分段线性慢-快系统中的鸭翼、折叠节点和混合模振荡

分段光滑Liénard方程中鸭式极限环与快慢Hopf点的分形分析

Fractal analysis of canard cycles and slow-fast Hopf points in piecewise smooth Liénard equations

本文对分段光滑快慢Liénard方程开展分形分析，利用Minkowski维数探究快慢Hopf点与鸭式极限环附近的分形特性，揭示维数与极限环存在性、数量上界的关联。

Canards Existence in Memristor's Circuits

The aim of this work is to propose an alternative method for determining the condition of existence of "canard solutions" for three and four-dimensional singularly perturbed systems with only one fast variable in the folded saddle case. This method enables to state a unique generic condition for the existence of "canard solutions" for such three and four-dimensional singularly perturbed systems which is based on the stability of folded singularities of the normalized slow dynamics deduced from a well-known property of linear algebra. This unique generic condition is perfectly identical to that…

非线性正则化分段光滑向量场的鸭形环

Canard cycles of non-linearly regularized piecewise smooth vector fields

本文研究非线性正则化分段光滑系统的鸭形极限环，通过慢散度积分零点给出判据，构造二次正则化产生任意多个极限环，并证明躲避层鸭形环的鞍结分岔。

Controlling Canard Cycles

Canard cycles are periodic orbits that appear as special solutions of fast-slow systems (or singularly perturbed Ordinary Differential Equations). It is well known that canard cycles are difficult to detect, hard to reproduce numerically, and that they are sensible to exponentially small changes in parameters. In this paper we combine techniques from geometric singular perturbation theory, the blow-up method, and control theory, to design controllers that stabilize canard cycles of planar fast-slow systems with a folded critical manifold. As an application, we propose a controller that produce…

神经场方程中的时空鸭翼

Spatio-temporal canards in neural field equations

鸭式是常微分方程的特殊解，它在长时间间隔内遵循不变的排斥慢流形。在现实的生物物理单细胞模型中，鸭翼负责实验观察到的几个复杂的神经节律，但它们在空间扩展系统中的存在和作用在很大程度上是未探索的。我们描述了一种新型的相干结构，其中的空间模式显示时间鸭行为。利用界面动力学和几何奇异摄动理论，对时空鸭式结构进行了分类，给出了折叠鞍点鸭式结构和折叠结点鸭式结构存在的条件。我们发现，时空鸭是强大的突触连接和放电率的变化。该理论正确地预言了在单位球上的神经场模型中存在具有八面体对称性的时空鸭式。

在$\mathbb{R}^3$中利用Blow-up研究分段光滑动力系统奇异性的正则化

On the use of blow up to study regularizations of singularities of piecewise smooth dynamical systems in $\mathbb{R}^3$

本文在Krupa和Szmolyan的\cite{krupa_extending_2001}公式中，利用Dumortier和Dumarie的\cite{dumortier_1991,dumortier_1993,dumortier_1996}的爆破方法，研究了分段光滑动力系统\cite{filippov1988differential}在$\mathbb R^3$中奇异性的正则化.使用Sotomayor和Teixeira \cite{Sotomayor96}的正则化方法，首先我们通过考虑折线的情况来证明我们的方法的能力。我们以一种简单的方式快速恢复Bonet和Seara \cite{reves_regularization_2014}的一个主要结果。然后，对于二重奇异性，我们证明了正则化系统仅在滑动区域不包括奇异鸭翼的完整扇区的情况下完全保留分段光滑系统中奇异鸭翼的特征。特别地，我们证明了每一个局部唯一的主奇异鸭持续正则化扰动。对于一个部门的主要奇异鸭的情况下，我们表明，正则化系统包含鸭，提供了一定的非共振条件成立。最后，我们提供了数值证据的存在，二次鸭近共振。

非线性反应扩散系统中的奇异图灵分岔与空间鸭解

Singular Turing bifurcations and spatial canard solutions in nonlinear reaction-diffusion systems

