The k-in-a-path problem for claw-free graphs
当k=3时，判定给定k个顶点的图是否存在导出路在一般图中已经是NP-完全的。我们展示了如何在无爪图的多项式时间内解决这个问题，当k不是输入的一部分，而是一个任意固定的整数。
2010-02-03 cs.DM cs.DS
Partitioning an interval graph into subgraphs with small claws
图$G$的爪数是使$K_{1,v}$是$G$的导出子图的最大数$v$。当$v = 1$是簇图时，爪数最多为$v$的区间图是簇图，当$v = 2$是真区间图.设$κ(n,v)$是最小数$k$，使得每一个具有$n$顶点的区间图允许一个顶点划分成爪数至多为$v$的$k$诱导子图.设$\checkκ(w,v)$是最小数$k$，使得每个爪数为$w$的区间图允许一个顶点划分为爪数至多为$v$的$k$诱导子图.我们表明，$κ(n,v) = \lfloor\log_{v+1} (n v + 1)\rfloor$，和$\lfloor\log_{v+1} w\rfloor + 1 \le \checkκ(w,v) \le \lfloor\log_{v+1} w\rfloor + 3$。除了组合界限，我们还提出了一个简单的近似算法划分为最小数量的诱导子图的爪数最多$v$，与近似比$3$时，$1 \le v \le 2$，和$2$时，$v \ge 3$。
2021-09-23 cs.DM cs.DS math.CO
Induced Disjoint Paths in Claw-Free Graphs
路径P1，...，称图G=（V，E）中的Pk是相互诱导的，如果对任意1 <= i < j <= k，Pi和Pj既没有公共点也没有相邻点（可能除了它们的端点）.导出不相交路问题是检验一个具有k对指定顶点（si，ti）的图G是否包含k条相互导出的路Pi，使得Pi连接si和ti，i=1，.，K.我们表明，这个问题是固定参数的易处理的无爪图时，参数为k。几个相关的问题，如k-in-a-Path问题，被证明是固定参数易处理的无爪图以及。我们表明，这些结果在某些方向上的改进是不可能的，例如，注意到，诱导不相交路径问题不能有一个多项式核线图（一类无爪图），除非NP \subseteq coNP/聚。而且，对于更一般的K_1，4-free图，即使当k=2时，问题也是NP-完全的.最后，我们证明了Fiala等人的n^O（k）-时间算法对于无爪图是否包含k-顶点图H作为拓扑诱导子式的问题是本质最优的，即使G和H是线图，这个问题也是W[1]-困难的.
2014-03-06 cs.DM cs.DS
Dominating induced matchings in graphs containing no long claw
一个图$G$中的导出匹配$M$是支配的，如果不是在$M$中的每条边与$M$中的一条边恰好共享一个顶点。支配诱导匹配问题（也称为有效边支配）询问图$G$是否包含支配诱导匹配。这个问题一般是NP-完全的，但对于具有某些特殊性质的图是多项式时间可解的。特别地，对于无爪图，它在多项式时间内是可解的。本文研究了不含长爪的图的诱导子图问题，即不存在由长爪的每条边细分一次而得到的诱导子图。为了解决这类问题，我们把它归结为以下问题：给定一个图$G$和它的顶点的子集，$G$是否包含一个使子集的所有顶点饱和的匹配？我们证明了这个问题可以在多项式时间内得到解答，从而为解决不含长爪的图的主导诱导匹配问题提供了一个多项式时间算法。
2015-05-11 cs.DM cs.DS math.CO
Polynomial-time algorithm for Maximum Independent Set in bounded-degree graphs with no long induced claws
