有限域上高维仿射空间中的整点集
Integral point sets in higher dimensional affine spaces over finite fields
摘要：
我们考虑$m$维仿射空间$\mathbb{F}_q^m$中的点集，其中两点的欧氏距离的平方是$\mathbb{F}_q$中的平方.事实证明，$\mathbb{F}_q^m$中的情形与欧几里得空间中的整数距离情形非常相似。因此，我们期望有限域上的结果是有用的欧几里德的情况。我们完全确定这些空间的自同构群，保持整数距离。对于小参数$m$和$q$，我们确定了$\mathbb{F}_q^m$中整点集的最大基数$\mathcal{I}(m,q)$.给出了$\mathcal{I}(m,q)$的上界和下界。如果我们将整数距离映射到图中的边，我们可以定义一个具有顶点集$\mathbb{F}_q^m$的图$\mathfrak{G}_{m,q}$。证明了$\mathfrak{G}_{m,q}$在某些情况下是强正则的。
英文摘要：
We consider point sets in the $m$-dimensional affine space $\mathbb{F}_q^m$ where each squared Euclidean distance of two points is a square in $\mathbb{F}_q$. It turns out that the situation in $\mathbb{F}_q^m$ is rather similar to the one of integral distances in Euclidean spaces. Therefore we expect the results over finite fields to be useful for the Euclidean case. We completely determine the automorphism group of these spaces which preserves integral distances. For some small parameters $m$ and $q$ we determine the maximum cardinality $\mathcal{I}(m,q)$ of integral point sets in $\mathbb{F}_q^m$. We provide upper bounds and lower bounds on $\mathcal{I}(m,q)$. If we map integral distances to edges in a graph, we can define a graph $\mathfrak{G}_{m,q}$ with vertex set $\mathbb{F}_q^m$. It turns out that $\mathfrak{G}_{m,q}$ is strongly regular for some cases.
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