本研究针对一类非线性反应扩散方程，解析证明了奇异图灵分岔产生的空间周期解为鸭解，具有快慢结构和更快的振幅增长，并揭示了其由可逆折叠鞍结奇性的真/假鸭解机制驱动。

慢-快动力学的非光滑模拟--折叠节点的箍缩

Nonsmooth analogues of slow-fast dynamics -- pinching at a folded node

折叠节点是一个奇异性与损失正常双曲的系统中出现的混合物的慢和快的时间尺度由于奇异扰动。鸭翼是一种特殊的解，它揭示了局部动力学的反作用特征，即从空间的吸引区域流入排斥区域的轨迹。对时间尺度之间的切换进行建模的另一种方法是使用分段平滑微分方程。目前还没有足够的理论或方法来关联慢-快和分段平滑模型。在这里，我们通过收缩相空间来锐化时间尺度之间的切换，从而推导出折叠节点的类似分段光滑系统。相应的分段光滑系统包含一个所谓的双重奇异性，并表现出相同的拓扑结构和鸭式的慢-快系统的数量。因此，箍缩提供了一个缓慢-快速系统的分段平滑近似。

鸭翼和曲率：非光滑pinching逼近

Canards and curvature: nonsmooth approximation by pinching

在多时间尺度（奇摄动）动力系统中，鸭式是沿着吸引和排斥不变流形演化的违反直觉的解。在二维空间中，鸭翼会导致周期性振荡，其振幅和周期以高度非线性的方式增长：它们相对于控制参数缓慢变化，除了指数小的值域之外，它们增长得非常快。这种突然的增长，被称为鸭式爆炸，已经在许多应用中遇到，从化学到神经动力学，航空航天工程和生态学。鸭翼最初是用非标准分析来研究的，后来用匹配渐近、不变流形理论和参数blow-up等标准技术证明了相同的结果。最近，鸭式行为已经与分段光滑动力系统中的不连续表面联系起来。本文提供了一个新的视角，鸭式飞机爆炸的非标准分析，可以重新铸造到分段光滑动力系统的框架。将指数坐标标度应用于奇摄动常微分方程系统。缩放就像一个透镜，解决了所有时间尺度上的动态问题。然后分析了局部曲率的变化对鸭式布局爆炸的影响。不同的时间尺度占主导地位的区域被超曲面分开，这些被捏在一起，以获得一个分段光滑的系统，其中曲率的变化表现为不连续引起的分叉。该方法被用来分类鸭在任意尺寸，并得出的参数值，鸭形成小周期（鸭头）或大周期（鸭头）。

Saddle-node canard cycles in planar piecewise linear differential systems

By applying a singular perturbation approach, canard limit cycles exhibited by a general family of singularly perturbed planar piecewise linear (PWL) differential systems are analyzed. The performed study involves both hyperbolic and non-hyperbolic canard limit cycles appearing after both a supercritical and a subcritical Hopf bifurcation. The obtained results are completely comparable with those obtained for smooth vector fields. In some sense, the manuscript can be understood as an extension towards the PWL framework of the results obtained for smooth systems by Krupa and Szmolyan [18]. In a…

哑弹鸭式解：$\mathbb R^3$ 中强鸭式环的存在性

The dud canard: Existence of strong canard cycles in $\mathbb R^3$

本文证明了 $\mathbb R^3$ 中快慢系统通过第二型折叠鞍结点和奇异 Hopf 分岔产生非爆炸性“哑弹鸭式”周期轨道族，并利用吹胀法和解析性克服尺度差异证明非双曲不变慢流形的存在。

分段线性微分系统中穿越跨临界分岔的慢通道：canard爆炸与增强延迟

Slow passage through a transcritical bifurcation in piecewise linear differential systems: canard explosion and enhanced delay

本文研究穿越跨临界分岔的慢通道现象，通过构建分段线性极小模型量化最大延迟，识别出三种延迟行为，并构建对称系统揭示无界canard爆炸与增强延迟机制。

The number of limit cycles for regularized piecewise polynomial systems is unbounded

