Extended and symmetric loss of stability for canards in planar fast-slow maps
研究了平面快慢系统在连续时间内的离散化所得到的快慢映射。我们专注于描述所谓的延迟稳定性损失引起的慢通道通过一个奇异的快-慢系统。这种延迟的失稳可能与鸭式解的存在有关。这里我们考虑三种类型的奇点：跨临界奇点、干草叉奇点和折叠奇点。首先，我们表明，下一个明确的龙格-库塔离散的延迟损失的稳定性，由于缓慢通过跨临界或干草叉奇点，可以是任意长的。相比之下，我们证明了Kahan-Hirota-Kimura离散化方案下，与所有三个奇点相关的延迟稳定性损失在线性化近似中是完全对称的，与连续时间设置完全一致。
2020-06-24 math.DS
Slow-fast normal forms arising from piecewise smooth vector fields
本文研究了$$\dot{z} = Z(z) = \dfrac{1 + \operatorname{sgn}(F)}{2}X(z) + \dfrac{1 - \operatorname{sgn}(F)}{2}Y(z),$$形式的分段光滑微分系统，其中$F: \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$是一个正则值为0的光滑映射.我们考虑由$$\dot{z}= Z_{\varepsilon}(z) = \dfrac{1 + φ(F/\varepsilon)}{2}X(z) +\dfrac{1 - φ(F /\varepsilon)}{2}Y(z),$$给出的向量场$Z$的线性正则化，其中$φ$是一个转移函数（不一定是单调的），以及转移函数是单调的向量场$Z$的非线性正则化.众所周知，正则化系统是一个慢-快系统。本文的主要贡献是研究的慢-快系统，所产生的（线性或非线性）正则化的典型奇点。我们开发了一种算法来构建合适的转移函数，我们应用这些想法，以创建慢-快奇点从规范形式的分段光滑向量场。我们提出了转移函数的例子，正规化后的PSVF规范形式，产生正常双曲线，折叠，跨临界，和干草叉奇点。
2022-05-04 math.DS
Geometric analysis of fast-slow PDEs with fold singularities via Galerkin discretisation
本文通过Galerkin离散化结合几何奇异摄动理论，研究了具有折叠奇点的反应扩散型快慢偏微分方程系统，证明了不变慢流形的存在性并利用吹胀方法描述了通过奇点的过程。
2024-10-13 math.AP math.DS
Canards, folded nodes and mixed-mode oscillations in piecewise-linear slow-fast systems
在过去的三十年里，鸭翼诱导现象已经从数学和应用的角度得到了广泛的研究。在光滑多时标系统的框架下，具有（至少）两个慢变量的慢-快系统中的鸭式，特别是在折叠节点奇点附近，给出了混合模振荡（MMO）的基本生成机制。有大量的文献对这种慢-快动力系统和许多模型显示鸭诱导MMO，特别是在神经科学。与此同时，自20世纪90年代后期以来，一些论文表明，鸭翼现象可以忠实地再现与分段线性（PWL）系统在二维虽然很少的结果是在三维的情况下。本论文的目的是弥合这一差距，通过分析典型的PWL系统，显示折叠奇点，初级和次级鸭翼，与类似的控制的最大卷绕数在光滑的情况下。我们还表明，奇异的相图是兼容的两个框架。最后，我们展示了一个例子，如何构建一个（线性）的全球回报，并获得强大的PWL MMO。
2016-06-11 math.DS
A survey on the blow-up method for fast-slow systems
在本文中，我们回顾了一种几何技术，称为\emph{the blow-up method}，因为它已被用来分析和理解非双曲点周围的快慢系统的动力学。爆破方法起源于代数几何，在1996年由Dumortier和Dumortier \cite{dumortier1996canard}的开创性工作中引入到快慢系统的研究中，其目的是给出范德波尔振荡器中鸭的几何方法和解释。继\cite{dumortier1996canard}之后，人们做出了许多努力来扩展该方法的功能并在广泛的场景中使用它。我们的目标是提出一个简洁和紧凑的形式，这些结果的基础上的爆破方法，现在的基础上的几何理论的非双曲奇点的快慢系统。我们涵盖折叠点，由于其在理论的重要性的快慢系统的主要议题之一。此外，我们还提出了其他几个奇异性，如霍普夫，干草叉，跨临界，尖点，和Bogdanov-Takens，其中爆破方法已被证明是非常有用的。最后，我们调查进一步的方向，以及具体的应用模型的例子，在那里的爆破方法已被成功地使用。
