Elliptic Islands on Strictly Convex Billiards
研究了与严格凸闭曲线相关联的台球映射椭圆岛存在性的一般性问题。更确切地说，我们研究了2-周期轨道的台球与C5封闭和严格凸曲线，并表明椭圆岛的存在是一个密集的性质的子集上的台球有一个椭圆2-周期点。我们的主要工具是正常的扰动，Birkhoff规范形式的椭圆不动点和Moser的扭曲定理。
2002-01-11 math.DS
Elliptic non-degeneracy and spectral rigidity of classical billiards
该研究证明椭球上经典型Liouville台球桌的台球映射在椭圆不动点处非退化，并由此推导出一个谱刚性结果。
2024-01-29 math.DS math.SP
On the incenters of triangular orbits in elliptic billiard
我们考虑椭圆台球中的3-周期轨道。Dan Reznik进行的数值实验表明，相应三角形的内切圆的中心轨迹是椭圆。我们证明了这一事实的复杂化的问题加上复杂的法律或rfelection。
2013-11-12 math.DS
Centers of inscribed circles in triangular orbits of an elliptic billiard
三角形中的内切圆的圆心轨迹，即椭圆台球的3周期轨道，也是椭圆。本文得到了该椭圆的正则方程，补充了O。Romaskevich
2016-07-01 math.DS math.MG
Closed geodesics and billiards on quadrics related to elliptic KdV solutions
我们考虑二次曲面Q上可积台球的代数几何性质，弹性碰撞沿着与Q共焦的另一个二次曲面。这些性质与椭球体Birkhoff台球的性质形成鲜明对比。也就是说，一般的复不变流形不是阿贝尔簇，台球映射不再是代数的。这样的系统的一个类似庞塞莱定理是已知的。给出了Q上闭测地线和周期台球轨道的充分条件，并讨论了它们与椭圆KdV解和椭圆Calogero系统的关系
2004-12-14 math.DS nlin.SI
Magic Billiards: the Case of Elliptical Boundaries
本文提出统一多种数学台球推广的 magic billiards 概念，研究椭圆边界情形，并给出周期性显式条件及基于 Fomenko 图的拓扑描述。
2025-01-11 math.DS nlin.SI
Elliptic islands and zero measure escaping orbits in a class of outer billiards
本文研究一类圆形扇区外台球系统，证明半圆盘存在正比例椭圆岛（稳定性），并构造可数族扇区使逃逸轨道测度为零，展示稳定性与扩散共存。
2025-06-23 math.DS
Nonpersistence of resonant caustics in perturbed elliptic billiards
焦散是具有以下特性的曲线：台球轨迹一旦与其相切，则在台球桌边界处的每次反射之后保持相切。当台球桌是椭圆时，任何非奇异台球轨迹都有焦散，它可以是共焦椭圆或共焦双曲线。共振焦散-那些切线轨迹是封闭的多边形-在台球桌的一般扰动下被破坏。我们证明，没有一个共振椭圆焦散持续下一个大类的显式扰动的原始椭圆。这个结果来自于标准的Melnikov论证和对某些椭圆函数的复奇点的分析。
2011-08-29 math.DS nlin.CD
Elliptic Flowers: simply connected billiard tables with chaotic or non-chaotic flows moving around chaotic or non-chaotic cores
我们介绍了一类台球与混沌单向流（或非混沌单向流与“涡”），围绕一个混沌或非混沌的“核心”，其中轨道可以改变它们的方向。此外，相应的台球桌简单地连接，不同的是，许多尝试通过在台球桌内部放置具有有趣形状的各种“散射体”来构建具有有趣和/或奇异动力学的台球。因此，台球在这个新的类是服从实验室的物理研究，以及严格的数学，这可能会揭示一个新的光的理解的经典和量子动力学的哈密顿系统。
2021-05-13 math.DS
A challenger to elliptic billiards fails: String construction over convex polygons and the Birkhoff--Poritsky conjecture
本文证明一个据称是Birkhoff-Poritsky猜想反例的台球并非反例，并证明任意凸多边形弦构造球台中该多边形是动力学核心。
2024-04-03 math.DS
Average Elliptic Billiard Invariants with Spatial Integrals