In this paper, we extend the slow divergence-integral from slow-fast systems, due to De Maesschalck, Dumortier and Roussarie, to smooth systems that limit onto piecewise smooth ones as $ε\rightarrow 0$. In slow-fast systems, the slow divergence-integral is an integral of the divergence along a canard cycle with respect to the slow time and it has proven very useful in obtaining good lower and upper bounds of limit cycles in planar polynomial systems. In this paper, our slow divergence-integral is based upon integration along a generalized canard cycle for a piecewise smooth two-fold bifurcatio…

On the pitchfork bifurcation of the folded node and other unbounded time-reversible connection problems in $\mathbb R^3$

In this paper, we revisit the folded node and the bifurcations of secondary canards at resonances $μ\in \mathbb N$. In particular, we prove for the first time that pitchfork bifurcations occur at all even values of $μ$. Our approach relies on a time-reversible version of the Melnikov approach in \cite{wechselberger2002a}, used in \cite{wechselberger_existence_2005} to prove the transcritical bifurcations for all odd values of $μ$. It is known that the secondary canards produced by the transcritical and the pitchfork bifurcations only reach the Fenichel slow manifolds on one side of each transc…

一种改进的慢-快Leslie-Gower和Holling型格式模式中的鸭式现象

Canard Phenomenon in a modified Slow-Fast Leslie-Gower and Holling type scheme model

几何奇异扰动理论已经成功地研究了各种不同时间尺度的生物学问题。本文的目的是将这一理论应用到一类修正的Leslie-Gower型捕食者-食饵模型中，其中食饵的繁殖速度比捕食者快。这自然导致引入小参数$ε$，其产生慢-快系统。这个系统有一个特殊的折叠奇异性，这在Krupa-Szmolyan的经典工作中还没有被分析过。我们使用blow-up技术来可视化该折叠点$P$附近的行为。在该区域之外，动力学由经典的奇异扰动理论给出。这使得几何量化的吸引极限环的误差为$O(ε$），并表明它表现出\textit{canard}现象，而交叉$P$。

通用环形鸭翼

Generic Torus Canards

环面鸭翼是慢/快系统的解，其在快子系统的极限环的吸引和排斥流形之间交替。一个相对较新的动力学现象，环面鸭已被发现在神经的应用，调解从尖峰到爆发的过渡，通过调幅尖峰。在$\mathbb{R}^3$中，环面鸭式是退化的：它们需要2-快/1-慢系统的单参数族才能被观察到，即使这样，它们也只出现在指数薄的参数区间上。第二个慢变量的加入展现了环面鸭翼现象，使它们具有通用性和健壮性。也就是说，慢/快系统中的环面鸭翼（至少）有两个慢变量，出现在开放参数集上。到目前为止，一般的环面鸭只进行了数值研究，其行为已推断的基础上平均和鸭理论。然而，这种方法还没有得到严格的证明，因为平均方法在靠近鸭翼的褶皱处失效了，而这正是环面鸭翼的起源。在这项工作中，我们结合技术从Floquet理论，平均理论，和几何奇异扰动理论表明，平均的环面鸭是一个折叠的奇异鸭。在这样做的时候，我们设计了一个分析计划的识别和拓扑分类的环面鸭$\mathbb{R}^4$。我们证明了我们的结果在细胞内钙动力学模型的预测能力，在那里我们解释了一类新的椭圆爆发节律，称为调幅爆发，通过构建混合模式振荡的环面鸭类似物的机制。我们还明确我们的结果之间的连接在这里与以前的研究环面鸭和环面鸭爆炸$\mathbb{R}^3$，并讨论我们的方法可以扩展到慢/快系统的任意（有限）维。

正则化分段线性 $VI_3$ 二重折叠的滑动周期

Sliding cycles of the regularized piecewise linear $VI_3$ two-fold

本文利用慢发散积分研究正则化分段线性 $VI_3$ 二重折叠的滑动极限环数量，证明鸭式环最多产生 2 个极限环，并找到参数空间中存在 2 个极限环的区域。

平面分段光滑系统二重分岔的Blow-up正则化

Regularizations of two-fold bifurcations in planar piecewise smooth systems using blow up

