有限域上的球形Kakeya问题

三维空间中的有限域Kakeya集和Nikodym集

Finite field Kakeya and Nikodym sets in three dimensions

本文给出了$\mathbb{F}_q^3$上Kakeya集和Nikodym集的大小的改进下界.我们还提出了一个自然猜想的最小数目的点在工会的一个不太平坦的一组线在$\mathbb{F}_q^3$，并表明，这一猜想意味着一个最佳的范围内的大小的Nikodym集。

具有有限剩余域的局部域中的Kakeya型集

Kakeya-Type Sets in Local Fields with Finite Residue Field

给出了局部域上有限维空间$K^d$中具有有限剩余域的测度为零的Kakeya型集的构造.这种结构是对[12]和[13]中出现的思想的改编。讨论了离散赋值环上测度为零的Kakeya型集的存在性，给出了$\mathbb{F}_q[[t]]$上测度为零的Kakeya型集的另一种构造.

Kakeya问题的有限形式

A finite version of the Kakeya problem

设$L$是域上仿射空间的一组直线，$S$是一组具有以下性质的点：$L$的每条直线至少与$S$的$N$点相关联。设$D$是$L$的线的方向集，这些线被认为是射影空间在无穷远处的点。我们给出了一组线$L$的尺规作图法，其中$D$包含$N^{n-1}$网格，其中$S$具有大小$2((1/2)N)^n$，给定平面中的起始配置。我们提供的例子，这样的开始配置的实数和有限域。根据Dvir对有限域Kakeya猜想的证明以及Dvir、Kopparty、Saraf和Sudan的多重性的思想，我们证明了$S$的大小依赖于在$D$上消失的齐次多项式所产生的理想的一个下界.对于$n\geqslant 4$，当$D$包含$N^{n-1}$网格的点时，该界限被最大化为$((1/2)N)^n$加上较小的阶项。

关于有限域中Kakeya集的大小

On the size of Kakeya sets in finite fields

Kakeya集是F^n的子集，其中F是q个元素的有限域，在每个方向上都包含一条线。本文证明了每个Kakeya集的大小至少为C_n * q^n，其中C_n只依赖于n.这改进了以前最好的下界一般n的~q^{4 n/7}。

基于Kakeya极大算子估计的有限域约束估计

Finite field restriction estimates based on Kakeya maximal operator estimates

在有限域的设置，我们表明，限制猜想与任何一个大家庭的$d=2n+1$维二次曲面意味着$n+1$维Kakeya猜想（Dvir定理）。这包括$-1$ \emph{is}是正方形的有限域上的抛物面的情形。我们能够部分扭转这一含义使用尖锐的Kakeya最大算子估计Ellenberg，Oberlin和陶建立第一个有限域限制估计超出斯坦-托马斯指数在此设置。

有限域上algebraic varieties的Kakeya集和极大图

The Kakeya set and maximal conjectures for algebraic varieties over finite fields

利用Dvir \cite{dvir}的多项式方法，建立了有限域$F$上代数簇$W$的Kakeya集和Kakeya极大函数的最优估计.例如，给定一个$n-1$维射影簇$W \subset ¶^n(F)$，我们建立了所有函数$f: F^n \to \R$和$d \geq 1$的Kakeya极大估计$$ \| \sup_{γ\ni w} \sum_{v \in γ(F)} |f(v)| \|_{\ell^n(W)} \leq C_{n,W,d} |F|^{(n-1)/n} \|f\|_{\ell^n(F^n)}$$，其中对于每个$w \in W$，上确界是在$F^n$中次数至多为$d$的所有不可约代数曲线上，这些曲线通过$w$但不位于$W$中，并且$C_{n,W,d}$仅依赖于$n, d$和$W$的次数; $W$是无穷远超平面的特殊情况特别地建立了有限域中的Kakeya极大函数猜想，这反过来又加强了Dvir的结果。

共线三超图与有限平面Kakeya问题

Collinear Triple Hypergraphs and the Finite Plane Kakeya Problem

我们表明，问题的排列中的共线点计数（以前考虑的作者和J. Solymosi在“共线点排列”，2005年）和著名的有限平面Kakeya问题是密切相关的。通过计数论证和对共线三元组超图的研究，给出了GF（q）中置换的共线三元组个数的一个新的下界（5 q/14 + O（1））和GF（q）^2中最小Besicovitch集的大小的一个新的下界（q + 1）/2 + 5 q/14 + O（1）.提出了关于共线三超图结构的几个有趣的问题。

