Remarks on the Most Informative Function Conjecture at fixed mean
2013年，Courtade和Kumar提出了以下问题：假设$\boldsymbol{x} \sim \{\pm 1\}^n$是均匀随机的，并通过以概率$α$独立地对$\boldsymbol{x}$的每个比特取反来形成$\boldsymbol{y} \sim \{\pm 1\}^n$。$f(x) = x_1$使$f:\{\pm 1\}^n \to \{\pm 1\}$之间的互信息$I(f(\boldsymbol{x}) \mathbin{;} \boldsymbol{y})$最大化，这是真的吗？我们没有解决这个问题。相反，我们对该猜想的固定均值版本进行了一些观察。我们表明，Courtade和Kumar的更强的Lex猜想失败的小噪声率。我们还证明了一个连续版本的猜想的领域，并表明它意味着以前已知的模拟高斯空间。
2016-01-25 cs.CC cs.IT math.IT
An Improved Upper Bound for the Most Informative Boolean Function Conjecture
假设$X$是均匀分布的$n$维二进制向量，并且通过使$X$通过具有交叉概率$α$的二进制对称信道来获得$Y$. Courtade和Kumar最近的一个猜想假定，对于任何布尔函数$f$，$I(f(X);Y)\leq 1-h(α)$。到目前为止，最著名的上限是$I(f(X);Y)\leq (1-2α)^2$。在本文中，我们得到了一个新的上界，保持所有的平衡函数，并改进了最好的已知的界为所有$\tfrac{1}{3}<α<\tfrac{1}{2}$。
2015-05-31 cs.IT math.IT
Dictators are most informative
FPT University（FPT大学）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
本文证明了Courtade-Kumar猜想，即独裁函数在二元噪声下保留最多输入信息，这是信息论与布尔函数分析的重要结果。
2026-09-22 cs.IT math.CO math.IT
The "Most informative boolean function" conjecture holds for high noise
对于高噪声$ε\ge 1/2 - δ$，证明了Courtade和Kumar的“信息量最大的布尔函数”猜想，其中$δ> 0$是一个绝对常数$δ> 0$ .也就是说，如果$X$均匀分布在$\{0,1\}^n$中，并且$Y$是通过以概率$ε$独立地翻转$X$的每个坐标而获得的，那么，对于任何布尔函数$ε\ge 1/2 - δ$，如果$ε\ge 1/2 - δ$成立，则$I(f(X);Y) \le 1 - H(ε)$成立。这个猜想以前只适用于平衡函数。
2015-10-29 cs.IT math.CO math.IT
On the Most Informative Boolean Functions of the Very Noisy Channel
令$X^n$是均匀分布的$n$维二进制向量，并且$Y^n$是使$X^n$通过具有交叉概率$α$的二进制对称信道（BSC）的结果.最近由Courtade和Kumar提出的一个猜想指出，对于任何布尔函数$f:\{0,1\}^n\to\{0,1\}$，$I(f(X^n);Y^n)\le 1-H(α)$。虽然该猜想已被证明是真实的无量纲高噪声制度的Samorodnitsky，在这里，我们提出了一个基于微积分的方法，通过检查在$α=1/2$的二阶导数的$H(α)-H(f(X^n)|Y^n)$显示的尺寸依赖的结果。一路上，我们表明，独裁者的功能是最翔实的功能，在高噪音制度。
2019-07-17 cs.IT math.IT
On the Optimal Boolean Function for Prediction under Quadratic Loss
假设$Y^{n}$是通过二进制对称信道观测均匀伯努利随机向量$X^{n}$而获得的。Courtade和Kumar询问$Y^{n}$和布尔函数$\mathsf{b}(X^{n})$之间的互信息可以有多大，并证明最大值可以通过独裁者函数获得。这个猜想的一个等价公式是dictator在对数损失下最小化$Y^{n}$的序贯预测中的预测成本，给定$\mathsf{b}(X^{n})$。在本文中，我们研究了在不同的（适当的）损失函数-二次损失下的序贯预测费用最小化问题。在无噪声的情况下，我们表明，大多数渐近最小化所有布尔函数的预测成本。我们进一步证明了，对于弱噪声，多数优于独裁者，和强噪声独裁者优于多数。我们猜想，二次损失，有没有一个单一的序列的布尔函数，同时（渐近）在所有的噪声水平最佳。
2016-07-08 cs.IT math.IT
Noise stability on the Boolean hypercube via a renormalized Brownian motion
我们认为一个变种的经典概念的噪声的布尔超立方体，从而产生了一个新的方法来不等式噪声稳定性。我们使用这种方法给出了一个新的证明的多数是稳定的定理的Mossel，O'Donnell，和Oleszkiewicz，提高了依赖的最大影响的函数的对数多项式的界限。我们还表明，由Courtade和Kumar关于最翔实的布尔函数的猜想的一个变体，其中经典的噪音被我们的概念所取代，成立。我们的方法是基于一个随机的建设，我们称之为重整化布朗运动，这有利于使用不等式在高斯空间中的布尔函数的分析。
2022-08-12 cs.IT math.FA math.IT
Boolean functions: noise stability, non-interactive correlation distillation, and mutual information
令$T_ε$为作用于布尔函数$f:\{0, 1\}^n\to \{0, 1\}$的噪声算子，其中$ε\in[0, 1/2]$为噪声参数。给定$α>1$和固定均值$\mathbb{E} f$，哪个布尔函数$f$具有最大的$α$ -th矩$\mathbb{E}(T_εf)^α$？这个问题与布尔函数的噪声稳定性、非交互相关蒸馏问题以及Courtade-Kumar关于最大信息布尔函数的猜想有着密切的联系。在本文中，我们刻画了极大化器在一些极端设置，如低噪声（$ε=ε(n)$接近0），高噪声（$ε=ε(n)$接近1/2），以及当$α=α(n)$是大的。类似的结果也建立在更一般的情况下，如布尔函数定义的离散环面$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n$和噪声稳定性的问题，在树模型。