我们比较不变量的N-周期轨迹的椭圆台球，经典的和新的，他们的非周期性的同行通过一个空间积分评估的边界上的椭圆台球。被积函数的权重是一个通用的措施，等于密度的射线击中一个给定的边界点。我们发现，非周期平均是光滑和单调的焦散偏心率，并完全匹配N-周期平均不变量的离散焦散参数，承认一个给定的N-周期的家庭。
2021-02-22 cs.SY eess.SY math.DS
Complex caustics of the elliptic billiard
本文研究了椭圆台球在复域上的推广。我们表明，台球轨道也有焦散线，这样的焦散线的数量是大于真实的情况下。例如，对于一个给定的椭圆E，正好存在两个共焦椭圆，使得E的三角形轨道围绕其中一个外切，并且这些椭圆之一的每条切线是三角形轨道的一条边。我们还给出了一个边界上的焦散线的轨道与固定数量的边。
2020-02-24 math.AG math.CV math.DS
Poncelet property of planar elliptic integrable Kepler billiards
Gymnasium Holzkirchen（霍尔茨基兴中学）；School of Mathematical Sciences, Dalian University of Technology（大连理工大学数学科学学院）
本文研究了平面椭圆可积开普勒弹奏板的庞加莱性质，通过分析非零能量轨道的连续第二轨道焦点线，发现其均与固定圆相切，并探讨了椭圆反射壁内外的可积动力学，识别了线性化椭圆曲线及相应的位移，并讨论了使用凯莱准则的n-周期性条件。
2026-05-21 math-ph math.DS math.MP
Quantum states resembling classical periodic trajectories in mesoscopic elliptic billiards
通过叠加近简并本征态，在介观椭圆台球中实现量子态局域于经典周期轨道，并分析旋转与摆动模式的概率流、相位及涡旋分布。
2024-03-13 math.DS nlin.CD physics.class-ph
Hyperbolicity and Abundance of Elliptical Islands in Annular Billiards
本文研究两偏心圆间环形台球动力学，证明当内圆半径趋于零且圆心趋近外边界时，存在符号数递增的双曲集，并通过二次同宿切分岔产生椭圆岛，揭示大双曲集与椭圆岛共存现象。
2022-08-08 math.DS
Birkhoff Normal Form and Twist Coefficients of Periodic Orbits of Billiards
本文针对多种动力台球，显式构造椭圆周期点附近的Birkhoff变换，并用台球桌几何参数给出前两个扭转系数的显式公式，进而刻画非线性稳定性与局部解析可积性。
2022-02-24 math.DS
Convex billiards on convex spheres
本文研究了二维凸球面上的动态台球问题。研究了一般凸球面上凸台球的一般性质。证明了$C^\infty$的周期点一般都是双曲或椭圆的，且具有无理旋转数.此外，每个双曲周期点都有横截同宿交点。在我们的方法中的一个新的成分是，我们使用赫尔曼的结果丢番图不变曲线证明了椭圆周期点的凸台球稠密子集的非线性稳定性。
2021-05-22 math.DS
Finiteness theorems on elliptical billiards and a variant of the Dynamical Mordell-Lang Conjecture
我们提供了一些定理，主要是有限性，某些模式在椭圆台球，有关的周期性轨迹。例如，如果两个运动员在给定位置击球，并且方向在$(0,π)$中形成固定角度，则两个轨迹都是周期性的情况只有20%。另一个例子是台球杆的有限性，它把一个给定的球送入另一个球，使这个球最终落入一个洞。这些结果起源于马宁-芒福德猜想的“相对”情况，并构成算术内容如何影响混沌行为（台球）的实例。我们还将通过一个动态莫德尔-朗猜想的变体来解释这些陈述。反过来，这包括的情况下，有些令人惊讶的是，可以处理（只有）完全不同的方法相比，前者;在这里，我们将提供一个明确的例子有关的丢番图方程在代数环面。
2021-07-18 math.AG math.DS math.NT
Twist Coefficients of Periodic Orbits of Minkowski Billiards
该研究引入相空间新坐标系探究闵可夫斯基台球基本性质，推导椭圆周期轨道扭转系数公式并分析其稳定性，为该领域周期轨道研究提供新方法与理论支撑。
2024-12-03 math.DS
The First Birkhoff Coefficient and the Stability of 2-Periodic Orbits on Billiards
在这项工作中，我们解决的问题，证明严格凸台球椭圆2-周期轨道的稳定性。尽管椭圆性意味着稳定性是一个被广泛接受的信念的一部分，但经典定理表明，稳定性的确定性依赖于更精细的条件。我们提出了一个审查的主要结果和一般定理，并描述的程序，以满足严格凸台球的补充条件。
