A Class of Curves In Every Knot Type Where Chords of High Distortion are Common
曲线的变形是指曲线上不同点对上弧长与点间空间距离之比的上确界。格罗莫夫在1981年提出了一个问题，是否每一种纽结类型的曲线都可以构造成失真小于一个普适常数C。要解决格罗莫夫问题，似乎需要根据某些拓扑不变量构造纽结变形的下界。我们试图使这样的界限更容易构造表明，对高失真的点是非常常见的曲线上的最小长度的曲线在一个给定的结类型的曲线上有界的扭曲和扭曲厚度的上限以下。
2006-07-25 math.GT
Triple chords and strong (1, 2) homotopy
三重弦是弦图的子图，弦图由圆和连接球面曲线上每个二重点的原像的三根弦组成，并且它正好有三根弦给出三重交点。本文描述了三重弦数与一个称为强（1，2）同伦的等价关系之间的关系，当曲线被给定任意方向时，强（1，2）同伦由涉及逆自切的第一种和第二种Reidemeister移动组成.本文证明了一个素纽结投影被强（1，2）同伦平凡化，如果它是一条简单闭曲线或一个素纽结投影，且其弦图不含任何三重弦，而不含1-和2-弦.我们还讨论了清水的约化性与三和弦的关系。
2020-05-21 math.GT
The crossing numbers of knots and links via 4D topology
Osaka Central Advanced Mathematical Institute, Osaka Metropolitan University（大阪中央高等数学研究所，大阪公立大学）
该研究通过四维拓扑将链环交叉数与旋转带状环面纽结的弦指数关联，证明了链环连通和下交叉数的可加性。
2026-08-17 math.GT
On values of $\mathfrak{sl}_3$ weight system on chord diagrams whose intersection graph is complete bipartite
本文针对交集图为完全二部图 $K_{2,n}$ 的弦图，计算了 $\mathfrak{sl}_3$ 权系统的取值，该权系统由李代数构造并满足 4 项关系。
2021-02-01 math.CO math.GT
Braided chord diagrams
介绍了编织弦图的概念，并对其进行了研究。本文给出了一个等价关系，它能识别一个固定弦图的所有编织。它表明，有限型不变量分层的辫子指数的结，可以表示为封闭的3-辫子。给出了辫指数为3的弦图代数的生成集的部分结果。
1998-04-06 math.GT
A Functorial Map from Virtual Knots to Classical Knots and Generalisations of Parity
我们构造了从虚拟节点到经典节点的各种函子映射（投影）。这些映射被定义在虚结点的图上;根据高斯图，它们中的每一个都可以被表示为一些弦的删除。这种解释依赖于对等的概念。作为推论，我们证明了经典纽结的最小经典交叉数。
2012-09-02 math.GT
A Representation Theorem for Knots and a Generalization of the Fundamental Theorem of Finite Type Invariants
我们提供了一种从符号弦图产生$S^3$中的节点的方法，并证明了每个节点都可以用这种方法产生。利用这些图，我们推广了有限型不变量的基本定理。我们还为图提供了移动，以便同一个结的任何两个图都可以通过移动序列连接起来。
2018-06-28 math.GT
Lissajous knots and knots with Lissajous projections
欧几里得空间中的纽结，在每个坐标中可以由单个余弦函数参数化，称为李萨如纽结。我们表明，扭结是Lissajous结当且仅当其Arf不变量为零。进一步证明了所有2-桥纽结和所有（3，q）-环面纽结都有Lissajous投影.
