Fixed Parameter Approximation Scheme for Min-max $k$-cut
我们考虑图$k$ -划分问题下的最小-最大目标，称为最小最大$k$ -割。这里的输入是具有非负边权重$w:E\rightarrow \mathbb{R}_+$和整数$k\geq 2$的图$G=(V,E)$，目标是将顶点划分为$k$非空部分$V_1, \ldots, V_k$，以便最小化$\max_{i=1}^k w(δ(V_i))$。虽然最小化和目标$\sum_{i=1}^k w(δ(V_i))$，称为最小和$k$ -切，已在文献中广泛研究，很少有人知道最大目标。本文首先研究了Minmax $k$ -割问题，证明了当用$k$参数化时，Minmax $k$-割问题是NP-难的和W[1]-难的;我们的参数化近似方案的主要成分是一个精确的算法，最小最大$k$ -切割运行的时间$(λk)^{O(k^2)}n^{O(1)}$，其中$λ$是最佳值和$n$是顶点数。我们的算法技术建立在Lokshtanov，Saurabh和Surianarayanan（FOCS，2020）的技术基础上，他们对Minsum $k$ -cut显示了类似的结果。我们的算法技术是更一般的，可以用来获得参数化的近似计划，最小化$\ell_p$ -范数措施的$k$ -分区为每个$p\geq 1$。
2020-11-06 cs.DS
Solving Routing Problems via Important Cuts
我们介绍了一种使用重要切割的新方法，该方法允许我们为以下路由问题设计明显更快的固定参数易处理（FPT）算法：由有向边的数量参数化的混合中国邮递员问题（Gutin等人，JCSS 2017），由两个指定顶点之间的路径的数量p参数化的最小共享边问题（MSE）（Fluschnik等人，JCSS 2019）和加权最小切割预防问题（Gruttemeier等人，WG 2021）。最小脆弱性问题（MV）是MSE的推广（Assadi等人，2014年）。用于由p参数化的MV（与MSE的参数相同）的唯一已知FPT算法是用于弦图（Aoki等人，JCO 2018）。我们设计了一个FPT算法，用于所有无向图上的MV。
2022-06-08 cs.DS
Fixed-Parameter Tractability of Directed Multiway Cut Parameterized by the Size of the Cutset
给定一个有向图$G$，一组$k$终端和一个整数$p$，\textsc{Directed Vertex Multiway Cut}问题询问是否存在一个至多由$p$（非终端）顶点组成的$S$集合，该集合的删除将断开每个终端与所有其他终端的连接。\textsc{Directed Edge Multiway Cut}是类似的问题，其中$S$是至多$p$边的集合。众所周知，这两个问题确实是等效的。多路切割的自然推广是\emph{multicut}问题，其中我们希望仅断开一组给定的$k$对，而不是所有对。马克思（Theor。比较科学2006）证明了在无向图中多路割是由$p$参数化的固定参数易处理（FPT）。Marx和Razgon（STOC 2011）证明了无向多割是FPT，有向多割是W[1]-hard，由$p$参数化。我们通过我们的主要结果完成了这幅图，该结果是\textsc{Directed Vertex Multiway Cut}和\textsc{Directed Edge Multiway Cut}都可以在时间$2^{2^{O(p)}}n^{O(1)}$中求解，即，FPT由解的割集的大小$p$参数化。这就回答了马克思提出的一个悬而未决的问题（Theor.比较科学2006）和Marx and Razgon（STOC 2011）。从我们的结果可以看出，对于$k=2$末端对的情况，\texts…
2013-04-25 cs.CC cs.DS
An $O^*(1.84^k)$ Parameterized Algorithm for the Multiterminal Cut Problem
研究了\emph{multiterminal cut}问题，给定一个边为整数权的$n$ -顶点图和一个端点集，要求对顶点集进行划分，使得每个端点都在一个不同的部分中，且交叉边的总权至多为$k$ .我们的武器应该是几十年来已知的两个经典结果：[Ford和Fulkerson，\emph{Flows in Networks}，1962]的\emph{isolating cuts}和[Dahlhaus等人，\emph{SIAM J. Comp.} 23（4）：864-894，1994]。我们锐化这些旧武器的帮助下，子模函数，并将它们应用到这个问题，这使我们能够设计一个更详细的分支计划，决定是否一个非终端顶点是终端或没有。这种有界搜索树算法可以在$1.84^k\cdot n^{O(1)}$时间内运行，从而打破了$2^k\cdot n^{O(1)}$障碍。作为副产品，给出了$3$ -端割的$1.36^k\cdot n^{O(1)}$时间算法.对非终结点的预处理可以从其他方面对该问题进行研究。
2017-11-17 cs.DS
Max-Cut Parameterized Above the Edwards-Erdős Bound
研究了图的最大割问题的易处理性边界。我们的主要结果表明，在Edwards-Erdwords界以上的最大割是固定参数易处理的：我们给出了一个算法，对于任何n个顶点和m条边的连通图，在时间2^O（k）n^4内找到一个大小为m/2 +（n-1）/4 + k的割，或者判定不存在这样的割。这回答了一个长期存在的问题，即在过去15年中多次提出的参数化复杂性。我们的算法是渐近最优的，指数时间假设下，并加强了多项式时间的可计算内核的多项式大小。
2013-11-06 cs.CC cs.DM cs.DS
On the parameterized complexity of symmetric directed multicut
我们从参数化复杂度的角度研究了对称定向多割问题。在这个问题中，输入是一个有向图$D$，一组切割请求$C=\{(s_1,t_1),\ldots,(s_\ell,t_\ell)\}$和一个整数$k$，任务是找到一个大小至多为$k$的集合$X \subseteq V(D)$，使得对于每个$1 \leq i \leq \ell$，$X$与所有$(s_i,t_i)$ -路径或所有$(t_i,s_i)$ -路径相交。等价地，对于每个$i$，$D-X$的每个强连通分支最多包含$s_i$和$t_i$中的一个顶点。该问题先前从近似算法的研究中已知，其中已知具有$O(\log k \log \log k)$近似。我们注意到，问题，参数$k$，直接推广多个有趣的FPT问题，如（无向）顶点多割和有向子集反馈顶点集。我们不能解决一个FPT算法参数纯粹$k$的存在性，但我们给出了三个部分结果：FPT算法参数由$k+\ell$ ; FPT时间2-近似参数由$k$ ;和FPT算法参数$k$的特殊情况下，切割要求形成一个团，对称有向多路切割。纯粹由$k$参数化的FPT算法的存在仍然是一个有趣的开放的可能性。
