Fuchsian differential equations with modular forms
Kazuhide Matsuda
本文的目的是推导出关于5级和6级模形式的雅可比反演公式的新结果。为此，我们使用Farkas和Kra的具有有理特征的θ函数理论。
The aim of this paper is to derive new results about Jacobi's inversion formulas for modular forms of levels 5 and 6. For this purpose, we use Farkas and Kra's theory of theta functions with rational characteristics.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Fractional calculus of Weyl algebra and Fuchsian differential equations
给出了多项式系数线性常微分方程的合流、邻接关系和Katz中卷积的统一解释，并将其推广到偏微分方程.其解的整表示和级数展开式也在我们的解释范围内。作为对Riemann球面上Fuchsian微分方程的应用，我们构造了具有给定谱型的Fuchsian微分方程的万有模型，特别地，我们构造了对应于刚性局部系统的单个无显奇点的常微分方程，其存在性是Katz提出的一个公开问题.进而得到了刚性Fuchsian微分方程联络问题的显式解及其不可约的充要条件。我们给出了许多用分数阶微积分计算的例子。
Fuchsian differential equations of order 3,...,6 with three singular points and an accessory parameter II, Equations of order 3
本文研究具有三个奇点和一个附属参数的3阶Fuchs微分方程，在若干余维数为2的子族中构造出移位算子，并指出Dotsenko-Fateev方程是其中一个特例。
Fuchsian differential equations of order 3,...,6 with three singular points and an accessory parameter
本文构造带三个奇点与一个辅助参数的 3 至 6 阶 Fuchs 方程，并通过 H_6 的移位算子确定其辅助参数为局部指数三次多项式，以获得良好对称性。
Differential systems with Fuchsian linear part: correction and linearization, normal forms and multiple orthogonal polynomials
研究了具有Fuchsian线性部分的微分系统在其复平面上的所有奇异点所在的区域。这样的系统不一定解析等价于它们的线性部分（它们是不可线性化的），并且障碍物被发现是唯一的非线性校正，在此之后系统变得形式上可线性化。更一般地说，找到了正规形，建设性地找到了修正和正规形。多重正交多项式的展开式及其对矩阵值多项式的推广是这些构造的工具。
A study of a Fuchsian system of rank 8 in 3 variables and the ordinary differential equations as its restrictions
本文提出了一个三变量四参数八秩Fuchsian系统。奇异轨迹由六个平面和一个三次曲面组成。系统对两个奇异平面相交的约束是一个具有三个奇点的四阶常微分方程。该方程的一个中间卷积是两个高斯超几何方程的张量积，另一个中间卷积将该方程转化为Dotsenko-Fateev方程.求出了这些常微分方程的局部解，其系数为Γ函数乘积之和。这些和可以表示为广义超几何级数$_4F_3$在1处的特殊值。保留字：Fuchsian微分方程，超几何微分方程，中卷积，Dotsenko-Fateev方程，递推公式，级数解
On q-asymptotics for linear q-difference-differential equations with Fuchsian and irregular singularities