2006-05-24 math.GT
The tabulation of prime knot projections with their mirror images up to eight double points
本文通过有限程序，系统地给出了至多八个二重点的素纽结投影及其镜像的完整表，没有冗余。本文利用J.H.的有理缠结的方法，通过列出至多四个二重点的缠结，给出至多八个二重点的纽结投影的列表。康威换句话说，对于一个给定的素结投影的交替结，我们展示了如何枚举可能的投影的交替结。同样，为了将纽结投影列表到环境合痕，我们引入了没有每个交叉的上/下信息的纽结投影的箭头图（定向高斯图），这些箭头图最初由M. Polyak和O.维罗结投影的每个箭头图完全检测结投影与其镜像之间的差异。
2021-08-22 math.GT
A representation of Milnor's triple linking number by chord diagrams and doodle invariants
本文借鉴二阶纽结不变量的分解思路，证明二阶的Milnor三重环绕数可表示为特定弦图计数与doodle不变量的组合，给出了该环绕数的新表示形式。
2025-10-05 math.GT
Minimal bridge projections for 11-crossing prime knots
我们给出了桥指数为11交叉素结，并给出了一个最小的桥梁投影为这些结。关于指数的结果可以很容易地总结：所有这些不是有理纽结或蒙特西诺斯纽结的纽结都有桥指数3。
2012-09-16 math.GT
Chord Diagrams and Gauss Codes for Graphs
圆上的弦图及其交图（也称为圆图）已经得到了深入的研究，并且在纽结和纽结不变量等的研究中有许多应用。然而，更一般的图上的弦图还没有被研究过，并且在空间图的研究中具有潜在的同等价值。我们将定义可平面图及其交图的平面嵌入的弦图，并证明一些基本结果。然后，作为一个应用，我们将介绍高斯代码的浸入图在平面上，并给出算法，以确定是否一个特定的交叉序列是可实现的高斯代码的浸入图。
2006-02-28 math.CO math.GT
Crosscap number and knot projections
我们引入了一个解结型的一些结的投影，给出了一个上界的crosscap数的结。我们确定了一组结的投影与unknotting-type数在最多两个，这个结果意味着经典和新的结果，确定了一组交替的结与crosscap数在最多两个。
2020-08-25 math.GT
An integral region choice problem on knot projection
在本文中，我们提出{ \it一个区域选择问题}的结投影。该问题是Shimizu的区域交叉变换解结运算的整扩张。我们证明了对于所有的节点投影，区域选择问题都存在一个解。
2012-01-22 math.GT
Vassiliev Invariants from Parity Mappings
定义了从高斯图的弦到整数的奇偶映射。弦的奇偶性被用来构造高斯图和虚结点的不变量族。一个族由度$n$ Vassiliev不变量组成。
2012-03-13 math.GT
Complementary Regions of Multi-Crossing Projections of Knots
一个递增的整数序列被称为对纽结是普适的，如果每个纽结在球面上都有一个约化的正则投影，使得投影的每个互补面的边数来自给定的序列。Adams、Shinjo和Tanaka在一项工作中证明了（2，4，5）和（3，4，n）（其中n是大于4的正整数）等是普适的。在即将发表的论文中，亚当斯介绍了多交叉投影的概念。n交叉投影是一个结的投影，其中每个交叉都有n股，而不是像规则投影中那样有2股。然后，我们将普适性的概念扩展到这样的结。这些结果使我们能够证明，（1，2，3，4）是一个通用的序列的两个n-交叉纽结投影，所有n>2。亚当斯进一步证明了所有的纽结都有一个正n的n-交叉投影。这一事实的另一个证明包括在本文中。这是通过构建n-交叉模板结，使我们能够构建多交叉投影与任何多重交叉。
2012-10-01 math.GT
Visually pleasing knot projections in R
在这篇简短的文章中，我介绍了knotR包，它使用R编程语言创建了优化了视觉外观的二维结图。knotR软件包是一个系统的以R为中心的软件套件，用于创建生产质量的结图艺术品，在GPL 2下发布。
2016-10-11 math.GT
