The Two-Phase Membrane Problem -- an Intersection-Comparison Approach to the Regularity at Branch Points
对于两相膜问题$ Δu = {λ_+\over 2} χ_{\{u>0\}} - {λ_-\over 2} χ_{\{u<0\}} ,$，其中$λ_+> 0$和$λ_->0 ,$，我们在二维证明了自由边界在两个$C^1$ -图的并的每个"分支点“的邻域内.我们还得到了稳定性结果的扰动的边界数据。我们的分析使用的交叉比较的方法的基础上亚历山德罗夫反射。在更高的维度，我们表明，自由边界有有限的$(n-1)$维Hausdorff措施。
2005-02-01 math.AP
The Parabolic Two-Phase Membrane Problem: Regularity in Higher Dimensions
对于抛物型障碍类方程$$Δu - \partial_t u = λ_+ χ_{\{u>0\}} - λ_- χ_{\{u<0\}} ,$$，其中$λ_+$和$λ_-$是正的Lipschitz函数，我们证明了在任意有限维上，自由边界$\partial\{u>0\} \cup\partial\{u<0\}$是在两个关于空间变量连续可微的Lipschitz图的并的每个"分支点“的邻域内.结果将椭圆型文献\cite{imrn}推广到抛物型情形.结果是最优的，在这个意义上，图一般不优于Lipschitz，如反例所示。
2007-12-20 math.AP
Improved $C^{1,1}$ regularity for multiple membranes problem
本文证明了多重膜问题平稳 $C^{1,α}$ 解的 $C^{1,1}$ 正则性，该估计为作者近期关于 Yau 四极小球猜想的工作提供了关键工具。
2024-06-17 math.AP math.DG
The two membranes problem for different operators
我们研究了不同的运营商，可能是非本地的两个膜问题。我们证明了一个关于解的Hölder连续性的一般性结果，并发展了一种解决这个问题的黏性解方法.在两个算子的阶数不同的条件下，得到了解的$C^{1,γ}$正则性.在一个算子与分数拉普拉斯算子重合的特殊情况下，我们得到了最佳正则性和自由边界的特征。
2016-01-11 math.AP
On the multiple membranes problem
我们建立了多膜问题的最佳正则解，并在自由边界上具有最高多重性的点处进行了爆破分析。这导致了一个完整的分类，在平面上的爆破配置文件。主要的技术工具是Weiss型单调性公式。
2018-01-17 math.AP
Existence of a global weak solution for a reaction-diffusion problem with membrane conditions
物理学、生物学或医学中的一些问题，导致抛物型方程在由对特定分子具有选择性渗透性的膜分隔的两个子域中集合。相应的边界条件，描述通过膜的流动，是兼容的质量守恒和能量耗散，并被称为Kedem-Katchalsky条件。此外，在这些模型中，写为反应扩散系统，反应项具有二次行为。M. Pierre和他的合作者已经为具有不同扩散的反应扩散系统发展了一个完整的$L^1$理论。在这里，我们适应这个理论的膜边界条件和证明弱解的存在性时，初始数据只有$L^1$正则性使用截断方法的非线性。特别地，我们建立了几个估计的$W^{1,1}$正则性的解决方案。此外，关键的一步是使基本的$L^2$（空间，时间）可积引理适应我们的情况。
2022-06-24 math.AP
Elastic bilayer membranes under confinement -- Existence, regularity, and rigidity
该研究针对细胞生物学相关的约束弹性膜问题，证明了受限闭合曲面Helfrich能量极小化子的存在性，推导了带测度值拉格朗日乘子的欧拉-拉格朗日方程，得到解的最优正则性，并发现单位球约束下问题的刚性及极小化子为球面的参数范围。
2025-06-17 math.AP math.DG
Long-time asymptotics for a coupled thermoelastic plate-membrane system
在本文中，我们考虑的系统的热弹性板（或不）的转动惯量项与膜耦合的板和/或膜的阻尼不同的变体的传输问题。我们证明适定性的问题和更高的正则性的解决方案和研究的渐近行为的解决方案，取决于阻尼和旋转项的存在。
2019-11-22 math.AP
The nonlinear N-membranes evolution problem