利用Blowup方法研究了平面分段光滑（PWS）动力系统中余维1二重奇点的正则化问题。我们重点研究了PWS系统中可能出现的奇异鸭翼、伪均衡和极限环。利用Sotomayor和Teixeira \cite{Sotomayor96}的正则化方法，我们严格地证明了奇异鸭翼是如何持续存在的，以及在正则化系统中伪平衡点的分支与平衡点的分支之间的关系.我们还表明，PWS极限环连接到正则化的Hopf分支。此外，我们展示了如何正则化可以创建另一种类型的极限环，似乎不存在于原来的PWS系统。对于这两种类型的极限环，我们表明，产生周期轨道的Hopf分支的临界性强烈依赖于精确形式的正则化。最后，我们分析的极限环的正则化的周期轨道的局部唯一的家庭和连接，如果可能的话，到极限环的PWS系统。我们用数值模拟说明了我们的分析，并展示了正则化系统如何发生鸭式爆炸现象。

Jump-induced mixed-mode oscillations through piecewise-affine maps

Mixed-mode oscillations (MMOs) are complex oscillatory patterns in which large-amplitude relaxation oscillations (LAOs) alternate with small-amplitude oscillations (SAOs). MMOs are found in singularly perturbed systems of ordinary differential equations of slow-fast type, and are typically related to the presence of so-called folded singularities and the corresponding canard trajectories in such systems. Here, we introduce a canonical family of three-dimensional slow-fast systems that exhibit MMOs which are induced by relaxation-type dynamics, and which are hence based on a "jump mechanism", r…

Delayed bifurcation phenomena in reaction-diffusion equations: persistence of canards and slow passage through Hopf bifurcations

In the context of a spatially extended model for the electrical activity in a pituitary lactotroph cell line, we establish that two delayed bifurcation phenomena from ODEs ---folded node canards and slow passage through Hopf bifurcations--- persist in the presence of diffusion. For canards, the single cell (ODE) model exhibits canard-induced bursting. Numerical simulations of the PDE reveal rich spatio-temporal canard dynamics, and the transitions between different bursts are mediated by spatio-temporal maximal canards. The ODE model also exhibits delayed loss of stability due to slow passage …

Canards Existence in FitzHugh-Nagumo and Hodgkin-Huxley Neuronal Models

In a previous paper we have proposed a new method for proving the existence of "canard solutions" for three and four-dimensional singularly perturbed systems with only one fast variable which improves the methods used until now. The aim of this work is to extend this method to the case of four-dimensional singularly perturbed systems with two slow and two fast variables. This method enables to state a unique generic condition for the existence of "canard solutions" for such four-dimensional singularly perturbed systems which is based on the stability of folded singularities (pseudo singular po…

随机分段线性系的混合模振荡

Mixed-Mode Oscillations in a Stochastic, Piecewise-Linear System

我们分析了一个分段线性FitzHugh-Nagumo模型。系统存在鸭翼，鸭翼附近同时存在小振幅和大振幅周期轨道。小噪声的加入会在鸭翼点附近引起混合模式振荡（MMO）。我们确定每个模型参数的随机驱动的MMO的效果。特别是，我们表明，任何参数的变化（如修改模型中的分段线性函数），离开噪声幅度的时间尺度分离的比例不变，通常有影响不大的主要分叉参数的间隔的宽度上发生MMO。从这个意义上说，MMO是健壮的。此外，我们表明，分段线性模型表现出MMO更容易比经典的FitzHugh-Nagumo模型，其中一个三次多项式是唯一的非线性。通过研究一个分段线性模型，我们能够解释的结果，使用解析表达式，并比较这些与数值研究。

具有强非线性耦合的振荡器网络中对称性破缺的对称机制

A symmetric mechanism for symmetry-breaking in oscillator networks with strong nonlinear coupling

研究强非线性耦合的对称慢快振荡器网络中，对称折叠节点通过canard动力学诱导对称性破缺的几何机制，并应用于细胞周期模型。

Spike-adding and reset-induced canard cycles in adaptive integrate and fire models