Lower bounds for the warping degree of a knot projection
一个有向纽结图的翘曲度是当我们从一个不动点沿着图行进时，我们首先遇到的作为下交叉的最小交叉数。纽结投影的翘曲度是由纽结投影得到的所有有向交错图的翘曲度的极小值。本文研究了具有固定交叉点的纽结投影的无交叉点区域的最大数目，并给出了翘曲度的下界。
2021-01-22 math.GT
Petal Projections, Knot Colorings and Determinants
Seattle University（西雅图大学）；Stanford University（斯坦福大学）
本文提出了一种基于花瓣投影的算法，用于确定结的p-着色性和行列式，并计算了交叉数小于10的素结的行列式。
2021-08-13 math.GT
Strong and weak (1, 2, 3) homotopies on knot projections
结投影是从圆到二维球体的通用浸入的图像。我们可以通过三种类型的纽结投影的局部替换找到任意两个纽结投影之间的同伦，称为Reidemeister移动。本文定义了纽结投影的一个等价关系，称为弱（1，2，3）同伦，它由Reidemeister移动的类型1，弱类型2和弱类型3组成.本文定义了弱（1，2，3）同伦下的第一非平凡不变量。利用这个不变量证明了纽结投影存在无穷多个弱（1，2，3）同伦等价类。相比之下，由三元组类型的其他变体组成的纽结投影的所有等价类，即，Reidemeister移动（1，强类型2，强类型3），（1，弱类型2，强类型3）和（1，强类型2，弱类型3）是可收缩的。
2020-05-13 math.GT
The half-twisted splice operation on reduced knot projections
我们证明了任何非平凡的约化纽结投影都可以从三叶投影通过半扭曲拼接操作及其逆的有限序列得到，使得序列中每一步的结果都约化。
2012-08-05 math.GT
Knot projections with reductivity two
纽结投影的可约性是指获得可约纽结投影所需的二重点的最小拼接数。考虑到拼接的类型和方法（Seifert型拼接或非Seifert型拼接，递归或同时），我们可以得到四个包含Shimizu约化性的约化性，其中三个是新的。在本文中，我们确定了所有四个定义的约化度为2的纽结投影。我们还提供了易于计算的下界的一些约化。此外，我们详细介绍了每一个约化的性质，并描述了四个约化之间的关系与例子。
2020-06-18 math.GT
Knot projections with a single multi-crossing
最近引入的n-交叉是一个奇点，在一个链接的投影，n股交叉，使每一股直接通过交叉。我们引入了超交叉投影的概念，即具有单个n交叉的纽结投影。这样的投影必然由从交叉点发出的一系列环组成。我们证明了一个令人惊讶的事实，即所有的纽结都有一种特殊类型的超交叉投影，我们称之为花瓣投影，其中没有任何环包含任何其他环。这种形式的刚性允许所有关于结的信息集中在一个排列中，该排列对应于线股在交叉中所处的水平。这些想法产生了两个新的纽结K的不变量：超交叉数<$（K）和花瓣数p（K）。这是K的任何超交投影或花瓣投影中的最少圈数。我们将<$（K）和p（K）与其他纽结不变量联系起来，并计算几类纽结的p（K），包括所有9个或更少交叉点的纽结。
2012-11-12 math.GT
Legendrian knots and multi-crossings
本文将 übercrossing 与花瓣投影推广至 Legendrian 纽结，证明前投影中含 übercrossing 的 Legendrian 纽结必光滑同痕于平凡纽结，并给出 Lagrangian 花瓣投影的 $tb$ 与旋转数计算方法。
2024-05-08 math.GT
On Filamentations and Virtual Knots
本文讨论了有向弦图的表示。当有向弦图上不能实现平行表示时，则相应的平虚纽结是非平凡的。如果一个平面纽结图是非平凡的，那么任何阴影是平面图的虚图也一定是非平凡的。我们介绍了一类平面图，其中不存在的演示。这个类给出了第一个例子的一个无限集的虚拟结的琼斯多项式和基本群都平凡评估。相关的广义亚历山大多项式的虚拟结在这个类原来是不同的，证明类确实是无限的。
2002-07-28 math.CO math.GT
Periodic projections of alternating knots