研究了p-Laplacian方程的抛物型N-膜问题及其解的分支的全序约束，讨论了其变分解的逼近性、正则性和稳定性.我们扩展到进化的情况下的拉格朗日乘子与排序约束的重合集的特征函数的表征。我们给出了连续相关的结果，并研究了解和重合集的渐近行为，如$t \to \infty$，表明它们收敛到它们的平稳对应。
2008-12-09 math.AP
A local regularity theorem for mean curvature flow with triple edges
R^{n+k}中沿光滑边和低维面上的高阶结点以等角度相交的n维曲面簇的中曲率流是经典中曲率流的自然扩张。我们称这样的流为具有三重边的中曲率流。我们证明了，如果一个光滑的三重边中曲率流弱接近于三个n维单位密度半平面的静态并，那么它是光滑接近的。扩展的正则性结果一类积分Brakke流，我们表明，这意味着从一个初始的表面集群，有三重边缘，但没有高阶路口的流动光滑的短时间存在。
2017-06-06 math.AP math.DG
Strong solutions, global regularity and stability of a hydrodynamic system modeling vesicle and fluid interactions
在本文中，我们研究了一个流体动力学系统模拟囊泡膜的变形在不可压缩的粘性流体。该系统由Navier-斯托克斯方程和四阶相场方程耦合而成。在三维情形下，我们证明了任意初值下局部强解的存在唯一性以及在大粘性假设下的整体强解.我们还建立了局部光滑解的速度正则性准则。最后，我们研究了系统在弹性弯曲能局部极小点附近的稳定性。
2012-10-22 math.AP
The epsilon-regularity theorem for Brakke flows near triple junctions
本文建立了 k 维 Brakke flows 在静态三分叉点附近的 ε-正则性定理，证明了在满足温和结构假设下三分叉点的正则结构在弱平均曲率流中得以保持，并证实两类基本流无条件满足该假设。
2025-10-14 math.AP math.DG
Analysis and Output Tracking Design for the Direct Contact Membrane Distillation Parabolic System
研究了边界控制直接接触膜蒸馏系统的性能输出跟踪问题。首先，讨论了最近发展的DCMD系统的数学模型的数学特性。该模型由边界耦合的抛物型方程组成。然后，利用算子理论分析了解的存在唯一性。并建立了解的一些正则性结果。一个特殊的情况下，显示的对角属性的主算子进行了研究。然后，基于单边反馈律的控制问题，其中包括跟踪的进料和渗透液出口温度的膜蒸馏系统制定。提出了一种伺服机构和一种输出反馈控制器来解决控制问题。此外，提出了一种基于进口温度测量的扩张状态观测器，其目的是同时估计系统状态和扰动。因此，通过参考信号的某种规律性，当干扰消失时，我们证明了输出跟踪误差的指数衰减。此外，我们显示的性能的控制策略中存在的磁通噪声。
2020-07-09 math.AP math.OC
Well-Posedness of the 3D Peskin Problem
介绍了三维Peskin问题：二维弹性薄膜浸入三维定常Stokes流中。我们得到的方程模型这个自由边界问题，并表明，他们承认边界积分减少，提供了一个发展方程的弹性界面。我们考虑一般的非线性弹性定律，即，完全非线性Peskin问题，并证明了该问题在低正则Hölder空间中是适定的.此外，我们证明了弹性膜立即变得光滑的时间。
2023-01-28 math.AP
Convergence of an approximation for rotationally symmetric two-phase lipid bilayer membranes
我们考虑一个扩散界面近似的脂相旋转对称的两相双层膜，并严格推导出其$Γ$ -限制。特别是，我们证明了极限囊泡是跨界面的$C^1$，这证明了在正式的渐近和数值研究中广泛提出的正则性假设。此外，一个限制膜可能由几个拓扑球组成，它们在旋转轴处连接，类似于囊泡的完整芽。
2016-03-01 math-ph math.AP math.DG
Local well-posedness for membranes in the light cone gauge
本文研究了轻锥规范中玻色膜的经典初值问题。哈密顿约化给出了一个具有一个约束的系统，即面积保持约束。然而，对应于该系统的哈密顿演化方程不是双曲的。利用保面积约束，得到了一个等价的双曲型发展方程组，该方程组具有适定的初值问题。因此，我们能够解决的初始值问题的哈密尔顿发展方程的手段，这一等价系统。此外，我们得到了膜发展方程的爆破准则，并显示，利用约束，可以实现改进的正则性估计。
2009-10-08 hep-th math.AP