2004-10-14 math.DS nlin.CD
Ergodicity in umbrella billiards
我们研究了一个三参数的台球桌与圆弧边界的家庭。这些伞形台球可以被看作是两个参数的月亮和不对称柠檬台球的推广，其中后者的类包括新参数为$0$的实例。像这两个先前研究的类，对于某些参数伞台球表现出混沌行为的证据，尽管未能满足某些标准的散焦或分散，两个最好理解的机制，产生遍历性和双曲性。对于对应于非遍历柠檬和月亮台球的一些参数，新参数的小的增加将椭圆$2$ -周期点变换为高阶椭圆点的级联。随着新参数的增加，这些可能会稳定或消散。我们的特点的周期点，并提出新的遍历的例子的证据。
2017-02-17 math.DS
On polynomially integrable planar outer billiards and curves with symmetry property
证明了所有多项式可积的平面外凸台球都是椭圆的。
2018-06-21 math.AG math.DS
Periodic billiards within conics in the Minkowski plane and Akhiezer polynomials
我们得到了台球在Minkowski平面内的椭圆内的周期轨迹和椭圆周期轨迹的充要条件，并给出了用下划线椭圆曲线表示的条件。我们提供了几个例子的周期性和椭圆周期性的轨道与小周期。我们观察Cayley型条件与判别可分多项式和可因式分解多项式之间的关系。利用多项式-函数方程导出了周期性和椭圆周期性的等价条件。相应的多项式与经典的极值多项式有关。特别地，类光周期轨迹与经典的切比雪夫多项式有关。与以前研究的欧几里德的情况下的相似性和差异。
2019-08-02 math.CA math.DS nlin.SI
Integrable Billiards on a Minkowski Hyperboloid: Extremal Polynomials and Topology
研究Minkowski空间中单叶双曲面上共焦二次曲线约束的紧区域内的台球系统。我们推导出椭圆周期性的条件，这样的台球。我们描述的拓扑结构的台球系统的Fomenko不变量。然后，我们提供周期性条件的功能佩尔方程和相关的极值多项式。几个例子计算的椭圆函数和经典的Chebyshev和Zolotarev多项式，极值多项式在一个或两个间隔。这些结果进行了对比的情况下，台球在闵可夫斯基和欧几里德平面。
2021-08-30 math-ph math.DS math.MP
Dynamics of perturbed elliptical billiard tables
Morehouse College（莫尔豪斯学院）；George Mason University（乔治梅森大学）；Florida Atlantic University（佛罗里达大西洋大学）
本文提出了一种隐式解析方法，用于研究扰动椭圆形台面上弹珠映射的动力学，通过计算周期轨道的局部稳定和不稳定流形，揭示台面的动力学特性。
2026-10-02 math.DS
Stability of periodic orbits in no-slip billiards
在一组自然的物理要求下，二维刚体碰撞贴图可以分为两种类型：标准镜面反射贴图和第二种，我们称之为Broomhead和Gutkin之后的无滑移贴图。这导致研究无滑台球-平面台球系统中的移动粒子是一个磁盘（旋转对称的质量分布），其平移和旋转速度都可以改变在每次碰撞的边界的台球域。在本文中，我们大大扩展了以前的结果（Broomhead和Gutkin）的有界性和线性稳定性的Sinai型台球（Wojtkowski）的无滑台球的周期轨道。我们证明了：（i）对于具有分段光滑边界和至少一个内角小于$π$的平面上的台球区域，无滑移台球动力学总是包含椭圆周期- $2$轨道;（ii）多边形无滑移台球总是允许小的不变开集，因此关于正则不变台球测度不能遍历;（三）无滑动版本的西奈台球必须包含线性稳定的周期轨道的周期$2$，更一般地说，我们提供了一个曲率阈值，在此通常发生的周期- $2$轨道从双曲线转移到椭圆形;（四）最后，我们提出了一些意见关于周期轨道在一类多边形台球。
2016-12-10 math.DS
New Invariants of Poncelet-Jacobi Bicentric Polygons
在两个圆之间相交的庞斯莱多边形的一维族被称为双中心族。利用椭圆函数和Liouville定理，我们证明了（i）这个族具有不变的内角余弦和和（ii）关于族的极限点的踏板多边形具有不变的周长.有趣的是，（i）和（ii）也是椭圆台球N-S的性质。此外，由于踏板多边形在（ii）是相同的椭圆台球N-π的反转相对于一个焦点为中心的圆，一个重要的推论是，（iii）椭圆台球焦点反转N-π有恒定的周长。有趣的是，这些也保存了它们的余弦之和（除了N=4的情况）。
2021-07-13 cs.CG math-ph math.DS
How smooth can convex chaotic billiard tables be?