有限域的限制与Kakeya现象

Restriction and Kakeya phenomena for finite fields

欧几里得空间中的限制和Kakeya问题在过去的几十年里受到了广泛的关注，并且与调和分析、偏微分方程和数论中的许多问题有关。本文在有限域上对这些问题进行了初步的研究。限制问题于是变成了关于某些类型指数和的一般界限的问题，而挂谷问题则具有代数几何的味道，要求不同方向的线可以重叠到什么程度。在许多情况下，欧几里德论证很容易延续到有限情形（事实上更清晰），但在有限情形下有一些新的现象值得进一步研究。

关于Katz和Tao的算术Kakeya猜想

On the arithmetic Kakeya conjecture of Katz and Tao

算术Kakeya猜想，由Katz和Tao在2002年提出，是关于有限集合加法的陈述。它是已知的暗示形式的Kakeya猜想，即上闵可夫斯基维的贝西科维奇集在$\mathbb{R}^n$是$n$。本文讨论这个猜想，给出它的若干等价形式，并证明它的一个自然的有限域变体成立。我们也给出了一些下界。

有限域中挂川集合的 Fourier 分析性质

Fourier analytic properties of Kakeya sets in finite fields

本文利用 Fourier 分析证明有限域挂川集合可支撑非零频率变换受 $q^{-1}$ 控制的概率测度，并给出二维下界的新证明及 $k$ 平面推广。

一般$N$在$\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$上的极大界和$(m,ε)$-Kakeya界

Maximal and $(m,ε)$-Kakeya bounds over $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ for general $N$

我们推导出$\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$上函数的最大Kakeya估计，证明了Hickman和Wright [HW 18]所述的一般$N$的$\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$的最大Kakeya猜想。证明涉及使用多项式方法和线性代数技术[Dha 21，Ars 21 a，DD 21]和推广[DD 22]的概率方法参数。作为另一个应用，我们给出了$\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$上$(m,ε)$-Kakeya集的大小的下界.利用这些思想，我们也给出了一个新的，更简单，直接的证明有限域上的最大Kakeya界（这是第一次证明在[EOT 10]）几乎尖锐常数。

使用平面刷方法在 $\mathbb{F}_q^4$ 中求平面Kakeya集的界

A bound for plany Kakeya sets in $\mathbb{F}_q^4$ using the planebrush method

本文在有限域$\mathbb{F}_q^4$中，利用平面刷方法改进了平面Kakeya集的下界估计。

$F^n$中$k$ -平面的一个关联界和Kakeya极大函数的一个平面变体

An incidence bound for $k$-planes in $F^n$ and a planar variant of the Kakeya maximal function

本文讨论了有限域上向量空间中Kakeya极大函数的一个平面变体。利用关联组合学的方法，证明了当$1 \leq p \leq \frac{kn+k+1}{k(k+1)}$和$1 \leq q \leq (n-k)p'$满足时，该算子从$L^p$到$L^q$是有界的.

关于 Peres--Schlag 正交投影问题和 Kakeya 型集合

On the Peres--Schlag orthogonal projection problem and Kakeya-type sets

研究有限域和欧几里得空间中正交投影的 Peres--Schlag 非空内部问题，通过多项式方法建立有限域上的尖锐投影结果，并在欧几里得空间中结合几何测度论与调和分析技术改进参数范围。

Kakeya问题离散模拟的代数方法

Algebraic Methods in Discrete Analogs of the Kakeya Problem

我们证明了关节猜想，表明对于任何${\Bbb R}^3$中的$N$线，最多有$O(N^{3 \over 2})$点，在这3条线相交非共面。我们还证明了一个猜想Bourgain显示，给定$N^2$线在${\Bbb R}^3$，使没有$N$线位于同一平面，使每条线相交一组$P$的点至少$N$点，那么基数的一组点是$Ω(N^3)$。我们的两个证明都是对Dvir关于有限域Kakeya问题的论点的改编。

关于部分和-集与差集的一个新界及其对Kakeya猜想的应用

A new bound on partial sum-sets and difference-sets, and applications to the Kakeya conjecture

