Density of integral sets with missing differences
Motzkin提出的问题，找到最大密度$μ(M)$的集合的整数，其中的差异所给予的一组$M$不发生。当$|M|\leq 2$和$M$是有限等差数列时，这个问题已经解决.当$M$具有其它结构时，本文确定了$μ(M)$.例如，当$M$是有限等比数列时，我们确定$μ(M)$。
2013-08-28 math.CO math.NT
On the characteristic of integral point sets in $\mathbb{E}^m$
本文将整三角形的特征的定义推广到整单形，并证明了整点集中的每个单形都具有相同的特征。这个定理被用于整点集的一个有效的构造算法。利用这个算法，我们能够提供新的精确值的最小直径的整点集。
2005-11-29 math.CO
On particular diameter bounds for integral point sets in higher dimensions
给出了平面整点集的一种分类方法。对于得到的两类，我们给出了具有一定基数的高维整点集的最小直径的上界的一般构造。利用机器搜索，我们给出了平面整点集的例子来建立这样的界。
2021-11-22 math.CO
On particular examples of planar integral point sets and their classification
一个平面整点集是一个平面上的非共线点的集合，使得对于任何一对点，点之间的欧氏距离是整数。本文讨论了平面整点集的分类，并给出了一些未被现有分类所覆盖的集合的例子。
2021-03-27 math.CO
Maximal integral point sets in affine planes over finite fields
受欧几里德平面上整点集的启发，我们考虑了有限域上仿射平面上的整点集。整数点集是有限域$\mathbb{F}_q$上仿射平面$\mathbb{F}_q^2$中的点的集合，其中每对点的形式定义的平方欧几里德距离是$\mathbb{F}_q$中的平方。证明了$\mathbb{F}_q$上的整点集也可以刻画为确定某些预定方向的仿射点集，这与Blokhuis的工作有关。此外，在一个重要的子情况整点集可以重述为团的佩利图的平方阶。本文给出了整点集自同构的新结果，并对$q\le 47$的$\mathbb{F}_q$上的极大整点集进行了分类.进一步给出了两类极大整点集，并证明了它们的极大性。
2014-01-14 math.CO
Maximal integral point sets in affine planes over finite fields
受欧几里德平面上整点集的启发，我们考虑了有限域上仿射平面上的整点集。整数点集是有限域$\mathbb{F}_q$上仿射平面$\mathbb{F}_q^2$中的点的集合，其中每对点的形式定义的平方欧几里德距离是$\mathbb{F}_q$中的平方。证明了$\mathbb{F}_q$上的整点集也可以刻画为确定某些预定方向的仿射点集，这与Blokhuis的工作有关。此外，在一个重要的子情况整点集可以重述为团的佩利图的平方阶。本文给出了整点集自同构的新结果，并对$q\leq 47$的$\mathbb{F}_q$上的极大整点集进行了分类.进一步给出了两类极大整点集，并证明了它们的极大性。
2014-01-14 math.CO
On diameter bounds for planar integral point sets in semi-general position
欧氏平面上的点集$M$称为平面整点集，如果$M$的所有元素之间的距离都是整数，并且$M$不位于直线上。一个平面整点集，如果不包含共线三元组，则称为处于半一般位置。平面整点集最小直径的现有下界是线性的。证明了平面整点集在半一般位置上的最小直径的一个新的下界，它比线性的更好。
2019-07-22 math.CO
Integral point sets over $\mathbb{Z}_n^m$
有许多论文研究了欧几里得空间$\mathbb{E}^m$或整数网格$\mathbb{Z}^m$上的点集的性质，具有两两积分或有理距离。在这篇文章中，我们考虑的距离或坐标的点集，而不是整数是$\mathbb{Z} / \mathbb{Z}n$的元素，并研究由此产生的组合结构的性质。
2008-04-08 math.CO
On the minimum diameter of plane integral point sets
自古以来，数学家认为几何物体的边长是整数。我们考虑平面积分点集$\mathcal{P}$，这是一组$n$点在平面上的两两积分距离，不是所有的点是共线的。出现的最大距离称为其直径。由$n$点构成的平面整点集的最小可能直径$d(2,n)$的问题自然产生。我们给出了一些新的精确值，并描述了最先进的算法来获得它们。结果表明，具有最小直径的平面整点集很可能由具有许多共线点的子集组成。对于这种特殊的点集，我们证明了一个下界$d(2,n)$实现已知的上界$n^{c_2\log\log n}$的指数为常数。一个著名的问题Erdens要求平面整点集没有3点的直线和没有4点的圆。这里，我们讨论一般位置上的点集，并将相应的最小直径表示为$\dot{d}(2,n)$。最近，可通过穷举检索确定$\dot{d}(2,7)=22 270$。