考虑一类具有Fuchsian奇异性和非正则奇异性的q-差分微分方程的Cauchy问题，对于给定的形式幂级数初始条件，在两个变量t和z上存在唯一的形式幂级数解.在适当的条件下，通过应用某些q-Borel和拉普拉斯变换（由J. - P. Ramis和C. Zhang），我们能够处理由Fuchsian奇点引起的小因子现象，并构造柯西问题的实际全纯解，其q-渐近展开在复平面的紧集上对z是一致的，是该问题的形式解.小因子的影响是q-指数增长性的增加，并且在渐近中的相应q-Gevrey界中出现阶乘的幂。
Integral representation of solutions to Fuchsian system and Heun's equation
我们得到了特殊情况下Fuchsian系统的微分方程和Heun的微分方程的解的整表示。特别是，我们计算单值的解决方案的Fuchsian方程，对应于皮卡德的解决方案的第六Painlevé方程，和Heun的方程。
Critical points of functions, sl_2 representations, and Fuchsian differential equations with only univalued solutions
设二阶Fuchsian微分方程只有单值解，在z_1，.处有有限个奇点，z_n的指数为（a_1，b_1），.，（a_n，b_n）。设无穷远处的指数为（A，B）。则对于固定的泛型z_1，.，z_n，这类Fuchsian方程的个数等于维数的不可约sl_2表示的重数|A-B|在维数的不可约sl_2表示的张量积中|a_1-b_1|, >..., |a_n-b_n|.为了证明这一点，我们计算了一个合适的函数的临界点的数目，该函数在构造sl_2 KZ方程的超几何解和sl_2 Gaudin模型的Bethe向量中起着至关重要的作用。作为本研究的一个副产品，我们得出结论，Bethe矢量形成的sl_2非均匀Gaudin模型的状态空间的基础。
Deformations of Fuchsian Systems of Linear Differential Equations and the Schlesinger System
我们考虑由极点轨迹参数化的Fuchsian系统的全纯变形。众所周知，在剩余矩阵是非共振的情况下，当且仅当剩余矩阵满足关于参数的Schlesinger系统时，这样的变形是等单曲线的。没有非共振条件，这个结果失败：存在非Schlesinger isomodromic变形。本文介绍了Fuchsian系统的IsoprinNR形变类。每一个IsoprinNR变形也是一个isomonodromic。在一般情况下，类的isomonodromic变形比类的isoprinNR变形丰富得多，但在非共振的情况下，这些类重合。我们证明了一个变形是isoprinUNR如果且仅当剩余矩阵满足Schlesinger系统。这个定理在一般情况下成立，不需要对变形的剩余矩阵的谱作任何假设。一个明确的例子说明isomonodromic变形，这既不是isoprinNR也不是亚纯的参数，也给出了。
Ax-Lindemann-Weierstrass with derivatives and the genus 0 Fuchsian groups
证明了亏格为零的第一类富克斯群的一致化函数的Ax-Lindemann-Weierstrass定理及其导数.我们的证明依赖于微分伽罗瓦论，monodromy的线性微分方程，研究代数和Liouvillian解决方案，微分代数工作的西冈对Painlevé irreductions的某些Schwarzian方程，以及相当大的机械从模型论的差分封闭领域。我们的技术允许某些推广的Ax-Lindemann-Weierstrass定理有有趣的后果。特别是，我们应用我们的结果来回答一个问题Painlevé（1895）。我们还回答某些情况下的安德烈-平克猜想，即在情况下的轨道的repetators的富克斯群。
A Kac-Moody root system and linear ordinary differential equations
本文证明黎曼球面上不可约线性微分方程可通过可逆变换化为平凡方程或$E_8$-基本谱型Fuchs系统，谱型由原方程唯一确定，并基于星形Kac-Moody根系建立对应关系。
Fuchsian equations of type DN
证明了DN型一般微分算子是不可约的、正则的、（反）自伴的，并且具有拟幂单局部单值性。我们证明了DN算子的定义矩阵可以从该算子在t和d/dt中的多项式表达式中恢复出来。
Fuchsian equation, Hermite-Krichever Ansatz and Painlevé equation