2022-08-18 cs.DS
Tight Bounds for some Classical Problems Parameterized by Cutwidth
该研究以割宽为参数，通过匹配的上下界确定了哈密顿环、划分为三角形、最大割、诱导匹配等经典图问题的SETH紧参数化复杂度，填补了领域内多个开放问题空白。
2025-02-21 cs.DS
Refined Notions of Parameterized Enumeration Kernels with Applications to Matching Cut Enumeration
一个枚举内核定义的Creamusu等人。[理论计算。Syst. 2017]的算法，该算法将每个实例转换为大小受参数限制的实例，再加上一个解提升算法，该算法有效地从内核的解集合中枚举所有解。我们建议考虑两个新版本的枚举内核，要求的解决方案的原始实例可以枚举在多项式时间或多项式延迟的内核解决方案。使用NP-难匹配切割问题参数化的结构参数，如顶点覆盖数或圈数的输入图，我们表明，新的枚举内核提出了一个有用的概念，数据减少枚举问题，它允许competently表示一组可行的解决方案。
2021-01-11 cs.DM cs.DS
Maximum Cut Parameterized by Crossing Number
给定$n$节点上的边加权图$G$，NP难最大割问题要求节点二划分使得连接不同划分的边权重之和最大化。我们提出了一种固定参数的易于处理的算法，该算法由给定的$G$图形中的交叉数$k$参数化。我们的算法实现了$O(2^k \cdot p(n + k))$的运行时间，其中$p$是平面最大切割的多项式运行时间。唯一先前已知的类似算法[8]限于1-平面图（即，每个边至多一个交叉），并且其对$k$的依赖性是$3^k$阶。我们的结果的一个直接后果是，最大切割是固定参数易处理的w.r.t.甚至没有给定的图纸。此外，结果自然地延续到次交叉数。
2020-07-22 cs.CC cs.DS
A Parameterized Algorithm for Mixed Cut
经典门格尔定理指出，在任何无向（或有向）图$G$中，给定一对顶点$s$和$t$，顶点（边）不相交路径的最大数目等于从$s$和$t$断开所需的顶点（边）的最小数目。该最小-最大结果可以转化为多项式时间算法，以找到顶点（边）不相交路径的最大数量以及将$s$从$t$断开所需的顶点（边）的最小数量。在本文中，我们研究了这个问题的混合版本，称为混合切割，其中我们给定一个无向图$G$，顶点$s$和$t$，正整数$k$和$l$，目的是检验是否存在$k$大小的顶点集$S \subseteq V(G)$和$l$大小的边集$F \subseteq E(G)$，使得从$G$与$s$和$F$断开连接。我们从一个小的观察开始，这个问题是NP完全的，然后研究这个问题，实际上是一个更强的泛化，在参数化复杂性领域。特别是我们研究的混合多路切割未切割的问题，随着一组终端$T$，我们也给出了一个等价关系$\mathcal{R}$上$T$，问题是我们是否可以删除最多$k$顶点和最多$l$边缘，使终端的连通性在所得到的图方面$\mathcal{R}$。我们的主要结果是使用Chitnis等人（FOCS 2012）引入的递归理解方法的混合多路切割-未切割的固定参数算法。
2015-09-18 cs.DS
Tight Bounds for Connectivity Problems Parameterized by Cutwidth
在这项工作中，我们开始调查严格的复杂性界限的连通性问题的参数化cutwidth假设强指数时间假设（SETH）。Van Geffen等人对奇圈截线和反馈点集提出了这个问题。我们回答了这两个和四个进一步的问题，即连通顶点覆盖，连通控制集，steiner树，连通奇圈断面。对于后两个问题，它足以证明下界匹配的运行时间继承的参数化树宽;对于其他人，我们提供更快的算法比相对树宽和证明匹配的下界。对于上界，我们首先扩展了Groenland等人的思想。[STACS~2022]来解决我们所说的类似着色的问题。这样的问题是由一个对称矩阵$M$定义的$\mathbb{F}_2$索引的一组颜色。我们的目标是计算一个图的着色数（模为某个素数$p$），使得$M$在任何边的端点的颜色索引下都有一个$1$ -条目。我们表明，这个问题可以更快地解决，如果$M$有小的排名超过$\mathbb{F}_p$。我们应用这个结果得到了连通顶点覆盖和连通支配集的上界。奇循环截线和反馈顶点集的上界使用细分技巧，使其低于矩阵秩产生的上界。
2022-12-23 cs.DS
Clique cover and graph separation: New incompressibility results
核化领域在参数化复杂性的框架下研究了困难问题的多项式时间预处理例程。虽然在2008年已经发现了一个证明核化下限的框架，并且在过去的三年中多次成功应用，但许多重要问题的核化复杂性仍然是开放的。在本文中，我们证明了，除非NP是coNP/poly的子集，并且多项式层次崩溃到其第三层，否则以下参数化问题不允许多项式时间预处理算法将实例的大小减少到参数中的多项式：- 有向边缘/顶点多路切割，由切割集的大小参数化，即使在两个终端的情况下，- EDGE/VERTEX MULTICUT，由割集的大小参数化，和- k-WAY CUT，由割集的大小参数化。EDGE CLIQUE COVER的多项式核化的存在是开放问题会议的经验丰富的老手。此外，我们的结果补充了最近的发展，在设计参数化算法的切割问题的马克思和Razgon [STOC'11]，Bousquet等人。[STOC'11]，Kawarabayashi和Thorup [FOCS'11]和Chitnis等人。[SODA'12]。
2011-11-02 cs.CC cs.DS
Steiner Tree Parameterized by Multiway Cut and Even Less
本文针对斯坦纳树问题提出两种更小结构参数化的固定参数可解算法：以最小多路割为参数并借助二分匹配求解，以及引入K-自由树宽混合参数化并扩展基于秩的方法，分别获得相应时间复杂度的求解算法。
2024-06-28 cs.DS
Parameterized Complexity of Critical Node Cuts