2019-06-20 math.DS
A geometric analysis of the SIR, SIRS and SIRWS epidemiological models
我们研究了SIR、SIRS和SIRWS流行病学模型的快-慢版本。多个时间尺度的行为被引入到解释流行病学途径的一些速率之间的巨大差异。我们的主要目的是表明，快-慢模型，即使在非标准形式，可以研究的几何奇异扰动理论（GSPT）。特别是，不使用李雅普诺夫方法，我们不仅能够分析地方病平衡点的稳定性，但也表明，在某些模型中出现极限环。我们表明，所提出的方法是特别有用的，在更复杂的（高维）模型，如SIRWS模型，我们提供了一个详细的描述，其动力学分析和数值技术相结合。
2020-02-02 math.DS
Polynomial normal forms of Constrained Differential Equations with three parameters
我们研究了一般的三参数约束微分方程，从而扩展了Takens对此类方程奇异性的分类。在这种方法中，分析的奇点是燕尾形、双曲形和椭圆脐形。在拓扑等价的条件下，给出了微分方程的多项式局部正规形。一般的CDE在研究慢-快（SF）系统中非常重要。SF方程组解的许多性质和特征行为可以从相应的CDE中得到。因此，本文的结果显示了一般SF系统的流量与三个慢变量的第一近似。
2014-04-24 math.DS
Geometry of slow-fast Hamiltonian systems and Painlevé equations
本文的第一部分介绍了描述光滑流形上的快慢哈密顿系统所需要的一些几何工具。我们从光滑辛流形$(B,λ)$上的正则（即常秩）Poisson流形$(M,ω)$的光滑Poisson丛$p: M\to B$开始，丛的叶理与$M$上Poisson结构产生的辛叶理重合.这定义了一个奇异的辛结构$Ω_{\varepsilon}=$ $ω+ \varepsilon^{-1}p^*λ$上的$M$为任何积极的小$\varepsilon$，其中$p^*λ$是一个提升的2-形式$λ$上的$M$。给定$M$上的一个光滑哈密顿量$H$，我们得到一个慢-快哈密顿系统w.r.t. $Ω_{\varepsilon}$。我们定义了这个系统的慢流形$SM$。假设$SM$是一个光滑子流形，我们在$SM$上定义了一个慢Hamilton流。本文的第二部分讨论了$p$对$SM$的约束的奇异性及其与附近系统描述的关系。如果$\dim M = 4,$ $\dim B = 2$和Hamilton函数$H$是通用的，那么系统在折叠型奇点附近的行为在主近似中由方程Painlevé-I描述，但是如果奇点是尖点，那么相关方程是Painlevé-II。对于具有一个半自由度的特殊类型的哈密顿系统，这一事实早由R. Haberman发现。
2015-11-26 math.DS
Extending Discrete Geometric Singular Perturbation Theory to Non-Hyperbolic Points
本文利用Takens嵌入定理将离散几何奇异摄动理论扩展到非正规双曲区域，证明快慢映射在非双曲奇点附近的动力学可由相应快慢向量场的时间1映射局部逼近，并应用于折叠、跨临界、叉形等奇点及中心流形分析。
2024-08-12 math.DS
Polynomial slow-fast systems on the Poincaré-Lyapunov sphere
本文研究多项式慢快系统在庞加莱-李雅普诺夫球面无穷远处的紧致化，给出保证法向双曲性的条件，并证明平面情形的全局 Fenichel 定理，同时分析折叠、跨临界和叉形等非正规双曲奇点。
2024-01-11 math.DS
The hyperbolic umbilic singularity in fast-slow systems
本文针对含三个慢变量、快变量具梯度结构的快慢系统，采用爆破技术将双曲脐点爆破为5维球面，分析其附近局部动力学，证明非退化条件下吸引慢流形过奇点时跃迁快区并扇形展开，同时关联了突变理论等经典结果。
2024-08-19 math.DS