将Heun方程的几个结果推广到一类Fuchsian微分方程.也就是说，我们得到了解的整表示，并在其上发展了Hermite-Krichever Answer。特别地，我们研究了线性微分方程通过单值保持变形产生Painlevé方程，得到了第六类Painlevé方程的解，其中包含Hitchin解.讨论了它与有限能隙势的关系。
Fuchsian Equations with Three Non-Apparent Singularities
本文证明了对于任何二阶Fuchsian线性微分方程$E$，若$E$的奇异性是$n-3$明显的，则存在一个超几何方程$H$和一个多项式系数的线性微分算子，该算子将$H$的解空间映射到$E$的解空间.这个映射对于泛型参数是满射的。这证明了克莱因（1905）的一个陈述。我们还计算了这样的方程$E$与规定的奇异性和指数的数量。我们应用这些结果的曲率共形度量$1$的穿孔与圆锥奇点，所有，但其中三个有整数角度的描述。
Convolution of Picard-Fuchs equations
我们确定了由fuchsian线性微分方程的解构造的上同调群的显式生成元，并描述了它与系数在局部系统中的上同调群的关系。在参数化的情况下，这产生了一种算法，该算法从依赖于多个参数的那些方程计算新的富克斯微分方程。这推广了Fuchsian微分方程解的经典卷积。
Uniformizing differential equations of arithmetic (1;e)-groups
提出了一种计算与算术Fuchsian $(1;e)$群相关的椭圆曲线均匀化微分方程辅助参数的数值方法。直到$PSL_2(\bbr)$共轭，这样的基团只有1000个，我们给出了辅助参数的完整列表
Metrics with positive constant curvature and modular differential equations
本文考虑了当微分方程y”（z）=Q（z）y（z）在H上是Fuchsian的且在H上是显式的问题，其中Q（z）是SL（2，Z）上的权为4的亚纯模形式，H表示复上半平面.这个问题与H上曲率为1/2的共形度量的存在性问题密切相关。
Spectral types of linear $q$-difference equations and $q$-analog of middle convolution
我们给出了$q$ -线性$q$ -有理系数差分方程的中间卷积的模拟。在微分情况下，中卷积由Katz定义，他详细研究了中卷积的性质。本文定义了一个中间卷积的$q$ -模拟。此外，我们还证明了它也可以表示为欧拉变换的$q$ -模拟。$q$ -中间卷积将Fuchsian型方程转化为Fuchsian型方程，并保持了$q$ -差分方程的刚性指标.
The theory of vector-modular forms for the modular group
我们解释的基本思想，描述与证明的主要结果，并证明其有效性，一个不断发展的理论向量值模形式（vvmf）。为了使论述具体化，我们在这里仅限于模群的特殊情况。除此之外，我们构造vvmf的任意乘数，解决了Mittag-Leffler问题，建立塞尔对偶，并找到一个尺寸公式全纯vvmf，所有在更大的普遍性比其他地方已经做了。更重要的是，所涉及的新思想是足够简单和强大的，这整个理论可以直接扩展到任何亏格0的富克斯群。
The Hermite-Krichever ansatz for Fuchsian equations with applications to the sixth Painlevé equation and to finite-gap potentials
将解的解的积分表示和Hermite-Krichever Anglyon Heun方程等结果推广到一类Fuchsian微分方程，并将其应用于与物理有关的方程.研究线性微分方程通过单值保持变形产生Painlevé方程，得到了第六类Painlevé方程的解，其中包含Hitchin解.讨论了它与有限能隙势的关系。我们发现了新的有限能隙势。也就是说，我们证明了写为Treibich-Verdier势和指数-1和2的附加表观奇点之和的势是有限间隙的，这推广了Treibich以前得到的结果。我们还研究了薛定谔算子在我们势上的本征函数及其单值性。
Properties of the Exceptional ($X_{\ell}$) Laguerre and Jacobi Polynomials
