具有有理乘积的奇异模的三元组
Triples of singular moduli with rational product
摘要：
我们证明了所有满足$x_1 x_2 x_3 \in \mathbb{Q}^{\times}$的奇异模的三元组$(x_1,x_2,x_3)$都是“平凡的”。也就是说，或者是$x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{Q}$ ;一些$x_i \in \mathbb{Q}$和剩余的$x_j, x_k$是不同的，具有程度$2$，并且在$\mathbb{Q}$上共轭;或者是$x_1, x_2, x_3$是成对不同的，具有程度$3$，并且在$\mathbb{Q}$上共轭。这个定理是最好的可能性，是自然的三维模拟结果的比卢，卢卡，和皮萨罗-马达里亚加在两个维度。它建立了一个明确的版本的安德烈-奥尔特猜想的家庭的子品种$V_α \subset \mathbb{C}^3$定义的一个方程$x_1 x_2 x_3 = α\in \mathbb{Q}$。
英文摘要：
We show that all triples $(x_1,x_2,x_3)$ of singular moduli satisfying $x_1 x_2 x_3 \in \mathbb{Q}^{\times}$ are "trivial". That is, either $x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{Q}$; some $x_i \in \mathbb{Q}$ and the remaining $x_j, x_k$ are distinct, of degree $2$, and conjugate over $\mathbb{Q}$; or $x_1, x_2, x_3$ are pairwise distinct, of degree $3$, and conjugate over $\mathbb{Q}$. This theorem is best possible and is the natural three dimensional analogue of a result of Bilu, Luca, and Pizarro-Madariaga in two dimensions. It establishes an explicit version of the André--Oort conjecture for the family of subvarieties $V_α \subset \mathbb{C}^3$ defined by an equation $x_1 x_2 x_3 = α\in \mathbb{Q}$.
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