设$A, B$是阿贝尔群的有限子集，且$G \subset A \times B$使得$# A, # B, # \{a+b: (a,b) \in G \} \leq N$。我们考虑估计量$# \{a-b: (a,b) \in G \}$的问题。最近Bourgain将$N^2$的平凡上界改进为$N^{2-1/13}$，并将其应用于Kakeya猜想.进一步改进了Bourgain的估计，得到了$N^{2-1/6}$的进一步改进，如果我们也知道$# \{a+2b: (a,b) \in G\} \leq N$ .我们得出结论，$\R^n$中的Besicovitch集的Hausdorff维度至少为6 n/11+5/11，Minkowski维度至少为$4n/7 + 3/7$。这是$n > 8$的新功能。

多重性方法的扩展及其在Kakeya集和合并中的应用

Extensions to the Method of Multiplicities, with applications to Kakeya Sets and Mergers

我们扩展了“多重性方法”，得到了以下结果，在组合学和随机性提取的兴趣。(A)我们证明了$\F_q^n$中的每个Kakeya集（在每个方向上包含一条线的点集）的大小必须至少为$q^n/2^n$。与之前在$n$中偏离指数因子的边界相比，对于每个$n$（作为$q \to \infty$），该边界紧到$2 + o(1)$因子内。(B)我们给出了改进的随机性提取器和“随机性合并器”。合并器是种子函数，其将$\{0,1\}^N$中的$Λ$（可能相关的）随机变量和短随机种子作为输入，并输出$\{0,1\}^N$中的单个随机变量，当$Λ$输入变量之一均匀分布时，该单个随机变量在统计上接近于具有熵$(1-δ) \cdot N$。我们需要的种子只有$(1/δ)\cdot \log Λ$ -位长，这大大改善了以前的合并构造。(C)使用我们的新的合并，我们展示了如何构建随机提取器，使用对数长度的种子，同时提取$1 - o(1)$分数的最小熵的源。“方法的多重性”，如在以前的工作中使用的，分析子集的向量空间在有限域上，通过构建有点低程度的插值多项式，消失在每个点的子集{ \em与高的多重性}。这种方法的典型应用包括证明插值多项式在子集外的某些点上也消失，然后使用简单的零点数量界限来完成分析。我们的扩增，这种技术是，我们证明，在适当的条件下，插值多项式消失{ \em与高的多重性}的集合之外。这种新颖性导致了更…

有限海森堡群中的尖锐精细方向Kakeya估计

Sharp refined-direction Kakeya estimates in finite Heisenberg groups

本文针对有限海森堡群，证明了尖锐富方向Kakeya估计，确定了对应ℓᵘ→ℓᵛ估计中q的尖锐指数，证明结合多项式方法与重数及仿射辛群作用的概率覆盖论证。

Kakeya问题的离散模拟

Discrete analogues of Kakeya problems

本文研究了两个问题，这两个问题是两个调和分析问题的离散类似物，这两个问题是该领域研究的核心。更具体地说，我们考虑离散类似物的最大Kakeya运营商猜想和最近解决的端点多线性Kakeya问题，通过有效地收缩管在这些问题中涉及的线，从而产生的问题，计数关节和多重关节。事实上，我们有效地表明，在$\mathbb{R}^3$，我们期望举行由于最大Kakeya算子猜想，以及我们知道在连续的情况下，由于端点多线性Kakeya定理的古斯，仍然保持在离散的情况下。特别地，令$\mathfrak{L}$是$\mathbb{R}^3$中的$L$线的集合，并且$J$是由$\mathfrak{L}$形成的接头的集合，即，每个点位于$\mathfrak{L}$的至少三条非共面线中的点的集合。已知$|J|=O(L^{3/2})$（首先由Guth和Katz证明）。对于每个关节$x\in J$，令$x$的多重数$N(x)$为通过$x$的非共面线的三元组的数量。我们在这里证明，$$\sum_{x\in J} N(x)^{1/2}=O(L^{3/2}), $$，而我们也将这一结果推广到真正的代数曲线在$\mathbb{R}^3$的一致有界的程度，以及曲线在$\mathbb{R}^3$参数化的真正的一元多项式的一致有界的程度。多关节问题是关节问题的一个变体，涉及$\mathbb{R}^3$中的三个有限的线集合;由它们形…