我们提出了各种结果的性质的四个无限集的例外$X_{\ell}$多项式最近发现的Odake和Sasaki [{ \it物理。B} { \bf 679}（2009），414-417; { \it Phys. Lett. B} { \bf 684}（2010），173-176]。这些$X_{\ell}$多项式是具有$\ell+3$正则奇性及其汇合极限的二阶Fuchsian微分方程的整体解.我们推导出等价的，但更简单的形式的$X_{\ell}$多项式。详细讨论的其他主题是：因式分解的Fuchsian微分算子，形状不变性，向前和向后移位操作，不变的多项式子空间下的Fuchsian微分算子，Gram-Schmidt正交正规化程序，三项递归关系和生成函数的$X_{\ell}$多项式。
Twisted Euler transform of differential equations with an irregular singular point
N. Katz在局部系统上引入了中间卷积的概念。这可以看作是Fuchsian微分方程的欧拉变换的推广。本文考虑了欧拉变换的推广--扭曲欧拉变换，并将其应用于具有非正则奇点的微分方程。特别地，对于在$x=\infty$上具有秩为2的非正则奇点的微分方程，我们明确地描述了扭曲欧拉变换引起的局部数据的变化.我们还将这些微分方程附加到Kac-Moody李代数上，并证明了扭曲欧拉变换对应于这些李代数的外尔群的作用。
Hyperbolic Schwarz map for the hypergeometric differential equation
超几何微分方程的Schwarz映射是上个世纪初开始研究的。它的对象是复射影直线，即2-球面。本文引入双曲Schwarz映射，其目标是双曲三维空间.这个映射可以被认为是Schwarz映射到三维空间的提升。研究了单值群为有限群或典型富克斯群时该映射的奇异性，并将其形象直观化。一般情况将在即将发表的论文中讨论。
Eisenstein series and modular differential equations
本文的目的是使用各种工具和技巧来求解以爱森斯坦级数为系数的各种微分方程。用模形式、模函数和等变形式给出了求解方法。
Middle Convolution and Heun's Equation
Heun方程自然出现的特殊情况下Fuchsian系统的微分方程秩二与四个奇点通过引入空间的初始条件的第六Painlevé方程。Fuchsian系统的中卷积与Heun方程的积分变换有关。
Differential equations satisfied by modular forms of level 5
本文描述了由爱森斯坦级数、$E_2(q),E_4(q)$和$E_6(q).$满足的拉马努金常微分方程组的第五级形式的推导
A study on the bilinear equation of the sixth Painlevé transcendents
本文研究如何由三个固定奇点附近的局部行为确定非线性微分方程，并通过要求齐次二次四阶方程在各奇点处为 (H) 型，推导出第六 Painlevé 方程。
On global non-oscillation of linear ordinary differential equations with polynomial coefficients
本文证明了一个多项式系数的线性常微分方程在$\mathbb{C} P^1$中是全局非振动的当且仅当它是Fuchsian的，并且在它的每一个奇点，任何两个不同的特征指数有不同的实部.作为我们研究的一个副产品，我们得到了一个新的显式上界的指数多项式在一个水平带的零点的数目。
Shift operators of the Dotsenko-Fateev equation and its higher order versions
本文为 Dotsenko-Fateev 方程及其通过加法和中间卷积得到的高阶 Fuchsian 方程构造移位算子，并用于研究可约情形。
A $q$-analogue of the matrix fifth Painlevé system
我们考虑$q$ -矩阵第六Painlevé系统的退化。结果得到了一个非线性$q$ -差分方程组，它描述了一个非Fuchsian线性$q$ -差分方程组的变形.我们定义了非Fuchsian $q$ -差分系统的谱型，并根据谱型刻画了相关的线性问题。我们还考虑了非线性$q$ -差分系统的连续极限，并证明了所得到的非线性微分方程系统与矩阵第五Painlevé系统一致.