我们考虑下面的自然图切割问题称为临界节点切割（CNC）：给定一个图$G$上的$n$顶点，和两个正整数$k$和$x$，确定是否$G$有一组$k$顶点，其移除使$G$至多有$x$连接的顶点对。我们在参数化复杂性的框架中分析这个问题。也就是说，我们感兴趣的是这个问题是否可以在$f(κ) \cdot n^{O(1)}$时间内解决（即，无论它是否是固定参数可处理的），对于各种自然参数$κ$。我们考虑四个这样的参数：-所需切割的尺寸$k$。- 剩余连接对数量的上限$x$。- 要删除的连接对的数量的下限$y$。- $G$的树宽$w$。我们确定CNC是否对这些参数中的每一个都是固定参数的。除了$w+k$之外，我们还为这四个参数的所有可能的聚合确定这一点。此外，我们还确定CNC是否承认所有这些参数化的多项式核。也就是说，是否有一种算法可以在多项式时间内将CNC的每个实例减少到大小为$κ^{O(1)}$的等效实例，其中$κ$是给定的参数。
2015-06-28 cs.CC cs.DS
Experimental Evaluation of Parameterized Algorithms for Graph Separation Problems: Half-Integral Relaxations and Matroid-based Kernelization
近年来，我们已经目睹了一个快速发展的新的算法技术的参数化算法的图分离问题。我们目前的实验评估的两个基石的理论成果在这方面：线性时间分支算法指导下的半积分松弛和内核化（预处理）例程的基础上，在拟阵的代表集。边贡献是一组新的（未加权，顶点删除）Multiway Cut的基准实例。
2018-11-19 cs.DS
An FPT Algorithm for Max-Cut Parameterized by Crossing Number
最大割问题在一般图上是NP难的，而在平面图上可以在多项式时间内求解。在本文中，我们提出了一个固定参数的易处理的算法的问题的“几乎”平面图：给定一个$n$ -顶点图和它的画与$k$交叉，我们的算法运行在时间$O(2^k(n+k)^{3/2} \log (n + k))$。之前，Dahn，Kriege和Mutzel（IWOCA 2018）获得了一种算法，该算法给定$n$ -顶点图及其$1$ -具有$k$交叉的平面图，在时间上运行$O(3^k n^{3/2} \log n)$。我们的结果同时提高了运行时间，并消除了$1$ -平面性的限制。
2019-05-24 cs.CC cs.DS
Mimicking Networks Parameterized by Connectivity
给定图$G=(V,E)$，边上的容量$w(e)$，和终端$\mathcal{T} \subseteq V: |\mathcal{T}| = k$的子集，$(G,\mathcal{T})$的模仿网络是图$(H,w')$，其包含$\mathcal{T}$的副本，并保持分离终端的任何子集$A, B \subseteq \mathcal{T}$的最小割的值。已知存在大小为$2^{2^k}$的模仿网络，并且可以通过算法构造，而最知名的下限是$2^{Ω(k)}$ ;因此，如果要精确地保持切割，则需要指数大小。在本文中，我们研究了模仿网络，保持连通性的图完全$c$的值，其中$c$是一个参数。这种模仿网络的概念对于某些应用程序来说已经足够了，我们将详细说明。我们首先表明，存在一个模仿的大小$3^c \cdot k$，也就是说，我们可以保持削减小容量使用网络的大小线性$k$。接下来，我们展示了一种算法，它可以在时间上找到这样一个模仿网络$2^{O(c^2)} \operatorname{poly}(m)$。
2019-10-23 cs.DS
Matching (Multi)Cut: Algorithms, Complexity, and Enumeration
本文提出 Matching Multicut 问题，分析其 NP 难性、核、精确与树宽算法，并研究不同参数下的枚举核及 FPT 延迟算法。
2024-07-03 cs.DS
On the Parameterized Complexity of Conflict-Free Edge Cut in Undirected Graphs
Indraprastha Institute of Information Technology Delhi（德里印度理工学院）；National Institute of Technology Calicut（卡利卡特国立技术学院）
本文系统研究无冲突边割及其最小化变体的参数化复杂性与核化，证明解离数≤2时NP-hard、≤1时多项式可解，并给出MIN-CF-CUT的FPT与W[1]-困难结果及无多项式核的结论。
2026-10-06 cs.DM cs.DS
Solving connectivity problems parameterized by treedepth in single-exponential time and polynomial space
Cygan等人（FOCS 2011）的突破性结果表明，树宽参数化的连通性问题可以比以前最好的已知时间$\mathcal{O}^*(2^{\mathcal{O}(tw \log(tw))})$更快地解决。使用他们的启发切割\计数技术，他们获得了许多这样的问题的$\mathcal{O}^*(α^{tw})$时间算法。此外，他们证明了这些运行时间是假设强指数时间假设的最佳时间。不幸的是，像其他关于树分解的动态规划算法一样，这些算法也需要指数空间，这被广泛认为是不可避免的。相比之下，对于稍大的参数treedepth，已经有几个算法的例子匹配的时间边界获得的树宽，但只使用多项式空间。然而，这仍然是开放的连接问题。在目前的工作中，我们关闭这一知识差距，应用割\计数技术的小树深度的图形。虽然一般的想法是不变的，我们必须设计新的程序来计算一致的削减解决方案的候选人只使用多项式空间。具体地，我们得到了树深为$d$的图上的连通顶点覆盖、反馈顶点集和Steiner树的时间$\mathcal{O}^*(3^d)$和多项式空间。同样地，我们得到了连通支配集和连通奇圈transmitting的时间$\mathcal{O}^*(4^d)$和多项式空间。
2021-06-25 cs.DS
Algorithms for Cut Problems on Trees
本文研究了{ \sc树上多割}和{ \sc树上广义多路割}问题。对于{ \sc多割树}问题，我们提出了一个在时间上运行的参数化算法$O^{*}(ρ^k)$，其中$ρ= \sqrt{\sqrt{2} + 1} \approx 1.555$是多项式$x^4-2x^2-1$的正根.这改进了Chen等人在时间上运行的当前最佳算法$O^{*}(1.619^k)$。对于{ \sc generalized multiway cut on trees}问题，我们证明了如果终端集的数目是固定的，这个问题在多项式时间内是可解的，这回答了刘和张在最近的一篇论文中提出的一个公开问题.通过将{ \sc树上的广义多路割}问题化为{ \sc树上的多路割}问题，我们的结果给出了在时间$O^{*}(ρ^k)$上求解{ \sc树上的广义多路割}问题的参数化算法，其中$ρ= \sqrt{\sqrt{2} + 1} \approx 1.555$时间.