对于图$G$和$H$，如果它不包含$H$作为导出子图，我们说$G$是$H$ -free的。早在20世纪80年代初，Alekseev就观察到，如果$H$是连通的，那么\textsc{Max Weight Independent Set}问题（MWIS）在无$H$的图中仍然是\textsc{NP} -硬的，除非$H$是一条路径或一个细分的爪，即，从三叶星通过将每个边细分若干次（可能为零）而得到的图。从那时起，确定MWIS在这些剩余情况下的复杂性是算法图论中最重要的问题之一。一个普遍的信念是，这个问题是多项式时间可解的，这是证明了排除一些小路径或细分爪图的算法结果。Gartland和Lokshtanov [FOCS 2020]最近的突破性结果给出了更确凿的证据：他们证明了MWIS可以在$H$ -free图中在准多项式时间内求解，其中$H$是任何固定路径。如果$H$是任意细分的爪，我们知道的要少得多：该问题允许QPTAS和亚指数时间算法[Chudnovsky et al.，SODA 2019]。在本文中，我们向解决这个问题的重要一步表明，对于任何细分爪$H$，MWIS是多项式时间可解的$H$ -自由图的有界度。
2022-02-07 cs.DM cs.DS
Dominating Set is Fixed Parameter Tractable in Claw-free Graphs
我们证明了由解大小参数化的支配集问题在不包含爪（K（1，3））作为诱导子图的图中是固定参数可处理的（FPT）.爪是四个顶点上的完全二分图，其中两个部分分别有一个和三个顶点.本文给出了一个算法，它用2^O（k^2）n^O（1）的时间和多项式空间来判定一个n阶无爪图是否有一个大小不超过k的支配集.注意，这种支配集的参数化在所有图的集合上是W[2]-困难的，因此不太可能有用于一般图的FPT算法。对于支配集的参数化，FPT算法已知的最一般的图类是K（i，j）-free图类，对于某些固定的i，j，不包括完全二分图K（i，j）作为子图。当i，i >= 2时，无爪图类和任意类K（i，j）-free图在集合包含方面是不可比较的。因此，我们扩大了范围的图，在这个参数化的支配集是已知的固定参数听话。我们还表明，在某种意义上说，这是存在的爪，使这个参数化的支配集问题很难。更确切地说，我们证明，对于任何t？4.在不包含t爪K（1，t）的图中，以解的大小为参数的支配集问题是W[2]-困难的.我们的论证也暗示了在这些图类中相关的连通支配集和配支团问题是W[2]-困难的。最后，我们证明了对于任意的t，以解大小为参数的团问题在一般图上是W[1]-困难的，而在t-claw-free图上是FPT的。我们的研究结果添加到小的和不断增长的收集FPT结果的图形类定义的排除子图，而不是排除未成年人。
2011-08-11 cs.CC cs.DS
An Improved Approximation Algorithm for the Maximum Weight Independent Set Problem in d-Claw Free Graphs
在本文中，我们考虑的任务，计算一个独立集的最大重量在一个给定的$d$ -爪自由图$G=(V,E)$配备了一个积极的重量功能$w:V\rightarrow\mathbb{R}^+$。在这样做时，$d\geq 2$被认为是一个常数。这个问题以前最著名的近似算法是由Berman提出的局部改进算法SquareImp。对于任何$ε>0$，它实现了$\frac{d}{2}+ε$在时间上的性能比$\mathcal{O}(|V(G)|^{d+1}\cdot(|V(G)|+|E(G)|)\cdot (d-1)^2\cdot \left(\frac{d}{2ε}+1\right)^2)$，这在过去的二十年里一直没有得到改进。通过考虑一个更广泛的类的局部改进，我们得到了一个近似比$\frac{d}{2}-\frac{1}{63,700,992}+ε$的任何$ε>0$在运行时间的一个额外的因素$\mathcal{O}(|V(G)|^{(d-1)^2})$的成本。特别是，我们的结果意味着一个多项式时间的$\frac{d}{2}$近似算法。此外，从加权$k$ -集合装箱问题到$k+1$ -无爪图中的最大权独立集问题的著名约化，为任何$ε>0$的加权$k$ -集合装箱问题提供了一个$\frac{k+1}{2}-\frac{1}{63,700,992}+ε$ -近似算法.这改善了以前最好的已知近似保证$\frac…
2021-06-07 cs.DS
Better approximation algorithms for maximum weight internal spanning trees in cubic graphs and claw-free graphs