Integral transformation of Heun's equation and some applications
已知产生第六个Painlevé方程的Fuchsian微分方程通过欧拉积分变换对应于具有不同参数的Fuchsian微分方程，并且Heun方程也通过欧拉积分变换对应于具有不同参数的Heun方程。在本文中，我们详细研究的对应关系。调查后的对应monodromy，它表明，多项式型的解决方案的存在对应于一个奇点的apparency（非分支）。对于Heun方程的椭圆表示，对应于monodromy意味着等谱对称。我们将对称性应用到有限能隙势中，用一些尚未被研究过的参数来表示Heun方程的单值性。
Modular differential equations and algebraic systems
在本文中，我们展示了如何解决显式代数系统导致解决无限族的模块化微分方程。
Heun equation and Painlevé equation
通过考虑一类Fuchsian微分方程的单值性，将第六类Painlevé方程的双参数解与Heun方程的有限间隙解联系起来.在附录中，我们给出了椭圆模函数的微分公式，并直接得到了第六类Painlevé方程的椭圆形式。
Matrix biorthogonal polynomials in the unit circle: Riemann-Hilbert problem and matrix discrete Painleve II system
研究了测度拟定矩阵的Szego双正交多项式。对于Holder权矩阵，利用矩阵Szego多项式及其Cauchy变换唯一地解决了一个黎曼-希尔伯特问题.给出了黎曼-希尔伯特问题作为讨论Szego矩阵和矩阵正交多项式及其柯西变换的Szego递归关系的适当框架。研究了权矩阵的Pearson型微分系统。这些是线性系统的常微分方程，要求是monodromy自由。导出了矩阵Szego多项式及其Cauchy变换的线性常微分方程。它示出了这些皮尔逊系统如何导致非线性差分方程的Verblunsky矩阵和两个例子，Fuchsian和非Fuchsian型，被认为是。对于这两种情况，我们发现了离散Painlevé II方程的一个新的矩阵形式，并讨论了这些矩阵离散Painlevé II系统的约化.
Quasimodular forms and modular differential equations which are not apparent at cusps: I
本文研究了深度$1$的拟模形式与一类在上半平面和尖点上具有正则奇点的二阶模微分方程之间的双向联系.在这里，我们考虑的情况下$Γ=Γ_0^+(N)$生成的$Γ_0(N)$和Atkin-Lehner对合$N=1,2,3$（$Γ_0^+(1)=\mathrm{SL}(2,\mathbb Z)$）。首先，我们注意到深度的拟模形式$1$被具有相同权的模形式除后，是模微分方程的解。对于群$Γ_0^+(N)$，$N=1,2,3$，我们的主要结果是上述陈述的逆.
From Holonomy of the Ising Model Form Factors to n-Fold Integrals and the Theory of Elliptic Curve
我们回想起与正方形晶格上的伊辛模型的两点对角相关函数的$λ$ -扩展$C(N,N; λ)$对应的形状因子$ f^{(j)}_{N,N}$及其相关的线性微分方程，它们表现出“俄罗斯娃娃”嵌套，以及线性微分算子作为算子直和的分解（等价于完全椭圆积分$E$的微分算子的对称幂）。这些微分算子的标度极限打破了直和结构，但不是"俄罗斯娃娃“结构，"标度”线性微分算子不再是Fuchsian。然后，我们引入一些多重积分的伊辛类预期具有相同的奇异性的$n$ -粒子贡献$χ^{(n)}$的磁化率的正方形晶格伊辛模型的奇异性。我们发现这些多重积分满足的Fuchsian线性微分方程的$n=1,2,3,4$，只有模一个素数，$n=5$和6，从而提供了一个大的（可能的）新的奇点的$χ^{(n)}$。...
On local Weyl equivalence of higher order Fucshian equations
本文研究了Frobenius提出的“微分方程型“的各种改进下高阶Fuchsian线性微分方程的局部分类问题。困难的主要来源是这样一个事实，即没有自然的群作用产生这种分类。我们建立了一些结果，高阶方程是类似的，但不完全平行的一阶方程系统的局部（全纯和亚纯）规范等价的已知结果。
Linear differential equations on the Riemann sphere and representations of quivers
本文的目的是推广原来定义在黎曼球面上的Fuchsian微分方程的Deligne-Simpson问题。我们将把这个问题推广到具有任意数目的非分歧非正则奇点的微分方程，并确定广义可加Deligne-Simpson问题解的存在性。此外，我们将这个结果应用到黎曼球面上平凡丛的稳定亚纯联络的模空间的几何中。即给出了模空间到类簇的开嵌入，并确定了模空间的非空性条件。进一步证明了模空间的连通性。
$D$-Module Techniques for Solving Differential Equations in the Context of Feynman Integrals
本文以三角形积分为例，比较$D$-模方法与专用方法求解费曼积分相关微分方程，实现Saito-Sturmfels-Takayama算法推导标准级数解并与Fuchs系统渐近级数对比。
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