2013-04-12 cs.DS
Edge-Cut Width: An Algorithmically Driven Analogue of Treewidth Based on Edge Cuts
分解参数，如树宽，通常用于获得固定参数算法的NP-难图问题。对于W [1]-hard树宽参数化的问题，一个自然的替代方案是使用一个合适的树宽模拟，它基于边切割而不是顶点分隔符。虽然树割宽度已经被创造为树宽的类似物，但它的算法应用经常导致令人失望的结果：在12个问题中，人们希望通过基于边割的树宽类似物来参数化固定参数的易处理性，其中8个被证明是W [1]-hard参数化的树割宽度。作为我们的主要贡献，我们开发了一个基于边缘切割的模拟树宽称为边缘切割宽度。直观地说，切边宽度是基于测量通过图的生成树的圈的密度。它的好处不仅包括一个相对简单的定义，但主要是它有有趣的算法属性：它可以计算一个固定参数的算法，它产生的固定参数算法的所有上述问题的树切割宽度未能做到这一点。
2022-02-28 cs.CC cs.DS
The Parameterized Complexity Landscape of Two-Sets Cut-Uncut
本文系统研究了Two-Sets Cut-Uncut问题的参数化复杂性，刻画了输入图允许多项式核、FPT和XP算法的结构性质，并证明了距离到余图的FPT以及基于点覆盖数排除多项式核。
2024-08-24 cs.DM cs.DS
Parameterized Algorithms for Min-Max Multiway Cut and List Digraph Homomorphism
本文设计了求解两个参数化问题的{ \sf FPT}-算法。第一个是\textsc{List Digraph Homomorphism}：给定两个有向图$G$和$H$以及对于$G$的每个顶点的$H$的允许顶点列表，问题是是否存在关于列表约束的从$G$到$H$的同态。第二个问题是\textsc{Multiway Cut}的一个变体，即\textsc{Min-Max Multiway Cut}：给定一个图$G$，一个非负整数$\ell$，和一个$r$终端的集合$T$，问题是我们是否可以将$G$的顶点划分成$r$部分，使得（a）每个部分包含一个终端，并且（b）在该部分中最多有只有一个端点的$\ell$边。我们用$G$中映射到$H$的非循环边的边的个数$w$来表示\textsc{List Digraph Homomorphism}，并给出了一个时间$2^{O(\ell\cdot\log h+\ell^2\cdot \log \ell)}\cdot n^{4}\cdot \log n$算法，其中$h$是宿主图$H$的阶数.我们还证明了\textsc{Min-Max Multiway Cut}可以在时间$2^{O((\ell r)^2\log \ell r)}\cdot n^{4}\cdot \log n$中求解。我们的方法引入了一个一般问题，称为{ \sc列表分配}，其表达能力允许设计上述两个…
2015-09-24 cs.DS math.CO
Subexponential parameterized algorithm for computing the cutwidth of a semi-complete digraph
有向图的割宽是Chudnovsky、Fradkin和Seymour [4]在竞赛图的结构理论发展中引入的一个宽度度量，或者更一般地说，半完全有向图。本文给出了一个运行时间为2^{O（\sqrt{k log k}）} * n^{O（1）}的算法，该算法测试给定n-顶点半完全有向图的割宽是否至多为k，改进了第二作者[18]的目前运行时间为2^{O（k）} * n^2的最快算法。作为副产品，我们得到了一个新的算法反馈弧集比赛（FAST）的运行时间为2^{c \sqrt{k} } * n^{O（1）}，其中c = 2π/ \sqrt（3）* \ln（2）<= 5.24，这是简单的比Feige [9]和Karpinski和Schudy[16]的算法，时间复杂度为2^{O（\sqrt{k}）} * n^{O（1）}。我们的技术也可以应用到其他布局问题的半完全有向图。我们证明了最优线性排列问题是反馈弧集的一个近亲，可以在2^{O（k^{1/3} \sqrt{\log k}）} * n^{O（1）}时间内求解，其中k是排序的目标成本.