给定一个连通的顶点加权图$G$，最大权内部生成树（MaxwIST）问题要求$G$的生成树使内部结点的总权最大化.该问题是NP难和APX难的，具有当前最已知的近似因子$1/2$（Chen等人，2019年）。对于无爪图的情形，Chen等人提出了一个带逼近因子$7/12$的复杂逼近算法.他们询问是否有可能提高这些比率，特别是对于无爪图和三次图。我们改进了三次图和无爪图中MaxwIST问题的逼近因子。对于三次图，我们提出了一个算法，计算生成树的内部顶点的总重量至少是$\frac{3}{4}-\frac{3}{n}$倍的总重量的所有顶点，其中$n$是$G$的顶点数。对于大的$n$值，该比率几乎是紧的。对于度至少为3的无爪图，我们提出了一个算法，计算生成树的总内部重量至少是总顶点重量的$\frac{3}{5}-\frac{1}{n}$倍。度约束是必要的，因为如果我们允许度小于3的顶点，则可能无法实现此比率。有了以上的比率，我们立即得到更好的近似算法与因子$\frac{3}{4}-ε$和$\frac{3}{5}-ε$的MaxwIST问题的三次图和无爪图的度至少为3，任何$ε>0$。除了提高近似因子，新算法相对较短相比，陈等人。新的算法相当简单，并采用了深度优先搜索算法的一个变体，在每个分支步骤中选择一个相对较大的权重顶点。此外，新的算法需要线性时间，而以前的算法类似的问题的情况下是超线性的。
2020-06-22 cs.DM cs.DS
Claw-Free and Line Graph Edge Deletion on Block Graphs
Indian Institute of Science（印度科学学院）
本文研究块图上的无爪图与线图边删除问题，证明两问题最优值相等，通过补全论证将其简化为块内选顶点问题，用$O(n+m)$动态规划求解并扩展到$K_{1,r+1}$-无爪边删除。
2026-10-14 cs.DM cs.DS math.CO
Parameterized Complexity of Induced Graph Matching on Claw-Free Graphs
导出图匹配问题要求在给定的图G中找到k个与给定的图H同构的不相交的导出子图，使得不同子图的顶点之间没有边。这个问题推广了经典的独立集和诱导匹配问题等。我们证明了当H是固定连通图时，诱导图匹配在无爪图的k中是固定参数易处理的，当H是完全图时，诱导图匹配甚至允许多项式核。这两个结果依赖于一个新的，强大的，通用的算法结构定理无爪图。作为对上述结果的补充，我们证明了对于任意固定的完全图H，导出图匹配在不包括K_1，4的导出子图上的W[1]-困难性。特别地，我们证明了无K_1，4-图上的独立集是W[1]-硬的.最后，我们考虑了诱导图匹配的一个大子类的无爪图，即适当的圆弧图的复杂性。我们证明了该问题是多项式时间可解的或NP-完全的，这取决于H的连通性和G的结构。
2014-02-10 cs.CC cs.DM cs.DS
Max Weight Independent Set in sparse graphs with no long claws
本文针对不含细分爪诱导子图的有界度图，提出了运行时间为 $n^{\mathcal{O}(Δ^2)}$ 的更快的最大权独立集算法，并结合树分解技术将其推广到同时排除固定双团子图的图类。
2024-01-12 cs.DM cs.DS
Disconnected Cuts in Claw-free Graphs
一个连通图的不连通割是一个顶点割，它本身也导出一个不连通子图。图是否有不连通割的判定问题称为不连通割。这个问题是密切相关的几个同态和压缩问题，并适合在一个广泛的研究线上的顶点切割与其他性质。已知不连通割在一般图上是NP-困难的，而多项式时间算法已知用于几个图类。然而，无爪图问题的复杂性仍然是一个悬而未决的问题。它与将无爪图收缩为4-顶点圈$C_4$的问题的复杂性的联系导致Ito等人（TCS 2011）明确要求解决这个悬而未决的问题。我们证明了不连通割在无爪图上是多项式时间可解的，回答了Ito等人的问题。我们结果的核心是直径为2的无爪图的一个新的分解定理，我们相信这是独立的兴趣，并扩展了Chudnovsky和Seymour（JCTB 2007-2012）和Hermelin等人（ICALP 2011）发起的研究路线。在我们利用这个分解定理的方式，我们描述了如何断开切割与某些cobipartite子图的相互作用，并证明了两个新的算法结果，即断开切割是多项式时间可解的圆弧图和线图。
2018-03-09 cs.CC cs.DM cs.DS
Colouring Generalized Claw-Free Graphs and Graphs of Large Girth: Bounding the Diameter