We study a class of planar integrate and fire (IF) models called adaptive integrate and fire (AIF) models, which possesses an adaptation variable on top of membrane potential, and whose subthreshold dynamics is piecewise linear (PWL). These AIF models therefore have two reset conditions, which enable bursting dynamics to emerge for suitable parameter values. Such models can be thought of as hybrid dynamical systems. We consider a particular slow dynamics within AIF models and prove the existence of bursting cycles with $N$ resets, for any integer $N$. Furthermore, we study the transition betwe…

Dimension reduction for slow-fast, piecewise-smooth, continuous systems of ODEs

The limiting slow dynamics of slow-fast, piecewise-linear, continuous systems of ODEs occurs on critical manifolds that are piecewise-linear. At points of non-differentiability, such manifolds are not normally hyperbolic and so the fundamental results of geometric singular perturbation theory do not apply. In this paper it is shown that if the critical manifold is globally stable then the system is forward invariant in a neighbourhood of the critical manifold. It follows that in this neighbourhood the dynamics is given by a regular perturbation of the dynamics on the critical manifold and so d…

非光滑慢-快动力系统的折叠奇异性--正则化等价

Fold singularities of nonsmooth and slow-fast dynamical systems -- equivalence through regularization

二重奇异性在我们理解分段光滑动力系统的唯一性和稳定性中起着重要的作用。当一个向量场在某个超曲面上不连续时，它可以从一侧或另一侧与该曲面相切，而两侧相切会产生双重奇点。局部流与（光滑）慢-快系统中所谓的{ \it折叠奇点}有着表面上的相似之处，这些奇点出现在慢不变流形的吸引和排斥分支的交叉点处，这在鸭翼和混合模式振荡的局部研究中很重要。在这里，我们表明，这两个奇点密切相关。当分段光滑系统中的不连续性在二重奇点处被正则化（平滑）时，所得到的系统可以映射到折叠奇点上。结果是不明显的，因为它需要存在的非线性或“隐藏”的条款在不连续性，这原来是必要的结构稳定性的正则化（或平滑）的不连续性，必要的映射到折叠的奇异性。

正则分段光滑系统中的慢发散积分

Slow divergence integral in regularized piecewise smooth systems

该研究定义了正则平面分段光滑系统中沿滑动段的慢发散积分，证明其光滑等价不变性，并将其应用于VI₃型可见-不可见二重折叠模型，关联Minkowski维数与滑动极限环数目。

非光滑慢-快动力系统的折叠奇异性--隐动力学方法的等价性

Fold singularities of nonsmooth and slow-fast dynamical systems -- equivalence by the hidden dynamics approach

{ \it二重奇异性}在我们理解分段光滑动力系统的唯一性和稳定性方面起了重要作用。当一个向量场在某个超曲面上不连续时，它可以从一侧或另一侧与该曲面相切，而两侧相切会产生双重奇点。这产生的流动与（光滑）慢-快系统中的所谓{ \it折叠奇点}有着表面上的相似之处，后者出现在缓慢不变流形的吸引和排斥分支的交叉点上，在鸭翼和混合模式振荡的局部研究中很重要。在这里，我们表明，这两个奇点密切相关。当分段光滑系统中的不连续性在二重奇点处被爆破或平滑时，所得到的系统可以映射到折叠奇点上。然而，结果并不明显，因为它需要在不连续处存在非线性或“隐藏”项，这对于爆破（或平滑）的结构稳定性是必要的，并且对于映射到折叠奇点是必要的。

一种用于速率诱导灭绝突变的极简模型

A minimal model for rate-induced tipping to extinction

该研究针对现有捕食-食饵模型的缺陷，构建含强阿利效应的极简快慢型模型，结合GSPT分析其R-tipping机制，推导临界速率表达式，明确其为R-tipping极简模型的三个核心要素。