本文证明了素交替$q$-周期纽结的$q$ -周期交替投影的存在性。主要工具是Menasco-Thistlethwaite的Flyping定理。令$K$是一个定向素数交替纽结，它与$q\geq 3$是$q$ -周期性的，即$K$允许一个对称性，它是$q$阶的旋转。则$K$具有交替的$q$ -周期投影。作为应用，我们得到了$q$ -周期交替结与$q\geq 3$的交叉数是$q$的倍数，并且我们给出了结$12_{a634} $不是3-周期的初等证明;这个证明不像Stanilav Jabuka和Swatee Naik的“Periodic knots and Heegaard Floer correction terms”（arXiv：1307.5116 [math.GT]）那样依赖于计算机计算。
2021-03-04 math.GT
Strong and weak (1, 2) homotopies on knot projections and new invariants
当纽结投影的方向任意给定时，纽结投影的每第二个平坦的Reidemeister移动可以通过逆自切修改或正自切修改分解为两种类型，分别称为强或弱。进一步，我们引入了强和弱（1，2）同伦的概念;我们定义了两个纽结投影是强（分别）同伦。弱）（1，2）同伦当且仅当两个纽结投影由第一和强（分别）的有限序列相关.弱）第二平Reidemeister移动。本文给出了两个纽结投影不是强（1，2）同伦的一个新的充要条件。类似地，我们在弱（1，2）同伦情形下得到了一个新的充要条件。我们还定义了一个新的整数值强（1，2）同伦不变量。利用它，我们证明了在强（1，2）同伦下可平凡化的非平凡素纽结投影的集合与弱（1，2）同伦下可平凡化的非平凡素纽结投影的集合是不相交的.我们还研究了新的不变量的拓扑性质，并给出了它的推广，我们的不变量和Arnold不变量的比较，以及一个不变量表。
2020-11-14 math.GT
The Intersection Graph Conjecture for Loop Diagrams
Vassiliev不变量可以通过研究与奇异结点相关的弦图空间来研究。弦的交图与这些弦图相关联。我们推广Chmutov，Duzhin和Lando的结果表明，这些图确定弦图，如果图有最多一个循环。我们还计算了由这些“循环图”生成的子代数的大小。"
2000-02-22 math.GT
Finite type invariants for knotoids
我们扩展了Vassiliev（或有限型）不变量的理论结knotoid使用两种不同的方法。首先，我们采取封闭的knotoid得到的结，我们使用的Vassiliev不变量的结，证明这些是knotoid同痕不变量。其次，我们定义有限型不变量直接对knotoid，通过扩展knotoid不变量奇异knotoid不变量通过Vassiliev绞关系。然后，球形knotoids，我们表明，有非平凡的1型不变量，与经典的纽结理论的1型不变量消失。我们给出了一个完整的理论1型不变量的球形knotoids，通过分类线性弦图的顺序之一，我们提出的例子所产生的仿射指数多项式和扩展括号多项式。
2021-06-29 math.GT
A twisted link invariant derived from a virtual link invariant
虚纽结理论是基于闭定向曲面上的高斯弦图和链图的纽结理论的推广。扭结是虚拟结的推广，其对应于可能非可定向曲面上的链接图。本文讨论了利用双覆盖由虚链路的JKSS不变量得到的扭链路的一个不变量。本文还讨论了双覆盖图的一些性质。
2015-12-03 math.GT
(1, 2) and weak (1, 3) homotopies on knot projections
本文得到了两个纽结投影由第一和第二平坦Reidemeister移动的有限序列相关的充要条件（定理1）。我们还考虑了一个称为弱（1，3）同伦的等价关系。这种等价关系通过第一平Reidemeister移动和第三平Reidemeister移动之一来发生。我们介绍了一个映射发送弱（1，3）同伦类结合痕类（第二。3）。利用该映射，我们确定哪些纽结投影在弱（1，3）同伦下平凡化（推论3）。
2020-04-14 math.GT
Thirty-two equivalence relations on knot projections
我们考虑32同伦分类结投影（图像的通用浸入从一个圆到一个2球）。这32个等价关系是根据Reidemeister五种类型的移动中哪些移动是禁止的而得到的。我们发现，32例包含20个非平凡的情况下，是相互不同的。为了完成证明，我们获得了新的工具，即，新的不变量
2020-12-04 math.GT
Petal number of torus knots using superbridge indices