2013-01-30 cs.DM cs.DS
Parameterized Algorithms for Graph Partitioning Problems
我们研究了一类广泛的图划分问题，其中每个问题是由一个图$G=(V,E)$，参数$k$和$p$指定。我们寻求一个子集$U\subseteq V$的大小$k$，使$α_1m_1 + α_2m_2$是最多（或至少）$p$，其中$α_1,α_2\in\mathbb{R}$是常数定义的问题，和$m_1, m_2$是基数的边缘集有两个端点，正好一个端点，在$U$，分别。这类固定基数图划分问题（FGPP）包括最大$(k,n-k)$ -割、最小$k$ -顶点覆盖、$k$ -可扩展子图和$k$ -稀疏子图.我们的主要结果是一个$O^*(4^{k+o(k)}Δ^k)$算法的任何问题在这类中，其中$Δ\geq 1$是在输入图的最大程度。这解决了Bonnet等人提出的一个未决问题[IPEC 2013]。我们获得更快的算法，某些子类的FGPP，参数化$p$，或$(k+p)$。特别是，我们给出了一个$O^*(4^{p+o(p)})$时间算法的最大$(k,n-k)$ -切，从而大大改善了最有名的$O^*(p^p)$时间算法。
2014-03-01 cs.DS
Exact and Parameterized Algorithms for the Independent Cutset Problem
本文研究独立割集问题，提出了O*(1.4423^n)时间的精确算法，并针对不受clique-width限制的结构参数给出了FPT时间算法，最后引入α-domination概念以识别更多可解情况。
2023-11-20 cs.DS math.CO
Beyond Max-Cut: λ-Extendible Properties Parameterized Above the Poljak-Turzík Bound
Poljak和Turzík（Discrete Math.1986）引入了图的λ-可扩性质的概念，作为二分性质的推广。证明了对任意0<λ<1和λ-可扩性λ，任意n个顶点m条边的连通图G都包含一个至少有λm+（1-λ）/2（n-1）条边的子图H \in λ.二分的性质是1/2-可扩的，因此这个界推广了最大割的Edwards-Erdans界。我们定义了一个变体，即强λ-可扩性，该界适用于该变体。对于一个强λ-可扩图性质λ，我们定义了参数化的Above Poljak- Turzík（APT）（λ）问题：给定一个n点m边连通图G和一个整数参数k，是否存在G的一个生成子图H使得H \in λ，H至少有λm +（1-λ）/2（n - 1）+ k条边？参数为k，即Poljak-Turzík界所保证的边数上的盈余。我们考虑APT（APT）是固定参数易处理（FPT）的图形，是O（k）顶点远离是一个图，其中每个块是一个团的性质。我们证明了对于所有这些性质，APT（λ）对于所有0<λ<1都是FPT。我们的结果适用于有向图和带边标号图的性质。我们的结果推广了Crowston等人（ICALP 2012）关于在Edwards-Erdwords界以上参数化的最大割的结果，并为几个在下界以上参数化的图问题产生FPT算法，例如，最大q-可着色子图问题我们的结果也意味着参数化的面向上保证的最大无圈有向图问题是FPT的，…
2012-07-24 cs.CC cs.DS math.CO
Tractability of Hard Digraph Cut Problems on Eulerian Instances: Treewidth Reduction and Reducing CMSO to Unbreakable Eulerian Instances
Chalmers University of Technology and University of Gothenburg（查尔姆斯理工大学和哥德堡大学）；DIMAG, Institute for Basic Science（基础科学研究院DIMAG）
本文针对欧拉有向导图，证明了树宽约简与CMSO约简的类似结果，为多个W[1]-难的有向导割问题（如Directed Multicut等）提供了FPT算法。
2026-10-14 cs.DS
Multi-budgeted directed cuts
我们研究了经典的最小割问题和图分离问题的多预算变体，这些问题在参数化复杂性中很重要：斜多割和定向反馈弧集。在我们的推广中，我们将颜色$1,2,...,\ell$分配给一些边，并给出单独的预算$k_{1},k_{2},...,k_{\ell}$。令$E_{i}$为颜色$i$的边的集合。图分离问题的多预算变量的解$C$不仅需要满足通常的分离要求，而且需要满足每个$i\in \{1,...,\ell\}$的$|C\cap E_{i}|\leq k_{i}$。与经典的最小割问题相反，即使对于$\ell = 2$，多预算变量也是NP难的。我们提出了FPT算法参数$k=k_{1}+...+k_{\ell}$的所有三个问题。为此，我们开发了一个分支程序的多预算的最小割问题，测量的算法的进展，而不是像往常一样减少$k$，但提高了一些边缘的容量，从而增加了最大的源到汇流量的大小。使用一个类似的策略是用来枚举一个给定的大小的所有重要的分隔符的事实，我们合并这个过程与流引导的分支，并显示FPT绑定的数量（适当定义）重要的多预算分隔符。这使我们能够将我们的算法扩展到斜多切和定向反馈弧集问题。此外，我们显示连接的多预算的变量与加权变量的定向切割问题和链$\ell$ -SAT问题，其参数化的复杂性仍然是一个开放的问题。我们表明，这些问题承认一个有界的参数数量的“最大限度地推动”的解决方案（在类似的精神，重要的…
2019-07-08 cs.DS
Parameterized complexity of the MINCCA problem on graphs of bounded decomposability
在边着色图中，当两条不同颜色的关联边被遍历时，在路径上的顶点处发生的成本称为重新加载或转换成本。“最小转换成本树形图”（MINCCA）问题在于找到一个树形图与一个给定的根顶点，使内部顶点的总转换成本最小化。Gözüpek等人最近证明了。[TCS 2016]当由输入图的树宽和最大度参数化时，该问题是FPT。在这篇文章中，我们提出了以下结果的MINCCA问题：-该问题是W[1]-硬参数的树深度的输入图，即使在图的平均度最多为8。特别地，它是W[1]-难以由输入图的树宽参数化的，这回答了Gözüpek等人的主要公开问题。[TCS 2016]; -它是W[1]-难以由输入多重图的树割宽参数化的多重图; -它是FPT由输入图的星树割宽参数化的，这是树割宽的稍微受限的版本。这个结果严格地推广了Gözüpek等人[TCS 2016]给出的FPT结果; -它在平面图上仍然是NP-难的，即使限制到最多6种颜色和0/1对称成本的实例，或者限制到最多8种颜色，最大度以4为界，0/1对称成本的实例。
