性结果.在此基础上，我们证明了在有边界的紧致流形中，对于任何容许的sweepout族$Π$，总存在一个闭的$C^{1,1}$超曲面，其内部具有余维$\geq 7$奇异集，且其中曲率沿边界指向外，实现宽度$\textbf{L}(Π)$ .
Uniqueness of Regular Tangent Cones for Immersed Stable Hypersurfaces
该研究针对具有适当小奇点集的浸入稳定极小超曲面，建立了带孤立奇点的切锥的唯一性与正则性结果，且该结果允许切锥具有任意整数重数。
Regularity results for $\bar\partial_b$ on CR-manifolds of hypersurface type
我们引入了一类嵌入的CR流形满足一个几何条件，我们称之为弱$Y(q)$。对于这样的流形，我们证明了dbar-b在$L^2$上有闭值域，复Green算子在$L^2$上是连续的。我们的方法包括从微局部分解中建立一个加权范数。我们还证明了在任何Sobolev水平有一个权重，使复格林算子反演加权Kohn Laplacian是连续的。因此，我们可以在$C^\infty$中求解dbar-b方程。
Stable CMC integral varifolds of codimension $1$: regularity and compactness
我们给出了余维$1$积分$n$ -varifold的第一变分局部可和指数$p>n$的两个结构条件，其含义如下：每当可变折叠的$C^{1}$嵌入部分的每个可定向部分（其通过Allard正则性理论是非空的）是平稳的并且其$C^{2}$浸入部分相对于体积保持变形的面积泛函是稳定的，除了可能在余维$7$的闭集上之外，它的支撑是$C^{2}$类的浸入式恒定平均曲率（cmc）超曲面，该超曲面只能在局部支撑是两个仅具有切向相交的$C^{2}$嵌入式cmc圆盘的并集的点处不能嵌入。这两个结构条件对于结论都是必要的，并且只涉及由嵌入式$C^{1, α}$组成的可变折页的那些部分-规则的碎片以规则的方式聚集在一起，原则上使它们易于检查。我们还表明，任何家庭的余维1积分varifolds满足这些结构和变分的假设，以及局部均匀的质量和平均曲率的界限是紧凑的varifold拓扑。我们的结果推广了第二作者的正则性理论（对于稳定的极小超曲面）和Schoen-Simon的正则性理论（对于在奇异集上除变分假设外还满足先验小性假设的超曲面）。推论的主要varifold正则性定理得到的局部有限周长，推广的正则性理论的冈萨雷斯-马萨里-Tamanini的边界，局部最小化周长受固定的封闭体积约束。
Regularity of sets of least perimeter in Riemannian manifolds
该研究沿袭经典研究思路，简短证明了维数不超过7的黎曼流形中，最小周长集合的约化边界为光滑极小超曲面，完善了相关几何正则性结论。
Curvature estimates for immersed hypersurfaces in Riemannian manifolds
通过对一般黎曼流形中退化的完全非线性曲率方程的正则性研究，建立了黎曼流形$(N^{n+1}, \bar g)$中具有非负外数量曲率的浸入超曲面的中曲率估计.该估计对$(\mathbb S^2, g)$在$3$维翘曲积空间$(N^3, \bar g)$中的Weyl等距嵌入问题有直接的结果.我们还讨论了广义相对论中具有视界的空间中的等距嵌入问题，如Anti-de Sitter-Schwarzschild流形和Reissner-Nordström流形。
Free boundary regularity in the triple membrane problem
研究了三弹性薄膜问题中自由边界的正则性。我们证明了对应于连续膜之间重合区域的两个自由边界在正则交点附近是$C^{1,\log}$ -超曲面。我们还研究了两种类型的奇异相交。第一类奇点被$C^{1,α}$ -超曲面局部覆盖。第二类奇点是分层的，每一层都局部地被一个$C^1$ -流形覆盖。
Regularity of free boundary minimal surfaces in locally polyhedral domains