Improved well-posedness for the Triple-Deck and related models via concavity
本文在背景流凹性假设下，利用涡量稳定性估计和 Benjamin-Ono 型方程的光滑化性质，建立了 Triple-Deck 系统及静水 Navier-Stokes 方程在 Gevrey-3/2 正则性下的线性适定性，改进了已有结果。
2022-08-05 math.AP
Uniform Regularity close to Cross Singularities in an Unstable Free Boundary Problem
我们介绍了一种新的方法来分析奇异性的不稳定问题$$Δu = -χ_{\{u>0\}},$$中出现的固体燃烧以及在复合膜的问题。我们的研究仅限于点的“supercharacteristic”的解决方案的增长，即点的解决方案的增长速度比特征/不变的缩放方程会建议。在这种情况下，经典理论注定要失败，因为方程的不变标度与解的标度不相容。在二维情形下，我们的结果表明，在$u$的二阶导数无界的集合的邻域中，水平集$\{u=0\}$由两条$C^1$ -曲线组成，这两条曲线以直角相交.重要的是，我们的结果并不局限于方程的最小解，而是对所有解都成立。
2009-05-18 math.AP
Regularity for the optimal compliance problem with length penalization
我们证明了平面区域O中的连通集S的正则性结果，它使其补集O§的顺从性和它的长度之和最小.这个问题，被解释为找到最佳的位置，用于连接膜受到给定的外力f，以便最小化的顺应性，可以被看作是一个椭圆PDE版本的平均距离问题/灌溉问题（在一个惩罚的版本，而不是一个约束），这已被广泛研究的文献。我们证明了极小化由有限数量的平滑曲线满足只有三个在120度角，不包含循环，并可能接触域的边界只切向。一些新的技术工具，连同经典的开发用于此目的。
2016-04-15 math.AP math.OC
Triple Junctions in Multi-Phase Obstacle type Problems
Barnard College, Columbia University（哥伦比亚大学巴纳德学院）；Columbia University（哥伦比亚大学）；KTH Royal Institute of Technology（瑞典皇家理工学院）
本文研究与求积域相关的多相障碍型问题的自由边界正则性，该问题源于特定能量的最小化，重点分析自由边界在三重结处的几何形态。
2026-10-14 math.AP
The nodal set of solutions to some elliptic problems: sublinear equations, and unstable two-phase membrane problem
本文研究了\begin{equation*} -Δu = λ_+ \left(u^+\right)^{q-1} - λ_- \left(u^-\right)^{q-1} \quad \text{in $B_1$} \end{equation*}形式的方程的节点解集，其中$λ_+,λ_- > 0$，$q \in [1,2)$，$B_1=B_1(0)$是$\mathbb{R}^N$，$N \ge 2$和$u^+:= \max\{u,0\}$中的单位球，$u^-:= \max\{-u,0\}$分别是$u$的正部分和负部分.该类包括\emph{unstable two-phase membrane problem}（$q=1$）以及$1<q<2$的\emph{sublinear}方程。我们证明了以下主要结果：（a）在每一点上消失阶的有限性和阶谱的完全特征;（b）弱非退化性质;（c）任何解的节集的正则性：节集是正则余维1流形直到Hausdorff维数至多为$N-2$的剩余奇异集的局部有限集合（局部有限时$N=2$）;（d）部分分层定理。最终，节点集的主要特征与线性（或超线性）方程的解严格相关，有两个显著的区别。首先，允许消失阶不能超过临界值$2/(2-q)$。在阈值，我们找到了一个多重的齐次解决方案，产生的任何估计的$(N-1)$ -维措施的节点集的解决方案的消失顺序方面的\emph{non…
2018-02-06 math.AP
Global gradient estimates in weighted Lebesgue spaces for parabolic operators
本文研究了抛物算子在加权Lebesgue空间中的正则性问题，通过Calderón-Zygmund型理论得出弱解空间梯度的正则性结果。
2013-09-28 math.AP