2020-11-22 cs.IT math.IT math.PR
The maximum mutual information between the output of a discrete symmetric channel and several classes of Boolean functions of its input
我们证明了Courtade-Kumar猜想，几类n维布尔函数，所有$n \geq 2$和所有值的错误概率的二进制对称信道，$0 \leq p \leq 1/2$。该猜想指出，无记忆二进制对称通道的独立且同分布输入的n维向量的任何布尔函数与相应的输出向量之间的互信息的上限为$1-\operatorname{H}(p)$，其中$\operatorname{H}(p)$表示二进制熵函数。也就是说，令$\mathbf{X}=[X_1 \ldots X_n]$是独立且同分布的伯努利（1/2）随机变量的向量，其是无记忆二进制对称信道的输入，其中误差概率在$0 \leq p \leq 1/2$和$\mathbf{Y}=[Y_1 \ldots Y_n]$的区间中，是对应的输出。设$f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$为n维布尔函数。然后是$\operatorname{MI}(f(X),Y) \leq 1-\operatorname{H}(p)$。我们的证明采用Karamata定理，概率论的概念，随机变量和向量的变换和代数运算。
2017-02-08 cs.IT math.IT
The maximum mutual information between the output of a binary symmetric channel and a Boolean function of its input
我们证明了Courtade-Kumar猜想，该猜想指出，对于无记忆二进制对称信道，独立同分布的输入的$n$维向量的任何布尔函数与相应的输出向量之间的互信息的上界为$1-\operatorname{H}(p)$，其中$\operatorname{H}(p)$表示二进制熵函数。也就是说，令$\mathbf{X}=[X_1...X_n]$是独立且同分布的伯努利（$1/2$）随机变量的向量，其是无记忆二进制对称信道的输入，其中误差概率等于$0 \leq p \leq 1/2$，并且$\mathbf{Y}=[Y_1...Y_n]$是对应的输出。令$f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$是$n$维布尔函数。然后，$\operatorname{MI}(f(\mathbf{X}),\mathbf{Y}) \leq 1-\operatorname{H}(p)$。我们提供了证明的猜想，这是任何$n$维布尔函数$f$和任何值的错误概率的二进制对称通道，$0 \leq p \leq 1/2$的最一般的情况下。我们的证明只使用信息论，概率论和随机变量和向量的变换的基本概念。
2017-01-16 cs.IT math.IT
On The Most Discriminative Boolean Functions for Correlated Sources
本文针对相关源压缩的Kullback-Leibler散度最大化问题，证明k级函数为最优，部分解决Amari-Kobayashi猜想，并在贝叶斯分布式1比特假设检验中验证其最优性。
2026-07-31 cs.IT math.IT
On the entropy of a noisy function
令$0 < ε< 1/2$为噪声参数，并令$T_ε$为作用于布尔立方体$\{0,1\}^n$上的函数的噪声算子。设$f$是$\{0,1\}^n$上的非负函数。我们上界的熵$T_ε f$的平均熵的条件期望的$f$，给定的集合大致$(1-2ε)^2 \cdot n$变量。在信息理论方面，我们证明了以下加强“格伯夫人引理”：让$X$是一个随机二进制向量的长度$n$，并让$Z$是一个噪声向量，对应于一个二进制对称信道的交叉概率$ε$。然后，设置$v = (1-2ε)^2 \cdot n$，我们有（到低阶项）：$$ H\Big(X \oplus Z\Big) \ge n \cdot H\left(ε~+~ (1-2ε) \cdot H^{-1}\left(\frac{{\mathbb E}_{|B| = v} H\Big(\{X_i\}_{i\in B}\Big)}{v}\right)\right) $$作为一个应用程序，我们表明，对于一个布尔函数$f$，这是接近的特征功能$g$的一个子立方体的尺寸$n-1$，熵的$T_ε f$是最多的$T_ε g$。结合Ordentlich、Shayevitz和Weinstein最近的结果，Courtade和Kumar的“最具信息量的布尔函数”猜想对于高噪声$ε\ge 1/2 - δ$和某些绝对常数$δ> 0$成立。也就是说，如果$X$均匀分布在$\{0,…
2016-06-22 cs.IT math.CO math.IT
A Proof of the Most Informative Boolean Function Conjecture
The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）；Google（谷歌）；University of Southern California（南加州大学）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
本文通过计算机辅助方法证明了Courtade--Kumar猜想，即布尔函数经二元对称信道后的互信息不超过1减二元熵，独裁函数达到等号，核心是微分方程与Bellman不等式。
2026-09-25 cs.DS cs.IT math.IT
On the $Φ$-Stability and Related Conjectures
本文研究离散立方体上 Boolean 函数的最大 $Φ$-稳定性，利用 Fourier 分析、优化理论和改进的 FKN 定理给出上界，并部分证明三个相关猜想。
2023-04-27 cs.IT math.CO math.IT