2016-05-02 cs.CC cs.DS
Deterministic Single Exponential Time Algorithms for Co-Path Packing and Co-Path Set Parameterized by Treewidth
University of Electronic Science and Technology of China（电子科技大学）
本文针对 treewidth 参数化的 Co-Path Packing 和 Co-Path Set 问题，提出确定性单指数时间算法，解决了此前依赖随机化 Cut & Count 技术的开放问题。
2026-05-19 cs.DS
Algorithm for $\mathcal{B}$-partitions, parameterized complexity of the matrix determinant and permanent
每个方阵$A=(a_{uv})\in \mathcal{C}^{n\times n}$可以表示为具有$n$顶点的有向图。在有向图中，块（或2-连通分支）是没有割点的最大连通子有向图。矩阵的行列式和积和式可以根据有向图中块的某些特定导出子图的行列式和积和式来计算。有趣的是，这些诱导子图是顶点不相交的，它们划分有向图。有向图的这种划分称为$\mathcal{B}$ -划分。在本文中，首先，我们开发了一个算法来找到$\mathcal{B}$ -划分。其次，我们分析了矩阵行列式和积和式的参数化复杂性，其中参数是图的块大小和割点个数。我们给出了一类割点和块大小的组合，其参数化的复杂性击败了行列式和积和式的最新复杂性。
2018-10-10 cs.CC cs.DS
Improved kernels for Signed Max Cut parameterized above lower bound on (r,l)-graphs
本文针对带符号最大割问题在(r,l)-图上给出O(k^2)顶点的核，并在分割图子类上给出线性核，同时证明问题在这些子类上仍为NP难。
2017-05-22 cs.DS
Parameterized Algorithms for Colored Clustering
在着色聚类问题中，要求对边着色（超）图进行聚类，其颜色表示交互类型。更具体地说，目标是选择尽可能多的边，而不选择共享端点且颜色不同的两条边。同样，目标也可以被描述为以尽可能适合边着色的方式为顶点分配颜色。由于这个问题是NP难的，我们建立在以前的工作，研究其参数化的复杂性。我们给出了一个$2^{\mathcal O(k)} \cdot n^{\mathcal O(1)}$ -时间算法，其中$k$是要选择的边数，$n$是顶点数.我们还证明了存在的问题内核的大小$\mathcal O(k^{5/2} )$，解决一个公开的问题，在文献中提出的。我们考虑小于$k$（要选择的边数）和$r$（可以删除的边数）的参数。通过考虑$k$或$r$之间的差异以及这些值的某个下限来获得这些较小的参数。我们给这两个算法和下界的彩色聚类等参数化。最后，我们解决了颜色聚类的结构图参数的参数化的复杂性，通过显示它是$W[1]$ -硬的顶点覆盖数和树切割宽度，但固定参数听话的超薄树切割宽度。
2023-02-01 cs.DS
Maximization Problems Parameterized Using Their Minimization Versions: The Case of Vertex Cover
问题的参数化复杂性通常是根据其最优解的大小来研究的。然而，对于最大化问题，最优解的大小可能非常大，由其参数化的渲染算法效率低下。因此，我们建议研究参数化的最大化问题的复杂性方面的最优解的大小，他们的最小化版本。我们研究这一建议，考虑最大最小顶点覆盖（MMVC）问题，其最小化版本，顶点覆盖，是参数化复杂性领域研究最多的问题之一。我们的主要贡献是一个参数化的近似算法MMVC，包括其加权的变种。我们还给出了MMVC及其加权变体的算法的运行时间的条件下界。
2015-03-22 cs.DS
Fixed-parameter tractability of counting small minimum $(S,T)$-cuts
计数最小割的参数化复杂性是一个自然的问题，因为Ball和Provan证明了它的#P-完备性。对于任意无向图$G=(V,E)$及其两个不相交的顶点集$S,T$，我们设计了一个计算最小边$(S,T)$ -割的固定参数的易处理算法，该算法以最小边的大小$p$为参数.我们的算法在变换后的图实例上操作。这种变换称为引流，它揭示了至多$n=\left| V \right|$连续最小$(S,T)$ -割集$Z_i$的集合。证明了任意最小$(S,T)$ -截$X$至少包含一个截$Z_i$的边.这一观察，与门格尔定理，使我们能够建立算法计数所有最小$(S,T)$ -切割与运行时间$2^{O(p^2)}n^{O(1)}$。最初专用于计数最小切割，它可以被修改以获得最小边缘$(S,T)$ -切割的FPT采样。
2019-07-05 cs.CC cs.DS
Tight algorithms for connectivity problems parameterized by clique-width
涉及全局约束的问题的复杂性通常比仅涉及局部约束的问题的复杂性更难理解。全局约束的一种自然形式是连通性约束。我们从细粒度参数化的角度研究连通性问题。Cygan等人（TALG 2022）通过引入切割和计数技术，首次获得了单指数运行时间c^{tw} n^O（1）的连通性问题的算法。在强指数时间假设（SETH）下，证明了所得到的基c是最优的.然而，由于只有稀疏图可能承认小树宽，我们缺乏知识的细粒度的复杂性，连接问题的密集结构。衡量密集结构的最流行的图形参数可以说是cuble-width，它直观地衡量了通过重复添加biclique来构建图形的容易程度。Bergougnoux和Kanté（TCS 2019）已经使用基于秩的方法证明，许多连通性问题也可以通过candle-width参数化来实现单指数算法。不幸的是，在SETH下获得的运行时间远不是最佳的。我们展示了如何获得最佳的运行时间参数化的两个基准连接问题，即连接顶点覆盖和连接支配集的宽度。这是第一个紧密的结果，连接问题的candle宽度和这些结果是通过开发新的算法的基础上的切割和计数技术和新的下界建设。精确地说，我们证明了存在单侧误差的Monte-Carlo算法，给定一个k-团表达式，在时间6^kn ^O（1）上求解连通顶点覆盖，在时间5^kn ^O（1）上求解连通支配集。这两个结果被证明是严格的SETH下。
2023-02-07 cs.DS
Parameterized Critical Node Cut Revisited
Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学）；Charles University, Prague（布拉格查理大学）；Université Paris-Dauphine, PSL University（巴黎第九大学，PSL大学）