仿射平面上的交分布、非命中指标和Kakeya集

Intersection distribution, non-hitting index and Kakeya sets in affine planes

我们提出了交集分布和非命中指数的概念，可以从两个相关的角度来看待。第一个问题是关于经典射影平面$PG(2,q)$上的点集$S$，其大小为$q+1$，其中$S$的相交分布表示$S$与$PG(2,q)$上的直线的相交模式。第二个问题涉及有限域$\mathbb{F}_q$上的多项式$f$，其中$f$的交集分布记录了多项式集合$\{f(x)+cx \mid c \in \mathbb{F}_q\}$的总体分布性质。这两个观点是密切相关的，在这个意义上，每个多项式产生一个$(q+1)$ -集在一个规范的方式，反过来说，每个$(q+1)$ -集具有一定的属性有一个多项式表示。实际上，相交分布提供了一个新的角度来区分有限域上的多项式，基于相应的$(q+1)$ -集的几何性质。在交叉分布中，我们确定了一个特别有趣的量，称为非命中指数。对于点集$S$，其非命中索引计算$PG(2,q)$中未命中$S$的行数。对于有限域$\mathbb{F}_q$上的多项式$f$，其非命中指数给出了$q$值集$\{f(x)+cx \mid x \in \mathbb{F}_q\}$的大小之和，其中$c \in \mathbb{F}_q$。我们推导了非命中指数的界，并证明了非命中指数包含了关于相应集合和多项式的大量信息。更准确地说，使用几何方法，我们表明，非命中指数是足够的特征对应的点集和多项式时，它是接近的下限和上限。…

具有ℓ∞保证的线性哈希与双侧Kakeya界

Linear Hashing with $\ell_\infty$ guarantees and two-sided Kakeya bounds

本文证明有限域上随机线性映射在ℓ∞范数下是接近均匀的哈希函数，结果在熵损失上达到紧界，并通过与有限域Kakeya问题的联系及多项式方法完成证明。

有限域上Furstenberg集的简单证明

Simple proofs for Furstenberg sets over finite fields

有限域上的$(k,m)$ -Furstenberg集$S \subset \mathbb{F}_q^n$是在每个方向上至少与$k$ -平坦有$m$公共点的集合.确定这些集合的最小尺寸的问题是有限域Kakeya问题的自然推广。这些集合唯一已知的界限是由于Ellenberg-Erman，需要代数几何的复杂机器。在这项工作中，我们给新的，完全小学和简单的，证明显着提高已知的界限。我们的主要结果依赖于一个等价的制定的问题，使用的概念，最小熵，这可能是独立的利益。

有限域上的BRK型集合

BRK-type sets over finite fields

本文将欧氏空间中的BRK集合问题推广到有限域，利用Dvir证明有限域Kakeya猜想的技术，给出了有限域上BRK型集合大小的下界。

有限Heisenberg群中的水平Kakeya极大算子：精确指数与应用

Horizontal Kakeya maximal operators in finite Heisenberg groups: Exact exponents and applications

研究有限Heisenberg群中与水平线相关的Kakeya极大算子，通过傅里叶分析得到秩一时精确的混合范数增长指数，并应用于组合几何中的点线配置问题。

最小化共线三元组数量的置换

Permutations minimizing the number of collinear triples

本文刻画了有限域上使图中共线三元组数量最少的置换，确定字典序最小者，证实 Cooper-Solymosi 猜想，并探讨其与正交拉丁方及有限仿射平面的联系。

有限域上的和积估计及其应用

A sum-product estimate in finite fields, and applications

设$A$是有限域$F := \Z/q\Z$的一个子集，其中有一个素数$q$。若$|F|^δ< |A| < |F|^{1-δ}$对某些$δ> 0$成立，则证明了对某些$\eps = \eps(δ) > 0$的估计$|A+A| + |A.A| \geq c(δ) |A|^{1+\eps}$.这是Erdos和Szemeredi的一个结果的有限域模拟。然后利用这个估计证明了有限域上的一个Szemeredi-Trotter型定理，得到了有限域上的Erdos距离问题和有限域上的三维Kakeya问题的一个新估计.