我们解决了长期存在的问题，平滑体育场台球。此外，我们的结果表明，为什么没有明确的示意图，多少体育场的边界必须平滑，以破坏混沌动力学。要做到这一点，我们需要扩展标准KAM理论来分析周期轨道的稳定性，因为系统的低光滑性。事实上，体育场有一个$C^1$边界，我们表明，$C^2$平滑的结果在外观的椭圆周期轨道。
2018-06-08 math.DS
Dynamics of planar integrable Kepler billiards with a focused hyperbolic branch
Gymnasium Holzkirchen（霍尔茨基兴中学）；School of Mathematical Sciences, Dalian University of Technology（大连理工大学数学科学学院）
本文研究以聚焦双曲分支为边界的平面开普勒台球的可积动力学，利用焦点-焦散圆识别椭圆曲线并线性化动力学，分析周期轨道的凯莱条件，并推广至抛物弧和直线边界情况。
2026-09-17 math-ph math.DS math.MG
From K.A.M. Tori to Isospectral Invariants and Spectral Rigidity of Billiard Tables
本文是一个项目的一部分，调查之间的关系完全可积或接近完全可积台球桌，积分几何上，相应的Laplace-Beltrami运营商的频谱动力学。它涉及到新的等谱不变量和具有Dirichlet、Neumann或Robin边界条件的Laplace-Beltrami算子族的谱刚性问题，并与C^1族台球桌有关。我们引入了弱等谱的概念，这样的变形。对初始台球桌的主要动力学假设是：相应的台球映射或其一个子映射有一个具有丢番图频率的Kronecker不变环面，且相应的Birkhoff规范形在Kolmogorov意义下是非退化的.然后我们得到了具有丢番图频率的C^1 Kronecker环面族。如果Laplace-Beltrami算子族满足弱等谱条件，我们证明了台球映射在环面上的平均作用量和Birkhoff标准形沿扰动方向保持不变.作为一个应用程序，我们得到无穷小的频谱刚性刘维台球桌在二维和三维。应用程序也得到了严格凸台球表的二维以及在初始台球表时承认椭圆周期台球轨迹的情况下。得到了椭圆台球桌的谱刚度。这些结果是基于与克罗内克环面相关的C^1族准模的构造和C^1族哈密顿量的适当KAM定理。
2019-02-09 math.DS math.SP
On some invariants of Birkhoff billiards under conjugacy
在严格凸光滑边界类中，每一个边界周围没有由不变曲线构成的条带，我们证明了“正规化”Mather $β$ -函数的Taylor系数在$C^\infty$ -共轭下是不变量.相反，我们证明了任何两个椭圆台球映射是$C^0$ -共轭附近的各自的边界，和$C^\infty$ -共轭的开放的圆柱体，附近的边界和远离一个平原通过中心的基础椭圆。我们还证明了，如果台球映射对应于两个椭圆拓扑共轭，那么这两个椭圆是相似的。
2021-05-30 math.DS
Non-Birkhoff periodic orbits in symmetric billiards
Heriot-Watt University（赫瑞瓦特大学）；Loughborough University（拉夫堡大学）；Vrije Universiteit Amsterdam - Faculty of Science（阿姆斯特丹自由大学理学院）；Università degli Studi di Trento（特伦托大学）；Politecnico di Torino（都灵理工大学）；Centre Inria d’Université Côte d’Azur（法国国家信息与自动化研究所蔚蓝海岸大学中心）
本文研究了对称平面弹奏器中非Birkhoff周期轨道的存在性，并给出了其存在条件及计算方法。
2026-02-17 math.DS
Symmetric periodic orbits in symmetric billiards
本文研究具有旋转对称边界的卵形台球，证明具有相同对称性的周期轨道中一半为椭圆型且Moser稳定，另一半为双曲型且具有同（异）宿相交。
2023-03-20 math.DS nlin.CD