本文研究了关键节点割问题，证明了其在不同参数下的复杂性，并提出了新的算法和近似方案。
2026-02-16 cs.CC cs.DS
Close relatives of Feedback Vertex Set without single-exponential algorithms parameterized by treewidth
割计数技术和基于秩的方法导致了单指数FPT算法的树宽参数化，即运行在时间$2^{O(tw)}n^{O(1)}$，反馈顶点集和连接版本的经典图问题（如顶点覆盖和支配集）。我们表明，子集反馈顶点集，子集奇循环transmittance，限制边子集反馈边集，节点多路切割，和多路切割不太可能有这样的运行时间。更准确地说，我们在指数时间假设（ETH）下将时间上运行的算法$2^{O(tw \log tw)}n^{O(1)}$与严格的下限相匹配，排除了$2^{o(tw \log tw)}n^{O(1)}$，其中$n$是顶点数，$tw$是输入图的树宽。我们的算法扩展到加权的情况下，而我们的下界也保持较大的参数路径宽度，不需要权重。我们还表明，与奇数周期transmitting相比，在ETH下，偶数周期transmitting没有$2^{o(tw \log tw)}n^{O(1)}$时间算法。
2020-07-28 cs.CC cs.DS
Parameterized Complexity Classification for Interval Constraints
本文研究了Allen区间代数的MinCSP参数化复杂性，为所有基本关系子集提供了FPT与W[1]-困难的二分法，揭示了与图割问题的联系，并给出了因子为2的fpt-近似算法。
2023-05-23 cs.DS
Solving Hamiltonian Cycle by an EPT Algorithm for a Non-sparse Parameter
许多硬图问题，如哈密尔顿圈，成为FPT参数时，树宽，一个参数，是有界的稀疏图。当用更一般的参数cn-width参数化时，Hamilton Cycle变成W[1]-hard，如Fomin等人所示。Sæther和Telle在他们的论文[13]中通过引入一个新的参数split-matching-width来解决这个问题，split-matching-width在通用性方面介于treewide和cample-width之间。他们表明，即使限制分裂匹配宽度的图可能是密集的，解决问题，如汉密尔顿圈可以在FPT时间。最近，它表明，由树宽参数化的哈密尔顿循环是在EPT [1，6]，这意味着它可以在$n^{O(1)} 2^{O(k)}$时间求解。本文利用文献[6]中的工具，证明了EPT也是由分裂匹配宽度Hamilton圈参数化的。据我们所知，这是第一个EPT算法的任何“全局约束”的图形问题参数化的非平凡和非稀疏的结构参数。为了实现这一点，我们也给出了一个算法构造一个分支分解近似的最小分裂匹配宽度内一个常数因子。综合这些结果，可以看出文献[13]中的边支配集、色数和最大割算法都是可以改进的。我们还表明，对于Hamilton圈和最大割的算法是渐近最优的指数时间假设下。
2014-11-21 cs.DS
A Fast Parameterized Algorithm for Co-Path Set
k-CO-PATH SET问题是，给定一个图G和一个正整数k，是否可以从G中删除k条边，使得剩下的是一个不相交路径的集合。我们给出了一个线性时间fpt算法，其复杂度为O^*（1.588^k），用于确定k-CO-PATH SET，显著改进了Feng，Zhou和Wang（2015）之前最著名的O^*（2.17^k）。我们的主要工具是一个新的O^*（4^{tw（G）}）算法的CO-PATH集使用的切割和计数框架，其中tw（G）表示树的宽度。在一般的图形中，我们将其与分支算法相结合，该算法将6 k-内核细化为减少的实例，我们证明这些实例具有有界树宽。
2016-07-27 cs.DS
Subexponential Parameterized Algorithm for Minimum Fill-in
最小填充问题是决定一个图是否可以通过添加最多k条边来三角化。Kaplan，Shamir，and Tarjan [FOCS 1994]已经证明了这个问题在n个顶点和m条边的图上在时间O（2^（O（k））+ k2 * nm）内是可解的，因此是固定参数的。本文给出了求解最小填充时间为O（2^（O（\sqrt{k} log k））+ k2 * nm）的第一个次指数参数化算法.这大大降低了问题的复杂性。最小填充的技术可以用来获得几个相关问题的次指数参数化算法，包括最小链完成，弦图三明治，和三角着色图。
2011-04-12 cs.DS
Minimum Common String Partition Parameterized by Partition Size is Fixed-Parameter Tractable
NP难最小公共字符串划分问题询问两个字符串$x$和$y$是否每个都可以被划分为至多$k$子字符串，称为块，使得两个划分以不同的顺序使用完全相同的块。我们提出了第一个固定参数的最小公共串划分算法，只使用参数$k$。
2013-10-28 cs.DS
Tight bounds for counting colorings and connected edge sets parameterized by cutwidth
本文以图的割宽和树宽为参数，利用矩阵秩方法研究着色与连通生成边集计数的细粒度复杂度，在SETH下证明了模素数计数的紧致时间上下界。
2023-07-31 cs.CC cs.DS
Almost Consistent Systems of Linear Equations
检查线性方程组是否一致是一个应用广泛的基本计算问题。当处理不相容系统时，人们可以寻求使不满足的方程的数量最小化的分配。这个问题是NP-难和UGC-难的，即使是二元域上的二元方程，也很难在任何常数范围内近似。我们从参数化复杂性的角度来研究这个问题，参数是不满足方程的数量。我们考虑定义在欧几里德域上的方程-交换环族，它推广了有限域和无限域，包括有理数、整数环和许多其他结构。我们表明，如果每个方程包含最多两个变量，问题是固定参数易处理的。这推广了许多著名的图分离问题，如二分，多路割和多割参数的割集的大小。为了补充这一点，我们证明了当一个方程中允许有三个或更多变量时，以及对于许多不是欧几里得域的交换环，这个问题是W[1]-困难的。在技术方面，我们引入了重要平衡子图的概念，推广了马克思[Theor. Comput. Sci. [2006]关于《有偏见的图表》。此外，我们使用参数化MinCSP的最新结果[Kim等人，SODA 2021]来有效地解决具有析取切割请求的多切割的泛化。
2022-08-04 cs.DS