用晶格理论构造有限图的球面设计

A construction of spherical designs from finite graphs with the theory of crystal lattice

本文利用晶格理论从有限图出发构造了一类球面设计。我们从一个有限图出发，把晶体格的标准实现看作图的极大阿贝尔覆盖。然后，我们取一组矢量，它们构成了晶格。如果每个向量都有相同的范数，那么我们可以考虑欧几里德球面上的一个有限集，然后我们得到一个球面设计。本文通过数值计算观察了结果。我们尝试了由各种有限图、强正则图、距离正则图等构造向量，并介绍了一些事实和定理。

来自有限群轨道的球面2-设计

Spherical 2-Designs from Finite Group Orbits

本文通过同型分解和矩条件完整分类了由有限群轨道产生的球面2-设计，并证明其对应于正则表示中紧群轨道的投影，从而统一了几何与表示论视角。

关于哪些群可以作为球面拉丁比特数的典范群出现

On which groups can arise as the canonical group of a spherical latin bitrade

我们解决一个问题的Cavenagh和Wanless问：有限的阿贝尔群出现的典型群的球面拉丁bitrade？我们证明了一个有限的阿贝尔群的无限家庭的存在，不出现作为标准的球面拉丁bitrades群。利用阿贝尔沙堆群之间的连接有向欧拉球面嵌入的基础上，我们继续提供几个，一般的，家庭的有限阿贝尔群出现的典型群体。这些家庭包括：任何阿贝尔群，其中史密斯标准形的每个分量都具有复合顺序;任何阿贝尔群，其中史密斯标准形$\mathbb{Z}^{n}_p\oplus\left(\bigoplus_{i=1}^k\mathbb{Z}_{pa_i}\right)$，其中$1\leq k$，$2\leq a_1,a_2,\ldots, a_k,p$和$n\leq 1+2\sum_{i=1}^k(a_i - 1)$ ;以及除了一个例外和三个可能的例外，任何阿贝尔群的秩为2。

有限谐和强度的 $S^1$ 上球面设计

Spherical Designs on $S^1$ of Finite Harmonic Strength

研究单位圆上有限球面设计的精确谐和强度，证明任意有限正整数集 $T$ 均可由五点集实现，并给出最小尺寸问题 $N(T,2)$ 的部分结果。

有限一般线性群的球面Tits建筑的Zeta函数

Zeta Functions for Spherical Tits Buildings of Finite General Linear Groups

本文为有限一般线性群相关的球面建筑定义了边zeta函数，通过引入有向图X0和X2、循环n部图、部传递群作用及Hecke代数的Springer定理，推导出优雅公式并揭示特征值模式。

循环群的迭代圈积的球传递性的判定

Testing spherical transitivity in iterated wreath products of cyclic groups

我们给出了一个部分解决方案的问题Grigorchuk，Nekrashevych，Sushchanskii和Šunik给出一个算法，以测试是否有限状态元素的无限迭代（置换）圈积$\hat G = \mathbb Z/k\mathbb Z\wr \mathbb Z/k\mathbb Z\wr \mathbb Z/k\mathbb Z\wr >...$的循环群的顺序$n$行为球传递。我们还可以判定$\hat G$的两个有限状态球传递元是否共轭。对于一般的无限重圈积，给出了判定两个有限态自同构在阿贝尔化中是否具有相同象的算法。

Spherical Configurations over Finite Fields

We establish that if $d \geq 2k + 6$ and $q$ is odd and sufficiently large with respect to $α\in (0,1)$, then every set $A\subseteq \mathbf{F}_q^d$ of size $|A| \geq αq^d$ will contain an isometric copy of every spherical $(k+2)$-point configuration that spans $k$ dimensions.