本文证明了凸多面体上Lipschitz域自由边界极小曲面的Allard型正则性定理。我们表明，如果这样一个极小曲面是足够接近一个适当的自由边界平面，那么表面是$C^{1,α}$图形在这个平面上。我们应用我们的定理证明部分的自由边界极小化超曲面的正则性结果，和相对的等周区域。
Soliton solutions of the mean curvature flow and minimal hypersurfaces
设（M，g）是一个维数至少为3的定向黎曼流形，X是M上的向量场.我们证明了Monge-Ampère微分系统（M.A.S.）（M，g）上的X-伪孤子超曲面等价于极小超曲面M.A.S.对某个黎曼度量g ′，在（M，g ′）上，当且仅当X是函数u的梯度，此时g ′ = exp（-2u）g.反例，这种等价的表面也给出。
On the radius of injectivity of null hypersurfaces
本文研究了3+1维爱因斯坦真空时空中点的因果过去边界的正则性。在洛伦兹流形中，这种边界在线性和非线性波的传播中起着至关重要的作用。我们证明了一个一致的下界的内射半径的零边界方面的黎曼曲率通量沿他们和一些额外的量，特别是在一个问题中的大数据崩溃标准在广义相对论
Regularity of minimal surfaces near quadratic cones
Hardt-Simon证明了每一个只有孤立奇点的面积最小超锥$\mathbf{C}$都通过光滑的、面积最小的超曲面渐近于$\mathbf{C}$而适合于$\mathbb{R}^{n+1}$的一个叶理。在本文中，我们证明了，如果一个固定的$n$ -varifold $M$在单位球$B_1 \subset \mathbb{R}^{n+1}$在于充分接近一个最小化的二次锥（例如，西蒙斯锥$\mathbf{C}^{3,3}$），那么$\mathrm{spt} M \cap B_{1/2}$是一个$C^{1,α}$扰动的锥本身，或一些叶其相关的叶理。特别是，我们表明，这些锥上的奇点模型确定的局部结构不仅$M$，但任何附近的极小曲面。我们的结果也意味着Bernstein型的结果Simon-Solomon，它的特点是面积最小化的超曲面渐近的二次锥的锥本身，或一些叶。
Gradient regularity for fully nonlinear equations with degenerate coefficients
针对在超曲面上退化的完全非线性方程，推导了粘性解的$C^{1,α}$正则性估计。
Existence and regularity for prescribed Lorentzian mean curvature hypersurfaces, and the Born-Infeld model
本文研究闵可夫斯基空间中预定洛伦兹平均曲率超曲面的存在性与正则性，针对一般测度ρ在有界域和全空间上，给出求解Born-Infeld方程(BI)的充分条件，并构造例子确定正则性阈值，主要困难是类光线段的存在。
On the regularity of nondegenerate hypo-analytic structures of hypersurface type
本文研究了流形上超曲面类型非退化局部可积结构的解析可正则化问题，通过发现不变的中心子流形并利用Marson构造，给出了等价于实解析结构的充要及充分条件。
Hypersurfaces with mean curvature prescribed by an ambient function: compactness results