Structure of the free interfaces near triple junction singularities in harmonic maps and optimal partition problems
Dipartimento di Matematica e Applicazioni Università degli studi di Milano-Bicocca（米兰比可卡大学数学与应用科学系）；Dipartimento di Matematica Università di Pisa（比萨大学数学系）
研究谐映射到树的能量最小化问题，证明三交点附近自由界面的正则性，展示其由三个C^{1,α}光滑的(d-1)维流形组成，以120度角交汇。
2026-09-09 math.AP
Cauchy problem for effectively hyperbolic operators with triple characteristics of variable multiplicity
研究了一类在$G = \{(t, x):0 \leq t \leq T, x \in U \Subset {\mathbb R}^{n}\}$中的三阶双曲型算子$P$在$ρ= (0, x_0, ξ), ξ\in {\mathbb R}^n \setminus \{0\}$上具有三重特征.我们考虑当$P$在$ρ$的主符号的基本矩阵具有一对非零实特征值时的情况。这种算子称为{ \it有效双曲}。Ivrii提出了有效双曲算子是{ \it强双曲}的猜想，即$P + Q$的Cauchy问题对任意低阶项$Q$都是局部适定的.这个猜想已经解决了运营商最多有双重的特点和运营商的三重特点的情况下，当主符号承认一个因式分解。$G$中的强双曲算子仅对$t = 0$或对$t = T$有三重特征.证明了当$T$足够小时，我们类中的算子是强双曲的。我们的证明是基于能量估计与损失的规律性。
2015-09-12 math.AP
Conformal Geometry and The Composite Membrane Problem
我们考虑具有光滑边界和给定背景度量g_0的光滑有界曲面。我们现在考虑所有的度规g共形于g_0，并且具有规定的体积M。现在我们在与g_0共形的度量上最小化g的拉普拉斯算子的第一本征值，并具有规定的体积。我们表明，这个问题是等效的复合膜问题，一个自由边界问题的研究作者和他的合作者在所有维度的研究。因此，完整的答案，存在的极限度量，最小化的本征函数的正则性和各种定性性质的度量是很容易得到的复合膜问题的解决方案。最小化共形类上特征值的问题对于临界GJMS算子具有更高的维度模拟，并导致高阶不稳定自由边界问题的新类和问题。特别是在4维，我们导致自由边界问题涉及Paneitz算子和奇数维分数自由边界问题的不稳定型。
2012-09-09 math.AP math.DG math.SP
On the Partial Differential Equations of Electrostatic MEMS Devices: Stationary Case
本文研究了$\R^N$的有界区域$Ω$上的非线性椭圆型问题$Δu=\frac{λf(x)}{(1+u)^2}$，并给出了Dirichlet边界条件.该方程模拟了一个简单的静电微机电系统（MEMS）器件，该器件由一个薄的介电弹性膜组成，该膜的边界支撑在位于-1处的刚性接地板上方的0处。当施加电压（在此由$λ$表示）时，膜朝向接地板偏转，并且当其超过某个临界值$λ^*$（吸合电压）时，可能发生突跳。这就产生了所谓的“拉入不稳定性”，极大地影响了许多器件的设计。该数学模型适用于一个非线性抛物型问题的动态挠度的弹性膜，这将被认为是在即将举行的文件\cite{GG2}和\cite{GG3}。现在，我们专注于固定方程，其中的挑战是估计$λ^*$的膜，它可以与空间变化的介电常数分布$f$制造的材料特性。应用分析和数值技术，$λ^*$的存在性与严格的界限一起建立。我们表明存在至少一个稳态时，$λ< λ^*$（和当$λ=λ^*$在$N< 8$维度），而没有可能为$λ>λ^*$。稳定状态的更精细的属性-如规律性，稳定性，唯一性，多重性，能量估计和比较结果-被证明取决于周围空间的维度和介电常数分布。
2005-09-23 math.AP
On the Two Obstacles Problem in Orlicz-Sobolev Spaces and Applications
证明了T-单调算子的抽象形式的两障碍问题的Lewy-Stampacchia不等式.作为结果，我们对一般的Ladyzhenskaya-Uraltseva型拟线性椭圆算子，包括p（x）-Laplacian型算子，得到了解的$C^{1,α}$正则性的新结果.我们还应用这些不等式得到了N-膜问题的新结果，并利用正则性和单调性得到了（广义）Orlicz-索伯列夫空间中拟变分问题解的存在性.