2008-04-08 math.CO
Integral point sets over finite fields
我们考虑仿射平面上的点集$\mathbb{F}_q^2$，其中两点的每个欧氏距离是$\mathbb{F}_q$的元素。这些集合被称为整点集，最初是在$m$维欧几里得空间$\mathbb{E}^m$中定义的.我们确定它们的最大基数$\mathcal{I}(\mathbb{F}_q,2)$。对于任意交换环$\mathcal{R}$而不是$\mathbb{F}_q$，或者对于直线上无三点或圆上无四点的进一步限制，我们给出了部分结果.此外，我们还研究了具有最大基数的例子的几何结构。
2008-04-08 math.CO
Two Proofs of a Structural Theorem of Decreasing Minimization on Integrally Convex Sets
本文针对积分凸集上递减最小化（字典序优化）的结构定理，分别利用Fenchel型对偶定理与Farkas引理给出两种证明，阐明递减最小元素集为单位离散立方体与凸包某面的交集。
2025-04-24 math.CO math.OC
Difference Balanced Functions and Their Generalized Difference Sets
从$F_{q^n}^*$到$F_q$的差分平衡函数与组合设计密切相关，并且自然地定义了具有理想两级自相关的$p$元序列。在文献中，所有存在的这类函数都与$d$ -齐次性有关，Gong和Song证明了差平衡函数必是$d$ -齐次的.首先利用关于两个例外子群的广义差集刻画了差平衡函数。然后我们得到了$d$ -齐次差分平衡函数的几个充要条件。特别是，我们揭示了一个意想不到的等价性之间的$d$ -齐次属性和广义差集的乘数。通过确定这些乘子，我们证明了关于$q$素数的Gong-Song猜想.证明了每一个差分平衡函数都是平衡的或平衡函数的仿射移位。
2013-09-30 cs.IT math.CO math.IT
On existence of integral point sets and their diameter bounds
Voronezh State University（沃罗涅日国立大学）
本文改进了平面整数点集直径的下界，并提出了一种构造方法，能够生成特定距离的整数点集。
2019-06-27 math.CO
Integral point sets in higher dimensional affine spaces over finite fields
我们考虑$m$维仿射空间$\mathbb{F}_q^m$中的点集，其中两点的欧氏距离的平方是$\mathbb{F}_q$中的平方.事实证明，$\mathbb{F}_q^m$中的情形与欧几里得空间中的整数距离情形非常相似。因此，我们期望有限域上的结果是有用的欧几里德的情况。我们完全确定这些空间的自同构群，保持整数距离。对于小参数$m$和$q$，我们确定了$\mathbb{F}_q^m$中整点集的最大基数$\mathcal{I}(m,q)$.给出了$\mathcal{I}(m,q)$的上界和下界。如果我们将整数距离映射到图中的边，我们可以定义一个具有顶点集$\mathbb{F}_q^m$的图$\mathfrak{G}_{m,q}$。证明了$\mathfrak{G}_{m,q}$在某些情况下是强正则的。
2014-01-17 math.CO
Fourier integral operators, fractal sets and the regular value theorem
证明了如果${\mathcal E} \subset {\Bbb R}^{2d}$，$d \ge 2$是一个具有充分大豪斯多夫维数的Ahlfors-David正则积集，记为$dim_{\mathcal H}({\mathcal E})$，并且$ϕ$是一个充分正则函数，则集合$$ \{w \in {\mathcal E}: ϕ_l(w)=t_l; 1 \leq l \leq m \}$$的上Minkowski维数不超过$dim_{\mathcal H}({\mathcal E})-m$，这与初等微分几何中的正则值定理是一致的.我们的论点是基于基本的傅里叶积分算子的映射性质，并与几何测度论中的Falconer距离猜想密切相关。我们将看到，我们的结果在一般意义上是尖锐的，如果豪斯多夫维数小于某个阈值，则维数不等式以可量化的方式失效。用来证明这一点的结构是基于凸曲面上的格点分布，并与组合几何学有联系。
2011-04-22 math.AP math.CA math.CO
On the characteristic and diameter of planar integral point sets