结$K$的花瓣投影是由单个多交叉和非嵌套循环组成的结的投影。由于花瓣投影给出给定纽结的自然数序列，因此花瓣投影是研究纽结理论的有用模型。众所周知，每个结都有一个花瓣投影。花瓣编号$p(K)$是将结$K$表示为花瓣投影所需的最小循环数。本文给出了任意纽结的超桥指数与瓣数之间的关系。通过使用这个关系，我们发现$T_{r,s}$的花瓣数如下：$$p(T_{r,s})=2s-1$$当$1 < r < s$和$r \equiv 1 \mod s-r$。此外，我们还发现了$T_{r,s}$的花瓣数的上界如下：当$s \equiv \pm 1 \mod r$时，$$p(T_{r,s})\leq2s- 2\Big\lfloor \frac{s}{r} \Big\rfloor +1$$。
2022-09-29 math.GT
Singularities of the projections of $n$-dimensional knots
设n为大于4的整数。在（n+2）-空间中存在光滑纽结n维球面，使得它在（n+1）-空间中的投影的奇点集由二重点组成，且奇点集的分支为2。(The在（n+2）-空间中不约束任何嵌入的（n+1）-球的意义上，球是打结的。此外，投影不是任何非纽结球在（n+2）-空间中的投影。n-流形在（n+2）-空间中有两个不等价的嵌入，使得其中一个在（n+1）-空间中的投影没有二重点，而另一个在（n+1）-空间中的投影有一个连通的嵌入二重点集。
2018-03-13 math.GT
Quadruple crossing number of knots and links
四重交叉是一个结或连接的投影中的交叉，该结或连接有四股线直接穿过它。四重交叉投影是一个投影，所有的交叉都是四重交叉。在以前的论文中，证明了每个节点和链接都有一个四重交叉投影，因此，每个节点都有一个最小的四重交叉数。本文研究了四重交叉数，特别是利用括号多项式的跨度来确定各种纽结和链环的四重交叉数。
2013-01-28 math.GT
Varieties of chord diagrams, braid group cohomology and degeneration of equality conditions
该研究证明当连续函数空间维数满足特定条件时，等式条件系统定义的子空间余维数会超出条件数，给出余维下降下界，并将其应用于纽结理论，证实纽结空间上同调谱序列中必然存在复杂非稳定项。
2023-01-26 math.GT
Triple Crossing Number of Knots and Links
三重交叉是一个结或连接的投影中的交叉，其中有三个结的链直接穿过它。三重交叉投影是一个投影，所有的交叉都是三重交叉。本文证明了每个纽结和链环都有一个三重交叉投影，并研究了在K的一个投影中三重交叉的最小数目c_3（K）。利用传统的交叉数得到了c_3（K）的上界和下界，并证明了这两个上界和下界都是可实现的.我们还将三重交叉数与括号多项式的跨度联系起来，并利用它来确定各种纽结和链环的c_3（K）。然后，我们使用c_3（K）得到的双曲结或链接的体积上的界限。我们还考虑了c_n（K）的扩张.
2012-09-04 math.GT
Complementary Regions of Knot and Link Diagrams
一个递增的整数序列被称为对纽结和链环是普适的，如果每个纽结和链环都有一个到球面的投影，使得投影的每个互补面的边数来自给定的序列。本文研究了有限序列和无限序列的泛域性。我们还考虑如何尽量减少奇数侧的面的数量与n个组件的结和链接的投影。
2008-12-13 math.GT
RII number of knot projections
利用纽结图上Reidemeister移动的1、2、3类变形，将纽结投影简化为不增加二重点的平凡球面曲线.我们引入了一个纽结投影的RII数，它是这类序列中负2型变形的最小数。根据定义，它在类型1和类型3的变形下不变。这是由Östlund猜想激发的：1型和3型变形足以描述一个同伦，从一个二维平面中的圆的任何类属浸入到这个圆的嵌入（2001），这意味着RII数总是为零。然而，Hagge和Yazinski通过证明第一个反例有16个二重点，这意味着RII数是非平凡的，从而否定了这个猜想。本文证明了RII数可以是任意非负数。
2020-10-21 math.GT
Space of chord diagrams on spherical curves