调和指数t的球面设计

Spherical designs of harmonic index t

球面$t$ -设计是球面上的一个有限子集，使得对于任何次数至多为$t$的多项式，球面上积分的平均值可以用有限子集上的平均值代替。众所周知，球面设计的一个等价条件是用调和多项式给出的。本文从这一等价条件出发，定义了调和指标$t$的球面设计，给出了它的构造和一个Fisher型基数下界.同时，我们还研究了是否存在调和指数达到上界的球面设计。

球面子词复形的砖多胞形与广义associahedra

Brick polytopes of spherical subword complexes and generalized associahedra

将砖多胞形推广至有限Coxeter群的球面子词复形，为簇复形提供多胞形实现，并给出广义associahedra的顶点描述、Minkowski分解及交换矩阵组合描述。

有限域上的球面高阶傅里叶分析 IV：在几何 Ramsey 猜想中的一个应用

Spherical higher order Fourier analysis over finite fields IV: an application to the Geometric Ramsey Conjecture

本文是“有限域上的球面高阶傅里叶分析”系列终篇，通过发展球面高阶傅里叶分析方法替代调和分析，在有限域背景下证明了Graham关于球面构型Ramsey性质的猜想。

有限树及相关图的笛卡尔幂的球面极大算子的$L^p$范数的指数下界

Dimensionally Exponential Lower Bounds on the $L^p$ Norms of the Spherical Maximal Operator for Cartesian Powers of Finite Trees and Related Graphs

设$T$是一个有限树图，$T^N$是$T$的笛卡尔幂图，$d^N$是$T^N$上的图距离度量.又设\[ \mathbb S_r^N(x) := \{v \in T^N: d^N(x,v) = r\} \]是以$x$为中心的半径为$r$的球面，$M$是由\[ Mf(x) := \sup_{\substack{r \geq 0 \\ \mathbb S_r^N(x) \neq \emptyset}} \frac{1}{|\mathbb S_r^N(x)|} |\sum_{\mathbb S_r^N(x)} f(y)|. \]给出的$T^N$上的球面最大平均算子。我们将证明，对于任何固定的$1 \leq p \leq \infty$，$M$的$L^p$算子范数，即\[ \|M\|_p := \sup_{\|f\|_p = 1} \|Mf\|_p, \]，在$N$维上呈指数增长。特别地，如果$r$是$T$的随机顶点是叶子的概率，则$\|M\|_p \geq r^{-N/p}$，尽管这不是一个明确的界限。这种指数增长现象扩展到一类严格大于树的图，我们称之为\emph{global antipode graphs}。这一增长结果与Greenblatt、Harrow、Kolla、Krause和Schulman的工作相反，他们证明了球形最大$L^p$边界（对于$p > 1$）对于有限团是维数无关的…

多关节计数

Counting multijoints

令$\mathfrak{L}_1$、$\mathfrak{L}_2$、$\mathfrak{L}_3$分别是$L_1$、$L_2$、$L_3$的有限集合，$\mathbb{R}^3$中的线，以及$J(\mathfrak{L}_1, \mathfrak{L}_2,\mathfrak{L}_3)$由它们形成的多关节的集合，即点$x \in \mathbb{R}^3$的集合，对于所有$i=1,2,3$，每个点位于至少一条线$l_i \in \mathfrak{L}_i$中，使得$l_1$、$l_2$和$l_3$的方向跨越$\mathbb{R}^3$。我们在这里证明了$|J(\mathfrak{L}_1, \mathfrak{L}_2,\mathfrak{L}_3)|\lesssim (L_1L_2L_3)^{1/2}$，我们将我们的结果推广到多关节形成的真正的代数曲线在$\mathbb{R}^3$的一致有界的程度，以及曲线在$\mathbb{R}^3$参数化的真正的一元多项式的一致有界的程度。多关节问题是关节问题的一个变体，也是端点多线性Kakeya问题的离散模拟。

一致避免等差数列的集合的维数

Dimensions of sets which uniformly avoid arithmetic progressions

我们提供的$\mathbb{R}$，一致避免有限的等差数列的尺寸集的估计。更确切地说，如果存在$ε>0$使得在$F$的$εΔ$邻域内不能找到长度$k$和间隙长度$Δ>0$的算术级数，则我们说$F$一致地避免长度$k \geq 3$的等差数列。我们的主要结果是一个明确的上界的Assouad（从而Hausdorff）维数的$k$和$ε$等集。在另一个方向，我们提供的例子集，一致避免等差数列的一个给定的长度，但仍然有相对较大的Hausdorff维数。我们也考虑这些问题的高维类似物，其中等差数列被替换为算术补丁躺在一个超平面。因此，我们得到一个离散化版本的“反向Kakeya问题”：我们表明，如果一组$\mathbb{R}^d$的尺寸是足够大的，那么它密切接近等差数列在每个方向。