2010-03-08 math-ph math.AP math.MP
Regularity of the optimal sets for a class of integral shape functionals
本文证明了含积分泛函的形状最优化问题解的自由边界的{第一}正则性定理，其中区域$Ω$的能量是代价函数$j(u,x)$的积分，该代价函数依赖于$Ω$上某个PDE问题的解$u$.这些泛函的主要特点是域$Ω$的极小性不能转化为单个（实值或向量值）状态函数的变分问题。在本文中，我们专注于仿射成本函数的情况下，$j(u,x)=-g(x)u+Q(x)$，其中$u$是解的PDE $-Δu=f$ Dirichlet边界条件。从$Ω$的内向/外向最优性出发，得到了最优$u$的Lipschitz连续性和非退化性，然后利用$Ω$关于光滑向量场变分的稳定性，研究了状态函数$u$的爆破极限.通过三重连续爆破，证明了爆破序列收敛于单相Bernoulli问题的齐次稳定解的存在性，并根据爆破极限，将$\partialΩ$分解为奇异部分和正则部分.为了估计的豪斯多夫维数的奇异集的$\partialΩ$，我们给出了一个新的提法的概念，稳定的一个阶段的问题，这是保持爆破限制，并允许开发一个降维原则。最后，结合高阶边界Harnack原理和粘性方法，证明了当数据光滑时，自由边界正则部分的$C^\infty$正则性。
2022-12-18 math.AP
On partially segregated harmonic maps: optimal regularity and structure of the free boundary
该研究针对满足部分分离条件的三元密度组的Dirichlet能量极小化问题，证明了极小元的3/4阶Hölder最优正则性、自由边界的结构性质，以及惩罚能量极小解的一致先验界，所用方法包含Almgren型单调性公式、爆破分析与新的Liouville型定理。
2024-10-31 math.AP
Numerical approximation of the solution of Koiter's model for an elliptic membrane shell subjected to an obstacle via the penalty method
本文研究受半空间障碍约束的椭圆薄膜壳 Koiter 模型，利用罚方法和混合有限元格式近似其变分不等式解，并证明正则性提升及数值有效性。
2024-03-11 cs.NA math.AP math.NA
Regularity for Minimizers of a Planar Partitioning Problem with Cusps
该论文研究带尖点的平面分割问题极小元的正则性，证明在面积约束下边界曲线具有C^{1,1}正则性且由有限条常曲率曲线组成，并刻画了球上小δ情形下极小元为δ=0时极小元的扰动。
2025-01-27 math.AP
On the global asymptotic stability for the 3D Peskin Problem at critical regularity
Universidad de Sevilla（塞维利亚大学）；Princeton University（普林斯顿大学）；Purdue University（普渡大学）；University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）
研究三维佩斯金问题，利用最优正则性空间\(W^{1,\infty}(\mathbb{S}^2)\)中的初始数据，通过抛物平滑效应去奇异化，结合非线性估计与结构解耦，证明解在\(C^1\)拓扑中指数收敛到共形球面，实现全局渐近稳定性。
2026-07-14 math-ph math.AP math.MP
Regularity theory for non-autonomous problems with a priori assumptions
本文研究具有拟各向同性(p, q)-增长的非自治问题的弱解与极小值，建立了关于A或F的假设与u的范数间的精确联系，证明了Sobolev--Poincaré不等式及Hölder连续性，并将结果推广至多种双相与变指数能量情形。
2023-09-20 math.AP
A one-sided two phase Bernoulli free boundary problem
该研究针对两相不可穿透自由边界问题，证明了具有尖锐模连续性的ε-正则性定理，表明平坦点处边界为$C^{1,1/2}$正则曲面，且奇异集维数至多$N-5$。
2023-09-04 math.AP
On the regularity for the Navier-slip thin-film equation in the perfect wetting regime
我们调查的扰动行波解的薄膜方程的二次流动性和零接触角的三重交界处，其中三相液体，气体和固体满足。该方程可以在润滑近似下从具有基底处的Navier-Stokes条件的液滴的Navier-Stokes系统获得。存在性和唯一性已经建立了作者与贾科梅利，Knüpfer，和奥托在以前的工作。由于解一般是非光滑的，该方法依赖于适当地减去自由边界处的前导阶奇异展开。在本说明中，我们大大改善了这一结果，显示正则化效果的退化抛物方程的任意阶的奇异展开。与以前的相关工作相比，我们的方法不需要对初始数据进行额外的相容性假设。鉴于源型自相似轮廓的性质，结果是自然的。