本文从弦图导出的球面/平面曲线的环境合痕类中定义了$\mathbb{Z}$值函数，记为$\sum_i α_i x_i$。然后，我们引入由至多具有$l$弦的弦图生成的自由$\mathbb{Z}$ -模的某些元素，分别称为类型（I）（（SII）、（WII）、（SIII）或（WIII））的关系子，并引入从$\sum_i α_i x_i$导出的另一函数$\sum_i α_i \tilde{x}_i$。主要结果（定理1）表明：如果对于（I）型关系子（分别为（SII）、（WII）、（SIII）或（WIII）），$\sum_i α_i \tilde{x}_i$为零，则$\sum_i α_i x_i$在RI型Reidemeister移动下不变（分别为强RII、弱RII、强RIII或弱RIII）在[Ito-Takimura（2013），J.纽结理论分支]中定义。
2020-12-18 math.GT
On Finite Order Invariants of Triple Points Free Plane Curves
本文给出了计算三重点自由光滑平面曲线有限次不变量的几种常用方法$S^1 \to R^2$。它们是结不变量的类似技术的直接模拟，并且基于{ \em三角图}和{ \em连通超图}的演算，就像结不变量的计算基于弦图和连通图的研究一样。例如，在一个示例中，最简单的这种不变量是4度的，并且对应于由两个三角形组成的图，其中两个三角形在圆中具有交替的顶点，这与最简单的结不变量（2度的）对应于2弦图$\bigoplus$的方式相同。此外，在V. I. Arnold和其他作者之后，我们考虑{ \em浸入}三重点自由曲线的不变量，并且还描述了针对该问题的类似技术，并且更一般地，针对任何$\ge k$的没有重点的浸入平面曲线的空间的同调群的计算
2014-07-27 math.GT
Lattice Diagrams of Knots and Diagrams of Lattice Stick Knots
我们给出一个简单的例子表明，一个结或链接图，位于${\mathbb{Z}}^2$格不一定是一个网格的投影坚持结或链接的${\mathbb{Z}}^3$格，我们给一个充要条件时，一个结或链接图，位于${\mathbb{Z}}^2$格实际上是一个网格的投影坚持结或链接。
2018-03-09 math.GT
Circle graphs (chord interlacement graphs) of Gauss diagrams: Descriptions of realizable Gauss diagrams, algorithms, enumeration
弦图，在高斯图的名称下，在低维拓扑中用作研究曲线或结的重要工具。那些对应于曲线或节点的高斯图被称为可实现的。本文的主题是高斯图的可实现性可以通过它的圆图来表示。因此，可以定义和研究可实现的圆图（其中圆图的可实现性被理解为与该图相对应的弦图中的任何一个的可实现性）。一些研究包含了旨在证明这一事实的定理。我们检查这些描述的实验和发现反例的描述可实现的高斯图在这些出版物中的一些。我们制定了新的可实现的圆图的描述，并提出了一个优雅的算法来检查圆图是否是可实现的。我们列举可实现的圆图的小尺寸和评论这些数字。然后，我们集中在一种类型的曲线，称为曲折，并研究其高斯图的圆图。
2021-08-05 cs.DM math.GT
Some Corollaries of Manturov's projection Theorem
在我们与Stoimenow，Vdovich和Byberi的工作中，我们引入了虚典型亏格$g_{vc}(K)$和虚纽结的虚桥数$vb(K)$不变量。从定义中可以看出，对于经典纽结$K$，这些不变量的值分别小于或等于经典典型亏格$g_c(K)$和桥数$b(K)$。我们使用Manturov的投影从范畴的虚拟纽结图的范畴的经典纽结图，以表明，对于每一个经典的纽结类型$K$，我们有$g_{vc}(K)=g_c(K)$和$vb(K)=b(K)$。
2012-10-09 math.GT
Mutant knots and intersection graphs
我们证明了，如果有穷级结不变量不区分突变结，那么相应的权重系统取决于弦图的交图，而不是图本身。相反的说法很容易，也是众所周知的。讨论了所得结果与某些李代数权系之间的关系。
2007-04-10 math.CO math.GT
Crossing indices, traits and the principle of indistinguishability
弱弦指数（英语：Weak chord index）是纽结图的交叉点的一个函数，使得：1）交叉点的指数在Reidemeister移动下不会改变; 2）可以由第二个Reidemeister移动配对的交叉点具有相同的指数。我们表明，可以省略第二个条件的情况下，普遍指数。由此，我们得到了经典纽结图的不可约性原理：经典纽结图中相同符号的交叉不能用任何固有性质来区分。