Voronezh State University（沃罗涅什国立大学）
本文改进了半一般位置整数点集在特征为4k+1或4k+2时直径的下界，通过结合双曲线和网格工具集实现。
2024-07-11 math.AG math.CO
Bounds for the minimum diameter of integral point sets
具有整数边的几何体长期以来一直吸引着数学家。例如，证明或证伪一个完美盒子的存在的问题，也就是一个长方体，它的所有边、面对角线和空间对角线的长度都是整数，仍然是一个开放的问题。更一般地，整数点集$\mathcal{P}$是$m$维欧几里得空间$\mathbb{E}^m$中具有成对整数距离的$n$点的集合，其中最大出现距离称为其直径。从组合的观点来看，对于给定的参数$m$和$n$，在确定最小可能直径$d(m,n)$方面存在自然的兴趣。我们给出了最小直径$d(m,n)$的一些新的上界和一些精确值。
2019-11-09 math.CO
Strongly regular graphs from integral point sets in even dimensional affine spaces over finite fields
在奇数阶$q$的有限域$\mathbb{F}_q$上的$m$维仿射空间$AG(m,q)$中，欧氏距离的类似物产生图$\mathfrak{G}_{m,q}$，其中顶点是$AG(m,q)$的点，并且如果两个顶点的（形式）平方欧氏距离是$\mathbb{F}_q$中的平方（包括零），则两个顶点相邻。2009年，Kurz和Meyer提出了一个猜想：如果$m$是偶数，那么$\mathfrak{G}_{m,q}$是强正则图。本文证明了他们的猜想。
2021-02-05 math.CO
Distances in Planar Integral Point Sets
University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）；Óbuda University（欧布达大学）
研究平面非共线整点集中极小距离的分布，证明极小距离在亚指数增长下几乎一维，并给出反例说明线支撑情况不可避免。
2026-06-26 math.CO
Shift-Inequivalent Decimations of the Sidelnikov-Lempel-Cohn-Eastman Sequences
我们考虑了Sidelnikov-Lempel-Cohn-Eastman（SLCE）序列的移位不等价抽取的最大集合的问题（以及确定与这些序列相关的几乎差集的乘子群的等价问题）.给出了一个剩余是SLCE几乎差集的乘子的数值必要条件。利用我们的必要条件，证明了如果$p$是奇素数，且$S$是$\mathbb{F}_p,$上的SLCE几乎差集，则$S$的乘子群是平凡的.因此，对于每个奇素数$p,$，我们得到一族$ϕ(p-1)$移位不等式平衡周期序列（其中$ϕ$是Euler-Totient函数），每个序列具有周期$p-1$和几乎完美的自相关。
2018-09-11 cs.IT math.CO math.IT
Recent Progress on Integrally Convex Functions
积分凸函数是离散凸分析中的一个基本函数类，包括M-凸函数、L-凸函数等。本文对积分凸函数的最新结果作了较全面的综述，并给出了一些新的技术性结果。本文涵盖的主题包括积分凸集和函数的特征，积分凸集和函数的操作，最小化的邻近缩放算法，积分双共轭和离散Fenchel对偶的最优性准则。虽然M-凸函数和L-凸函数的理论是建立在拟阵和次模函数的基础上的，但发展积分凸函数的理论需要更一般和基本的工具，如Fourier-Motzkin消去法。
2023-02-22 math.CO
Integral circulant graphs of prime power order with maximal energy
图的能量是图的邻接矩阵的特征值的模之和。我们研究整循环图（也称为gcd图）的能量，它可以用它们的顶点数n和n的因子集D来表征，使得它们具有顶点集Zn和边集{{a，b}：a，b in Zn; gcd（a-b，n）in D}。利用凸优化的工具，研究了素数幂阶ps的整循环图和变因子集D之间的最大能量问题。我们的主要结果表明，这个最大能量近似位于s（p - 1）p^（s-1）和这个值的两倍之间。我们构造合适的因子集的能量在于这个区间。我们还刻画了素数幂阶的超能整循环图，并展示了它们的因子集的一个有趣的拓扑性质。
2011-12-14 math.CO
Almost Difference Sets from Unions of Cyclotomic Classes of Order 14
本研究针对形如q=14n+1且小于1000的素数域GF(q)，通过Python穷举搜索14阶分圆类（含/不含零元）的2到13类并集，探究几乎差集的存在性并判定同参数等价性，提出了几乎差集的新构造方法。
2024-01-31 math.CO math.GR