Fractal analysis of slow-fast and regular systems: A survey of recent results and future perspectives
本文综述了利用闵可夫斯基维数对正则与慢快动力系统进行分形分析的最新成果，重点介绍其在极限环数量上界估计、无坐标计算优势及跨学科应用中的贡献。
2025-08-27 math.DS
On the Existence of and Relationship between Canards and Torus Canards in Forced Slow/Fast Systems
鸭式结构是慢/快系统的特殊解，在神经科学和电气工程中普遍存在。两类不同的鸭式解决方案已被确定和仔细研究：折叠奇异鸭式和环面鸭式。最近，在经典的受迫van der Pol方程中建立了这些看似不相关的解族之间的明确的和解析的关系（Burke等人，J. Nonlinear Sci. 26：405- 451，2015）。在这篇文章中，我们将Burke et al.（2015）的结果推广到更广泛的时间周期强迫平面慢/快系统，其中包括强迫van der Pol和强迫FitzHugh-Nagumo方程。我们分析确定的参数值在这类系统中存在的两种类型的鸭式解决方案，并表明，分支的折叠奇点的主鸭式继续到环面鸭式作为强迫频率的增加。我们说明我们的结果在范式问题的强制FitzHugh-Nagumo系统。
2016-07-08 math.DS
Canards in modified equations for Euler discretizations
本文利用修正方程方法从快慢常微分方程角度解释了欧拉离散化中折叠与跨临界奇点处鸭解稳定性延迟的缩短或延长现象，为离散化引起的（去）稳定化效应提供了新视角。
2023-04-18 math.DS
Rigorous numerics of finite-time singularities in dynamical systems - methodology and applications
Institute of Mathematics for Industry, Kyushu University（九州大学产业数学研究所）
本文提出用于计算动力系统中有限时间奇点的严格数值方法，结合时间尺度去奇异化与李雅普诺夫函数验证，提供验证的轨迹，应用于有限时间消失、行波解及奇异坎德斯等场景。
2017-11-06 cs.NA math.DS math.NA
Oscillatory singularities in Bianchi models with magnetic fields
在广义相对论中，有一个观点已经存在了40多年，那就是在接近大爆炸奇点时，爱因斯坦方程的解可以用描述一系列卡斯纳时期的卡斯纳映射来近似。在空间齐次的情况下，这已经是一个高度非平凡的陈述。在那里爱因斯坦方程简化为常微分方程，它成为一个声明，爱因斯坦方程的解决方案可以近似的异宿链相应的动力系统。长期以来，严格证明这类陈述的进展非常缓慢，但最近在这一领域取得了新的进展，特别是在真空爱因斯坦方程的情况下。本文将其中的一些结果推广到Einstein-麦克斯韦方程组.事实证明，这需要新的技术，因为某些本征值在磁场的情况下处于不太有利的配置。在这种情况下出现的困难是克服使用的事实，即感兴趣的动力系统的几何起源，从而有有用的不变流形。
2012-07-11 gr-qc math.DS
Canard cycles of non-linearly regularized piecewise smooth vector fields
本文研究非线性正则化分段光滑系统的鸭形极限环，通过慢散度积分零点给出判据，构造二次正则化产生任意多个极限环，并证明躲避层鸭形环的鞍结分岔。
2025-06-22 math.DS
Spectral stability and slow--fast structure of traveling waves in a regularized sine--Gordon equation
Aristotle University of Thessaloniki（塞萨洛尼基亚里士多德大学）
本文研究含两种四阶正则化机制的耗散 sine–Gordon 方程行波解的谱稳定性，推导 Melnikov 型速度选择条件，结合 Evans 函数技术证明扭结与反扭结解无不稳定特征值，相关结果经数值模拟验证。
2026-08-17 math.AP math.DS nlin.PS