三时间尺度耦合 Morris–Lecar 系统中的混合模式振荡

Mixed Mode Oscillations in a Three-Timescale Coupled Morris-Lecar System

本文研究三时间尺度耦合 Morris–Lecar 神经元中的 MMOs，揭示 CDH 可使鸭式机制与 DHB 相互作用并显著增强振荡对时间尺度变化的鲁棒性。

珊瑚礁生态系统中的速率诱导临界转变：捕捞努力量的缓慢增加可导致珊瑚礁崩溃

Rate-induced tipping in a coral reef ecosystem: A slow increase in fishing effort can induce reef collapse

研究通过几何奇异摄动理论分析一个食草鱼-藻类-珊瑚的行为-人口统计模型，发现捕捞努力量的缓慢增加可通过折叠节点或折叠焦点引发速率诱导的临界转变，导致珊瑚礁生态系统崩溃。

多时间尺度体模爆发系统中的混合模振荡

Mixed-mode oscillations in a multiple time scale phantom bursting system

在这项工作中，我们研究混合模式振荡的GnRH（促性腺激素释放激素）分泌模型。该模型是由两个前馈耦合FitzHugh-Nagumo系统组成的具有三个时间尺度的幻影爆发器。强制系统（调节器）在最慢的尺度上演化，并通过移动强制系统（分泌器）的缓慢零倾线来起作用。有三种模式的动力学：脉动（瞬态松弛振荡），浪涌（准稳态）和小振荡有关的慢零倾通过一个折叠点的快速零倾的通道。我们得到各种减少，利用上述系统的功能。我们得到两个结果;一个是关于局部动力学的折叠附近的参数制度对应于存在的小振荡和其他的全球动态，更具体地说，对存在的吸引极限环。我们的本地结果是一个严格的表征小鸭翼和部门的旋转折叠节点的情况下，一个额外的时间尺度，一个功能，允许一个明确的几何参数。整体结果给出了吸引的唯一极限环的存在，其中，在某些参数制度，保持吸引和唯一，即使在通过鸭式爆炸通道。

在嘈杂的环境中狩猎法国鸭子

Hunting French Ducks in a Noisy Environment

研究了高斯白噪声对具有一个快变量和两个慢变量的快慢动力系统的影响。在没有噪声的情况下，这些系统已知显示混合模式振荡，由交替的大振幅和小振幅振荡组成。我们量化噪声的影响，并获得临界噪声强度以上的小振幅振荡变得隐藏的波动。此外，我们证明了噪声可以导致样本路径跳跃远离所谓的鸭式解决方案之前，确定性轨道的概率很高。这种早期跳跃机制可以通过改变混合模模式来显著影响系统的局部和全局动力学。

混合模振动的Shilnikov同宿分支

Shilnikov Homoclinic Bifurcation of Mixed-Mode Oscillations

Koper模型是一种三维向量场，用于研究扩散过程中产生的复杂电化学振荡。Koper和Gaspard在模型中描述了矛盾的动力学：他们发现了与Shil'nikov型同宿轨道一致的复杂混沌行为，但无法定位轨道本身。Koper模型已经作为一个原型，研究出现的混合模式振荡（MMO）在慢-快系统，但只有在本文中是这些难以捉摸的同宿轨道的存在。它们首先被发现在一个更大的家庭，已被用来研究奇异的霍普夫分支在多个时间尺度系统有两个慢变量和一个快变量。在这个较大的家庭中的同宿轨道的参数曲线得到的延续，并示出交叉的Koper系统的子流形。用于计算同宿轨道的策略是基于系统的调查的交叉点的不变流形在这个系统中的多个时间尺度。鸭翼和折叠节点都是分析中遇到的多个时间尺度现象。适当选择的横截面和返回图说明了所得到的MMO的复杂性，并产生一个修改后的几何模型从一个Shil'nikov用于研究螺旋同宿分岔。

慢快系统与正则系统的分形分析：近期结果综述与未来展望

Fractal analysis of slow-fast and regular systems: A survey of recent results and future perspectives

本文综述了利用闵可夫斯基维数对正则与慢快动力系统进行分形分析的最新成果，重点介绍其在极限环数量上界估计、无坐标计算优势及跨学科应用中的贡献。