Parameterized Complexity of Minimum Membership Dominating Set
给定图$G=(V,E)$和整数$k$，最小成员支配集（MMDS）问题寻求找到$G$的支配集$S \subseteq V$，使得对于每个$v \in V$，$|N[v] \cap S|$至多是$k$。我们研究了该问题的参数化复杂性，并得到了以下关于MMDS的结果：W[1]-由输入图的路宽（从而树宽）参数化的问题的硬度。W[1]-由分裂图上的$k$参数化的硬度。一种在时间上运行的算法$2^{\mathcal{O}(\textbf{vc})} |V|^{\mathcal{O}(1)}$，其中$\textbf{vc}$是输入图的最小顶点覆盖的大小。一个基于ETH的下界，表明前面提到的算法是最优的。
2021-10-13 cs.DS
A Fine-Grained Classification of the Complexity of Evaluating the Tutte Polynomial on Integer Points Parameterized by Treewidth and Cutwidth
本文对以树宽和割宽为参数时Tutte多项式在整数点上的求值复杂度进行了细粒度分类，通过改进现有归约并引入矩阵秩界新贡献，明确了不同整数点下的多项式与指数级时间复杂度边界及ETH下界。
2023-07-03 cs.CC cs.DS
FPT Inapproximability of Directed Cut and Connectivity Problems
(see有向图上的割问题和连通问题是从参数复杂性的角度研究得很好的两类问题。经过一系列的文件在过去的十年中，我们现在有（几乎）严格的边界的运行时间的几个标准的变种，这些问题的参数化的两个参数：数量$k$的终端和大小$p$的解决方案。当有证据表明FPT难以处理时，下一个自然的选择是考虑FPT近似。在本文中，我们展示了两种类型的结果几个定向切割和连通性问题，建立在现有的结果从文献中：首先是规避这些问题的硬度结果，通过设计FPT近似算法，或者加强现有的硬度结果，通过创建“间隙实例”更强的假设，如（间隙）指数时间假设（ETH）。
2019-10-03 cs.DM cs.DS
An FPT algorithm for orthogonal buttons and scissors
我们研究的益智游戏剪刀和剪刀，其中的目标是删除所有按钮从$n\times m$网格的一系列水平和垂直削减。我们表明，相应的参数化问题有一个算法的时间复杂度$2^{O(k^2 \log k)} (n+m)^{O(1)}$，其中$k$是一个上限的削减。
2019-07-24 cs.DS
Subexponential Parameterized Algorithms for Cut and Cycle Hitting Problems on H-Minor-Free Graphs
我们设计了第一个次指数时间（参数化）算法的几个切割和循环击中问题的$H$ -小自由图。特别是，我们得到了以下结果（其中$k$是解决方案的大小参数）。1.边二分化和奇循环变换的$2^{O(\sqrt{k}\log k)} \cdot n^{O(1)}$时间算法; 2.用于边缘多路切割的$2^{O(\sqrt{k}\log^4 k)} \cdot n^{O(1)}$时间算法和用于顶点多路切割的$2^{O(r \sqrt{k} \log k)} \cdot n^{O(1)}$时间算法，其中$r$是要分离的端子的数量; 3.用于边缘多切的$2^{O((r+\sqrt{k})\log^4 (rk))} \cdot n^{O(1)}$时间算法和用于顶点多切的$2^{O((\sqrt{rk}+r) \log (rk))} \cdot n^{O(1)}$时间算法，其中$r$是要分离的端子对的数量; 4.用于组反馈边集的$2^{O(\sqrt{k} \log g \log^4 k)} \cdot n^{O(1)}$时间算法和用于组反馈顶点集的$2^{O(g \sqrt{k}\log(gk))} \cdot n^{O(1)}$时间算法，其中$g$是组的大小。5.此外，我们的方法也给出了$n^{O(\sqrt{k})}$时间算法的所有上述问题，除了$n^{O(r+\sqrt{k})}$时间的边缘/顶点多…
2022-07-04 cs.DM cs.DS
Computing the Chromatic Number Using Graph Decompositions via Matrix Rank
计算最小数$q$使得给定图的顶点可以被正确地$q$着色是组合优化中最古老和最基本的问题之一。使用参数化算法的框架对$q$ -着色问题进行了深入研究，从而对基于图结构的几种参数化的最佳可能算法有了很好的理解。虽然有大量的工作，参数化的基础上分解的图的顶点分隔符，几乎没有什么是已知的参数化的基础上的边缘分隔符。我们填补了这一空白，通过研究$q$ -染色参数化的割宽，和参数化的有界度图的路径宽度。我们的研究揭示了利用小边缘分离器的有趣的新方法。我们提出了两种算法$q$ -着色参数化的cutwidth $cutw$：一个确定性的，运行在时间$O^*(2^{ω\cdot cutw})$，其中$ω$是矩阵乘法常数，和一个随机的运行时$O^*(2^{cutw})$。与早期工作形成鲜明对比的是，运行时间独立于$q$。割宽的依赖是最佳的：我们证明，即使3-着色不能解决在$O^*((2-\varepsilon)^{cutw})$时间假设强指数时间假设（SETH）。我们的算法依赖于一个新的秩约束的矩阵，描述兼容的着色。结合用于评估两个多项式的乘积的简单通信协议，这也产生用于$q$的$O^*((\lfloor d/2\rfloor+1)^{pw})$时间随机化算法-在路径宽度$pw$和最大度$d$的图上着色。这样的运行时是由比约克隆德首先获得的，但仅适用于具有很少正确着色的图。我们还证明，这个结果是最佳的…
2018-06-27 cs.CC cs.DS
Quasipolynomial multicut-mimicking networks and kernelization of multiway cut problems
我们证明了一个精确的模仿网络的$k^{O(\log k)}$边缘的最小multicuts在一组终端的无向图，其中$k$是终端的总容量，以及一种方法用于计算一个模仿网络的quasipolynomial大小在多项式时间。作为后者的结果，几个问题被证明有quasipolynomial内核，包括边缘多路切割，组反馈边缘设置为任意组，和边缘Multicut参数化的解决方案和切割请求的数量。结果结合了基于矩阵的不相关边缘的方法在内核中使用的$s$ -多路切割的递归分解和稀疏化的图沿稀疏切割。这是自$s$的内核-$s$常数值的多路切割（Kratsch and Wahlström，FOCS 2012）以来，多路切割问题的内核化的第一个进展。
2021-03-05 cs.DS