我们认为，在第一种情况下，类的边界集的局部有限周长的（弱定义的）中曲率是$g ν$，对于一个给定的连续正周围的功能$g$，和其中$ν$表示的内部正常。众所周知，在这个类中，在变倍意义上取极限一般是不可能的，这是由于“隐藏边界”的出现，即（弱定义的）中曲率消失的部分（具有偶数重数的正测度），因此$g$没有规定极限中的中曲率。作为一个特殊的情况下，更一般的结果，我们证明了局部均匀$L^q$ -边界（弱定义）的第第二基本型，$q>1$，除了习惯的局部均匀边界上的周长，导致一个紧凑的一类边界与中曲率规定的$g$。证明依赖于将边界视为“定向积分变量”，以利用它们的可定向性特征（当将它们视为（无定向）变量时会丢失）。具体而言，它依赖于制定和分析的一个弱概念的曲率系数为导向的整体varifolds（灵感来自哈钦森的工作）。这个框架给出了（没有额外的努力）一个紧凑的结果，有方向的积分变倍曲率局部有界的$L^q$与$q>1$和中曲率规定的任何$g\in C^0$（事实上，该功能可以改变变倍，它规定的中曲率，只要有局部一致收敛性的规定功能）。我们的概念和陈述是在黎曼流形中给出的，其中定向变分不需要作为边界出现（例如，它们可以来自双侧浸入）。
On $δ$-Stable Minimal Hypersurfaces in $\mathbb{R}^{n+1}$
本文将稳定极小超曲面的正则性、紧性及 Bernstein 定理推广到 $δ$-稳定情形，并证明 $δ$ 的最优取值范围由 $n$ 维悬链面的稳定性阈值给出。
Existence of infinitely many free boundary minimal hypersurfaces
本文证明了在任意具有光滑边界的紧致黎曼流形中，存在无穷多个几乎恰当嵌入的自由边界极小超曲面.这解决了丘氏猜想的自由边界版本。该证明使用A.宋的工作和早期的作品马克-内维斯在其决议丘的猜想，连同李周的正则性定理的自由边界极大极小超曲面。
Optimal Regularity of Constant Graphs in Hyperbolic Space
受文献[6，7]的启发，本文研究了双曲空间$\mathbb{H}^{n+1}$中常曲率超曲面的边界正则性，这些超曲面在无穷远处具有渐近边界.通过构造解的边界展开式，得到了解的最优正则性。此外，我们得到了一个等价的条件，保证光滑的解决方案。
Spectrum and index of two-sided Allen-Cahn minimal hypersurfaces
Guaraco，Hutchinson，Tonegawa和Wickramasekera的联合工作最近给出了一个经典定理的新证明，即任何闭的维数为$n + 1 \geq 3$的黎曼流形包含一个极小超曲面，其奇异集的豪斯多夫维数至多为$n-7$。这种证明避免了Almgren-Pitts几何最小-最大程序的面积功能，是在原来的证明工具，而是基于一个相当简单的PDE最小-最大建设的临界点的艾伦-卡恩功能。在这里，我们证明了一个谱下界的超曲面产生的这种建设。这直接意味着超曲面的Morse指数的上界，根据临界点的指数，只要它是双边的。特别地，Guaraco构造的双边超曲面的Morse指数至多为$1$。最后，我们通过一个初等的归纳论证指出，超曲面的正则性是如何从稳定情形下的相应结果得到的。
CC-distance and metric normal of smooth hypersurfaces in sub-Riemannian Carnot groups
本文从不同的角度研究了$k$ -步子Riemann卡诺群中Carnot-Carathéodory（简称CC）距离$\dc$的主要几何性质.对所谓的正规CC-测地线进行了广泛的研究。我们的状态和证明一些相关的变分公式，我们找到合适的雅可比型方程正常CC测地线。我们的一个主要结果是高斯引理的次黎曼版本。证明了光滑非特征超曲面度量法线的存在性。我们还计算了2步卡诺群的次黎曼指数映射$\exp\sr$。其他功能正常CC测地线，然后研究。我们展示了如何正常的CC-测地线方程的系统可以逐步集成。最后，我们证明了来自$\cont^k$ -光滑超曲面$S$的CC-距离函数$δ\cc$的正则性。
On the non-existence of trapped surfaces under low-regularity bounds
本文研究低正则性下柯西数据标度不变大小有界时初始超曲面的俘获面存在性问题，证明Besov $B^{3/2}_{2,1}$ 范数下接近闵氏时空类空超曲面诱导数据时无初始俘获面，并探讨推广至$H^{3/2}$ 小数据情形的问题。
Injectivity radius and optimal regularity of Lorentzian manifolds with bounded curvature