2022-02-22 math.GT
A combinatorial DGA for Legendrian knots from generating families
对于R^3中的勒让德纽结L，我们构造了一个微分分次代数（DGA），它的微分计数L的前投影中的“弦路”。DGA的定义的动机是考虑莫尔斯理论的数据生成家庭。特别是，当MCS产生的生成家庭，我们给我们的和弦路径的几何解释为某些破碎的梯度轨迹，我们称之为“梯度楼梯”。给定两个等价的MCS，我们证明了相应的线性化复形的DGA同构。如果MCS有一个标准式，那么我们表明，我们的DGA同意Chekanov-Eliashberg DGA后，通过增广改变坐标。
2012-08-09 math.GT math.SG
Bounds on Übercrossing and Petal Numbers for Knots
$n$交叉点是结投影中的一个点，其中$n$链交叉，使得每条链平分交叉点。超级交叉投影具有单个$n$交叉，花瓣投影具有单个$n$交叉，以便没有嵌套在其他循环中的循环。优交叉数$\text{ü}(K)$是最小的$n$，我们可以用单个$n$交叉来表示结$K$。花瓣数是最小花瓣投影中的循环数。在本文中，我们将超交叉数和花瓣数与著名的不变量，如交叉数，桥数和unknotting数联系起来。我们发现，我们所构造的界是紧的$(r, r+1)$ -环面结。我们还研究了复合下的超交叉数的行为。
2013-11-03 math.GT
Unique diagram of a spatial arc and the knotting probability
它示出了一个有向的空间弧的投影图像的任何有向的平面近似由一个唯一的弧图（同构弧图）确定的空间弧和投影。在另一篇文章中，弧图的打结概率被定义为同构弧图下的不变量。将它们结合起来，定义了每个有向空间弧的打结概率。
2019-07-24 math.GT
Strongly n-trivial Knots
一个纽结k称为“强（n-1）-平凡的”.如果存在k的投影，则可以选择投影的n个交叉，其性质是使交叉改变对应于所选交叉的任何$2^{n}-1$非平凡组合，从而将原始结转变为解结。我们证明了给定亏格g的任何非平凡纽结k，k对所有$n, n \geq 3g-1$都不是强n-平凡的.
2000-04-28 math.GT
Crossing tribes of tangles in a thickened surface
结图的交叉可以分为与Reidemeister移动兼容的类（部落）。部落可以看作是M.徐在这篇文章中，我们描述部落的交叉缠结在一个固定的表面，并表明，交叉区分其组件，顺序和同伦类型。因此，我们得出结论，有没有非平凡指数的图上的经典纽结。
2021-10-24 math.GT
The projections of n-knots which are not the projection of any unknotted knot
设n是大于2的任意整数。我们证明存在一个投影P，它具有以下性质。(1)P不是任何未打结的结的投影。(2)P的奇点集由二重点组成。(3)P是一个与标准球面同构的n-纽结的投影。证明了在R^{n+1} \times{0}中存在一个浸入n球，它不是任何n结点（n>2）的投影.注意，第二个定理与第一个定理不同。
2000-03-15 math-ph math.GT math.MP
Cusp Volumes of Alternating Knots on Surfaces
我们研究了闭三维流形中允许在嵌入曲面上交替投影的双曲纽结的几何。我们证明了，在温和的假设下，其尖点面积承认双边界的交替投影的扭曲数和投影曲面的亏格。其结果是，我们得出的斜坡长度的图解估计和Dehn手术的应用。这些结果推广了Lackenby和Purcell关于3-球面上交错纽结的结果.利用Kalfagianni和Purcell的结果，我们指出，交替结的表面上的更高的属，可以有任意小的尖点密度，相反，交替结的球的尖点密度有界远离零由于Lackenby和Purcell。
2021-05-03 math.GT
The Distortion of a Knotted Curve
曲线的变形测量最大弧/弦长比。Gromov证明了任何闭曲线都至少有pi/2的变形，并询问了节点的变形。在这里，我们证明了任何非平凡的驯服结的扭曲至少为5 pi/3;例子表明，7.16以下的扭曲足以建立一个三叶结。我们的论点使用的最短本质割线的存在性和边界本质弧的特性。
2007-12-29 math.DG math.GT