对于一个固定的整数，$k$ -着色问题是决定是否可以用最多$k$颜色的图的整数$k$，使得没有两个邻顶点是相同的颜色。如果$G$不包含$H$作为诱导子图，则图$G$是无$H$的.对于所有的$k\geq 3$，如果$H$含有诱导爪或诱导圈，则对于无$H$的图，$k$ -着色问题是NP-完全的. $H$包含一个循环的情况下，从已知的结果，该问题是NP-完全的，即使是任意大的固定围长的图。我们研究在何种程度上的情况可能会改变，如果此外输入图有界直径。
2021-11-23 cs.CC cs.DM cs.DS
Improved bounds on the zeros of the chromatic polynomial of graphs and claw-free graphs
Centrum Wiskunde & Informatica（数学与计算机科学中心）；Korteweg de Vries Institute for Mathematics, University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学科特韦格-德弗里斯数学研究所）
研究改进了图色多项式零点的界，针对无爪图和高环长图给出了更优的界，并引入了新的方法来分析色多项式系数。
2026-01-27 cs.DM cs.DS math.CO
Maximum Weight Independent Set in Graphs with no Long Claws in Quasi-Polynomial Time
本文证明最大权独立集问题在所有连通分量为路径或细分爪的无 $H$ 图上可拟多项式时间求解，完成了无 $\mathcal{F}$ 图复杂度的二分法，并利用扩展条带分解和复杂分支策略取得关键突破。
2025-09-23 cs.DS
Domination When the Stars Are Out
我们算法最近的结构特征的无爪图Chudnovsky和Seymour。在此基础上，我们证明了无爪图上的支配集是（i）固定参数易处理的，（ii）甚至具有多项式核。为了补充这些结果，我们建立了支配集是不固定参数听话的稍大类的图，排除K_{1,4}作为一个诱导子图（K_{1,4} -自由图）。我们表明，我们的算法也可以用来表明，相关的连接支配集问题是固定参数易处理的无爪图。为了补充这个结果，我们证明了连通支配集在无爪图上没有多项式核，并且在K_{1,4} -free图上不是固定参数可处理的。结合这些结果，我们给出了无K_{1,L}图的支配集和连通支配集的二分法，并证明了该问题是固定参数易处理的当且仅当L <= 3。
2019-01-14 cs.DM cs.DS
Computing homomorphisms in hereditary graph classes: the peculiar case of the 5-wheel and graphs with no long claws
对于图$G$和$H$，$G$的$H$ -染色是从$V(G)$到$V(H)$的边保持映射。在$H$ -着色问题中，图$H$是固定的，我们问一个实例图$G$是否允许$H$ -着色。这个问题的推广是$H$ -ColoringExt，其中$G$的一些顶点已经映射到$H$的顶点，我们问这个部分映射是否可以扩展到$H$ -着色。我们研究了$F$ -free图中$H$ -着色的变体的复杂性，即，不包括固定图$F$作为导出子图的图。对于整数$a,b,c \geq 1$，我们用$S_{a,b,c}$表示通过分别在$a+1$、$b+1$和$c+1$顶点上标识三条路径的一个端顶点而获得的图。对于奇数的$k \geq 5$，我们用$W_k$表示由$k$ -圈加上一个泛顶点而得到的图.作为我们的主要算法结果，我们证明了$W_5$ -ColoringExt在$S_{2,1,1}$ -free图中是多项式时间可解的。这一结果显示了一个有趣的非单调性$H$ -ColoringExt关于采取诱导子图的$H$。实际上，$W_5$包含三角形，并且$K_3$ -着色，即，经典的3-着色，是NP-难的，已经是无爪的了（即，$S_{1,1,1}$ -free）图形。我们的算法是基于两个主要的意见：1。$W_5$ -ColoringExt在$S_{2,1,1}$ -自由图可以在多项式时间减少到一个变种的问题，找到一个独立的集合…