2016-06-01 math.AP physics.flu-dyn
Regularity theory and extension problem for fractional nonlocal parabolic equations and the master equation
我们开发的正则性理论的解决方案的时空非局部方程驱动的分数权力的热运营商$$(\partial_t-Δ)^su(t,x)=f(t,x),\quad\hbox{for}~0<s<1.$$这非局部方程的顺序$s$在时间和$2s$在空间中出现在非线性弹性，半渗透膜，连续时间随机游动和数学生物学。它对于时空非定域方程（如广义主方程）的作用与分数拉普拉斯算子对于空间非定域方程的作用相同。我们得到了$(\partial_t-Δ)^su(t,x)$和抛物型最大值原理的逐点积分微分公式。证明了一个新的扩张问题，用一个局部退化抛物型方程来刻画这个非局部方程。我们证明了抛物型内部和边界Harnack不等式，和一个Almgrem型单调公式。利用抛物型Hölder空间的一个新的特征，推导了时空Poisson问题的Hölder和Schauder估计.我们的方法涉及到\textit{parabolic language of semigroups}和柯西积分定理，这是原始定义的分数幂的$\partial_t-Δ$。虽然我们主要集中在方程$(\partial_t-Δ)^su=f$，我们的想法的应用变系数，离散拉普拉斯和黎曼流形强调。
2017-04-13 math.AP math.CA math.FA
A stochastic fluid-structure interaction problem with the Navier slip boundary condition
本文研究随机流固耦合问题，针对带 Navier 滑移边界条件且结构可无限制位移的情形，利用 Lie 分裂格式构造性地证明了鞅解的存在性。
2024-02-20 math.AP
Higher order boundary Harnack principles in Dini type domains
本文研究Dini型区域中散度型椭圆方程的高阶边界Harnack原理，通过分析退化辅助方程，在双重及三重Dini条件下建立解及其比值的C^k估计。
2023-05-31 math.AP
A maximal $L_p$-regularity theory to initial value problems with time measurable nonlocal operators generated by additive processes
设$Z=(Z_t)_{t\geq0}$是一个有界三元组$(0,0,Λ_t)_{t\geq0}$的可加过程。假设对于$\mathbb{R}^d$上的任何Schwartz函数$φ$，其傅里叶变换在$C_c^{\infty}(B_{c_s} \setminus B_{c_s^{-1}} )$中，存在正常数$N_0$、$N_1$和$N_2$，使得\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^d}|\mathbb{E}[φ(x+r^{-1}Z_t)]|dx\leq N_0 e^{- \frac{N_1 t}{s(r)}},\quad \forall (r,t)\in(0,1)\times[0,T], \end{equation*}和$$ \|ψ^μ(r^{-1}D)φ\|_{L_1(\mathbb{R}^d)}\leq \frac{N_2}{s(r)},\quad \forall r\in(0,1). $$，其中$s$是尺度函数（定义2.4），$c_s$是与$s$相关的正常数，$μ$是$\mathbb{R}^d$，$ψ^μ(r^{-1}D)φ(x)= \mathcal{F}^{-1} \left[ ψ^μ(r^{-1}ξ) \mathcal{F}[φ]\right](x)$和$$ψ^μ(ξ):=\int_{\mathbb{R}^d}(e^{iy\cdotξ}-1-iy…
2023-02-03 math.AP math.PR
Boundary triples and Weyl functions for Dirac operators with singular interactions
本文基于边界三元组和 Weyl 函数，系统研究支撑于点、曲线或 Lipschitz 超曲面上的奇异 Dirac 算子，证明自伴性、推导 Krein 型预解式并刻画其谱性质。
2023-08-18 math-ph math.AP math.FA
Mean convex mean curvature flow with free boundary
本文将平均凸平均曲率流的正则性与结构理论推广至自由边界设定，通过三重逼近格式的最大值原理建立第二基本形式与平均曲率之比的先验界，并利用Bernstein型定理和分层定理排除重数2的（半）平面作为切流或极限流。
2019-11-04 math.AP math.DG