我们回顾了最近关于有界曲率洛伦兹流形的局部几何和最优正则性的工作。我们的主要结果提供了一个估计的内射半径的一个观察者，和一个本地的正则叶状CMC（常数平均曲率）超曲面，连同空间调和坐标。与早期的结果的基础上的一个全球范围内的衍生物的曲率，我们的方法只需要一个超范数约束的曲率附近给定的观察员。
Regularity of the free boundary in an unstable parabolic problem
本文研究燃烧模型引发的不稳定抛物问题，在热量向前推进的物理情形下证明了自由边界具有 $C^{1,α/2}$ 超曲面正则性。
Regularity of minimal surfaces with capillary boundary conditions
本文证明了黎曼流中具有毛细边界条件的变分折叠的ε-正则性定理，建立了均匀的第一变分控制，并推导出在密度严格小于1的边界一般点处的正则性。
Optimal regularity for the Signorini problem
我们证明了在一般假设下，薄障碍或Signorini问题的解决方案在任何空间维达到最佳的正则性$C^{1,1/2}$。这改进了已知的最优正则性的结果，允许薄障碍物被定义在一个任意的$C^{1,β}$超曲面，$β>1/2$，此外，我们的证明涵盖了任何线性椭圆算子的散度型光滑系数。证明的主要成分是一个版本的Almgren的单调性公式和全局解的最佳正则性。
Schrödinger operators with delta and delta'-potentials supported on hypersurfaces
通过边界条件明确定义了光滑紧致超曲面上具有$δ$和$δ'$ -势的自伴Schrodinger算子.这些运营商的频谱特性进行了研究，正则性结果的功能，在其域中得到的，和类似物的伯曼-Schwinger原则和克莱因公式的一个变种。进一步证明了具有$δ$和$δ'$ -势的薛定谔算子与无奇异相互作用的薛定谔算子的预解式的幂之差的Schatten-von Neumann型估计.这些估计的直接结果是相应散射系统的波算子的存在性和完备性，以及奇摄动和未摄动薛定谔算子的绝对连续部分的酉等价性。在主要定理的证明中，我们利用了对称算子的扩张理论的抽象方法，一些代数考虑和椭圆正则性的结果。
On the regularity of the free boundary in the optimal partial transport problem
本文研究了一般费用函数下最优部分运输问题中自由边界的正则性和几何性。更具体地说，我们证明了$C^1$成本意味着一个局部Lipschitz自由边界。作为应用，我们解决了Caffarelli和McCann \cite{CM}讨论的关于满足Ma-Trudinger-Wang条件（A3）的代价函数的问题：如果非负源密度在$p \in (\frac{n+1}{2},\infty]$的某个$L^p(\mathbb{R}^n)$空间中，并且正目标密度有界远离零，则自由边界是一个正凸$C_{loc}^{1,α}$超曲面。此外，我们表明，局部Lipschitz成本意味着一个可求长的自由边界，并启动相应的正则性理论在黎曼设置。
Closed range estimates for $\bar\partial_b$ on CR manifolds of hypersurface type
本文的目的是建立在嵌入的、不一定是伪凸的超曲面型CR流形中的$L^2$ -索伯列夫空间和$L^2$中的$(0,q)$ -形式的闭范围估计的充分条件，对于某些固定的$q$，$1 \leq q \leq n-1$，对于$\bar\partial_b$.该条件称为弱$Y(q)$，比以前建立的充分条件更一般，也更容易检验。我们估计的应用包括对Szegö投影的估计以及调和形式与复Green算子具有相同规律性的论点。我们使用一个微局部的参数，并仔细构造一个规范，是非常适合的微局部分解的形式。我们不要求CR流形是域的边界。最后，我们提供了一个例子，证明弱$Y(q)$是一个更容易的条件，以验证比以前，不太一般的条件。
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