2022-05-26 cs.DS math.CO
Connected $k$-partition of $k$-connected graphs and $c$-claw-free graphs
连通划分是指将图的顶点划分为导出连通子图的集合。这样的分区自然出现在许多应用领域，如道路网络和图像处理。我们考虑平衡连通划分（BCP），其中BCP的两个经典目标是最大化最小分量的权重，或最小化最大分量的权重。我们研究BCP的C-爪自由图，类的图，没有$K_{1,c}$作为一个诱导子图，并提出有效的（C-1）-逼近算法为这两个目标。特别是，由于线图的（3-）无爪性，这也意味着一般图中BCP的边划分版本的2-近似。在20世纪70年代，Gyatri和Lovász证明了对于自然数$w_1,\dots,w_k$，其中$\sum_i w_i$是顶点大小，如果$G$是k-连通的，那么存在一个连通的k-划分，其部分大小为$w_1,\dots,w_k$。然而，到目前为止，对于k>4，还没有多项式算法来计算这样的划分。为了找到这样一个分区$T_1,\dots, T_k$，我们展示了如何有效地计算连接的分区，至少近似满足目标权重，受到温和的假设，每个$w_i$大于最重的顶点的权重。特别是，我们给出了一个3-近似的下限和上限的版本，即我们保证每个$T_i$的重量至少$\frac{w_i}{3}$或每个$T_i$的重量最$3w_i$，分别。此外，我们提出了一个双边有界的版本，产生一个连接的分区，每个$T_i$的大小至少$\frac{w_i}{3}$和最多$\max(\{r,3\}) w_i$，其中$r \g…
2021-07-10 cs.DS math.CO
Graphs with no long claws: An improved bound for the analog of the Gyárfás' path argument
该研究改进了无长爪图（$S_{t,t,t}$-free）中Gyárfás路径论证的类比，将删除邻域数量从对数级降至常数级，为设计拟多项式时间算法提供了更紧的界。
2025-01-23 cs.DM cs.DS math.CO
Max Weight Independent Set in graphs with no long claws: An analog of the Gyárfás' path argument
University of Warsaw（华沙大学）；Warsaw University of Technology（华沙理工大学）
研究针对不含长爪的图中的最大权独立集问题，提出了一种改进的亚指数时间算法和近似方案，基于Gyárfás路径论证的类比方法。
2022-03-09 cs.DM cs.DS math.CO
Hardness of Approximating Bounded-Degree Max 2-CSP and Independent Set on k-Claw-Free Graphs
本文研究了有界度 Max 2-CSP 和 k-claw-free 图上 Maximum Independent Set 的近似难度，在 UGC 假设和随机化归约下证明了多项式时间内的近似下界。
2023-09-08 cs.CC cs.DS
Minimum Connected Transversals in Graphs: New Hardness Results and Tractable Cases Using the Price of Connectivity
本文系统地研究了三个相关的横截问题：顶点覆盖、反馈顶点集和奇圈横截的连通变体的计算复杂性。就像它们的原始对应物一样，这些变体对于一般图是NP完全的。一个图$G$对某个图$H$是无$H$的，如果$G$不包含与$H$同构的导出子图.如果$H$包含爪或圈，则即使对于无$H$的图，连通点覆盖也是NP-完全的.我们表明，其他两个连接的变种也保持NP完全，如果$H$包含一个周期或爪。在其余情况下，$H$是线性森林。我们证明了对于每个常数$s\geq 1$，$sP_2$ -free图的连通顶点覆盖，连通反馈顶点集和连通奇循环translation是多项式时间可解的。为了证明这些结果，我们使用已知的顶点覆盖，反馈顶点集，奇循环断面的连通性的价格的结果。这是第一个应用程序的价格连接，导致多项式时间算法。
2017-09-21 cs.CC cs.DM cs.DS