Generic properties of planar symplectic billiards
Dipartimento di Matematica Tullio Levi–Civita, Università di Padova（帕多瓦大学数学系）；ISEG, Universidade de Lisboa（里斯本大学经济与管理学院）
研究平面辛台球的一般性质，证明对于\(C^\infty\)强凸域剩余集，周期轨迹相关性质，还证弗兰克斯引理等，得出\(C^\infty\)强凸辛台球一般有正拓扑熵的结论。
2026-07-24 math.DS
Linear and nonlinear stability of periodic orbits in annular billiards
环形台球是一个动力系统，其中粒子在圆盘中自由运动，除了与边界的弹性碰撞，并且在圆盘内部也是一个圆形散射体。本文研究了环形台球中散射体与边界接触或靠近边界时某些周期轨道的稳定性。我们分析表明，存在线性稳定的周期轨道的任意周期的半径减小的散射体位于附近的边界的磁盘。当散射体的位置远离周期轨道的对称线时，周期轨道的稳定性从椭圆轨道变为双曲线轨道，对应于鞍心分岔。当散射体与边界相切时，周期轨道为抛物线。我们证明了在切向情况下稍微改变轨道的反射角会导致KAM岛的存在。因此，我们表明，存在一个递减到零序列的开区间的散射半径，沿该台球桌是不是遍历。
2017-03-24 math.DS
Existence and Nonexistence of Invariant Curves of Coin Billiards
本文研究硬币台球的不变曲线，证明了KAM曲线存在与不存在的条件，并指出圆形是相空间被本质不变曲线叶化的唯一情形。
2025-03-31 math.DS
Caustics of Poncelet polygons and classical extremal polynomials
全面分析了台球在欧氏平面内的椭圆的周期性轨迹。该方法的新颖性是基于作者最近建立的关系之间的周期性台球轨迹和极值多项式的系统上的$d$间隔的实线和椭球台球在$d$维空间。即使在平面的情况下，系统地研究在本文中，它导致新的结果在表征$n$周期性的轨迹与所谓的$n$椭圆周期性的轨迹，这是$n$ -周期性的椭圆坐标。的特征都是在底层的椭圆曲线和它的除数和多项式函数方程，如佩尔方程。这种新的方法也揭示了一些经典的结果。特别是，我们连接搜索焦散线产生的周期性轨迹与三个经典类的极值多项式的两个间隔，介绍了Zolotarev和Akhiezer。主要的分类工具是卷绕数，我们提供了几种解释，包括极值多项式交替点的数量。后者暗示了卷绕数之间的重要不等式，从而提供了旋转数单调性的另一个证明。一个完整的目录台球轨迹与小周期提供了$n=3, 4, 5, 6$随着一个有效的搜索焦散。作为一个副产品，一个有趣的连接之间的凯莱型条件和判别可分多项式已被观察到所有这些小周期。
2018-12-07 math.AG math.CA math.DS
On exotic rationally integrable planar dual billiards I. Complex geometry and type of dynamics
Higher School of Modern Mathematics MIPT（高等现代数学学校）；MIPT（莫斯科物理技术学院）；HSE University（高等经济大学）；CNRS, UMR 5669 (UMPA, ENS de Lyon)（法国国家科学研究中心，联合研究单位5669（里昂高等师范学院应用数学与物理实验室））
研究外来的有理可积双台球系统的相空间结构，发现其被不变代数曲线纤维化，并确定了通用水平曲线的类型（大多数为有理曲线，两个例子为椭圆曲线）。
2026-05-23 math.AG math.DS
Fregier Ellipses
我们引入Fregier椭圆，推广了欧几里德几何中的Fregier点。本课程与动力系统和庞斯莱闭合定理（又称庞斯莱定理）有关，并展示几何不变量（面积，角度）。特殊的角度π/3和2 π/3的强调，我们表明，我们有不变的面积和Fregier圆一般Poncelet配置，发生从仿射映射的椭圆台球。
2022-06-08 math.DS math.MG
